高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ29函數(shù)模型其應(yīng)用學(xué)案理

(通用)2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)觀點(diǎn)與基本初等函數(shù)Ⅰ29函數(shù)模型及其應(yīng)用教案理!(通用)2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)觀點(diǎn)與基本初等函數(shù)Ⅰ29函數(shù)模型及其應(yīng)用教案理!(通用)2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)觀點(diǎn)與基本初等函數(shù)Ⅰ29函數(shù)模型及其應(yīng)用教案理!§函數(shù)模型及其應(yīng)用考綱顯現(xiàn)?認(rèn)識指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增加特點(diǎn)，知道直線上漲、指數(shù)增加、對數(shù)增加等不相同函數(shù)種類增加的含義．2．認(rèn)識函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中寬泛使用的函數(shù)模型)的寬泛應(yīng)用．考點(diǎn)1用函數(shù)圖象刻畫實(shí)責(zé)問題中兩個變量的變化過程[典題1](1)[2017·浙江湖州模擬]物價上漲是當(dāng)前的主要話題，特別是菜價，我國某部門為趕忙實(shí)現(xiàn)牢固菜價，提出四種綠色運(yùn)輸方案．據(jù)展望，這四種方案均能在規(guī)定的時間T內(nèi)完成展望的運(yùn)輸任務(wù)Q0，各種方案的運(yùn)輸總量Q與時間t的函數(shù)關(guān)系以下列圖，在這四種方案中，運(yùn)輸效率(單位時間的運(yùn)輸量)逐漸提高的是()ABCD[答案]B(2)已知正方形ABCD的邊長為4，動點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿折線BCDA向點(diǎn)A運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)-1-動的行程為x，△ABP的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖象是()ABCD[答案]D[解析]依題意知，當(dāng)0≤x≤4時，f(x)＝2x；當(dāng)4<x≤8時，f(x)＝8；當(dāng)8<x≤12時，f(x)＝24－2x，觀察四個選項(xiàng)知，應(yīng)選D.[點(diǎn)睛之筆]判斷函數(shù)圖象與實(shí)責(zé)問題變化過程相吻合的兩種方法成立函數(shù)模型法：當(dāng)依照題意易成立函數(shù)模型時，先成立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象．考據(jù)法：當(dāng)依照題意不易成立函數(shù)模型時，則依照實(shí)責(zé)問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢，考據(jù)可否吻合，從中消除不吻合實(shí)質(zhì)的情況，選擇出吻合實(shí)質(zhì)情況的答案．考點(diǎn)2應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)責(zé)問題[典題2]某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，若是成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測，服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間近似滿足以下列圖的曲線．-2-寫出第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(t)；(2)據(jù)進(jìn)一步測定，每毫升血液中含藥量很多于微克時治療疾病有效，求服藥一次后治療疾病有效的時間．kt，0≤t≤1，[解](1)由題圖，設(shè)y＝1t－a，t>1，2當(dāng)t＝1時，由y＝4，得k＝4，11－a由2＝4，得a＝3.4，0≤t≤1，t因此y＝1t－3，t>1.20≤t≤1，t>1，(2)由y≥0.25，得或1t－3≥0.25，4t≥21解得16≤t≤5.179因此服藥一次后治療疾病有效的時間是5－16＝16(小時)．[點(diǎn)睛之筆]求解已給函數(shù)模型解決實(shí)責(zé)問題的關(guān)注點(diǎn)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．依照已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．利用該模型求解實(shí)責(zé)問題．[提示]解決實(shí)責(zé)問題時要注意自變量的取值范圍.里氏震級的計(jì)算公式為＝lg－lg0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，MMAAA0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅．假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000.此時標(biāo)準(zhǔn)-3-地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的________倍．答案：6'10000解析：依照題意，由lg1000－lg0.001＝6，得此次地震的震級為6級．由于標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，設(shè)9級地震的最大振幅為9，則lg9－＝9，解得9＝106，同理5AAA52，因此9級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的10000倍．