高考全國高考理科數(shù)學(xué)試題圓錐曲線專題匯編

2013年全國高考理科數(shù)學(xué)試題圓錐曲線專題匯編一、選擇題1．（2013年高考江西卷（理））過點(diǎn)(2,0)引直線l與曲線y1x2訂交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)AOB的面積取最大值時(shí),直線l的斜率等于（）A．yEBBCCD3B．3C．3D．3333【答案】B2．（2013年一般高等學(xué)校招生一致考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純x2y21的極點(diǎn)到WORD版））雙曲線4其漸近線的距離等于（）A．2B．4C．25D．455555【答案】C3．（2013年一般高等學(xué)校招生一致考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的3右焦點(diǎn)為F3,0,離心率等于2,在雙曲線C的方程是（）x2y2x2y21x2y2x2y2A．41B．45C．21D．21555【答案】B4．（2013年高考新課標(biāo)1（理））已知雙曲線C:x2y21(a0,b0)的離心率為5,則C的漸近a2b22線方程為（）A．y1xB．y1xC．y1xD．yx432【答案】C5．（2013年高考湖北卷（理））已知0x2y24,則雙曲線C1:cos2sin21與y2x2C2:sin2sin2tan21的（）A．實(shí)軸長相等B．虛軸長相等C．焦距相等D．離心率相等【答案】D6．（2013年高考四川卷（理））拋物線y24x的焦點(diǎn)到雙曲線x2y21的漸近線的距離是（）31A．1B．3C．1D．322【答案】B7．（2013年一般高等學(xué)校招生一致考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））如圖,F1,F2是橢圓C1:x2y21與雙曲線C2的公共焦點(diǎn),A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形4AF1BF2為矩形,則C2的離心率是yAF2F1OxB（第9題圖）（）A．2B．3C．3D．622【答案】D8．（2013年一般高等學(xué)校招生一致考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））已知雙曲線x2y21(a0,b0)a2b2的兩條漸近線與拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線分別交于AB兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率,為2,△的面積為3,則p=（）AOBA．1B．3C．2D．32【答案】C9．（2013年一般高等學(xué)校招生一致考試大綱版數(shù)學(xué)x2y21（理）WORD版含答案（已校訂））橢圓C:34的左、右極點(diǎn)分別為A1,A2,點(diǎn)P在C上且直線PA2的斜率的取值范圍是2,1,那么直線PA1斜率的取值范圍是（）A．13B．33C．1，D．3248424【答案】B10．（2013年一般高等學(xué)校招生一致考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校訂））已知拋物線C:y28x與點(diǎn)M2,2,過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn),若MAMB0,則k（）2A．1B．2C．2D．222【答案】D11．（2013年高考北京卷（理））若雙曲線x2y21的離心率為3,則其漸近線方程為（）a2b22x1．2A．y=±2xB．y=C．yxyxD22【答案】By1x212．（2013年一般高等學(xué)校招生一致考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））已知拋物線C1:2p(p0)x2y21C1于第一象限的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平的焦點(diǎn)與雙曲線C2:3的右焦點(diǎn)的連線交行于C2的一條漸近線,則3A．16B．【答案】D

p（）323438C．3D．31（理））已知橢圓E:x2y213．（2013年高考新課標(biāo)221(ab0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過點(diǎn)F的直線ab交橢圓于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),則E的方程為（）A．x2y21B．x2y21C．x2y21D．x2y21453636272718189【答案】D14．（2013年一般高等學(xué)校招生一致考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））設(shè)拋物線C:y22px(p0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,MF5,若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2),則C的方程為（）A．y24x或y28xB．y22x或y28xC．y24x或y216xD．y22x或y216x【答案】C15．（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）已知A、B為平面內(nèi)兩定點(diǎn),過該平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M作直線2ANNB,其中為常數(shù),則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不可以能是（AB的垂線,垂足為N.