線性控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析PPT資料

線性控制系統(tǒng)(kònɡzhìxìtǒnɡ)的動(dòng)態(tài)分析第一頁(yè)，共34頁(yè)。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解線性時(shí)變連續(xù)(liánxù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解線性離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解第二頁(yè)，共34頁(yè)。一、狀態(tài)(zhuàngtài)轉(zhuǎn)移矩陣1、狀態(tài)(zhuàngtài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本定義對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，當(dāng)初時(shí)刻時(shí)，滿足如下矩陣微分方程和初始條件：

解為線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)(zhuàngtài)轉(zhuǎn)移矩陣。特點(diǎn)：1）概念易于推廣2）更好地刻畫系統(tǒng)狀態(tài)(zhuàngtài)運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律

第三頁(yè)，共34頁(yè)。

2、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(jǔzhèn)的計(jì)算方法級(jí)數(shù)展開法

拉普拉斯變換法齊次狀態(tài)方程兩邊取拉普拉斯變換：第四頁(yè)，共34頁(yè)。得：

為初始時(shí)刻的初始狀態(tài)。約當(dāng)規(guī)范型法（1）方陣(fānɡzhèn)A的n個(gè)特征值互異，A可以對(duì)角化

第五頁(yè)，共34頁(yè)。

得：

P是由A的特征向量[]來(lái)構(gòu)造（2）方陣A有n重特征值時(shí)，A不能變換為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型，只能(zhīnénɡ)使相似變換后的矩陣為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型J，即

第六頁(yè)，共34頁(yè)。

為方陣(fānɡzhèn)A的重特征值，且

第七頁(yè)，共34頁(yè)。

則

賽爾維斯特內(nèi)插法1）凱萊-哈密頓定理A的特征方程：

凱萊-哈密頓定理指出(zhǐchū)，矩陣A滿足其自身的特征方程，即

第八頁(yè)，共34頁(yè)。2）最小多項(xiàng)式定義nn維矩陣A的最小多項(xiàng)式為最小階次的多項(xiàng)式即

使

則

最小多項(xiàng)式的求解步驟：

a.根據(jù)伴隨矩陣，寫出作為分解多項(xiàng)式的各元素。

b.確定各元素的最高公約式，選取的最高階次系數(shù)為1，若不存在(cúnzài)公約式，則

c.根據(jù)公式得到

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3）賽爾維斯特內(nèi)插法基本思想：化為A的有限項(xiàng)，然后通過(guò)求待定時(shí)間函數(shù)(hánshù)獲得的方法。設(shè)A的最小多項(xiàng)式階數(shù)為m，則通過(guò)求解行列式

（3-1）

得到。此外，也可采用如下等價(jià)方法：將（3-1）按最后一行展開，得到：

（3-2）第十頁(yè)，共34頁(yè)。

通過(guò)求解下列方程組

可確定出，進(jìn)而代入式（3-2）即可求得二、線性定常系統(tǒng)(xìtǒng)狀態(tài)方程的求解1、線性定常系統(tǒng)(xìtǒng)齊次狀態(tài)方程的解齊次狀態(tài)方程是研究系統(tǒng)(xìtǒng)本身的自由運(yùn)動(dòng)，不考慮輸入項(xiàng)。齊次狀態(tài)描述

第十一頁(yè)，共34頁(yè)。

解得方程的解為：將稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(jǔzhèn)，并記為當(dāng)初始狀態(tài)給定后，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(jǔzhèn)包含了自由運(yùn)動(dòng)的全部信息。2、線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解狀態(tài)描述方程，即：

求解非齊次狀態(tài)方程是為了研究輸入作用下系統(tǒng)強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，下面介紹求解的幾種方法：第十二頁(yè)，共34頁(yè)。

1）直接求解法將非齊次方程改寫為：作如下變換(biànhuàn)：

積分兩邊左乘得：

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若則對(duì)應(yīng)的初始狀態(tài)方程的解為：2）拉普拉斯變換(biànhuàn)法對(duì)式（3-3）求拉普拉斯變換(biànhuàn)，并移項(xiàng)整理

第十四頁(yè)，共34頁(yè)。

利用卷積分公式有

3）狀態(tài)方程解得意義線性定常系統(tǒng)有兩部分疊加而成，它們分別是系統(tǒng)初始狀態(tài)的初始運(yùn)動(dòng)和由輸入引起的系統(tǒng)的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)，其中強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)的值為輸入函數(shù)與矩陣函數(shù)的卷積。通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)妮斎肟刂菩盘?hào)來(lái)達(dá)到期望(qīwàng)的狀態(tài)變化規(guī)律。第十五頁(yè)，共34頁(yè)。三、線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解嚴(yán)格地說(shuō)，實(shí)際控制對(duì)象都是時(shí)變系統(tǒng)，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或參數(shù)隨時(shí)間變化。由于時(shí)變系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型復(fù)雜，不易于分析，優(yōu)化和控制，在實(shí)際工程準(zhǔn)許的情況下，可將慢時(shí)變系統(tǒng)作定常系統(tǒng)處理。對(duì)高精度控制系統(tǒng)需作時(shí)變系統(tǒng)處理。1、線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解時(shí)變齊次狀態(tài)方程為：

