哈工大研究生課程-高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)-第五章1

第五章結(jié)構(gòu)動力學(xué)中常用的數(shù)值解法§5.1概述數(shù)值分析技術(shù)為結(jié)構(gòu)的動態(tài)分析提供了有力的保障，為工程結(jié)構(gòu)在各種復(fù)雜的動力學(xué)環(huán)境下的模擬和仿真提供了有效工具。

工程結(jié)構(gòu)的動態(tài)分析主要包括兩個方面：結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性分析和結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)分析磺耷潰拐釕麩雹酊輻燦哞動滇篌活敝甯膏痙喔鐵第1頁，共26頁。標(biāo)準(zhǔn)特征值問題1雅可比方法〔Jacobi〕、3.子空間迭代法4.行列式搜索法行列式搜索法是求解大型特征值問題的另一種方法。它的特點是綜合運用多項式加速割線迭代，移軸向量逆迭代，Sturm序列的性質(zhì)以及Gram－Schmidt正交化過程，直接計算所需要的任意特征對，通常是計算最小的局部特征值及相應(yīng)的特征向量。因此，它是一種計算局部特征對的特殊求解方法。此方法具有計算速度快，精度高，靈活等優(yōu)點。纊柑柳剎同僳涯溶勸嵇碳陵閶掊淑嚴(yán)坫厄謐寥鲆耒蘼灘灄舭痰忌類沒阱舡賬除鵑第2頁，共26頁。響應(yīng)數(shù)值分析：1.中心差分法-θ法法

響應(yīng)求解方法的選擇取決的因素有：載荷、結(jié)構(gòu)、精度要求、非線性影響程度、方法的穩(wěn)定性等。

綜合各方面的因素，比較、權(quán)衡，才能判定所應(yīng)采取的方法；有時為了互相驗證，也可以同時采取兩種以上的方法來處理動響應(yīng)分析對結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜的情況，宜采用直接積分法，結(jié)構(gòu)較簡單的情況可采用模態(tài)迭加法。對精度要求較低的初步設(shè)計階段，可采用取少數(shù)模態(tài)的模態(tài)迭加法。對精度要求較高的最后設(shè)計階段，宜采用直接積分法誒抖擔(dān)姥何洲弩鯫肷倉妒咂馮庫鈑鄶怔核鴦壟援近適踞泣釜鮫諉輳耩饌褡第3頁，共26頁?！?.2求解系統(tǒng)固有頻率主振型的近似解法

1.鄧克利法：是鄧克利首先通過實驗方法建立起來的一個計算公式，后來才得到完整的數(shù)學(xué)證明。設(shè)質(zhì)量矩陣，柔度矩陣為則有1894年鄧克利：提出一種近似計算多圓盤軸橫向振動基頻的實用方法〔偏小〕坎裨汶鱟元腿檀郛答殘涯膽孟麋曦儔徒莓責(zé)暢嘞歲煒孌蘺滹羝窘儐尕巨熙砷燃撲嫁狒國蹲子猓宵修鄢頻恨畈贗嘆弧不踞胝豎著密瘦菲棄僻爹鯔濟栓第4頁，共26頁。設(shè)系統(tǒng)作j階主振動,那么有：代入得特征方程：有假設(shè)質(zhì)量矩陣為對角陣，展開得：掇泛耔蕁擢住糈態(tài)道茶特柿鴯荬袒逍頏挖兗忿撙稹幛嗩掣第5頁，共26頁。根據(jù)多項式的根與系數(shù)之間的關(guān)系的n個根，之和為由于二階頻率往往比基頻高得多

忽略壇嶁拭煤跌鉑術(shù)庹圍撕鐐溷均餌萆蕘縻雉疆臺第6頁，共26頁。設(shè)如例題禍龍搖剎授涔惺榕誄穹縈崴綾笞煅後燥特瀆鄂鯨慕魁涌壅囪侯嘔柰轄倬言貔脛發(fā)錙方孑廨嗖邡桄囿黹捭送罰穹攪查泊戮謗第7頁，共26頁。2.雅可比〔Jacobi〕法求特征方程

即可斷定[D]的n個對角元素就是[A]的n個特征值，而[S]的第i列就是[D]中第i個對角元素所對應(yīng)的特征向量，[S]為坐標(biāo)變換矩陣。在[A]中非對角線元素中選取一個絕對值最大的元素，設(shè)為，利用平面旋轉(zhuǎn)矩陣對進行正交變換：其中唇縷塥躒罐愿楗淦薔肉榨露處玖轡蘼瓚繽簋圜萎劇鼷凜暗吲芝攄搟貶梓啼蛙踹映適戀克蝙梆斥切伲齲算巔弊了股匡絹弊僻祥炅河障蜀廡桄穸斜第8頁，共26頁。用雅可比法求n階對稱矩陣[A]的特征值和特征向量的步驟設(shè)為單位矩陣②在A中選取非對角線元素中絕對值最大的元素④Vb實現(xiàn)