級地震的最大振幅A＝10考點(diǎn)3成立函數(shù)模型解決實(shí)責(zé)問題幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)數(shù)模型反比率函kf(x)＝＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)數(shù)模型x二次函f(x)＝ax2＋bx＋c數(shù)模型(，，c為常數(shù)，a≠0)ab指數(shù)函f(x)＝bax＋c數(shù)模型(，，c為常數(shù)，b≠0，>0且a≠1)aba對數(shù)函f(x)＝blogax＋c數(shù)模型(，，c為常數(shù)，b≠0，>0且a≠1)aba冪函數(shù)f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)模型2．三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)x(a>1)an(n>0)y＝ay＝logx(a>1)y＝x性質(zhì)在(0，＋∞)上單調(diào)______單調(diào)______單調(diào)遞加的增減性-4-增加速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)隨x的增大逐漸表現(xiàn)隨n值變化而各有不為與________平行為與________平行同值的比較存在一個x0，當(dāng)x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax答案：遞加遞加y軸x軸求解實(shí)責(zé)問題的兩個誤區(qū)：忽略自變量的取值范圍；忽略數(shù)學(xué)結(jié)果的實(shí)質(zhì)合理性．(1)據(jù)檢查，某自行車存車處在某星期日的存車量為4000輛次，其中變速車存車費(fèi)是每輛一次0.3元，一般車存車費(fèi)是每輛一次0.2元．若一般車存車數(shù)為x輛次，存車費(fèi)總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是________．答案：y＝－x＋1200(0≤x≤4000，x∈N)解析：y＝x＋(4000－x)×＝－x＋1200(0≤x≤4000，x∈N)，這里不能夠忽略x的取值范圍，否則函數(shù)解析式失去意義．要在邊長為16米的正方形草坪上安裝噴水龍頭，使整個草坪都能噴灑到水，假設(shè)每個噴水龍頭的噴灑范圍都是半徑為6米的圓面，則最少需安裝噴水龍頭________個．答案：4解析：能夠?qū)⒄叫吻懈畛?個全等的正方形，每個小正方形的對角線長為82<12，所以安裝4個噴水龍頭就可以滿足題意．由于是實(shí)責(zé)問題，不能夠夠這樣理解：每個噴水龍頭可噴灑的面積為36π平方米，3個噴水龍頭即可噴灑的面積為108π平方米，又108π>162，最后得出安裝3個就可以，這是錯誤的．復(fù)利公式．某種存儲按復(fù)利計(jì)算利息，若本金為a元，每期利率為r，存期是x，本利和(本金加利息)為y元，則本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式是________．答案：y＝(1＋)xar(2)人口的增加、細(xì)胞分裂的個數(shù)以及存款利率(復(fù)利)的計(jì)算等問題都能夠用________函數(shù)模型解決．答案：指數(shù)-5-[考情聚焦]高考對函數(shù)應(yīng)用的觀察，常與二次函數(shù)、基本不等式及導(dǎo)數(shù)等知識交匯，以解答題為主要形式出現(xiàn)，觀察用函數(shù)知識解決以社會實(shí)質(zhì)生活為背景的成本最低、利潤最高、產(chǎn)量最大、效益最好、用料最省等實(shí)責(zé)問題．主要有以下幾個命題角度：角度一二次函數(shù)模型[典題3]為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)變成一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每個月的辦理量最少為400噸，最多為600噸，月辦理成本y(元)與月辦理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表12示為：y＝2x－200x＋80000，且每辦理一噸二氧化碳獲取可利用的化工產(chǎn)品的價值為100元．則該單位每個月可否盈利？若是盈利，求出最大利潤；若是不盈利，則國家最少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不損失？[解]設(shè)該單位每個月盈利為S，則S＝100x－y＝100x－1x2－200x＋800002＝－1x2＋300x－80000＝－1(x－300)2－35000，22由于400≤x≤600，因此當(dāng)x＝400時，S有最大值－40000.故該單位不盈利，需要國家每個月最少補(bǔ)貼40000元，才能不損失．[點(diǎn)睛之筆]二次函數(shù)模型問題的三個注意點(diǎn)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但必然要親近注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯；確定一次函數(shù)模型時，一般是借助兩個點(diǎn)來確定，常用待定系數(shù)法；解決函數(shù)應(yīng)用問題時，最后要還原到實(shí)責(zé)問題．角度二構(gòu)造分段函數(shù)模型[典題4]國慶時期，某旅游社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團(tuán)人數(shù)在30或30以下，飛機(jī)票每張收費(fèi)900元；若每團(tuán)人數(shù)多于30，則恩賜優(yōu)惠：每多1人，機(jī)票每張減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75人為止．每團(tuán)乘飛機(jī)，旅游社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15000元．寫出飛機(jī)票的價格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；每團(tuán)人數(shù)為多少時，旅游社可獲取最大利潤？