習題橢圓的標準方程

橢圓的標準方程一、選擇題1．已知命題甲：動點P到兩定點A，B的距離之和|PA|＋|PB|＝2a，其中a為大于0的常數(shù)；命題乙：P點的軌跡是橢圓．命題甲是命題乙的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分且必要條件D.既不充分又不必要條件解析：若P點的軌跡是橢圓，則一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，為常數(shù))．所以甲是乙的必要條件．反過來，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，為常數(shù))，P點的軌跡不一定是橢圓，所以甲不是乙的充分條件．綜上，甲是乙的必要不充分條件．答案：B2．設(shè)P是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1上一點，P到兩焦點F1，F(xiàn)2的距離之差為2，則△PF1F2是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形解析：由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.又|F1F2|＝2c＝2eq\r(16－12)＝4，∴△PF1F2為直角三角形．答案：B3．橢圓25x2＋16y2＝1的焦點坐標是()A.(±3,0) B.(±eq\f(1,3)，0)C.(±eq\f(3,20)，0) D.(0，±eq\f(3,20))解析：橢圓的標準方程為eq\f(x2,\f(1,25))＋eq\f(y2,\f(1,16))＝1，故焦點在y軸上，其中a2＝eq\f(1,16)，b2＝eq\f(1,25)，所以c2＝a2－b2＝eq\f(1,16)－eq\f(1,25)＝eq\f(9,400)，故c＝eq\f(3,20).所以所求焦點坐標為(0，±eq\f(3,20))．答案：D4．若方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8sinα)＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則銳角α的取值范圍是()A.(eq\f(π,3)，eq\f(π,2)) B.[eq\f(π,3)，eq\f(π,2))C.(eq\f(π,6)，eq\f(π,2)) D.[eq\f(π,6)，eq\f(π,2))解析：∵方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8sinα)＝1表示焦點在y軸上的橢圓，∴8sinα>4，sinα>eq\f(1,2).∵α為銳角，∴eq\f(π,6)<α<eq\f(π,2).答案：C二、填空題5．一個焦點坐標是(0,4)，過點B(1，eq\r(15))的橢圓的標準方程為__________．解析：設(shè)橢圓的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，∴a2－b2＝16，①又過點B(1，eq\r(15))，∴eq\f(15,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，②∴由①②知，a2＝20，b2＝4，∴橢圓的標準方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.答案：eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝16．已知橢圓的焦點在y軸上，其上任意一點到兩焦點的距離和為8，焦距為2eq\r(15)，則此橢圓的標準方程為________．解析：本題考查橢圓的標準方程．由已知，2a＝8,2c＝2eq\r(15)，∴a＝4，c＝eq\r(15)，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴橢圓的標準方程為eq\f(y2,16)＋x2＝1.答案：eq\f(y2,16)＋x2＝17．已知橢圓的標準方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m)＝1(m>0)并且焦距為6，則實數(shù)m的值為__________．解析：∵2c＝6，∴c＝3.當焦點在x軸上時，a2＝25，∴m＝16.當焦點在y軸上時，b2＝25，∴m＝34.答案：16或34三、解答題8．求經(jīng)過點A(eq\r(3)，－2)和點B(－2eq\r(3)，1)的橢圓的標準方程．解：法一：(1)當焦點在x軸上時，設(shè)橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)2,a2)＋\f(－22,b2)＝1，,\f(－2\r(3)2,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝15，,b2＝5.))所以所求橢圓的方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.(2)當焦點在y軸上時，設(shè)橢圓的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－22,a2)＋\f(\r(3)2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(－2\r(3)2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝5，,b2＝15.))因為a<b，所以方程無解．故所求橢圓的方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.法二：設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m＋4n＝1，,12m＋n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,15)，,n＝\f(1,5).))所以所求橢圓的方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.9．如圖，圓C：(x＋1)2＋y2＝16及點A(1,0)，Q為圓上一點，AQ的垂直平分線交CQ于M，求點M的軌跡方程．解：由垂直平分線性質(zhì)可知|MQ|＝|MA|，∴|C