線性代數(shù)矩陣的特征值與特征向量課件

介紹性實例——動力系統(tǒng)與斑點貓頭鷹-1-1990年,在利用或濫用太平洋西北部大面積森林問題上,北方的斑點貓頭鷹稱為一個爭論的焦點。如果采伐原始森林的行為得不到制止的話,貓頭鷹將瀕臨滅絕的危險。

數(shù)學生態(tài)學家加快了對斑點貓頭鷹種群的動力學研究,并建立了種群模型形如的差分方程。這種方程被稱為離散動力系統(tǒng)。描述系統(tǒng)隨時間推移變化。特征值與特征向量是剖析動力系統(tǒng)演變的關(guān)鍵.雖然討論的是離散動力系統(tǒng),但特征值和特征向量出現(xiàn)的背景要廣泛的多,還被用來研究連續(xù)動力系統(tǒng),為工程設(shè)計提供關(guān)鍵知識.另外還出現(xiàn)在物理、化學等領(lǐng)域。介紹性實例——動力系統(tǒng)與斑點貓頭鷹-1-1990年11.相似關(guān)系定義:-2-性質(zhì):(反身性)(對稱性)(傳遞性)∽∽∽∽記作(1)(2)(3)∽∽∽一、特征值與特征向量的定義1.相似關(guān)系定義:-2-性質(zhì):(反身性)(對稱性)(傳2引入.假設(shè)∽即存在可逆矩陣，使得：引入.假設(shè)∽即存在可逆矩陣，使得：3定義.-4-特征值和特征向量的定義讓人很驚訝，因為一個諾大的矩陣的效應(yīng)，竟然不過相當于一個小小的數(shù)λ，確實有點奇妙！注意.特征向量特征值問題僅對方陣而言。若存在設(shè)則稱為的特征值,為的屬于特征值的特征向量。定義.-4-特征值和特征向量的定義讓人很驚訝，因-5-二階方陣特征值的幾何意義二階矩陣的特征值表示該變換在原圖形的特征向量的方向上的放大量。把方程例如,中的看成輸入變量,看成輸出變量,則這個矩陣方程就代表了一種線性變換.特征值為對應(yīng)的特征向量為由知橫軸方向部分變換到負方向,縱軸方向尺度不變。-5-二階方陣特征值的幾何意義二階矩陣的特征值表示5-6-所以u是對應(yīng)于特征值-4的特征向量。易證給定的向量是否是矩陣的特征向量,也易證判斷給出的數(shù)是否是特征值。例1.設(shè)

判斷

是否是

的特征向量？

解：

容易驗證

v不是A的特征向量.(也可從圖看出)-6-所以u是對應(yīng)于特征值-4的特征向量。易證給定的向量6例2.-7-設(shè)階方陣滿足：求的特征值.解：例2.-7-設(shè)階方陣滿足：求的特征值.解：注2.-8-注1.可類似證明,的特征值只能是零。則(1)

若則(2)

若的特征值只能是1或-1。(1)設(shè)是的特征值,為任一多項式,則是的特征值。(2)設(shè)是的特征值,必為的特征值。(3)設(shè)是的特征值,且非奇異,則為的特征值。注2.-8-注1.可類似證明,的特征值只能是零。則8-9-二、特征值、特征向量的求法(1)定義.(2)的非零解.是即特征向量-9-二、特征值、特征向量的求法(1)定義.(2)的非零稱為A的特征方程,其根為A的特征值.-10-特征值與特征向量的求法：即對應(yīng)于特征值的線性無關(guān)的特征向量.稱為A的特征方程,其根為A的特征值.-10-特征值與特征例3.求矩陣-11-的特征值及與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量。解:(1)求的特征值：的特征方程為例3.求矩陣-11-的特征值及與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向11-12-(2)求的特征向量：

當-12-(2)求的特征向量：當12-13-

當同解方程組為得基礎(chǔ)解系為即為時的線性無關(guān)的特征向量.同解方程組為-13-當同解方程組為得基礎(chǔ)解系為即為時的線性無關(guān)的特13-14-得基礎(chǔ)解系為：即為時的線性無關(guān)的特征向量。同理得對應(yīng)于時的線性無關(guān)的特征向量為：-14-得基礎(chǔ)解系為：即為時的線性無關(guān)的特征向量。同理得14例4.-15-求矩陣的特征值及與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量。解:(1)求的特征值：的特征方程為例4.-15-求矩陣的特征值及與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向15-16-(2)求的特征向量：

當同解方程組為：對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為：-16-(2)求的特征向量：當同解方程組為：對應(yīng)的線性16-17-