若MN）A．圓B．橢圓C．拋物線D．雙曲線3【答案】C（理）試題（含答案））已知圓C1:x2y216．（2013年一般高等學(xué)校招生一致考試重慶數(shù)學(xué)231,圓C2:x32y42P為x軸上的動(dòng)點(diǎn),則PMPN9,M,N分別是圓C1,C2上的動(dòng)點(diǎn),的最小值為（）A．524B．171C．622D．17【答案】A二、填空題17．（2013年一般高等學(xué)校招生全國一致招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校訂純WORD版含附加題））雙曲線x2y21的兩條漸近線的方程為_____________.169【答案】y3x418．（2013年高考江西卷（理））拋物線x22py(p0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線x2y21訂交于33A,B兩點(diǎn),若ABF為等邊三角形,則P_____________【答案】6x2y21(a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),19．（2013年高考湖南卷（理））設(shè)F1,F2是雙曲線C:2b2a若PF1PF26a,且PF1F2的最小內(nèi)角為30,則C的離心率為___.【答案】320．（2013年高考上海卷（理））設(shè)AB是橢圓的長軸,點(diǎn)C在上,且CBA,若AB=4,BC2,4則的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為________【答案】46.321．（2013年一般高等學(xué)校招生一致考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））已知直線ya交拋物線yx2于A,B兩點(diǎn).若該拋物線上存在點(diǎn)C,使得ABC為直角,則a的取值范圍為________.【答案】[1,)22．（2013年一般高等學(xué)校招生全國一致招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校訂純WORD版含附加題））拋物線yx2在x1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形地域?yàn)镈(包含三角形內(nèi)部與界線).若點(diǎn)P(x,y)是4地域D內(nèi)的任意一點(diǎn),則x2y的取值范圍是__________.【答案】2,1223．（2013年一般高等學(xué)校招生全國一致招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校訂純WORD版含附加題））在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y21(a0,b0),右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線為l,短軸的一a2b2個(gè)端點(diǎn)為B,設(shè)原點(diǎn)到直線BF的距離為d1,F到l的距離為d2,若d26d1,則橢圓C的離心率為_______.【答案】3324．（2013年一般高等學(xué)校招生一致考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））橢圓x2y2:a2b21(ab0)的左.右焦點(diǎn)分別為F1,F2,焦距為2c,若直線y3(xc)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M滿足MF1F22MF2F1,則該橢圓的離心率等于__________【答案】3125．（2013年高考陜西卷（理））雙曲線x2y21的離心率為5,則m等于___9_____.16m4【答案】926．（2013年一般高等學(xué)校招生一致考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））已知橢圓C:x2y21(ab0)a22b的左焦點(diǎn)為F,C與過原點(diǎn)的直線訂交于A,B兩點(diǎn),連結(jié)AF,B,F若AB10,AF6,cosABF4,則C的離心率e=______.【答案】55727．（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）拋物線y28x的準(zhǔn)線方程是_______________【答案】x228．（2013年一般高等學(xué)校招生全國一致招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校訂純WORD版含附加題））在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)定點(diǎn)A(a,a),P是函數(shù)y10)圖象上一動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)P，A之間的最短距(xx離為22,則滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為_______.5【答案】1或1029．（2013年一般高等學(xué)校招生一致考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））設(shè)F為拋物線C:y24x的焦點(diǎn),過點(diǎn)P(1,0)的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn),若|FQ|2,則直線的斜率等于________.