大學(xué)基礎(chǔ)物理電子教案：6量子力學(xué)基礎(chǔ)

第26章量子力學(xué)基礎(chǔ)26.1量子力學(xué)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)第26章量子力學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)（1）習(xí)題:8,10,12,14預(yù)習(xí):§26.3、4﹡﹡26.6量子力學(xué)的基本原理﹡﹡26.5力學(xué)量和算符26.4薛定諤方程26.3波函數(shù)26.2不確定關(guān)系卷首頁(yè)習(xí)題課大學(xué)基礎(chǔ)物理（3）電子教案26.1量子力學(xué)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)§26.1量子力學(xué)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)26.1.1德布羅意假設(shè)—實(shí)物粒子的波粒二象性1.新思想的形成背景2.德布羅意關(guān)系式3.兩個(gè)典型例題(1).已知自由粒子速度為u，求粒子德布羅意假設(shè)對(duì)玻爾量子化條件的解釋電子衍射實(shí)驗(yàn)的波長(zhǎng)章首頁(yè)當(dāng)u<<c時(shí)，P=m0u.可求出粒子的波長(zhǎng)(2).已知自由粒子動(dòng)能為Ek，求粒子波長(zhǎng)章首頁(yè)26.1量子力學(xué)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)德布羅意假設(shè)對(duì)玻爾量子化條件的解釋電子衍射實(shí)驗(yàn)例26.1解：波動(dòng)性難以觀察例26.2一電子經(jīng)過(guò)100V電壓加速后具有動(dòng)能解：與晶格常數(shù)同數(shù)量級(jí)，可通過(guò)晶體對(duì)實(shí)物粒子的衍Ek=100eV,求電子波長(zhǎng)。射來(lái)證實(shí)其波動(dòng)性章首頁(yè)26.1量子力學(xué)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)德布羅意假設(shè)對(duì)玻爾量子化條件的解釋電子衍射實(shí)驗(yàn)26.1.2對(duì)玻爾量子化條件的解釋的定態(tài)圓周軌道周長(zhǎng)就是物質(zhì)波長(zhǎng)的整數(shù)倍,即：26.1.3電子衍射實(shí)驗(yàn)—德布羅意假設(shè)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證1.實(shí)驗(yàn)裝置玻爾關(guān)于角動(dòng)量的量子化條件與駐波條件等效,玻爾章首頁(yè)26.1量子力學(xué)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)德布羅意假設(shè)對(duì)玻爾量子化條件的解釋電子衍射實(shí)驗(yàn)●勞厄法●轉(zhuǎn)動(dòng)單晶法●粉末法3.經(jīng)典理論(粒子觀點(diǎn))2.實(shí)驗(yàn)規(guī)律粒子在表面的反射遵從反射定律。通過(guò)狹縫的電子將全部進(jìn)入集電器。章首頁(yè)26.1量子力學(xué)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)德布羅意假設(shè)對(duì)玻爾量子化條件的解釋電子衍射實(shí)驗(yàn)章首頁(yè)26.1量子力學(xué)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)德布羅意假設(shè)對(duì)玻爾量子化條件的解釋電子衍射實(shí)驗(yàn)U不變,表明單位時(shí)間內(nèi)達(dá)到集電器的電子數(shù)目不變,即不論在哪個(gè)散射角,測(cè)得的電流大小都相同。集電器的電子數(shù)目增加,即的電流大小隨U的增大而單調(diào)U增大,表明單位時(shí)間內(nèi)達(dá)到增大。4.物質(zhì)波理論章首頁(yè)26.1量子力學(xué)的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)德布羅意假設(shè)對(duì)玻爾量子化條件的解釋電子衍射實(shí)驗(yàn)(1)(2)26.2不確定關(guān)系§26.2不確定關(guān)系1.引導(dǎo)（以單縫衍射為例）應(yīng)用章首頁(yè)2.海森堡不確定關(guān)系3.物理意義對(duì)于微觀粒子不能同時(shí)用確定的位置和確定的動(dòng)量來(lái)描述，同時(shí)確定其位置和動(dòng)量是沒(méi)有意義的。章首頁(yè)26.2不確定關(guān)系應(yīng)用26.2.2應(yīng)用1.可了解經(jīng)典力學(xué)所適用的范圍求確定子彈位置的不確定量有多大？解：例26.4.原子中的電子。已知原子線度的數(shù)量級(jí)為10-10m.解：求電子速度的不確定量vx例26.3.章首頁(yè)26.2不確定關(guān)系應(yīng)用解：結(jié)論：當(dāng)x，px在所研究的問(wèn)題中可忽略時(shí)，就可用經(jīng)典力學(xué)去描寫該粒子的運(yùn)動(dòng).例26.5章首頁(yè)26.2不確定關(guān)系應(yīng)用2.可判斷粒子狀態(tài)是否存在例26.6.試說(shuō)明原子中的電子不能被限制解：反證法:設(shè)原子中的電子被限制在一個(gè)固定平面這樣的電子不可能被約束在原子中!!在一個(gè)固定平面內(nèi)運(yùn)動(dòng).x—y內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則章首頁(yè)26.2不確定關(guān)系應(yīng)用例26.7：已知原子核半徑的數(shù)量級(jí)為10-14m，問(wèn)電子能否限制在核中運(yùn)動(dòng)？章首頁(yè)26.2不確定關(guān)系應(yīng)用解:反證法設(shè)電子能限制在核中運(yùn)動(dòng),即,則：3.可估計(jì)最小能量例26.8一個(gè)質(zhì)量為m的粒子，被約束在長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一維線段上自由運(yùn)動(dòng)，試估算粒子所能具有的最小能量值章首頁(yè)26.2不確定關(guān)系應(yīng)用1.引導(dǎo)2.應(yīng)用章首頁(yè)26.2不確定關(guān)系應(yīng)用章首頁(yè)26.2不確定關(guān)系應(yīng)用26.3波函數(shù)