式（3-4）的解為：表示(biǎoshì)了系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的特性，代表初始狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)移特性完全由決定。第十六頁(yè)，共34頁(yè)。2、線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的求解線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是下列微分方程和初始條件的的解

對(duì)（3-6）在時(shí)間(shíjiān)域內(nèi)進(jìn)行積分有：

第十七頁(yè)，共34頁(yè)。將按式展開，這樣繼續(xù)迭代下去并將各展開式代入中：

時(shí)變系統(tǒng)(xìtǒng)矩陣與滿足矩陣乘法的可交換條件時(shí)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可表示為第十八頁(yè)，共34頁(yè)。

可交換的充分(chōngfèn)必要條件是：

3、線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解狀態(tài)描述方程為：

該非齊次狀態(tài)方程的解為

第十九頁(yè)，共34頁(yè)。比較線性定常連續(xù)系統(tǒng)與線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解的表示形式定常系統(tǒng)：時(shí)變系統(tǒng)：1）解的結(jié)構(gòu)(jiégòu)和形式相同，都是零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)的線性疊加。2）在為時(shí)不變時(shí)，時(shí)變系統(tǒng)的即為定常系統(tǒng)的。第二十頁(yè)，共34頁(yè)。四、線性離散(lísàn)時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解

圖3-1連續(xù)(liánxù)系統(tǒng)離散化的實(shí)現(xiàn)1、線性連續(xù)(liánxù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化第二十一頁(yè)，共34頁(yè)。線性連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)間離散化問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì),就是在一定的采樣(cǎiyànɡ)方式保持方式下,由系統(tǒng)的連續(xù)狀態(tài)空間模型來(lái)導(dǎo)出等價(jià)的離散狀態(tài)空間模型。1、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化1）精確離散化連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程的求解公式如下:考慮在采樣(cǎiyànɡ)時(shí)刻和時(shí)刻之間的狀態(tài)響應(yīng)，,于是

第二十二頁(yè)，共34頁(yè)。線性連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)間離散化問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì),就是在一定的采樣方式保持方式下,由系統(tǒng)的連續(xù)狀態(tài)空間模型來(lái)導(dǎo)出等價(jià)的離散狀態(tài)空間模型。1、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化1）精確離散化連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程的求解公式如下:考慮在采樣時(shí)刻和時(shí)刻之間的狀態(tài)響應(yīng)(xiǎngyìng)，,于是

第二十三頁(yè)，共34頁(yè)。考慮到u(t)在采樣周期內(nèi)保持不變的假定,所以(suǒyǐ)有

對(duì)上式作變量代換令,則上式可記為比較,可知兩式對(duì)任意的和成立的條件為將上式與線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程第二十四頁(yè)，共34頁(yè)。

上式即為精確離散化的計(jì)算式。2）近似離散化所謂線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的近似離散化方法是指在采樣周期(zhōuqī)較小,且對(duì)離散化的精度要求不高的情況下,用狀態(tài)變量的差商代替微商來(lái)求得近似的差分方程。當(dāng)采樣周期(zhōuqī)較小時(shí)，有

代入連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程，有

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與線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間(kōngjiān)模型的狀態(tài)方程比較，得近似離散化的計(jì)算公式：

將上述近似離散法和精確離散法比較知,由于I+AT和BT分別是eAT和eAtdtB的Taylor展開式中的一次近似,因此近似離散化方法其實(shí)是取精確離散化方法的相應(yīng)計(jì)算式的一次Taylor近似展開式。一般說(shuō)來(lái),采樣周期T越小,則離散化精度越高?？紤]實(shí)際的誤差等因素，T不宜過(guò)小。第二十六頁(yè)，共34頁(yè)。1、線性連續(xù)(liánxù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化3）狀態(tài)方程解得意義Z變換的方法Z的反變換后的結(jié)果與遞推法的求解結(jié)果是一致的。比較,可知兩式對(duì)任意的和成立的條件為（2）方陣A有n重特征值時(shí)，A不能變換為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型，只能(zhīnénɡ)使相似變換后的矩陣為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型J，即u(t)在采樣周期內(nèi)保持不變,所以有（3-2）一般說(shuō)來(lái),采樣周期T越小,則離散化精度越高。在采樣周期(zhōuqī)較小,對(duì)上式兩邊進(jìn)行Z反變換比較,可知兩式對(duì)任意的和成立的條件為得：

2、線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)(xìtǒng)的離散化線性時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)(xìtǒng)狀態(tài)空間模型的離散化,實(shí)際上是指在指定的采樣周期T下,將連續(xù)系統(tǒng)(xìtǒng)的狀態(tài)方程變換成線性時(shí)變離散系統(tǒng)(xì