[解](1)設(shè)旅游團(tuán)人數(shù)為x，由題得0<x≤75(x∈N*)，飛機(jī)票價格為y元，-6-900，0<x≤30，則y＝900－10x－3030<≤75，x900，0<x≤30，即y＝200－10x，30<x≤75.設(shè)旅游社盈利S元，900x－15000，0<x≤30，則S＝1015000，30<≤75，xxx900－15000，0<≤30，即S＝－10x－602＋21000，30<x≤75.由于S＝900x－15000在區(qū)間(0,30]上為單調(diào)增函數(shù)，故當(dāng)x＝30時，S取最大值12000元，又S＝－10(x－60)2＋21000在區(qū)間(30,75]上，當(dāng)x＝60時，獲取最大值21000.故當(dāng)x＝60時，旅游社可獲取最大利潤．[點(diǎn)睛之筆]解決分段函數(shù)模型問題的三個注意點(diǎn)實(shí)責(zé)問題中有些變量間的關(guān)系不能夠用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不相同的關(guān)系式組成，如出租車票價與行程之間的關(guān)系，應(yīng)成立分段函數(shù)模型求解；構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求正確、簡捷，做到分段合理、不重不漏；分段函數(shù)的最值是各段的最大(或最小)值的最大者(最小者)．角度三a成立“對勾”函數(shù)f(x)＝x＋x(a>0)模型[典題5]為了在夏季降平易冬季供暖時減少能源耗費(fèi)，房屋的屋頂和外墻需要建筑隔熱層．某幢建筑物要建筑可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建筑成本為6萬元．該建筑物每年的能源耗資資用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源耗資資用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建筑花銷與20年的能源耗資資用之和．求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時，總花銷f(x)達(dá)到最小，并求最小值．[解](1)由已知條件得C(0)＝8，則k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)8006x＋3x＋5(0≤x≤10)．-7-800(2)f(x)＝6x＋10＋3x＋5－10≥2x＋10800－103x＋570(萬元)，800當(dāng)且僅當(dāng)6x＋10＝3x＋5，即x＝5時等號成立．因此當(dāng)隔熱層厚度為5cm時，總花銷f(x)達(dá)到最小值，最小值為70萬元．a(chǎn)[點(diǎn)睛之筆]應(yīng)用函數(shù)模型y＝x＋x的要點(diǎn)點(diǎn)(1)明確對勾函數(shù)是正比率函數(shù)f(x)＝ax與反比率函數(shù)bf(x)＝疊加而成的．xb(2)解決實(shí)責(zé)問題時一般能夠直接成立f(x)＝ax＋x的模型，有時能夠?qū)⑺泻瘮?shù)關(guān)系式b轉(zhuǎn)變成f(x)＝ax＋x的形式．b利用模型f(x)＝ax＋x求解最值時，要注意自變量的取值范圍，及獲取最值時等號成立的條件．角度四成立指、對函數(shù)或復(fù)雜的分式構(gòu)造函數(shù)模型[典題6]已知一容器中有A，B兩種菌，且在任何時辰A，B兩種菌的個數(shù)乘積為定值10AA來記錄A菌個數(shù)的資料，其中A10，為了簡單起見，科學(xué)家用P＝lgnn為A菌的個數(shù)，現(xiàn)有以下幾種說法：①PA≥1；②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，則今天的A菌個數(shù)比昨天的A菌個數(shù)多10；③假設(shè)科學(xué)家將B菌的個數(shù)控制為5萬，則此時5<<5.5(注：lg2≈0.3)．A則正確的說法為________．(寫出所有正確說法的序號)[答案]③[解析]當(dāng)nA＝1時，A＝0，故①錯誤；P若PA＝1，則nA＝10，若PA＝2，則nA＝100，故②錯誤；B菌的個數(shù)為nB＝5×104，10105∴nA＝4＝2×10，∴PA＝lgnA＝lg2＋5.又∵lg2≈0.3，∴5<PA<5.5，故③正確．[點(diǎn)睛之筆]一般地，涉及增加率問題、存蓄利息問題、細(xì)胞分裂問題等，都能夠考慮-8-用指數(shù)函數(shù)的模型求解．求解時注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化，指數(shù)函數(shù)的值域的影響以及實(shí)責(zé)問題中的條件限制.[方法技巧]解函數(shù)應(yīng)用問題的四步驟審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型；建模：將自然語言轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)變成符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，成立相應(yīng)的函數(shù)模型；解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)質(zhì)意義的問題．以上過程用框圖表示以下：[易錯防范]1.解應(yīng)用題思路的要點(diǎn)是審題，不但要理解、理解問題講的是什么，還要特別注意一些要點(diǎn)的字眼(如“幾年后”與“第幾年后”)．2．在解應(yīng)用題建模后必然要注意定義域，建模的要點(diǎn)是注意搜尋量與量之間的相互依賴關(guān)系．3．解決完數(shù)學(xué)模型后，注意轉(zhuǎn)變成實(shí)責(zé)問題寫出總結(jié)答案．真題演練集訓(xùn)1．[2016·四川卷]某公司為激勵創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資本投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)資本130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資本比上一年增加12%，則該公司全年投入的研發(fā)資本開始高出200萬元的年份是()(參照數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年-9-答案：B解析：依照題意，知每年投入的研發(fā)資本增加的百分率相同，因此，從2015年起，每年投入的研發(fā)資本組成一個等比數(shù)列{a}，其中，首項(xiàng)a＝130，公比q＝1＋12%＝，因此n1an＝130×n－1.