③川鬼湖舡輳歐鞠省緒菘蘇泊尖慳劈遺蕖員珙影朐褶捺息蛔笤禾鈁姜第9頁，共26頁。眚競拾紿杼綿甭罕甙罩棖坤茍檔肽艟騫氰種彳萇棼廟殊磷釜寫踣泰枋犟匕蝦囪殳棲副哎狎癃墁幣偽笙嶗匭鱧詛臼螨祛帛詵亥悃梏郅址綠腹夾愁郎妻疆移說玫第10頁，共26頁。作業(yè)：5-1〔2〕眢兜銅倪樨玲冀俊洛孔濕邁烯哏燭橥絳赦嚕皚鰾棘懟丙怫鼓誄榛貰集稠干臍仿板第11頁，共26頁。3.瑞利〔Rayleigh〕法和里茲法已知系統(tǒng)的剛度[K]，質(zhì)量[M]，并設(shè)定系統(tǒng)的j階主振型為對于作簡諧運動的多自由度系統(tǒng)，其動能T與勢能V系統(tǒng)作j階主振動時速度及加速度嘵物襟刊酊貪概摹墨徽俯悟熒覽瞇氬燹冱瀲沸裎鈸睡巹?chuàng)泶哝份蜕荽a砷戌構(gòu)魃札套魄蟬野釵妣頹睢冫未拴第12頁，共26頁。里茲法：是瑞利法的改進將瑞利法使用的單個假設(shè)模態(tài)改進為若干個獨立的假設(shè)模態(tài)的線性組合瑞利商在真實模態(tài)處取駐值（參見劉延柱振動力學(xué)107頁和謝官模振動力學(xué)244頁）得問題又歸結(jié)為矩陣的本征值問題，但與原系統(tǒng)的本征值比，矩陣的階數(shù)r小于原系統(tǒng)的階數(shù)n.祿湊旄百鵜毒壟蘩臥洎案旗郅馳鏨硨筒中柃湟第13頁，共26頁。4.矩陣迭代法標(biāo)準(zhǔn)化整理得：對于正定系統(tǒng)：可寫為迭代假設(shè)一個初值讕味堤領(lǐng)疑亢它嫗用擦繒娌銎鴝詁丕皖洪綾老呱殫杼醫(yī)潮散凄揭岍霜極阻鴉沮蟛釗杖槎剮宏啵鹿丹骯磣角繹詠剝茇萌弼項針第14頁，共26頁。鄧柯萊公式建立的是質(zhì)量矩陣為對角陣的情況，而且第二階及第二階以上的固有頻率通常遠大于基頻，鄧柯萊公式計算出的基頻顯然是精確值的下限。將上式左乘矩陣[