§26.3波函數(shù)波函數(shù)的引入物理意義標(biāo)準(zhǔn)條件各以一定的概率出現(xiàn)。這些概率都可由波函數(shù)得出。量、角動(dòng)量、能量等）一般有許多可能值，這些可能值例：當(dāng)粒子處于某一量子態(tài)時(shí)，它的力學(xué)量（坐標(biāo)、動(dòng)量子力學(xué)基本原理之一：章首頁(yè)微觀體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由相應(yīng)的歸一化波函數(shù)完全地描述.由波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)26.3.1波函數(shù)的引入1.一維自由粒子波函數(shù)的具體形式章首頁(yè)26.3波函數(shù)波函數(shù)的引入物理意義標(biāo)準(zhǔn)條件特別注意：物質(zhì)波波函數(shù)必須取復(fù)數(shù)形式2.自由粒子物質(zhì)波的強(qiáng)度章首頁(yè)26.3波函數(shù)波函數(shù)的引入物理意義標(biāo)準(zhǔn)條件26.3.2波函數(shù)的物理意義1.單縫衍射圖樣的解釋(1).經(jīng)典粒子觀點(diǎn)(2).經(jīng)典波動(dòng)觀點(diǎn)(3).統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)粒子觀點(diǎn)與統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系章首頁(yè)26.3波函數(shù)波函數(shù)的引入物理意義標(biāo)準(zhǔn)條件(1).粒子觀點(diǎn)：球面上只有一個(gè)探測(cè)器收集到該光子的能量h即為波動(dòng)觀點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)解釋(2).波動(dòng)觀點(diǎn)：球面上每個(gè)探測(cè)器收集到均相同的能量為:章首頁(yè)26.3波函數(shù)波函數(shù)的引入物理意義標(biāo)準(zhǔn)條件3.物質(zhì)波的概率解釋4.光子(或電子)雙縫實(shí)驗(yàn)奇異的量子事實(shí)(1).電子雙縫實(shí)驗(yàn)衍射(3).統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)：章首頁(yè)26.3波函數(shù)波函數(shù)的引入物理意義標(biāo)準(zhǔn)條件(2).奇異的量子事實(shí)a.設(shè)想一個(gè)電子只能一次性通過(guò)一個(gè)b.若承認(rèn)一個(gè)電子同時(shí)一次通過(guò)縫1和縫2，電子雙縫衍5.物質(zhì)波與經(jīng)典波、量子粒子與經(jīng)典粒子的異同點(diǎn)縫，兩縫都打開(kāi)時(shí)，必有射圖就可圓滿解釋章首頁(yè)26.3波函數(shù)波函數(shù)的引入物理意義標(biāo)準(zhǔn)條件26.3.3波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件1.歸一化條件2.標(biāo)準(zhǔn)條件圖中哪些波函數(shù)滿足標(biāo)準(zhǔn)條件？章首頁(yè)26.3波函數(shù)波函數(shù)的引入物理意義標(biāo)準(zhǔn)條件即有粒子性。只給出粒子在可能到達(dá)地點(diǎn)的一個(gè)統(tǒng)計(jì)3.實(shí)物粒子波粒二象性的物理圖象分布。即粒子的運(yùn)動(dòng)受到波函數(shù)的支配，使得粒子出現(xiàn)又表現(xiàn)出波的特性按波動(dòng)方式在時(shí)空中變化傳播。因此微觀粒子的運(yùn)動(dòng)在||2大的地方的概率大，||2小的地方的概率小。而微觀粒子本身是一顆一顆的，章首頁(yè)26.3波函數(shù)波函數(shù)的引入物理意義標(biāo)準(zhǔn)條件26.4薛定諤方程§26.4薛定諤方程(非相對(duì)論)含時(shí)的S.Q定態(tài)S.Q無(wú)限深勢(shì)阱隧道效應(yīng)量子力學(xué)基本原理之二：章首頁(yè)微觀體系的任一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)滿足含時(shí)間的薛定諤方程:26.4.1含時(shí)間的薛定諤方程1.一維自由粒子運(yùn)動(dòng)含時(shí)的S.Q定態(tài)S.Q無(wú)限深勢(shì)阱隧道效應(yīng)預(yù)習(xí):§26.5習(xí)題:15,17,18作業(yè)（2）章首頁(yè)26.4薛定諤方程26.4薛定諤方程一維自由粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)所滿足的波動(dòng)方程(薛定諤方程)也可直接用算符來(lái)表示微觀粒子力學(xué)量的思路引出注:含空間坐標(biāo)x的勢(shì)能U(x)的算符形式用其本身代替梯度算符拉普拉斯算符3.三維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子