當同解方程組為對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為-17-當同解方程組為對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為17三、特征值與特征向量的性質(zhì)-18-三、特征值與特征向量的性質(zhì)-18-18證:-19-于是,∽∽(2)從而，A與B的特征值也相同.證:-19-于是,∽∽(2)從而，A與B的特征值也相同.19-20--20-20注1.注2.用處在于已知n-1個特征值,求最后一個特征值。-21-注1.注2.用處在于已知n-1個特征值,求最后一個特征值。21定義.-22-定義.-22-22四、矩陣的對角化定義.定理1.∽證:即存在可逆矩陣使得由特征值與特征向量的引入知,假設(shè)-23-四、矩陣的對角化定義.定理1.∽證:即存在可逆矩陣使得由特征23定理2.推論.-24-定理2.推論.-24-24定義.設(shè)是的特征值,對應(yīng)的線性無關(guān)若令的特征向量分別為線性無關(guān),且有稱為將矩陣對角化的變換矩陣。它的每一列是的特征向量。-25-定義.設(shè)是的特征值,對應(yīng)的線性無關(guān)若令的特征向量分別為線性無25例5.（對于例3中的矩陣)判別是否可對角化,若可以,求出變換矩陣.解:由例3知,-26-例5.（對于例3中的矩陣)判別是否可對角化,若可以,求出變換26所以，A可對角化。且變換矩陣為-27-所以，A可對角化。且變換矩陣為-27-27解:例6.（對于例4中的矩陣)判別是否可對角化,若可以,求出變換矩陣.由例4知,-28-解:例6.（對于例4中的矩陣)判別是否可對角化,若可以,求出28所以A可對角化,且變換矩陣為且-29-所以A可對角化,且變換矩陣為且-29-29例7.三階方陣滿足：求已知向量:解：由題設(shè)知,所以對應(yīng)的特征向量為且線性無關(guān)，所以A可對角化,故相似于對角陣.令-30-例7.三階方陣滿足：求已知向量:解：由題設(shè)知,所以對應(yīng)的特征30則有故-31-則有故-31-31注：這是常用的求方陣冪的方法.-32-注：這是常用的求方陣冪的方法.-32-32-33-特征值與特征向量的應(yīng)用例如,求解常系數(shù)線性方程組的初值問題：其中，解：步驟(1)求A的特征值1，-2;(2)特征向量;(3)寫出解,從而在平面上畫出軌跡.離散動力系統(tǒng)連續(xù)動力系統(tǒng)-33-特征值與特征向量的應(yīng)用例如,求解常系數(shù)線性方程組33-34--34-34-35-本節(jié)主要圍繞矩陣的特征值與特征向量展開特征值與特征向量的定義;求法;性質(zhì);矩陣的對角化。-35-本節(jié)主要圍繞矩陣的特征值與特征向量展開特征值與特351.-36-解：分析：若3階矩陣A使得所以，A的全部特征值為0,3,-1。則A的全部特征值為_____.綜合題.考查矩陣特征值概念及行列式的簡單性質(zhì)。1.-36-解：分析：若3階矩陣A使得所以，A的全部特征36-37-因為A與B相似,而相似矩陣有相同的特征值,2.已知3階矩陣A與B相似,A的特征值為1,1/2,1/3,則行列式解：又因為A的特征值為1,1/2,1/3,所以B的特征值為1,1/2,1/3。的特征值為1,2,3。的特征值為2,3,4。-37-因為A與B相似,而相似矩陣有相同的特征值,2.已373.-38-解：(1)求的特征值：的全部特征值與對應(yīng)的求矩陣線性無關(guān)的特征向量。3.-38-解：(1)求的特征值：的全部特征值與對應(yīng)的求38-39-(2)求的特征向量：同解方程組為：-39-(2)求的特征向量：同解方程組為：39-40-即為屬于時的線性無關(guān)的特征向量。同解方程組為:-40-即為屬于時的線性無關(guān)的特征向量。同解方程組為:40-41-即為屬于時的線性無關(guān)的特征向量。-41-即為屬于時的線性無關(guān)的特征向量。41凱萊（ArthurCayley,1821～1895)英國純粹數(shù)學的近代學派帶頭人。1821年8月16日生于薩里郡里士滿，1895年1月26日卒于劍橋。1839年入劍橋大學三一學院學習，1842年畢業(yè)，后在三一學院任聘3年，開始了畢生從事的數(shù)學研究。因未繼續(xù)受聘,又不愿擔任圣職（這是當時繼續(xù)在劍橋的數(shù)學生涯的一個必要條件），于1846年入林肯法律協(xié)會學習并于1849年成為律師，以后14年他以律師為職業(yè)，同時繼續(xù)數(shù)學研究。因大學法規(guī)的變化，1863年被任為劍橋大學純粹數(shù)學的第一個薩德勒教授，直至逝世。-42-凱萊（ArthurCayley,1821～1895)42凱萊一般被公認為是矩陣論的創(chuàng)立者，因為他首先把矩陣作為一個獨立的數(shù)學概念提出來并發(fā)表了一系列文章。另外，凱萊還給出了方陣的特征方程和特征根（特征值）以及有關(guān)矩陣的一些基本結(jié)果。凱萊最主要的貢獻是與西爾維斯特一起，創(chuàng)立了代數(shù)型的理論，共同奠定了關(guān)于代數(shù)不變量理論的基礎(chǔ)。他是矩陣論的創(chuàng)立者。他對幾何學的統(tǒng)一研究也作了重要的貢獻。他曾任劍橋哲學會、倫敦數(shù)學會、皇家天文學會的會長。凱萊是極豐產(chǎn)的數(shù)學家，在數(shù)學、理論力學、天文學方面發(fā)表了近千篇論文，他的數(shù)學論文幾乎涉及純粹數(shù)學的所有領(lǐng)域，收集在共有14卷的《凱萊數(shù)學論文集》中，并著有《橢圓函數(shù)專論》一書。-43-凱萊一般被公認為是矩陣論的創(chuàng)立者，因為他首先把矩陣作43介紹性實例——動力系統(tǒng)與斑點貓頭鷹-44-1990年,在利用或濫用太平洋西北部大面積森林問題上,北方的斑點貓頭鷹稱為一個爭論的焦點。如果采伐原始森林的行為得不到制止的話,貓頭鷹將瀕臨滅絕的危險。

