三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)

三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁(yè)次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：為什么三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)（1.相似三角形法）（附圖）（原創(chuàng)）已知：△ABC的兩條中線(xiàn)AD、CF相交于點(diǎn)O，連接并延長(zhǎng)BO，交AC于點(diǎn)E。求證：AE=CE證明：如圖，過(guò)點(diǎn)O作MN∥BC，交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N；過(guò)點(diǎn)O作PQ∥AB，交BC于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)Q。∵M(jìn)N∥BC∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD∴MO/BD=AO/AD，NO/CD=AO/AD∴MO/BD=NO/CD∵AD是△ABC的一條中線(xiàn)∴BD=CD∴MO=NO∵PQ∥AB∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF∴PO/BF=CO/CF，QO/AF=CO/CF∴PO/BF=QO/AF∵CF是△ABC的一條中線(xiàn)∴AF=BF∴PO=QO∵M(jìn)O=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO∴△MOP≌△NOQ(SAS)∴∠MPO=∠NQO∴MP∥AC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線(xiàn)平行）∴△BMR∽△BAE，△BPR∽△BCE∴MR/AE=BR/BE，PR/CE=BR/BE∴MR/AE=PR/CE∵M(jìn)N∥BC，PQ∥AB∴四邊形BMOP是平行四邊形∴MR=PR（平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分）∴AE=CE命題得證。下面的是第二種方法：面積法已知：△ABC的兩條中線(xiàn)AD、CF相交于點(diǎn)O，連接并延長(zhǎng)BO，交AC于點(diǎn)E。求證：AE=CE證明：如圖，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)∴S△CAD=S△BAD，S△COD=S△BOD∴S△CAD-S△COD=S△BAD-S△BOD即S△AOC（綠）=S△AOB（紅）∵S△ACF=S△BCF，S△AOF=S△BOF∴S△ACF-S△AOF=S△BCF-S△BOF即S△AOC（綠）=S△BOC（藍(lán)）∴S△AOB（紅）=S△BOC（藍(lán)）∵S△AOE:S△AOB（紅）=OE:OB，S△COE:S△BOC（藍(lán)）=OE:OB∴S△AOE:S△AOB（紅）=S△COE:S△BOC（藍(lán)）∵S△AOB（紅）=S△BOC（藍(lán)）∴S△AOE=S△COE∴AE=CE命題得證。下面的是第三種方法：中位線(xiàn)法已知：△ABC的兩條中線(xiàn)AD、CF相交于點(diǎn)O，連接并延長(zhǎng)BO，交AC于點(diǎn)E。求證：AE=CE證明：如圖，延長(zhǎng)OE到點(diǎn)G，使OG=OB?！逴G=OB∴點(diǎn)O是BG的中點(diǎn)又∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)∴OD是△BGC的一條中位線(xiàn)∴AD∥CG（三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半）∵點(diǎn)O是BG的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)∴O