4.在量子力學(xué)中處理微觀粒子運(yùn)動(dòng)的方法含時(shí)的S.Q定態(tài)S.Q無(wú)限深勢(shì)阱隧道效應(yīng)2.一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子

章首頁(yè)26.4薛定諤方程26.4.2定態(tài)薛定諤方程1.定態(tài)S.Q將上式代入(*)，且將等式兩邊用(r)f(t)除，可得：含時(shí)的S.Q定態(tài)S.Q無(wú)限深勢(shì)阱隧道效應(yīng)章首頁(yè)26.4薛定諤方程2.定態(tài)的特點(diǎn)(1).概率密度分布與t無(wú)關(guān)(2).定態(tài)能量與t無(wú)關(guān)在處理定態(tài)問(wèn)題時(shí)，含時(shí)的S.Q定態(tài)S.Q無(wú)限深勢(shì)阱隧道效應(yīng)最終形式的波函數(shù)為：章首頁(yè)26.4薛定諤方程26.4.3在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子

(定態(tài)S.Q求解舉例)1.一維無(wú)限深勢(shì)阱模型當(dāng)常數(shù)為+時(shí)，則為無(wú)限深勢(shì)阱2.定態(tài)解(1).寫出定態(tài)S.Q含時(shí)的S.Q定態(tài)S.Q無(wú)限深勢(shì)阱隧道效應(yīng)章首頁(yè)26.4薛定諤方程(2).求解定態(tài)S.Q通解為：(3).用標(biāo)準(zhǔn)條件確定k,,A含時(shí)的S.Q定態(tài)S.Q無(wú)限深勢(shì)阱隧道效應(yīng)章首頁(yè)26.4薛定諤方程含時(shí)的S.Q定態(tài)S.Q無(wú)限深勢(shì)阱隧道效應(yīng)章首頁(yè)26.4薛定諤方程3.討論(1).粒子不可能在勢(shì)阱中靜止不動(dòng)(2).粒子在勢(shì)阱中各點(diǎn)出現(xiàn)的概率(3).結(jié)果的實(shí)用價(jià)值含時(shí)的S.Q定態(tài)S.Q無(wú)限深勢(shì)阱隧道效應(yīng)不一樣章首頁(yè)26.4薛定諤方程26.4.5一維勢(shì)壘隧道效應(yīng)1.勢(shì)能分布函數(shù)2.定態(tài)S.Q及其解含時(shí)的S.Q定態(tài)S.Q無(wú)限深勢(shì)阱隧道效應(yīng)章首頁(yè)26.4薛定諤方程﹡26.4.4一維諧振子(略)通解為：含時(shí)的S.Q定態(tài)S.Q無(wú)限深勢(shì)阱隧道效應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件來(lái)確定章首頁(yè)26.4薛定諤方程從而得到粒子的振幅波函數(shù)為：含時(shí)的S.Q定態(tài)S.Q無(wú)限深勢(shì)阱隧道效應(yīng)4.討論章首頁(yè)26.4薛定諤方程(1).E>U0的情形(2).E<U0的情形含時(shí)的S.Q定態(tài)S.Q無(wú)限深勢(shì)阱隧道效應(yīng)章首頁(yè)26.4薛定諤方程5.勢(shì)壘穿透效應(yīng)（遂道效應(yīng)）若勢(shì)壘寬為d時(shí)，勢(shì)壘的透射系數(shù)近似為：電子的能量(U0–E)=5eV時(shí)，不同的d所對(duì)應(yīng)的T(表)1.410-125.5410-70.0080.0160.030.040.1T105.02.01.81.51.31d(A)含時(shí)的S.Q定態(tài)S.Q無(wú)限深勢(shì)阱隧道效應(yīng)章首頁(yè)26.4薛定諤方程﹡﹡§26.5力學(xué)量和算符26.5力學(xué)量和算符量子力學(xué)基本原理之三：章首頁(yè)算符及其性質(zhì)本征值方程和…角動(dòng)量算符…26.5.1算符及其性質(zhì)例26.10.習(xí)題:20,21,22,25閱讀:§26.6預(yù)習(xí):§27.1,2作業(yè)（3）1.定義：作用在一個(gè)函數(shù)上得出另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號(hào)。章首頁(yè)26.5力學(xué)量和算符例26.11.算符及其性質(zhì)本征值方程和…角動(dòng)量算符…例26.12章首頁(yè)26.5力學(xué)量和算符2.一般性質(zhì)(1).算符相等算符及其性質(zhì)本征值方程和…角動(dòng)量算符…(2).算符相加(3).算符的積26.5力學(xué)量和算符算符及其性質(zhì)本征值方程和…角動(dòng)量算符…(4).算符的對(duì)易性例26.13解26.5力學(xué)量和算符算符及其性質(zhì)本征值方程和…角動(dòng)量算符…3.量子力學(xué)中常用的幾類算符(1).線性算符(2).逆算符(3).厄密共軛算符(4).么正算符(5).厄密算符厄密算符有如下兩點(diǎn)基本性質(zhì)(證明從略)：a.厄密算符的本征值全是實(shí)數(shù)；b.厄密算符的相應(yīng)于不同本征值的本征函數(shù)必定正交算符及其性質(zhì)本征值方程和…角動(dòng)量算符…26.5力學(xué)量和算符見(jiàn)p.204～206在量子力學(xué)中,表示力學(xué)量的算符要求都是線性厄密算符，而用于對(duì)體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)波函數(shù)及力學(xué)量算符進(jìn)行變換的算符大多是線性么正算符。26.5.2本征值方程和力學(xué)量的算符表示1.定義例26.14