數(shù)學生態(tài)學家加快了對斑點貓頭鷹種群的動力學研究,并建立了種群模型形如的差分方程。這種方程被稱為離散動力系統(tǒng)。描述系統(tǒng)隨時間推移變化。特征值與特征向量是剖析動力系統(tǒng)演變的關(guān)鍵.雖然討論的是離散動力系統(tǒng),但特征值和特征向量出現(xiàn)的背景要廣泛的多,還被用來研究連續(xù)動力系統(tǒng),為工程設(shè)計提供關(guān)鍵知識.另外還出現(xiàn)在物理、化學等領(lǐng)域。介紹性實例——動力系統(tǒng)與斑點貓頭鷹-1-1990年441.相似關(guān)系定義:-45-性質(zhì):(反身性)(對稱性)(傳遞性)∽∽∽∽記作(1)(2)(3)∽∽∽一、特征值與特征向量的定義1.相似關(guān)系定義:-2-性質(zhì):(反身性)(對稱性)(傳45引入.假設(shè)∽即存在可逆矩陣，使得：引入.假設(shè)∽即存在可逆矩陣，使得：46定義.-47-特征值和特征向量的定義讓人很驚訝，因為一個諾大的矩陣的效應(yīng)，竟然不過相當于一個小小的數(shù)λ，確實有點奇妙！注意.特征向量特征值問題僅對方陣而言。若存在設(shè)則稱為的特征值,為的屬于特征值的特征向量。定義.-4-特征值和特征向量的定義讓人很驚訝，因-48-二階方陣特征值的幾何意義二階矩陣的特征值表示該變換在原圖形的特征向量的方向上的放大量。把方程例如,中的看成輸入變量,看成輸出變量,則這個矩陣方程就代表了一種線性變換.特征值為對應(yīng)的特征向量為由知橫軸方向部分變換到負方向,縱軸方向尺度不變。-5-二階方陣特征值的幾何意義二階矩陣的特征值表示48-49-所以u是對應(yīng)于特征值-4的特征向量。易證給定的向量是否是矩陣的特征向量,也易證判斷給出的數(shù)是否是特征值。例1.設(shè)

判斷

是否是

的特征向量？

解：

容易驗證

v不是A的特征向量.(也可從圖看出)-6-所以u是對應(yīng)于特征值-4的特征向量。易證給定的向量49例2.-50-設(shè)階方陣滿足：求的特征值.解：例2.-7-設(shè)階方陣滿足：求的特征值.解：注2.-51-注1.可類似證明,的特征值只能是零。則(1)

若則(2)

若的特征值只能是1或-1。(1)設(shè)是的特征值,為任一多項式,則是的特征值。(2)設(shè)是的特征值,必為的特征值。(3)設(shè)是的特征值,且非奇異,則為的特征值。注2.-8-注1.可類似證明,的特征值只能是零。則51-52-二、特征值、特征向量的求法(1)定義.(2)的非零解.是即特征向量-9-二、特征值、特征向量的求法(1)定義.(2)的非零稱為A的特征方程,其根為A的特征值.-53-特征值與特征向量的求法：即對應(yīng)于特征值的線性無關(guān)的特征向量.稱為A的特征方程,其根為A的特征值.-10-特征值與特征例3.求矩陣-54-的特征值及與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量。解:(1)求的特征值：的特征方程為例3.求矩陣-11-的特征值及與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向54-55-(2)求的特征向量：