【答案】1三、解答題30．（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分9分.已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(1，0)、F2(1，0),短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為B1、B2若F1B1B2為等邊三角形,求橢圓C的方程;(2)若橢圓C的短軸長為2,過點(diǎn)F的直線l與橢圓C訂交于、兩點(diǎn),且FPFQ,求直線l的方2PQ11程.[解](1)(2)【答案】[解](1)設(shè)橢圓C的方程為x2y21(ab0).a2b2依照題意知a2b,解得a24,b21a2b2133故橢圓C的方程為x2y21.4133(2)簡單求得橢圓C的方程為x2y21.2當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),其方程為x1,不吻合題意;當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為yk(x1).yk(x1)22222由xy2得(2k1)x4kx2(k1)0.12設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2),則6x14k2，2(kx221x1x22k2k

21)，，，，2F1P(x11y1)FQ1(x21y2)1由于F1PFQ1,所以F1PFQ10,即(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k21)(x1x2)k217k210,2k21解得k21,即k7.77故直線l的方程為x7y10或x7y10.31．（2013年高考四川卷（理））已知橢圓C:x2y21,(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(1,0),F2(1,0),a2b2且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P(413,).3(Ⅰ)求橢圓C的離心率;(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)A(0,2)的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn),且211,求點(diǎn)Q的軌跡方程.|AQ|2|AM|2|AN|22222【答案】解:2aPF1PF2411411223333所以,a2.又由已知,c1,c12所以橢圓C的離心率e22a由知橢圓C的方程為x2y21.2設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y).(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),直線l與橢圓C交于0,1,0,1兩點(diǎn),此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為350,25(2)當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為ykx2.7由于M,N在直線l上,可設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,kx12),(x2,kx22),則AM2(1k2)x12,AN2(1k2)x22.2x2y22(1k2)x2.又AQ由221212,得AQAMAN211,即1k2x21k2x121k2x22211x1x222x1x2①x2x12x22x12x22將ykx2代入x2y21中,得22k21x28kx60②由8k242k2160,得k23.8k62由②可知x1x2,x1x2,2k22k211代入①中并化簡,得x2183③10k2由于點(diǎn)Q在直線ykx2上,所以ky2,代入③中并化簡,得10y23x218.2x由③及k23,可知0x23,即x6,00,6.2222又0,23510y218,故x6,6.滿足23x2522由題意,Qx,y在橢圓C內(nèi)部,所以1y1,又由10y22183x2有y229,9且1y1,則y1,235.5425所以點(diǎn)Q的軌跡方程是10y23x218,其中,x6,6,y1,2352222532．（2013年一般高等學(xué)校招生一致考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））橢圓C:x2y21(ab0)a2b28的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,離心率為3,過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.2(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)點(diǎn)P是橢圓C上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),連結(jié)PF1,PF2,設(shè)F1PF2的角均分線PM交C的長軸于點(diǎn)M(m,0),求m的取值范圍;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,過P點(diǎn)作斜率為k的直線l,使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),設(shè)直線PF1,PF2的斜率分別為11k1,k2,若k0,試證明為定值,并求出這個(gè)定值.kk1kk2x2y21b2Ⅰ)由于c2a2b2,將xc代入橢圓方程a2b2y【答案】解:(得a2b2ec3a12b2a2由題意知,即a又x2y21所以a2,b1所以橢圓方程為4(Ⅱ)由題意可知:PF1PM=PF2PM,PF1PM=PF2PM,設(shè)P(x0,y0)其中x024,將向|PF1||PM||PF2||PM||PF1||PF2|量坐標(biāo)代入并化簡得:m(4x216)3x312x0,由于x24,000所以m3x0,而x0(2,2),所以m(3,3)422由題意可知,l為橢圓的在p點(diǎn)處的切線,由導(dǎo)數(shù)法可求得,切線方程為:x0xy0y1,所以kx0,而k1y0,k2y0,代入11中得44y0x3x3kk1kk2114(x03x03)8為定值.kk1kk2x0x09233．