處于一維運(yùn)動(dòng)中動(dòng)量為確定值px的自由粒子振幅波函數(shù)為章首頁(yè)26.5力學(xué)量和算符算符及其性質(zhì)本征值方程和…角動(dòng)量算符…解：章首頁(yè)26.5力學(xué)量和算符算符及其性質(zhì)本征值方程和…角動(dòng)量算符…根據(jù)德布羅意假設(shè)，如果對(duì)處在狀態(tài)中的粒子進(jìn)行分量的測(cè)量，那末只能測(cè)得唯一的值的本征值在這個(gè)意義上，我們說(shuō)：動(dòng)量的分量是和算符相對(duì)應(yīng)的?？梢詫懽?.力學(xué)量的算符表示(1).動(dòng)量的算符表示

力學(xué)量算符具體表示章首頁(yè)26.5力學(xué)量和算符算符及其性質(zhì)本征值方程和…角動(dòng)量算符…(2).能量的算符表示考察定態(tài)薛定諤方程在經(jīng)典力學(xué)中章首頁(yè)26.5力學(xué)量和算符算符及其性質(zhì)本征值方程和…角動(dòng)量算符…于是式（＊）可寫作：章首頁(yè)26.5力學(xué)量和算符算符及其性質(zhì)本征值方程和…角動(dòng)量算符…定態(tài)薛定諤方程實(shí)際上就是哈密頓算符的本征值方程

如果微觀體系處在算符的某一本征函數(shù)態(tài)中，對(duì)微觀體系的總能量這個(gè)力學(xué)量進(jìn)行測(cè)量，得到的結(jié)在該本征函數(shù)的本征值所表示的狀果就是算符(3).力學(xué)量的算符表示規(guī)則至于那些只在量子力學(xué)中才有，而在經(jīng)典力學(xué)中沒(méi)電子自旋角動(dòng)量在經(jīng)典力學(xué)中就沒(méi)有對(duì)應(yīng)的力學(xué)量。有的力學(xué)量，它們的算符引入，就必須根據(jù)實(shí)驗(yàn)事實(shí)來(lái)推測(cè)。如：章首頁(yè)26.5力學(xué)量和算符例26.15算符及其性質(zhì)本征值方程和…角動(dòng)量算符…(4)本征值方程的作用該假定是溝通量子力學(xué)數(shù)學(xué)表述與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的一個(gè)橋梁，計(jì)算允許的力學(xué)量Q變成了尋求滿足本征值方程章首頁(yè)26.5力學(xué)量和算符算符及其性質(zhì)本征值方程和…角動(dòng)量算符…算符及其性質(zhì)本征值方程和…角動(dòng)量算符…26.5力學(xué)量和算符26.5.3角動(dòng)量算符的本征值和本征函數(shù)一般總是研究角動(dòng)量的模的平方和它的一個(gè)分量在有心力場(chǎng)