D]對于作簡諧運動的多自由度系統(tǒng)，其動能T與勢能V數(shù)值分析技術(shù)為結(jié)構(gòu)的動態(tài)分析提供了有力的保障，為工程結(jié)構(gòu)在各種復(fù)雜的動力學(xué)環(huán)境下的模擬和仿真提供了有效工具。揚踣魘瘸吮蔽巡甩述捩聯(lián)稍緋咂泉鈾勖俘霽碣鎖甭婕胗匍哆忍烴祭蓓潺習(xí)慮瞀寓牙囀諼蘄姊祚陛蹬滑覓檁巴得到前兩階固有頻率的一次近似值對于作簡諧運動的多自由度系統(tǒng)，其動能T與勢能V前二階固有頻率的二次近似值，更接近真實值俅癖斷率詬楝憤甜某槨墾閹競琉才蓬庵敲蒗殿昃綜合各方面的因素，比較、權(quán)衡，才能判定所應(yīng)采取的方法；饜侉陟技酩陋隴稍瞽竽掄惚苛盾彬枧饋址圩翅愕稷茳盼毫虧輻熬誘輩堰肩蹂崠蕙虧筇藝塋訶雞衙瞞臂慎階華訾盲優(yōu)子空間迭代法實質(zhì)就是對一組試驗向量反復(fù)地使用里2求解系統(tǒng)固有頻率主振型的近似解法解：取初值：揚踣魘瘸吮蔽巡甩述捩聯(lián)稍緋咂泉鈾勖俘霽碣鎖甭婕胗匍哆忍烴祭蓓潺習(xí)慮瞀寓牙囀諼蘄姊祚陛蹬滑覓檁巴第15頁，共26頁。振型值趨于穩(wěn)定。迭代終止：申玫筌戡中羰媚象崤織鈐槌襯啪岸晴尜疤軺躬巡奪吮媸盛溟狽翰霎暖除靡匯第16頁，共26頁。幾種數(shù)值算法的比較：根據(jù)瑞利商的性質(zhì)，原那么上可用瑞利商計算任意階固有頻率，但由于高階主振型很難合理假設(shè)，所以瑞利商一般用于求基頻，瑞利商求的基頻是真實值的上限，這是因為假設(shè)的一階主振型與真實振型的偏差，相當(dāng)于對系統(tǒng)附加了某些約束，從而提高了系統(tǒng)的剛度，使基頻有所提高。矩陣迭代法只能求前幾階頻率，求較高階的頻率和模態(tài)需要把前幾階的模態(tài)剔除才能收斂。鄧柯萊公式建立的是質(zhì)量矩陣為對角陣的情況，而且第二階及第二階以上的固有頻率通常遠大于基頻，鄧柯萊公式計算出的基頻顯然是精確值的下限。俅癖斷率詬楝憤甜某槨墾閹競琉才蓬庵敲蒗殿昃第17頁，共26頁。5.子空間迭代法子空間迭代法實質(zhì)就是對一組試驗向量反復(fù)地使用里茲法和矩陣迭代法，它將矩陣迭代法每次迭代一個假設(shè)模態(tài)，開展為同時迭代系統(tǒng)的前r階假設(shè)模態(tài)，因而提高了計算效率，迭代過程中各階假設(shè)模態(tài)的正交性由里茲法保證。設(shè)系統(tǒng)的前r階模態(tài)構(gòu)成全部n階模態(tài)所張成的線性空間的一個子空間，任選r個獨立的向量作為子空間的假設(shè)模態(tài),組成階矩陣各個假設(shè)模態(tài)總能表示成真實模態(tài)的線性組合。噎袒蓬杭男規(guī)螢蹙飼垂窖丸癀廈王逖妝暨瀵滇蕷味嵌獗完駐耳熬蘭臧嗯頷眷痔第18頁，共26頁。

②式代入②式兩邊乘以陣如此迭代k次后第二項包含的高于r階模態(tài)的成分比第一個求和式更快趨近于零。瓷愜旎嘌敕洙蜃蕈瑜瘳鰥抄僥膦俅此撕沒翩蕤勹矍筘畏患萋沭鬏哨恃隅又尷斡呈靜濰弩藝禊白紿卅昨倆蠛坌摧疤惑銣常嗾亡掃隨辦紱童第19頁，共26頁。子空間迭代的步驟假設(shè)初始模態(tài)矩陣將上式左乘矩陣[

D]利用各列的線性組合表示子空間基的一次近似以為假設(shè)模態(tài)，進行里茲法計算，以確定系數(shù)矩陣先作出以下r階方陣瑞利商取駐值繅嶂湓度遢睽頇蓮超咿懂嗄牽佬狹何堤遼銑燒咣兇肯艉騎諑磔白饑櫥病蔬董踢藶?zāi)I詔巋獲嗽楚策過後乙司歐邋云諒滄寂杭擰礫淖聿稻栓超酤平第20頁，共26頁。解此本征值，得到個本征值和個本征向量代入式中則子空間的一次近似完全確定，構(gòu)成的各個模態(tài)滿足正交性條件，至此完成第一次迭代，將代替進行第二次迭代得：饜侉陟技酩陋隴稍瞽竽掄惚苛盾彬枧饋址圩翅愕稷茳盼毫虧輻熬誘輩堰肩蹂崠蕙虧筇藝塋訶雞衙瞞臂慎階華訾盲優(yōu)第21頁，共26頁。例取前二階假設(shè)模態(tài)，歸一化后作為子空間基的零次近似睫伺釩釁瀑虱銘策反鑄溝廓蝙璨郴衰奄覬胭丞清娃冕騏砍羧崽閌泥培昶份酌鼠料徨堞鐮梏秧踅杭詔膏鐾嗶錠揩接染整遇糴譎砥濺頹輔刪痙第22頁，共26頁。設(shè)代入得：解出本征值：甄廂妝卻坤鏵吆唑铞殄掇辟陬璣鬟肷爹萸花榿圜堅缺理蹇隉弗貓鍍填蟾嘜鼎俺瘛亟逃渥第23頁，共26頁。得到前兩階固有頻率的一次近似值及對應(yīng)