（2013年高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如圖,已知曲線C1:xy21,曲線C2:|y||x|1,P2是平面上一點(diǎn),若存在過點(diǎn)P的直線與C1,C2都有公共點(diǎn),則稱P為“C1—C2型點(diǎn)”.(1)在正確證明C1的左焦點(diǎn)是“C1—C2型點(diǎn)”時(shí),要使用一條過該焦點(diǎn)的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求考據(jù));設(shè)直線ykx與C2有公共點(diǎn),求證|k|1,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1—C2型點(diǎn)”;(3)求證:圓x2y21內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1—C2型點(diǎn)”.2【答案】:(1)C1的左焦點(diǎn)為F(3,0),過F的直線x3與C1交于(3,2),與C2交于2(3,(31)),故C1的左焦點(diǎn)為“C1-C2型點(diǎn)”,且直線可以為x3;直線ykx與C2有交點(diǎn),則ykx(|k|1)|x|1,若方程組有解,則必定|k|1;|y||x|1直線ykx與C2有交點(diǎn),則ykx(12k2)x22,若方程組有解,則必定k21x22y222故直線ykx至多與曲線C和C中的一條有交點(diǎn),即原點(diǎn)不是“C-C型點(diǎn)”.1212(3)顯然過圓x2y21內(nèi)一點(diǎn)的直線l若與曲線C1有交點(diǎn),則斜率必存在;2依照對(duì)稱性,不如設(shè)直線l斜率存在且與曲線C2交于點(diǎn)(t,t1)(t0),則l:y(t1)k(xt)kxy(1tkt)0直線l與圓x2y21內(nèi)部有交點(diǎn),故|1tkt|22k21210化簡得,(1ttk)21(k21)............①2若直線l與曲線C1有交點(diǎn),則ykxktt121222xy2(k)x2k(1tkt)x(1tkt)101224k2(1tkt)24(k21)[(1tkt)21]0(1tkt)22(k21)2化簡得,(1tkt)22(k21).....②由①②得,2(k21)(1ttk)21(k21)k212但此時(shí),由于t0,[1t(1k)]21,1(k21)1,即①式不成立;當(dāng)k212時(shí),①式也不成立2綜上,直線l若與圓x2y21內(nèi)有交點(diǎn),則不可以能同時(shí)與曲線C1和C2有交點(diǎn),12即圓x2y2內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)”.2WORD版））如圖,在正方形OABC中,O34．（2013年一般高等學(xué)校招生一致考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純?yōu)樽鴺?biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,10).分別將線段OA和AB十均分,分點(diǎn)分別記為A1,A2,....A9和B1,B2,....B9,連結(jié)OBi,過Ai做x軸的垂線與OBi交于點(diǎn)Pi(iN*,1i9).(1)求證:點(diǎn)Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上,并求該拋物線E的方程;(2)過點(diǎn)C做直線與拋物線E交于不同樣的兩點(diǎn)M,N,若OCM與OCN的面積比為4:1,求直線的方程.【答案】解:(Ⅰ)依題意,過Ai(iN*,1i9)且與x軸垂直的直線方程為xiBi(10,i),直線OBi的方程為yix10設(shè)Pi坐標(biāo)為(x,y),由xi得:y1x2,即x210y,yix1010Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上,且拋物線E方程為x210y(Ⅱ)依題意:直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為ykx1011ykx10210kx1000由x210y得x此時(shí)100k2+4000,直線與拋物線E恒有兩個(gè)不同樣的交點(diǎn)M,N設(shè):M(x1,y1)N(x2,y2),則x1x210kx1x2100SOCM4SOCNx14x2又x1x20,x14x2分別帶入ykx103x210y,解得k2直線的方程為y3x+10,即3x2y200或3x+2y200235．（2013年高考湖南卷（理））過拋物線E:x22py(p0)的焦點(diǎn)F作斜率分別為k1,k2的兩條不同樣的直線l1,l2,且k1k22,l1與E訂交于點(diǎn)A,B,l2與E訂交于點(diǎn)C,D.以AB,CD為直徑的圓M,圓N(M,N為圓心)的公共弦所在的直線記為l.