數(shù)學學習的心理基礎(chǔ)與過程第九章課件

9.1數(shù)概念與數(shù)意識的形成過程皮亞杰的數(shù)概念學習理論：“數(shù)”是異于“物理性知識”與社會性知識”的所謂“邏輯——數(shù)學性知識”。他把數(shù)看做是一種“有序的分類”，也就是說，兒童必須能掌握分類和序列性概念的邏輯操作才能了解數(shù)字。他認為“數(shù)守恒”的能力是數(shù)學理解的先決條件，兒童到了六歲半左右才具備這樣的能力，如果不具備這樣的能力，就不算是對數(shù)目有真正的了解，所謂守恒概念是指物體的數(shù)或量不因為位置形狀的改變而改變。蓋爾曼的兒童數(shù)概念理論蓋爾曼將學前兒童數(shù)學知識和技巧分成兩種形態(tài)1.數(shù)學抽象能力，數(shù)學抽象能力是幫助兒童建立數(shù)值概念2數(shù)學推理原則，它是幫助兒童對數(shù)量做進一步的操作而得到有效的推理19.1數(shù)概念與數(shù)意識的形成過程皮亞杰的數(shù)概念學習理論：19.1.1數(shù)概念的特點29.1.1數(shù)概念的特點2

在所有數(shù)學概念中，離學生日常生活最近的是數(shù)概念和初等幾何概念，絕大多數(shù)的數(shù)概念都可以在現(xiàn)實生活中找到模型。正因為大多數(shù)的數(shù)概念都不貼近人類的生活源泉，因此，在數(shù)概念的教學中一般都可以借助于實際的情景和活動3在所有數(shù)學概念中，離學生日常生活最近的是數(shù)概念和數(shù)概念是一個典型的過程性概念，也就是說它即使過程又是概念。數(shù)概念的這種兩重性一方面增加了概念的內(nèi)涵，另一方面也為教學提供了一種層次，使學生在具體操作的基礎(chǔ)上，經(jīng)過壓縮和內(nèi)化，逐步形成作為對象的概念，并納入了已有的認知結(jié)構(gòu)。過程概念的顯著特點是要經(jīng)歷一個從過程壓縮為對象的抽象過程，因此，與初等幾何概念不同的是，數(shù)概念的顯著特點是要經(jīng)歷一個從過程壓縮為對象的抽象過程，因此，教學中雖然可以借助實際的模型操作，但又不能停留于具體的過程4數(shù)概念是一個典型的過程性概念，也就是說它即使過程又是概念。數(shù)3表征的多樣性例0.5的表達表征方式的多樣性一方面可以為問題解決帶來靈活性，但另一方面也容易造成理解上的混淆與誤解。研究表明，對數(shù)概念符號的多重意義的認識是幫助學生形成數(shù)學能力的一部分，因此如何幫助學生發(fā)展數(shù)學符號與過程的意義是數(shù)學教育家目前最重要的課題之一53表征的多樣性例0.5的表達5外延的擴張在中小學數(shù)學課程中，數(shù)概念是一個典型的外延型概念，而且其外延經(jīng)過了多次的擴張。從邏輯上看，數(shù)系的擴張有兩條主要的途徑：1、通過添加新的元素，如在正整數(shù)集合中加入數(shù)“0”就得到了自然數(shù)，從而使得兩個相同的數(shù)可以相減；在自然數(shù)中加入負數(shù)就得到了全體整數(shù)2、等式抽象方法。這種方法的優(yōu)勢是能夠揭示數(shù)概念的本質(zhì)屬性，如從中可以看到，自然數(shù)看擴張為整數(shù)的目的是現(xiàn)實加法的對稱化，整數(shù)向有理數(shù)的擴張可以現(xiàn)實乘法的對稱化，而有理數(shù)向?qū)崝?shù)的擴張則是為了連續(xù)化。6外延的擴張在中小學數(shù)學課程中，數(shù)概念是一個典型的外延型概念，9.1.2數(shù)概念的形成從數(shù)系的角度看，數(shù)概念包括自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)和復數(shù)。從學習心理的研究來看，主要集中在有理數(shù)，特別是自然數(shù)上，但是對虛數(shù)和無理數(shù)的研究寥寥無幾。有理數(shù)概念是學生在小學階段遇到的最重要且最復雜的概念之一，其重要性從以下幾方面看出：1、實踐角度，能有效的處理這些概念將大大的改進兒童理解和把握現(xiàn)實世界中的情況和問題能力2、心理學角度，有理數(shù)概念為兒童提供一個豐富的領(lǐng)域，使他們能夠形成和擴張今后智力發(fā)展所必須的智力結(jié)構(gòu)3、數(shù)學角度，有理數(shù)的概念掌握以后為以后初等代數(shù)計算提供了可靠的基礎(chǔ)79.1.2數(shù)概念的形成從數(shù)系的角度看，數(shù)概念包括自然數(shù)、整數(shù)自然數(shù)皮亞杰數(shù)守恒概念的特點1、相互性：某部分增加了就會抵消另一減少的部分，二者之間具有補償性用。2、同一性：自始至終設(shè)計同樣的數(shù)與量，沒有加多也沒有拿走任何東西3、逆反性：某一改變狀態(tài)可以在心里以同等但反向的旋轉(zhuǎn)被逆反回到原來狀態(tài)8自然數(shù)皮亞杰數(shù)守恒概念的特點8皮亞杰的兒童對數(shù)概念的認識三個發(fā)展階段第一階段（4-5歲）是對數(shù)概念無法理解的階段，無法運用一對一的對應(yīng)關(guān)系去建構(gòu)兩組有同樣數(shù)目的實物。第二階段（5-6歲）是過度時期，會運用一對一對應(yīng)關(guān)系建構(gòu)同等數(shù)，但對于一對一關(guān)系不是充分理解第三階段（6歲半以后）是對數(shù)概念能真正理解的階段，兒童已能用各種方法建構(gòu)同等性，例如用數(shù)的，或用一一對應(yīng)的方式，并且也能理解守恒概念。不管外觀安排如何變化，都不會影響其對同等性的判斷9皮亞杰的兒童對數(shù)概念的認識三個發(fā)展階段第一階段（4-5歲）是蓋爾曼和蓋爾里斯特的計數(shù)原則（1）一對一原則：計數(shù)時要遵循“區(qū)分”和“標記”這兩個過程。