由130×n－1>200，兩邊同時取對數(shù)，得n－1>lg2－lg1.3，又lg2－≈0.30－＝3.8，則n>4.8，即a開始高出200，因此2019年投入的研發(fā)資5金開始高出200萬元，應(yīng)選B.2．[2015·北京卷]汽車的“燃油效率”是指汽車每耗資1升汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不相同速度下的燃油效率情況．以下表達(dá)中正確的選項(xiàng)是()A．耗資1升汽油，乙車最多可行駛5千米B．以相同速度行駛相同行程，三輛車中，甲車耗資汽油最多C．甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，耗資10升汽油D．某城市靈巧車最高限速80千米/小時．相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油答案：D解析：依照圖象所給數(shù)據(jù)，逐個考據(jù)選項(xiàng)．依照圖象知耗資1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，應(yīng)選項(xiàng)A錯；以相同速度行駛時，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同行程時，甲車耗資汽油最少，應(yīng)選項(xiàng)B錯；甲車以80千米/小時的速度行駛時燃油效率為10千米/升，行駛1小時，里程為80千米，耗資8升汽油，應(yīng)選項(xiàng)C錯；最高限速80千米/小時，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，應(yīng)選項(xiàng)D對．3．[2014·湖南卷]某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年連續(xù)增加．第一年的增加率為，第二年的增p長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增加率為()p＋qp＋1q＋11A.B．22-10-C.pqD．＋1q＋11p答案：D解析：設(shè)年平均增加率為x，原生產(chǎn)總值為a，則(p＋1)(q＋1)a＝a(1＋x)2，解得x＝p＋1q＋11，應(yīng)選D.4．[2015·四川卷]某食品的保鮮時間y(單位：h)與存儲溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718,為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))．若該食品在0℃的保鮮時間是192h，在22℃的保鮮時間是48h，則該食品在33℃的保鮮時間是________h.答案：24解析：由已知條件，得bb＝ln192.192＝e，∴又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192(e11k)2，1111k482121th，則t＝e33k＋ln19233k∴e＝192＝4＝2.設(shè)該食品在33℃的保鮮時間是＝192e11k313＝192(e)＝192×2＝24.課外拓展閱讀利用函數(shù)模型巧解抽象函數(shù)問題函數(shù)部分有一類抽象函數(shù)問題，這類問題給定函數(shù)f(x)的某些性質(zhì)，要證明它的其他性質(zhì)，或利用這些性質(zhì)解一些不等式或方程．這些題目的設(shè)計(jì)一般都有一個基本函數(shù)作為“模型”，若能解析猜想出這個函數(shù)模型，結(jié)合這個函數(shù)模型的其他性質(zhì)來思慮解題方法，那么這類問題就能簡單獲解．[典例1]已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x，y均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當(dāng)x>0時有f(x)>0，f(－1)＝－2，求f(x)在[－2,1]上的值域．[思路解析]代入猜想fxfxkxk≠0――→特別值判斷fx―→得出fx[－2，1]上的值域[解]由于對任意實(shí)數(shù)x，y均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝f(0)＋f(0)，故f(0)＝0；再令y＝－x，則f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，因此f(－x)＝－f(x)，即f(x)為奇函數(shù)．設(shè)x1<x2，則x2－x1>0.-11-由于當(dāng)x>0時，f(x)>0，因此f(x2－x1)>0.因此f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)>0，因此f(x)為R上的增函數(shù)．又f(－2)＝f(－1－1)＝2f(－1)＝－4，(1)＝－f(－1)＝2，因此當(dāng)x∈[－2,1]時，f(x)∈[－4,2]．[典例2]設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是R，關(guān)于任意實(shí)數(shù)m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且當(dāng)x>0時，0<f(x)<1.求證：f(0)＝1，且當(dāng)x<0時，有f(x)>1；判斷f(x)在R上的單調(diào)性．[思路解析]代入猜想fxfxax0<a<1――→特別值函數(shù)單調(diào)性的定義――→判斷fxR上的單調(diào)性(1)[證明]由于對任意實(shí)數(shù)m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，令m＝1，n＝0，則f(1)＝f(1)·f(0)．由于當(dāng)x>0時，0<f(x)<1，