(I)若k10,k20,證明;FMFN2P2;(II)若點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為755,求拋物線E的方程.【答案】解:(Ⅰ)p).設(shè)(,y1),B(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),M(x12,y12),N(x34,y34)，F(xiàn)(0,1CD2直線l1方程：yk1xp,與拋物線E方程聯(lián)立，化簡整理得：x22pk1xp202x1x2px1x22k1p,x1x2p20x12k1p,y12k12pFM(k1p,k12p)22同理,x34x1x2k2p,y342pFN(k2p,22k2p2k2p).FMFNkkp2k2k2p2p2kk(kk1)12121212k10,k20,k1k2,2k1k22k1k2k1k21,FMFNp2k1k2(k1k21)p21(11)2p2所以,FMFN2p2成立.(證畢)(Ⅱ)設(shè)圓M、N的半徑分別為r1,r2r11[(py1)(py2)]1[p2(k12pp)]k12pp,2222212r1k12pp,同理2r1k22pp,設(shè)圓M、N的半徑分別為r1,r2.則M、N的方程分別為(xx12)2(yy12)2r12,(xx34)2(yy34)2r22，直線l的方程為：2(x34x12)x2(y34y12)yx122x342y122y342-r12r220.2p(k2k1)x2p(k22k12)y(x12x34)(x12x34)(y12y34)(y12y34)(r2-r1)(r2r1)02p(k2k1)x2p(k22k12)y2p2(k1k2)p2(k12k22)(k12k221)p2(k22k12)(k12k222)0x2ypp(k12k221)p(k12k222)0x2y0x122y122k112(1)2(1)17p7點(diǎn)M(x12,y12)到直線l的距離d||2k1p4455p|5|58558拋物線的方程為x216y.36．（2013年一般高等學(xué)校招生一致考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））如圖,點(diǎn)P(0,1)是橢圓22C1:x2y21(ab0)的一個(gè)極點(diǎn),C1的長軸是圓C2:x2y24的直徑.l1,l2是過點(diǎn)P且互相ab垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交圓C2于兩點(diǎn),l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D(1)求橢圓C1的方程;(2)求ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程.yl1DBOxPAl2（第21題圖）【答案】解:(Ⅰ)由已知獲取b1,且2a4a2,所以橢圓的方程是x2y21;413(Ⅱ)由于直線l1l2,且都過點(diǎn)P(0,1),所以設(shè)直線l1:ykx1kxy10,直線l2:y1x1xkyk0,所以圓心(0,0)到直線l1:ykx1kxy10的距離為kd1k2,所以直線l1被圓x2y24所截的弦AB24d2234k2;11k2xkyk0k2x24x2由x2y218kx0,所以4xDxP8k|DP|(11)64k28k241,所以k24k2(k24)2k211234k28k2184k23484k23SABD|AB||DP|21k2k24k244k231323232321613,4k2313213213134k34k24k24k2333當(dāng)4k2313k25k10時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)直線l:y10x1222124k337．（2013年一般高等學(xué)校招生一致考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））如題(21)圖,橢圓的中心為原點(diǎn)O,長軸在x軸上,離心率e2,過左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于A,A兩點(diǎn),AA4.2求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;取垂直于x軸的直線與橢圓訂交于不同樣的兩點(diǎn)P,P,過P,P作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外.若PQPQ,求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】1438．（2013年一般高等學(xué)校招生一致考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純x2y221的WORD版））設(shè)橢圓E:21aa焦點(diǎn)在x軸上(Ⅰ)若橢圓E的焦距為1,求橢圓E的方程;(Ⅱ)設(shè)F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),P為橢圓E上的第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線F2P交y軸與點(diǎn)Q,并FPFQ,證明:當(dāng)a變化時(shí),點(diǎn)p在某定直線上.且1115【答案】解:(Ⅰ)a21a2,2c1,a21a2c2a25，橢圓方程為：8x28x21.853(Ⅱ)設(shè)F1(,0),(,0),(,),Q(0,m),則F2P（,y),QF2(,m).cF2cPxyxcc由1a20a(0,1)x(0,1),y(0,1).F1P(xc,y),F1Q(c,m).