也就是集合中的每一個項目只能有一個數(shù)字標記，且標記不能重復。（2）規(guī)定順序原則：在每一次在計數(shù)時，計數(shù)的“標記”必須是遵循同樣順序，也就是在序列中出現(xiàn)的次序是固定的（3）基數(shù)原則：計數(shù)集合中最后一個項目的標記，即代表此事物的項目總數(shù)（4）抽象原則：指以上三原則均可適用于任何可數(shù)的事物，即任何東西皆可拿來數(shù)，具體的椅子或抽象的心靈都可數(shù)（5）次序無關(guān)原則：只要遵守其他計數(shù)原則，集合中的項目無論從哪一個開始數(shù)起，并不影響其結(jié)果上述五項原則，強調(diào)計數(shù)現(xiàn)象，但這并不意味著兒童能“明確且系統(tǒng)”的完成不同種的作業(yè)，這些能力的實際表現(xiàn)會逐漸統(tǒng)和而穩(wěn)定。10蓋爾曼和蓋爾里斯特的計數(shù)原則（1）一對一原則：計數(shù)時要遵循“斯蒂夫等人對兒童數(shù)數(shù)的發(fā)展六個階段（1）數(shù)序。兒童將個數(shù)由1開始依序念出，但是不知其意義。這是一種機械記憶（2）以知覺單位為計數(shù)對象。兒童開始會數(shù)東西時只能數(shù)知覺單位（3）以心像單位為計數(shù)對象。以心中想象的東西作為數(shù)數(shù)的對象，稱為心像單位。（4）以動作單位為計數(shù)對象。不數(shù)想象中的東西，而是數(shù)自己的動作（5）以語言單位為計數(shù)對象。本階段的數(shù)數(shù)行為必須有意識地控制念數(shù)字之間開始與結(jié)束的時機（6）以抽象單位為計數(shù)對象。知道一個數(shù)字代表一個集合的數(shù)11斯蒂夫等人對兒童數(shù)數(shù)的發(fā)展六個階段（1）數(shù)序。兒童將個數(shù)由1位值從20世紀70年代位值概念就一直是數(shù)學教育心理學的一個研究熱點，其中的一些重要成果：貝德納茲、詹妮弗的研究發(fā)現(xiàn)（1）學生把“個、十、百”的位值含義更多的根據(jù)位值順序來理解（2）學生把借位的含義解釋為“刪去一個數(shù)位u，拿走一個，在下一個數(shù)位上加一”整數(shù)和小數(shù)之間的位值聯(lián)系對學習是有利的，但是兒童通常只注意整數(shù)方面而未能適應(yīng)小數(shù)方面對位值缺乏理解的學生在理解小數(shù)時有一段困難時期有色的籌碼是金錢經(jīng)常被用來作為表示位值概念和運算的操作工具，但是他們卻增加了已知的復雜性學生學習位值概念時產(chǎn)生錯誤的主要原因是英語中位值系統(tǒng)的語言復雜性12位值從20世紀70年代位值概念就一直是數(shù)學教育心理學的一個研為了減少位值概念的教學困難，一些教學輔助工具便應(yīng)運而生，最為著名的是狄恩斯的“狄氏多層算術(shù)積木”，他提出了下列四項原則：活動原則：教兒童玩積木時，首先就該任其自由的玩耍積木，讓他們了解積木的意義活動原則：數(shù)學變化原則。數(shù)學變量的變換情況并不影響變量之間的一些恒定直覺變異原則：數(shù)學概念結(jié)構(gòu)不會因為知覺受體的改變而改變13為了減少位值概念的教學困難，一些教學輔助工具便應(yīng)運而生，最為9.1.2.3分數(shù)圖形中整體的一部分子集——集合關(guān)系除法中等分除的商小數(shù)數(shù)軸上的一點比作為數(shù)學概念的分數(shù)，由于表征形式的不同，而產(chǎn)生了多種意義，包括：149.1.2.3分數(shù)圖形中整體的一部分作為數(shù)學概萊什等人進一步從有理數(shù)的子結(jié)構(gòu)的角度深入討論了分數(shù)的意義，除了上述六種意義外，他們還討論了分數(shù)作為“算子”的意義，把分數(shù)看做是一個變換，給出了各種意義之間的關(guān)系（下頁）由圖可見：1.拆分和部分整體的子結(jié)構(gòu)是其他子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)2.子結(jié)構(gòu)中的比是促成掌握等價概念的中介3.算子和度量子結(jié)構(gòu)在加法和乘法理解中具有重要的意義由于分數(shù)具有多重的意義，而且這些意義之間具有一定的層次性，因此，兒童分數(shù)的形成不是一個簡單的過程15萊什等人進一步從有理數(shù)的子結(jié)構(gòu)的角度深入討論了分數(shù)拆分和部分整數(shù)比算子商度量等價乘法解決問題加法分數(shù)意義關(guān)系網(wǎng)16拆分和部分整數(shù)比算子商度量等價乘法解決問題加法分數(shù)意義關(guān)系網(wǎng)皮亞杰對3-8歲兒童的分數(shù)概念發(fā)展過程：4歲——4歲半兒童對于將一個物品分為兩半非常困難，在分割之前沒有預想的計劃或圖示4歲——6歲兒童對于規(guī)則的、小范圍的東西有分為兩半的能力，如果整體增加，分成一半遲緩6歲——7歲能過成功的實施三等分，不必利用試誤的方法10歲左右兒童能實施六等分，首先是以三等分法分一個餅，然后三塊餅進行二等分17皮亞杰對3-8歲兒童的分數(shù)概念發(fā)展過程：17赫伯特和特尼森研究5—8歲分數(shù)概念發(fā)展情形改成長度模式為伯特爾和薩瓦達發(fā)現(xiàn)，兒童處理等分長方形或圓形區(qū)域，其分數(shù)概念的發(fā)展順序為18赫伯特和特尼森研究5—8歲分數(shù)概念發(fā)展情形18哈特分數(shù)概念理解的層次能用部分——全體來表示的分數(shù)意義能利用子集——集合來表示分數(shù)（）能利用等值分數(shù)寫出分數(shù)符號或圖標能解決需要不止一個運算的分數(shù)問題19哈特分數(shù)概念理解的層次能用部分——全體來表示分數(shù)概念形成過程之中，有四個關(guān)鍵因素對單位量的認知。