當-12-(2)求的特征向量：當55-56-

當同解方程組為得基礎(chǔ)解系為即為時的線性無關(guān)的特征向量.同解方程組為-13-當同解方程組為得基礎(chǔ)解系為即為時的線性無關(guān)的特56-57-得基礎(chǔ)解系為：即為時的線性無關(guān)的特征向量。同理得對應(yīng)于時的線性無關(guān)的特征向量為：-14-得基礎(chǔ)解系為：即為時的線性無關(guān)的特征向量。同理得57例4.-58-求矩陣的特征值及與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量。解:(1)求的特征值：的特征方程為例4.-15-求矩陣的特征值及與之對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向58-59-(2)求的特征向量：

當同解方程組為：對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為：-16-(2)求的特征向量：當同解方程組為：對應(yīng)的線性59-60-

當同解方程組為對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為-17-當同解方程組為對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為60三、特征值與特征向量的性質(zhì)-61-三、特征值與特征向量的性質(zhì)-18-61證:-62-于是,∽∽(2)從而，A與B的特征值也相同.證:-19-于是,∽∽(2)從而，A與B的特征值也相同.62-63--20-63注1.注2.用處在于已知n-1個特征值,求最后一個特征值。-64-注1.注2.用處在于已知n-1個特征值,求最后一個特征值。64定義.-65-定義.-22-65四、矩陣的對角化定義.定理1.∽證:即存在可逆矩陣使得由特征值與特征向量的引入知,假設(shè)-66-四、矩陣的對角化定義.定理1.∽證:即存在可逆矩陣使得由特征66定理2.推論.-67-定理2.推論.-24-67定義.設(shè)是的特征值,對應(yīng)的線性無關(guān)若令的特征向量分別為線性無關(guān),且有稱為將矩陣對角化的變換矩陣。它的每一列是的特征向量。-68-定義.設(shè)是的特征值,對應(yīng)的線性無關(guān)若令的特征向量分別為線性無68例5.（對于例3中的矩陣)判別是否可對角化,若可以,求出變換矩陣.解:由例3知,-69-例5.（對于例3中的矩陣)判別是否可對角化,若可以,求出變換69所以，A可對角化。且變換矩陣為-70-所以，A可對角化。且變換矩陣為-27-70解:例6.（對于例4中的矩陣)判別是否可對角化,若可以,求出變換矩陣.由例4知,-71-解:例6.（對于例4中的矩陣)判別是否可對角化,若可以,求出71所以A可對角化,且變換矩陣為且-72-所以A可對角化,且變換矩陣為且-29-72例7.三階方陣滿足：求已知向量:解：由題設(shè)知,所以對應(yīng)的特征向量為且線性無關(guān)，所以A可對角化,故相似于對角陣.令-73-例7.三階方陣滿足：求已知向量:解：由題設(shè)知,所以對應(yīng)的特征73則有故-74-則有故-31-74注：這是常用的求方陣冪的方法.-75-注：這是常用的求方陣冪的方法.-32-75-76-特征值與特征向量的應(yīng)用例如,求解常系數(shù)線性方程組的初值問題：其中，解：步驟(1)求A的特征值1，-2;(2)特征向量;(3)寫出解,從而在平面上畫出軌跡.離散動力系統(tǒng)連續(xù)動力系統(tǒng)-33-特征值與特征向量的應(yīng)用例如,求解常系數(shù)線性方程組76-77--34-77-78-本節(jié)主要圍繞矩陣的特征值與特征向量展開特征值與特征向量的定義;求法;性質(zhì);矩陣的對角化。-35-本節(jié)主要圍繞矩陣的特征值與特征向量展開特征值與特781.-79-解：分析：若3階矩陣A使得所以，A的全部特征值為0,3,-1。則A的全部特征值為_____.綜合題.考查矩陣特征值概念及行列式的簡單性質(zhì)。1.-36-解：分析：若3階矩陣A使得所以，A的全部特征79-80-因為A與B相似,而相似矩陣有相同的特征值,2.已知3階矩陣A與B相似,A的特征值為1,1/2,1/3,則行列式解：又因為A的特征值為1,1/2,1/3,所以B的特征值為1,1/2,1/3。的特征值為1,2,3。的特征值為2,3,4。-37-因為A與B相似,而相似矩陣有相同的特征值,2.已803.-81-解：(1)求的特征