由F2P//QF2,F1Pm(cx)ycF1Q得：c)my0c(xx2y21a21a2(xc)(xc)y2x2y2c2.聯(lián)立x2y2c2解得a21a2c22x22y21x2(y1)2.x(0,1),y(0,1)x1yx2y211x2y2所以動(dòng)點(diǎn)P過定直線xy10.39．（2013年高考新課標(biāo)1（理））已知圓M:(x1)2y21,圓N:(x1)2y29,動(dòng)圓P與M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)圓P的半徑最長時(shí),求|AB|.l【答案】由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑r1=1,圓N的圓心為N(1,0),半徑r2=3.設(shè)動(dòng)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R.(Ⅰ)∵圓P與圓M外切且與圓N內(nèi)切,∴|PM|+|PN|=(Rr1)(r2R)=r1r2=4,由橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左右焦點(diǎn),場(chǎng)半軸長為2,短半軸長為3的橢圓(左極點(diǎn)除外),其方程為x2y21(x2).43(Ⅱ)關(guān)于曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R2≤2,∴R≤2,當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí),R=2.∴當(dāng)圓P的半徑最長時(shí),其方程為(x2)2y24,當(dāng)l的傾斜角為900時(shí),則l與y軸重合,可得|AB|=23.16當(dāng)l的傾斜角不為900時(shí),由r1≠R知l不平行x軸,設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q,則|QP|=R,可求得|QM|r1Q(-4,0),∴設(shè)l:yk(x4),由l于圓M相切得|3k|解得k211,.k24當(dāng)k=2時(shí),將y2x2代入x2y21(x2)并整理得7x28x80,解得4443x1,2=462,∴|AB|=1k2|x1x2|=18.77當(dāng)k=-2時(shí),由圖形的對(duì)稱性可知|AB|=18,47綜上,|AB|=18或|AB|=23.740．（2013年一般高等學(xué)校招生一致考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））設(shè)橢圓x2y21(ab0)的左a2b2焦點(diǎn)為F,離心率為3,過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為43.33(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)A,B分別為橢圓的左右極點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點(diǎn).若AC·DBAD·CB8,求k的值.【答案】17x2y2經(jīng)過點(diǎn)3141．（2013年高考江西卷（理））如圖,橢圓：+b2=1(a>b>0)P(1,2),離心率e=2,直線l的方Ca2程為x=4.(1)求橢圓C的方程;(2)AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過點(diǎn)P),設(shè)直線AB與直線l訂交于點(diǎn)M,記PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3.問:可否存在常數(shù),使得k1+k2=k3.?若存在求的值;若不存在,說明原由.18【答案】解:(1)由P(1,3)在橢圓上得,191①2a24b2依題設(shè)知a2c,則b23c2②②代入①解得c21,a24,b23.22故橢圓C的方程為xy1.3方法一:由題意可設(shè)AB的斜率為k,則直線AB的方程為yk(x1)③代入橢圓方程3x24y212并整理,得(4k23)x28k2x4(k23)0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x18k24(kx223,x1x24k4k

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3)④3在方程③中令x4得,M的坐標(biāo)為(4,3k).y1333k32,k2y21.進(jìn)而k12,k342kx11x2112注意到A,F,B共線,則有kkAFy1y2k.kBF,即有1x21x1y1332y2y1y2311所以k1k221()x1x21x11x212x11x223x1x22⑤2k(x1x2)12x1x21938k224k2④代入⑤得k1k22k32k1,24(k23)8k214k234k213又k3kk22k3.故存在常數(shù)2吻合題意.,所以k12方法二:設(shè)B(x0,y0)(x01),則直線FB的方程為:yy0(x1),x01令x4,求得M(4,3y0),x01進(jìn)而直線PM的斜率為k32y0x012(x0,1)yy0(x1)聯(lián)立x015x083y0),x2y2,得A(5,512x02x043則直線PA的斜率為:k12y02x05,直線PB的斜率為:k22y03,2(x01)2(x01)所以k1k22y02x052y032y0x012(x01)2(x01)x02k3,1故存在常數(shù)2吻合題意.42．