處理分數(shù)問題最重要的一個概念就是單位量的確認具有等分割的概念，處理分數(shù)問題的另一個重要的概念就是一個可以除盡的全體理解部分與整體之間的關(guān)系確認單位分量（數(shù)）20分數(shù)概念形成過程之中，有四個關(guān)鍵因素對單位量的認知。處理分數(shù)小數(shù)和分數(shù)異同的比較小數(shù)知識（真）分數(shù)知識類似（√）不同（×）A.小數(shù)的值1.在0和1之間表達一個值2.整數(shù)被分成很多較小的等分3.在0和1之間有無限個小數(shù)存在B小數(shù)符號1.一個單位被分成幾個的數(shù)隱含在數(shù)字的位置中2.有多少等份表示在小數(shù)的量中3.整數(shù)僅可被分成10的冪次方A.分數(shù)的值1.在0和1之間表達一個值2.整數(shù)被分成很多較小的等分3.在0和1之間有無限個小數(shù)存在B分數(shù)符號1.一個單位被等分成由分母明確界定的2.有多少等份表示在分數(shù)的分子中3.整數(shù)可被分成任一個等份的數(shù)（√）（√）（√）（×）（×）（×）21小數(shù)和分數(shù)異同的比較小數(shù)知識（真）分數(shù)知識類似（√）A.小數(shù)小數(shù)和整數(shù)知識的比較小數(shù)知識整數(shù)知識類似（√）不同（×）A.數(shù)值1.數(shù)字從5到右時，值會變小2.左邊數(shù)字是右邊相同數(shù)字的10倍3.“0”有位值的意義4.一個數(shù)的右邊增加“0”時，其值不變5.從小數(shù)點開始往右其值遞減B數(shù)位1.小數(shù)點以后名稱按數(shù)字次序讀出2.小數(shù)部分從十分位開始3.位名順序是從左到右4.讀數(shù)字的順序是十分位，百分位，千分位，-----C讀法小數(shù)點左邊整數(shù)部分按照整數(shù)讀法，右邊的數(shù)字依數(shù)字次序讀出A.數(shù)值1.數(shù)字從5到右時，值會變小2.左邊數(shù)字是右邊相同數(shù)字的10倍3.“0”有位值的意義4.一個數(shù)的左邊增加“0”時，其值不變5.從小數(shù)點開始往左其值遞減B數(shù)位1.沒有小數(shù)點以后的數(shù)字2.從個分位開始3.位名順序是從右到左4.讀數(shù)字的順序是千分位，百分位，十分位，-----C讀法依整數(shù)十進制結(jié)構(gòu)讀出（√）（√）（√）（×）（×）（×）（×）（×）（×）22小數(shù)和整數(shù)知識的比較小數(shù)知識整數(shù)知識類似（√）A.數(shù)值A(chǔ).數(shù)小數(shù)概念的形成形成兩條基本途徑:1.通過分數(shù)的“部分與整體”關(guān)系，或者利用整數(shù)的位值概念2.一位小數(shù)是記錄十分之幾的分量，兩位小數(shù)是記錄百分之幾的分量23小數(shù)概念的形成形成兩條基本途徑:23從整數(shù)的位值概念來看小數(shù)概念的形成位值彼此之間關(guān)系以10為基底的指數(shù)形式表示出位名--------千位百位十位個位位值---------數(shù)字--------為了使個位也能無限制地向右延伸過去，可將指數(shù)范圍擴大至負整數(shù);利用往左擴展一位是乘以10的結(jié)果，因此往右擴展一位除以10的結(jié)果，有了新符號（小數(shù)符號）及新位名的產(chǎn)生：指數(shù)小數(shù)新位名=0.1十分位=0.2百分位-------24從整數(shù)的位值概念來看小數(shù)概念的形成241989年的《數(shù)學課程與評價標準》1.能了解數(shù)的基本意義2.能探索數(shù)字之間的多重關(guān)系3.能了解數(shù)字的相對大小關(guān)系4.能了解運算對數(shù)字的影響5.能發(fā)展參考物參考物來測量一般的物體2000年的《數(shù)學課程與評價標準》1.能了解數(shù)字及其表征的方法、數(shù)字之間的關(guān)系和數(shù)字系統(tǒng)2.了解運算的意義以及運算之間的關(guān)聯(lián)性3。流利的計算并做合理的估計

9.1.3數(shù)意識形成與發(fā)展

數(shù)意識的解釋，目前并不統(tǒng)一，幾種代表性的說法

251989年的1.能了解數(shù)的基本意義2000年的1.能了解數(shù)字湯普森和瑞特梅爾（數(shù)意識分成四種成分）1.能了解數(shù)字的意義與關(guān)系2.能了解數(shù)字的相對大小3能了解運算對數(shù)字的影響4.能了解如何使用參考點于日常生活情景麥克英特（數(shù)意識包涵的六種能力）1.了解數(shù)字的意義與大小的能力2.了解并使用等值形式及表征數(shù)字能力3.了解運算的意義和影響的能力4.了解并善用等值形式解題的能力5.發(fā)展計算和數(shù)數(shù)策略的能力6.運用參考點的能力肖德恩數(shù)意識包含九種成分1.數(shù)字的分解與組合2.辨認數(shù)字相對大小的能力3.處理數(shù)字絕對大小的能力4.使用參考點的能力5.以有意義的方式連接數(shù)字、運算及相關(guān)符號的能力6.了解運算對數(shù)字的影響7.以創(chuàng)新的方式進行心算，使運算更為方便的能力8.發(fā)展估算的能力，并指導何時估算是適當?shù)?.使數(shù)字意義化的能力26湯普森和瑞特梅爾（數(shù)意識分成四種成分）1.能了解數(shù)字的意義與9.2運算、估算技能與算法思想的形成9.2.1整數(shù)加減法的研究運算技能的形成乘除法的研究分數(shù)與小數(shù)的運算加減法的研究斯塔奇和格爾曼學前兒童也能理解將元素并入或移出集合的效應(yīng)有關(guān)加減運算問題的基礎(chǔ)知識是所謂的部總知識1.