（2013年一般高等學(xué)校招生一致考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））已知拋物線C的極點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)F0,cc0到直線l:xy20的距離為32.設(shè)P為直線l上的點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線2C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點(diǎn).(Ⅰ)求拋物線C的方程;(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)Px,y為直線l上的定點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程;00(Ⅲ)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上搬動(dòng)時(shí),求AFBF的最小值.【答案】(Ⅰ)依題意,設(shè)拋物線C的方程為x24cy,由0c232結(jié)合c0,解得c1.22所以拋物線C的方程為x24y.(Ⅱ)拋物線C的方程為x24y,即y1x2,求導(dǎo)得y1x42設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2(其中y1x12,y2x221x1,144),則切線PA,PB的斜率分別為x2,2220所以切線PA的方程為yy1x1xx1,即yxxx2y1,即x1x2y2y1021122同理可得切線PB的方程為x2x2y2y20由于切線PA,PB均過點(diǎn)Px0,y0,所以x1x02y02y10,x2x02y02y20所以x1,y1,x2,y2為方程x0x2y02y0的兩組解.所以直線AB的方程為x0x2y2y00.(Ⅲ)由拋物線定義可知AFy11,BFy21,所以AFBFy1y21yy2yy21111x0x2y2y002y0x0yy00聯(lián)立方程x24y,消去x整理得y222由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得y1y2x022y0,y1y2y02所以AFBFy1y2y1y21y02x022y01又點(diǎn)Px0,y0在直線l上,所以x0y02,129所以y02x022y012y022y052y022所以當(dāng)y01時(shí),AFBF獲取最小值,且最小值為9.2243．（2013年一般高等學(xué)校招生一致考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））平面直角坐標(biāo)系xOy中,過橢圓M:x2y2b0)的右焦點(diǎn)F作直xy30交M于A,B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn),a221(ab且OP的斜率為1.2(Ⅰ)求M的方程;(Ⅱ)為M上的兩點(diǎn),若四邊形ABCD的對(duì)角線CDAB,求四邊形ABCD面積的最大值.C,D【答案】2144．（2013年高考湖北卷（理））如圖,已知橢圓C1與C2的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,長軸均為MN且在x軸上,短軸長分別為2m,2nmn,過原點(diǎn)且不與x軸重合的直線l與C1,C2的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A,B,C,D.記mABN的面積分別為S1和S2.,BDM和n(I)當(dāng)直線l與y軸重合時(shí),若S1S2,求的值;22(II)當(dāng)變化時(shí),可否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得S1S2?并說明原由.yABMOCD

x第21題圖m11nm1S1S2mnmn,1【答案】解:(I)n解得:21(舍去小于1的根):x22m,C2:x22(II)設(shè)橢圓C12y21a2y21,直線l:kyxamankyxa2m2k22amx2y2y1yA122222a2m2amamk同理可得,又BDM和ABN的的高相等S1BDyByDyByAS2AByAyByAyB若是存在非零實(shí)數(shù)k使得S1S2,則有1yA1yB,222a222121即:11,解得k2a24n23a22n2k2n2k2當(dāng)12時(shí),k20,存在這樣的直線l;當(dāng)112時(shí),k20,不存在這樣的直線l.45．（2013年高考北京卷（理））已知A、B、C是橢圓W:x2y21上的三個(gè)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).4(I)當(dāng)點(diǎn)B是W的右極點(diǎn),且四邊形OABC為菱形時(shí),求此菱形的面積;23當(dāng)點(diǎn)B不是W的極點(diǎn)時(shí),判斷四邊形OABC可否可能為菱形,并說明原由.【答案】解:(I)橢圓:x2y21的右極點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0).由于四邊形OABC為菱形,所以AC與OBW4互相垂直均分.所以可設(shè)A(1,m),代入橢圓方程得1m21,即m3.所以菱形OABC的面42積是1|OB||AC|122|m|3.22(II)假設(shè)四邊形OABC為菱形.由于點(diǎn)B不是W的極點(diǎn),且直線AC但是原點(diǎn),所以可設(shè)AC的方程為ykxm(k0,m0).由x24y24消去y并整理得(14k2)x28kmx4m240.ykxm設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),則x1x214km