部分和總體之間的運算關(guān)系知識2.加法交換律知識3.加法和減法互補關(guān)系知識279.2運算、估算技能與算法思想的形成9.2.1格里爾的教學主張1.算術(shù)運算教學應(yīng)該關(guān)聯(lián)到廣泛情景2.重視兒童非形式的求解方法菲斯賓等人的研究主張每一個算術(shù)基本運算，一般都結(jié)合著一個隱藏的潛意識的、原始的直觀模式。當解一個含有兩項數(shù)值資料的應(yīng)用問題時，對運算的選擇并非直接發(fā)生，通過一個中介模式發(fā)生，且這個模式會對選擇過程加以一些限制乘除法的研究小數(shù)與分數(shù)的運算塔特蘇特分數(shù)加法錯誤類型1.帶分數(shù)轉(zhuǎn)換假分數(shù)的錯誤2.整數(shù)轉(zhuǎn)換為等值分數(shù)的錯誤3.通分時轉(zhuǎn)換等值分數(shù)的錯誤4.求公分母的錯誤5.加法程序的錯誤6.不會化簡或約分派特爾1.分子加分子，分母加分母2.求出公分母后放在分母。而分子為原分子相加3.分母相乘，分子相加4.分母相乘，分子相乘28格里爾的教學主張1.算術(shù)運算教學應(yīng)該關(guān)聯(lián)到廣泛情景菲斯賓等人9.2.2估算技能的形成強調(diào)估算技能的原因——與數(shù)學應(yīng)用有關(guān)、源于對數(shù)意識的重視一個好的估算著至少應(yīng)有的素質(zhì)重組：改變數(shù)字數(shù)據(jù)以方便心算轉(zhuǎn)換：把原有的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)成更易處理的形式調(diào)節(jié)：計算中及后，可調(diào)節(jié)估算值至接近的近似值估算技能與心算技能密切相關(guān)，重視心算技能培養(yǎng)的原因1.心算是大多數(shù)人運用的主要的計算方式2.在大多數(shù)情況下，心算是最簡單易行的3.做心算有利于對數(shù)的特性的理解4.心算過程本身就是一種創(chuàng)造性的問題解決活動299.2.2估算技能的形成299.2.3算法思想的初步形成算法的一般要求可以歸納為：——算法的可行性、確定性、有窮性、有效性、普遍性在小學階段學習算法的思想1.在世界范圍內(nèi)，算法都是小學數(shù)學課程的傳統(tǒng)內(nèi)容2.算法可以有效的解決一類問題3算法是一種經(jīng)過壓縮的、一般化的解題課程4算法是自動化的5.算法是目標指向的6.算法可以為計算過程提供書面的記錄7.算法是可教的8.對于教師來說，算法易于處理與評價309.2.3算法思想的初步形成在小學階段學習算法的思想1.在世算法程序過早教學有一些不利因素算法程序常常與人們的習慣思維不一致算法的運算會誘使學生放棄他們自己的想法算法不利于數(shù)意識的形成算法使學生習慣于依賴數(shù)字的空間排列算法會使學生盲目接受運算的結(jié)果在實際生活中，書面算法很少使用31算法程序過早教學有一些不利因素算法程序常常與人們的習慣思維不9.3算術(shù)中的問題解決在探討小學生解決算術(shù)問題方面三種研究方法：——個別交談、反應(yīng)潛伏期、用手指和客觀直接模仿，或直接回憶加法表9.3.1算術(shù)問題的基本類型及其解題策略1.加減法應(yīng)用題的基本類型2.乘除法應(yīng)用題的基本類型

⑴乘：大小改變、交叉運算、比例因子⑵除：求同單位量之間的比率、求異單位量之間的比率、除數(shù)為異單位量之間比率的除法、除數(shù)為大小改變因子的乘法、求反因子⑶四則運算的統(tǒng)一分類：如馬紹爾將算術(shù)文字題分為五個類型：改變、重組、比較、重復、變化329.3算術(shù)中的問題解決329.3.2算術(shù)問題的難度分析影響算術(shù)問題難度的主要因素：1、未知數(shù)的位置：在“改變”類型中，不管是添加型或拿走行，未知數(shù)所在的位置越在前面，難度越高。是由于語意結(jié)構(gòu)與兒童解題的策略產(chǎn)生沖突2、語言的表述：解題的難度受題目中的敘述語的不一致性的影響3、數(shù)字的形式：對于乘法應(yīng)用題來說，問題類型對學生的影響不大，數(shù)字形式才是關(guān)鍵4、問題的結(jié)構(gòu)：學生在解決除法問題時往往會形成“等分模式”的思維定勢5、單位的變化6、問題的表征339.3.2算術(shù)問題的難度分析339.4數(shù)與運算的教學9.4.1數(shù)與運算教學的認知分析9.4.1.1認知層次基倫分數(shù)概念學習5個連續(xù)層面1.把分數(shù)作為整體的一部分2.對一個事先分成若干的整體，通過數(shù)其中一部分的份數(shù)而得到分數(shù)3.把整體平均分成若干，對整體的份數(shù)和部分的份數(shù)分別進行計算4.通過數(shù)“份數(shù)”對兩個同分母分數(shù)求和5.根據(jù)分數(shù)加法原理，對兩個異分母分數(shù)求和哈特從位值研究小數(shù)6個認知層面1.千位數(shù)以內(nèi)的位值概念2.一位小數(shù)3.二三位小數(shù)4.與左邊的位值關(guān)系5.更復雜的位值關(guān)系6.從除的結(jié)果發(fā)展到小數(shù)之間的小數(shù)有無限多個德恩特蒙特小數(shù)學習的五個層面1.具體物的層次2.操作說明的層次3.程序的層次4.心智模式層次5抽象的層次349.4數(shù)與運算的教學基倫分數(shù)概念學習5個連續(xù)層面1.把分數(shù)作9.4.1.2難點解析小學的教學與有理數(shù)概念有關(guān)

——多數(shù)發(fā)展都產(chǎn)生于重要的認知改組的初期——重要的質(zhì)變發(fā)生在那些用來描述這些結(jié)構(gòu)并使其模型化的表征系統(tǒng)中——表征系統(tǒng)的作用是迥異不同的——有理數(shù)概念包含了一大套整合了得子結(jié)構(gòu)和加工過程有理數(shù)概念的教學難點主要集中在小數(shù)和分數(shù)上

——計數(shù)系統(tǒng)知識、運算規(guī)則知識、數(shù)量表示的知識整數(shù)的減法和帶余除法的困難（例哈特等人的研究）

——學生在標小數(shù)點上有難度例2.3*10=2.30——學生容易產(chǎn)生“乘法使結(jié)果變大”“除法使結(jié)果變小”的想法——學生缺少小數(shù)的稠密性概念——缺乏位值概念，比較大小有困難359.4.1.2難點解析359.4.1.3概念誤解數(shù)與運算部分中分數(shù)概念的誤解大體以下三方面：——單位量問題、等分觀念的錯差、受整數(shù)圖示的影響小數(shù)概念方面小數(shù)運算過程中三個關(guān)鍵點：——如何將運用問題或橫式問題改為豎式計算——計算數(shù)值的答案——決定小數(shù)點的位值乘除法的學習中學生容易產(chǎn)生的各種錯誤：1以為要使結(jié)果變小就用除法2相信乘數(shù)越大、積就越大3.習慣用大數(shù)除以小數(shù)4.等分除與包含除混淆5.會以表面線索來解題6.不考慮包含除的余數(shù)7.以為除法就是等分除8.“幾個幾”與“幾的倍數(shù)”混淆369.4.1.3概念誤解369.4.2有關(guān)數(shù)與運算教學的幾點建議數(shù)與運算的教學幾點建議——提倡算法的多樣化——既注重句法規(guī)則，又關(guān)注語義分析——要合理的使用教學模型——要關(guān)注表象操作層面379.4.2有關(guān)數(shù)與運算教學的幾點建議379.5研究展望1.小學生解決算術(shù)問題有什么特點？2.中國學生是如何學習數(shù)與運算的？3.位值概念對數(shù)與運算的學習有什么重要意義？4.估算技能與運算技能在形成的機制上有什么不同？5.計算機的使用對學生的運算技能和估算技能有什么影響？389.5研究展望1.小學生解決算術(shù)問題有什么特點？389.1數(shù)概念與數(shù)意識的形成過程皮亞杰的數(shù)概念學習理論：“數(shù)”是異于“物理性知識”與社會性知識”的所謂“邏輯——數(shù)學性知識”。他把數(shù)看做是一種“有序的分類”，也就是說，兒童必須能掌握分類和序列性概念的邏輯操作才能了解數(shù)字。他認為“數(shù)守恒”的能力是數(shù)學理解的先決條件，兒童到了六歲半左右才具備這樣的能力，如果不具備這樣的能力，就不算是對數(shù)目有真正的了解，所謂守恒概念是指物體的數(shù)或量不因為位置形狀的改變而改變。蓋爾曼的兒童數(shù)概念理論蓋爾曼將學前兒童數(shù)學知識和技巧分成兩種形態(tài)1.數(shù)學抽象能力，數(shù)學抽象能力是幫助兒童建立數(shù)值概念2數(shù)學推理原則，它是幫助兒童對數(shù)量做進一步的操作而得到有效的推理399.1數(shù)概念與數(shù)意識的形成過程皮亞杰的數(shù)概念學習理論：19.1.1數(shù)概念的特點409.1.1數(shù)概念的特點2

在所有數(shù)學概念中，離學生日常生活最近的是數(shù)概念和初等幾何概念，絕大多數(shù)的數(shù)概念都可以在現(xiàn)實生活中找到模型。正因為大多數(shù)的數(shù)概念都不貼近人類的生活源泉，因此，在數(shù)概念的教學中一般都可以借助于實際的情景和活動41在所有數(shù)學概念中，離學生日常生活最近的是數(shù)概念和數(shù)概念是一個典型的過程性概念，也就是說它即使過程又是概念。數(shù)概念的這種兩重性一方面增加了概念的內(nèi)涵，另一方面也為教學提供了一種層次，使學生在具體操作的基礎(chǔ)上，經(jīng)過壓縮和內(nèi)化，逐步形成作為對象的概念，并納入了已有的認知結(jié)構(gòu)。過程概念的顯著特點是要經(jīng)歷一個從過程壓縮為對象的抽象過程，因此，與初等幾何概念不同的是，數(shù)概念的顯著特點是要經(jīng)歷一個從過程壓縮為對象的抽象過程，因此，教學中雖然可以借助實際的模型操作，但又不能停留于具體的過程42數(shù)概念是一個典型的過程性概念，也就是說它即使過程又是概念。數(shù)3表征的多樣性例0.5的表達表征方式的多樣性一方面可以為問題解決帶來靈活性，但另一方面也容易造成理解上的混淆與誤解。研究表明，對數(shù)概念符號的多重意義的認識是幫助學生形成數(shù)學能力的一部分，因此如何幫助學生發(fā)展數(shù)學符號與過程的意義是數(shù)學教育家目前最重要的課題之一433表征的多樣性例0.5的表達5外延的擴張在中小學數(shù)學課程中，數(shù)概念是一個典型的外延型概念，而且其外延經(jīng)過了多次的擴張。從邏輯上看，數(shù)系的擴張有兩條主要的途徑：1、通過添加新的元素，如在正整數(shù)集合中加入數(shù)“0”就得到了自然數(shù)，從而使得兩個相同的數(shù)可以相減；在自然數(shù)中加入負數(shù)就得到了全體整數(shù)2、等式抽象方法。這種方法的優(yōu)勢是能夠揭示數(shù)概念的本質(zhì)屬性，如從中可以看到，自然數(shù)看擴張為整數(shù)的目的是現(xiàn)實加法的對稱化，整數(shù)向有理數(shù)的擴張可以現(xiàn)實乘法的對稱化，而有理數(shù)向?qū)崝?shù)的擴張則是為了連續(xù)化。44外延的擴張在中小學數(shù)學課程中，數(shù)概念是一個典型的外延型概念，9.1.2數(shù)概念的形成從數(shù)系的角度看，數(shù)概念包括自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)和復數(shù)。從學習心理的研究來看，主要集中在有理數(shù)，特別是自然數(shù)上，但是對虛數(shù)和無理數(shù)的研究寥寥無幾。有理數(shù)概念是學生在小學階段遇到的最重要且最復雜的概念之一，其重要性從以下幾方面看出：1、實踐角度，能有效的處理這些概念將大大的改進兒童理解和把握現(xiàn)實世界中的情況和問題能力2、心理學角度，有理數(shù)概念為兒童提供一個豐富的領(lǐng)域，使他們能夠形成和擴張今后智力發(fā)展所必須的智力結(jié)構(gòu)3、數(shù)學角度，有理數(shù)的概念掌握以后為以后初等代數(shù)計算提供了可靠的基礎(chǔ)459.1.2數(shù)概念的形成從數(shù)系的角度看，數(shù)概念包括自然數(shù)、整數(shù)自然數(shù)皮亞杰數(shù)守恒概念的特點1、相互性：某部分增加了就會抵消另一減少的部分，二者之間具有補償性用。2、同一性：自始至終設(shè)計同樣的數(shù)與量，沒有加多也沒有拿走任何東西3、逆反性：某一改變狀態(tài)可以在心里以同等但反向的旋轉(zhuǎn)被逆反回到原來狀態(tài)46自然數(shù)皮亞杰數(shù)守恒概念的特點8皮亞杰的兒童對數(shù)概念的認識三個發(fā)展階段第一階段（4-5歲）是對數(shù)概念無法理解的階段，無法運用一對一的對應(yīng)關(guān)系去建構(gòu)兩組有同樣數(shù)目的實物。第二階段（5-6歲）是過度時期，會運用一對一對應(yīng)關(guān)系建構(gòu)同等數(shù)，但對于一對一關(guān)系不是充分理解第三階段（6歲半以后）是對數(shù)概念能真正理解的階段，兒童已能用各種方法建構(gòu)同等性，例如用數(shù)的，或用一一對應(yīng)的方式，并且也能理解守恒概念。不管外觀安排如何變化，都不會影響其對同等性的判斷47皮亞杰的兒童對數(shù)概念的認識三個發(fā)展階段第一階段（4-5歲）是蓋爾曼和蓋爾里斯特的計數(shù)原則（1）一對一原則：計數(shù)時要遵循“區(qū)分”和“標記”這兩個過程。也就是集合中的每一個項目只能有一個數(shù)字標記，且標記不能重復。（2）規(guī)定順序原則：在每一次在計數(shù)時，計數(shù)的“標記”必須是遵循同樣順序，也就是在序列中出現(xiàn)的次序是固定的（3）基數(shù)原則：計數(shù)集合中最后一個項目的標記，即代表此事物的項目總數(shù)（4）抽象原則：指以上三原則均可適用于任何可數(shù)的事物，即任何東西皆可拿來數(shù)，具體的椅子或抽象的心靈都可數(shù)（5）次序無關(guān)原則：只要遵守其他計數(shù)原則，集合中的項目無論從哪一個開始數(shù)起，并不影響其結(jié)果上述五項原則，強調(diào)計數(shù)現(xiàn)象，但這并不意味著兒童能“明確且系統(tǒng)”的完成不同種的作業(yè)，這些能力的實際表現(xiàn)會逐漸統(tǒng)和而穩(wěn)定。48蓋爾曼和蓋爾里斯特的計數(shù)原則（1）一對一原則：計數(shù)時要遵循“斯蒂夫等人對兒童數(shù)數(shù)的發(fā)展六個階段（1）數(shù)序。兒童將個數(shù)由1開始依序念出，但是不知其意義。這是一種機械記憶（2）以知覺單位為計數(shù)對象。兒童開始會數(shù)東西時只能數(shù)知覺單位（3）以心像單位為計數(shù)對象。以心中想象的東西作為數(shù)數(shù)的對象，稱為心像單位。（4）以動作單位為計數(shù)對象。不數(shù)想象中的東西，而是數(shù)自己的動作（5）以語言單位為計數(shù)對象。本階段的數(shù)數(shù)行為必須有意識地控制念數(shù)字之間開始與結(jié)束的時機（6）以抽象單位為計數(shù)對象。知道一個數(shù)字代表一個集合的數(shù)49斯蒂夫等人對兒童數(shù)數(shù)的發(fā)展六個階段（1）數(shù)序。兒童將個數(shù)由1位值從20世紀70年代位值概念就一直是數(shù)學教育心理學的一個研究熱點，其中的一些重要成果：貝德納茲、詹妮弗的研究發(fā)現(xiàn)（1）學生把“個、十、百”的位值含義更多的根據(jù)位值順序來理解（2）學生把借位的含義解釋為“刪去一個數(shù)位u，拿走一個，在下一個數(shù)位上加一”整數(shù)和小數(shù)之間的位值聯(lián)系對學習是有利的，但是兒童通常只注意整數(shù)方面而未能適應(yīng)小數(shù)方面對位值缺乏理解的學生在理解小數(shù)時有一段困難時期有色的籌碼是金錢經(jīng)常被用來作為表示位值概念和運算的操作工具，但是他們卻增加了已知的復雜性學生學習位值概念時產(chǎn)生錯誤的主要原因是英語中位值系統(tǒng)的語言復雜性50位值從20世紀70年代位值概念就一直是數(shù)學教育心理學的一個研為了減少位值概念的教學困難，一些教學輔助工具便應(yīng)運而生，最為著名的是狄恩斯的“狄氏多層算術(shù)積木”，他提出了下列四項原則：活動原則：教兒童玩積木時，首先就該任其自由的玩耍積木，讓他們了解積木的意義活動原則：數(shù)學變化原則。數(shù)學變量的變換情況并不影響變量之間的一些恒定直覺變異原則：數(shù)學概念結(jié)構(gòu)不會因為知覺受體的改變而改變51為了減少位值概念的教學困難，一些教學輔助工具便應(yīng)運而生，最為9.1.2.3分數(shù)圖形中整體的一部分子集——集合關(guān)系除法中等分除的商小數(shù)數(shù)軸上的一點比作為數(shù)學概念的分數(shù)，由于表征形式的不同，而產(chǎn)生了多種意義，包括：529.1.2.3分數(shù)圖形中整體的一部分作為數(shù)學概萊什等人進一步從有理數(shù)的子結(jié)構(gòu)的角度深入討論了分數(shù)的意義，除了上述六種意義外，他們還討論了分數(shù)作為“算子”的意義，把分數(shù)看做是一個變換，給出了各種意義之間的關(guān)系（下頁）由圖可見：1.拆分和部分整體的子結(jié)構(gòu)是其他子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)2.子結(jié)構(gòu)中的比是促成掌握等價概念的中介3.算子和度量子結(jié)構(gòu)在加法和乘法理解中具有重要的意義由于分數(shù)具有多重的意義，而且這些意義之間具有一定的層次性，因此，兒童分數(shù)的形成不是一個簡單的過程53萊什等人進一步從有理數(shù)的子結(jié)構(gòu)的角度深入討論了分數(shù)拆分和部分整數(shù)比算子商度量等價乘法解決問題加法分數(shù)意義關(guān)系網(wǎng)54拆分和部分整數(shù)比算子商度量等價乘法解決問題加法分數(shù)意義關(guān)系網(wǎng)皮亞杰對3-8歲兒童的分數(shù)概念發(fā)展過程：4歲——4歲半兒童對于將一個物品分為兩半非常困難，在分割之前沒有預想的計劃或圖示4歲——6歲兒童對于規(guī)則的、小范圍的東西有分為兩半的能力，如果整體增加，分成一半遲緩6歲——7歲能過成功的實施三等分，不必利用試誤的方法10歲左右兒童能實施六等分，首先是以三等分法分一個餅，然后三塊餅進行二等分55皮亞杰對3-8歲兒童的分數(shù)概念發(fā)展過程：17赫伯特和特尼森研究5—8歲分數(shù)概念發(fā)展情形改成長度模式為伯特爾和薩瓦達發(fā)現(xiàn)，兒童處理等分長方形或圓形區(qū)域，其分數(shù)概念的發(fā)展順序為56赫伯特和特尼森研究5—8歲分數(shù)概念發(fā)展情形18哈特分數(shù)概念理解的層次能用部分——全體來表示的分數(shù)意義能利用子集——集合來表示分數(shù)（）能利用等值分數(shù)寫出分數(shù)符號或圖標能解決需要不止一個運算的分數(shù)問題57哈特分數(shù)概念理解的層次能用部分——全體來表示分數(shù)概念形成過程之中，有四個關(guān)鍵因素對單位量的認知。處理分數(shù)問題最重要的一個概念就是單位量的確認具有等分割的概念，處理分數(shù)問題的另一個重要的概念就是一個可以除盡的全體理解部分與整體之間的關(guān)系確認單位分量（數(shù)）58分數(shù)概念形成過程之中，有四個關(guān)鍵因素對單位量的認知。處理分數(shù)小數(shù)和分數(shù)異同的比較小數(shù)知識（真）分數(shù)知識類似（√）不同（×）A.小數(shù)的值1.在0和1之間表達一個值2.整數(shù)被分成很多較小的等分3.在0和1之間有無限個小數(shù)存在B小數(shù)符號1.一個單位被分成幾個的數(shù)隱含在數(shù)字的位置中2.有多少等份表示在小數(shù)的量中3.整數(shù)僅可被分成10的冪次方A.分數(shù)的值1.在0和1之間表達一個值2.整數(shù)被分成很多較小的等分3.在0和1之間有無限個小數(shù)存在B分數(shù)符號1.一個單位被等分成由分母明確界定的2.有多少等份表示在分數(shù)的分子中3.整數(shù)可被分成任一個等份的數(shù)（√）（√）（√）（×）（×）（×）59小數(shù)和分數(shù)異同的比較小數(shù)知識（真）分數(shù)知識類似（√）A.小數(shù)小數(shù)和整數(shù)知識的比較小數(shù)知識整數(shù)知識類似（√）不同（×）A.數(shù)值1.數(shù)字從5到右時，值會變小2.左邊數(shù)字是右邊相同數(shù)字的10倍3.“0”有位值的意義4.一個數(shù)的右邊增加“0”時，其值不變5.從小數(shù)點開始往右其值遞減B數(shù)位1.小數(shù)點以后名稱按數(shù)字次序讀出2.小數(shù)部分從十分位開始3.位名順序是從左到右4.讀數(shù)字的順序是十分位，百分位，千分位，-----C讀法小數(shù)點左邊整數(shù)部分按照整數(shù)讀法，右邊的數(shù)字依數(shù)字次序讀出A.數(shù)值1.數(shù)字從5到右時，值會變小2.左邊數(shù)字是右邊相同數(shù)字的10倍3.“0”有位值的意義4.一個數(shù)的左邊增加“0”時，其值不變5.從小數(shù)點開始往左其值遞減B數(shù)位1.沒有小數(shù)點以后的數(shù)字2.從個分位開始3.位名順序是從右到左4.讀數(shù)字的順序是千分位，百分位，十分位，-----C讀法依整數(shù)十進制結(jié)構(gòu)讀出（√）（√）（√）（×）（×）（×）（×）（×）（×）60小數(shù)和整數(shù)知識的比較小數(shù)知識整數(shù)知識類似（√）A.數(shù)值A(chǔ).數(shù)小數(shù)概念的形成形成兩條基本途徑:1.通過分數(shù)的“部分與整體”關(guān)系，或者利用整數(shù)的位值概念2.一位小數(shù)是記錄十分之幾的分量，兩位小數(shù)是記錄百分之幾的分量61小數(shù)概念的形成形成兩條基本途徑:23從整數(shù)的位值概念來看小數(shù)概念的形成位值彼此之間關(guān)系以10為基底的指數(shù)形式表示出位名--------千位百位十位個位位值---------數(shù)字--------為了使個位也能無限制地向右延伸過去，可將指數(shù)范圍擴大至負整數(shù);利用往左擴展一位是乘以10的結(jié)果，因此往右擴展一位除以10的結(jié)果，有了新符號（小數(shù)符號）及新位名的產(chǎn)生：指數(shù)小數(shù)新位名=0.1十分位=0.2百分位-------62從整數(shù)的位值概念來看小數(shù)概念的形成241989年的《數(shù)學課程與評價標準》1.能了解數(shù)的基本意義2.能探索數(shù)字之間的多重關(guān)系3.能了解數(shù)字的相對大小關(guān)系4.能了解運算對數(shù)字的影響5.能發(fā)展參考物參考物來測量一般的物體2000年的《數(shù)學課程與評價標準》1.能了解數(shù)字及其表征的方法、數(shù)字之間的關(guān)系和數(shù)字系統(tǒng)2.了解運算的意義以及運算之間的關(guān)聯(lián)性3。流利的計算并做合理的估計

9.1.3數(shù)意識形成與發(fā)展

數(shù)意識的解釋，目前并不統(tǒng)一，幾種代表性的說法

631989年的1.能了解數(shù)的基本意義2000年的1.能了解數(shù)字湯普森和瑞特梅爾（數(shù)意識分成四種成分）1.能了解數(shù)字的意義與關(guān)系2.能了解數(shù)字的相對大小3能了解運算對數(shù)字的影響4.能了解如何使用參考點于日常生活情景麥克英特（數(shù)意識包涵的六種能力）1.了解數(shù)字的意義與大小的能力2.了解并使用等值形式及表征數(shù)字能力3.了解運算的意義和影響的能力4.了解并善用等值形式解題的能力5.發(fā)展計算和數(shù)數(shù)策略的能力6.運用參考點的能力肖德恩數(shù)意識包含九種成分1.數(shù)字的分解與組合2.辨認數(shù)字相對大小的能力3.處理數(shù)字絕對大小的能力4.使用參考點的能力5.以有意義的方式連接數(shù)字、運算及相關(guān)符號的能力6.了解運算對數(shù)字的影響7.以創(chuàng)新的方式進行心算，使運算更為方便的能力8.發(fā)展估算的能力，并指導何時估算是適當?shù)?.使數(shù)字意義化的能力64湯普森和瑞特梅爾（數(shù)意識分成四種成分）1.能了解數(shù)字的意義與9.2運算、估算技能與算法思想的形成9.2.1整數(shù)加減法的研究運算技能的形成乘除法的研究分數(shù)與小數(shù)的運算加減法的研究斯塔奇和格爾曼學前兒童也能理解將元素并入或移出集合的效應(yīng)有關(guān)加減運算問題的基礎(chǔ)知識是所謂的部總知識1.部分和總體之間的運算關(guān)系知識2.加法交換律知識3.加法和減法互補關(guān)系知識659.2運算、估算技能與算法思想的形成9.2.1格里爾的教學主張1.算術(shù)運算教學應(yīng)該關(guān)聯(lián)到廣泛情景2.重視兒童非形式的求解方法菲斯賓等人的研究主張每一個算術(shù)基本運算，一般都結(jié)合著一個隱藏的潛意識的、原始的直觀模式。當解一個含有兩項數(shù)值資料的應(yīng)用問題時，對運算的選擇并非直接發(fā)生，通過一個中介模式發(fā)生，且這個模式會對選擇過程加以一些限制乘除法的研究小數(shù)與分數(shù)的運算塔特蘇特分數(shù)加法錯誤類型1.帶分數(shù)轉(zhuǎn)換假分數(shù)的錯誤2.整數(shù)轉(zhuǎn)換為等值分數(shù)的錯誤3.通分時轉(zhuǎn)換等值分數(shù)的錯誤4.求公分母的錯誤5.加法程序的錯誤6.不會化簡或約分派特爾1.分子加分子，分母加分母2.求出公分母后放在分母。而分子為原分子相加3.分母相乘，分子相加4.分母相乘，分子相乘66格里爾的教學主張1.算術(shù)運算教學應(yīng)該關(guān)聯(lián)到廣泛情景菲斯賓等人9.2.2估算技能的形成強調(diào)估算技能的原因——與數(shù)學應(yīng)用有關(guān)、源于對數(shù)意識的重視一個好的估算著至少應(yīng)有的素質(zhì)重組：改變數(shù)字數(shù)據(jù)以方便心算轉(zhuǎn)換：把原有的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)成更易處理的形式調(diào)節(jié)：計算中及后，可調(diào)節(jié)估算值至接近的近似值估算技能與心算技能密切相關(guān)，重視心算技能培養(yǎng)的原因1.心算是大多數(shù)人運用的主要的計算方式2.在大多數(shù)情況下，心算是最簡單易行的3.做心算有利于對數(shù)的特性的理解4.心算過程本身就是一種創(chuàng)造性的問題解決活動679.2.2估算技能的形成299.2.3算法思想的初步形成算法的一般要求可以歸納為：——算法的可行性、確定性、有窮性、有效性、普遍性在小學階段學習算法的思想1.在世界范圍內(nèi)，算法都是小學數(shù)學課程的傳統(tǒng)內(nèi)容2.算法可以有效的解決一類問題3算法是一種經(jīng)過壓縮的、一般化的解題課程4算法是自動化的5.算法是目標指向的6.算法可以為計算過程提供書面的記錄7.算法是可教的8.對于教師來說，算法易于處理與評價689.2.3算法思想的初步形成在小學階段學習算法的思想1.在世算法程序過早教學有一些不利因素算法程序常常與人們的習慣思維不一致算法的運算會誘使學生放棄他們自己的想法算法不利于數(shù)意識的形成算法使學生習慣于依賴數(shù)字的空間排列算法會使學生盲目接受運算的結(jié)果在實際生活中，書面算法很少使用69算法程序過早教學有一些不利因素算法程序常常與人們的習慣思維不9.3算術(shù)中的問題解決在探討小學生解決算術(shù)問題方面三種研究方法：——個別交談、反應(yīng)潛伏期、用手指和客觀直接模仿，或直接回憶加法表9.3.1算術(shù)問題的基本類型及其解題策略1.加減法應(yīng)用題的基本類型2.乘除法應(yīng)用題的基本類型

⑴乘：大小改變、交叉運算、比例因子⑵除：求同單位量之間的比