浙江高考考前三個月數(shù)學(xué)文二輪專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練21集合與常用邏輯用語(含答案詳析)

專題二會集與常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第一講會集與常用邏輯用語1．會集的見解、運算(1)會集元素的三個特點：確定性、互異性、無序性，是判斷某些對象可否構(gòu)成一個會集或判斷兩會集可否相等的依照．(2)會集的表示方法：列舉法、描述法、圖示法．(3)會集間的關(guān)系：子集、真子集、空集、會集相等，在會集間的運算中要注意空集的情形．(4)重要結(jié)論A∩B＝A?A?B；A∪B＝A?B?A.2．命題兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性．3．充要條件設(shè)會集

A＝

{x|x

滿足條件

p}，B＝{x|x

滿足條件

q}，則有從邏輯見解看

從會集見解看p是p是

q的充分不用要條件q的必要不充分條件

(p?q，q?p)(q?p，p?q)

ABBAp是

q的充要條件

(p?q)

A＝Bp是

q的既不充分也不用要條件

(p?

q，q?p)

A與

B互不包含1．(2013·寧遼)已知會集A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，則A∩B等于()A．(0,1)B．(0,2]C．(1,2)D．(1,2]答案D解析A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．2．(2013北·京)“φ＝π”是“曲線y＝sin(2x＋φ)過坐標(biāo)原點”的()A．充分而不用要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不用要條件答案A解析當(dāng)φ＝π時，y＝sin(2x＋φ)＝－sin2x過原點．當(dāng)曲線過原點時，φ＝kπ，k∈Z，不用然有φ＝π∴“.φ＝π”是“曲線y＝sin(2x＋φ)過原點”的充分不用要條件．3．(2012山·東)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，會集A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，則(?UA)∪B為()A．{1,2,4}B．{2,3,4}C．{0,2,4}D．{0,2,3,4}答案C解析∵?UA＝{0,4}，B＝{2,4}，(?UA)∪B＝{0,2,4}．4．(2013·津天)已知以下三個命題：①若一個球的半徑減小到原來的1，則其體積減小到原來的1；28②若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等；1其中真命題的序號是()A．①②③B．①②C．①③D．②③答案C解析4R31431對于命題①，設(shè)球的半徑為R，則π2＝·πR，故體積減小到原來的，命題3838正確；對于命題②，若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差不用然相同，比方數(shù)據(jù)1,3,5和3,3,3的平均數(shù)相同，但標(biāo)準(zhǔn)差不相同，命題不正確；對于命題③，圓x2＋y2＝1的2圓心(0,0)到直線x＋y＋1＝0的距離d＝1＝2，等于圓的半徑，因此直線與圓相切，22命題正確．5．(2013四·川)設(shè)P1，P2，,，Pn為平面α內(nèi)的n個點，在平面α內(nèi)的全部點中，若點P到點P1，P2，,，Pn的距離之和最小，則稱點P為點P1，P2，,，Pn的一個“中位點”．比方，線段AB上的任意點都是端點A、B的中位點．現(xiàn)有以下命題：①若三個點A，B，C共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點；②直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個極點的中位點；③若四個點A，B，C，D共線，則它們的中位點存在且唯一；④梯形對角線的交點是該梯形四個極點的唯一中位點．其中的真命題是

________．(寫出全部真命題的序號

)答案

①④解析

∵|CA|＋|CB|≥|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)點

C在線段

AB上等號成立，即三個點

A，B，C，∴點C在線段AB上，∴點C是A，B，C的中位點，故①是真命題．如圖(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是AB的中點，CH⊥AB，點P，H不重合，則|PC|>|HC|.又|HA|＋|HB|＝|PA|＋|PB|＝|AB|，|HA|＋|HB|＋|HC|<|PA|＋|PB|＋|PC|，點P不是點A，B，C的中位點，故②是假命題．如圖(2)，A，B，C，D是數(shù)軸上的四個點，若P點在線段BC上，則|PA|＋|PB|＋|PC||PD|＝|AD|＋|BC|，由中位點的定義及①可知，點P是點A，B，C，D的中位點．顯然點P有無數(shù)個，故③是假命題．如圖(3)，由①可知，若點P是點A，C的中位點，則點P在線段AC上，若點P是點B，D的中位點，則點P在線段BD上，∴若點P是點A，B，C，D的中位點，則P是AC，BD的交點，∴梯形對角線的交點是梯形四個極點的唯一中位點，故④是真命題．題型一會集的見解與運算問題例1(1)(2012湖·北)已知會集A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的會集C的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4(2)定義A－B＝{x|x∈A且x?B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，則N－M等于()A．MB．NC．{1,4,5}D．{6}審題破題(1)先對會集A、B進(jìn)行化簡，注意B中元素的性質(zhì)，爾后依照子集的定義列舉全部適合條件的會集C即可．(2)透徹理解A－B的定義是解答本題的要點，要和補集差異開來．答案(1)D(2)D解析(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由題意知B＝{1,2,3,4}，∴滿足條件的C可為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)N－M＝{x|x∈N且x?M}．2∈N且2∈M，∴2?N－M；3∈N且3∈M，∴3?N－M；6∈N且6?M，∴6∈N－M.∴故N－M＝{6}．反思?xì)w納(1)解答會集間關(guān)系與運算問題的一般步驟：先正確理解各個會集的含義，認(rèn)清會集元素的屬性；再依照元素的不相同屬性采用不相同的方法對會集進(jìn)行化簡求解．(2)兩點提示：①要注領(lǐng)悟集中元素的互異性；②當(dāng)B?A時，應(yīng)注意談?wù)揃可否為?.變式訓(xùn)練1(2013·玉溪畢業(yè)班復(fù)習(xí)檢測)若會集2－x，則S∩TS＝{x|log2(x＋1)>0}，T＝x|<02＋x等于()A．(－1,2)B．(0,2)C．(－1，＋∞)D．(2，＋∞)答案D解析S＝{x|x＋1>1}＝{x|x>0}，T＝{x|x>2或x<－2}．S∩T＝{x|x>2}．題型二命題的真假與否定問題例2以下表達(dá)正確的個數(shù)是()①l為直線，α、β為兩個不重合的平面，若l⊥β，α⊥β，則l∥α；②在△ABC中，“∠A＝60°”是“cosA＝1”的充要條件；2③若向量a，b滿足a·b<0，則a與b的夾角為鈍角．A．1B．2C．3D．0審題破題判斷表達(dá)可否正確，對命題第一要分清命題的條件與結(jié)論，再結(jié)合涉及知識進(jìn)行判斷．答案A解析對于①，直線l不用然在平面α外，錯誤；②注意到△ABC中條件，正確；③a·b<0可能〈a，b〉＝π，錯誤．故表達(dá)正確的個數(shù)為1.反思?xì)w納(1)命題真假的判斷方法：①一般命題p的真假由涉及到的相關(guān)知識鑒識；②四種命題的真假的判斷依照：一個命題和它的逆否命題同真假，而與它的其他兩個命題的真假無此規(guī)律；③形如p∨q，p∧q，綈p命題的真假依照真值表判斷．(2)區(qū)分命題的否定和否命題：命題的否定只否定結(jié)論而否命題需否定條件和結(jié)論．變式訓(xùn)練2給出以下命題：①對任意x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；②若log2x＋logx2≥2，則x>1；③“若a>b>0且c<0，則ca>bc”的逆否命題．其中真命題只有

(

)A．①②③

B．①②C．①③

D．②③答案

A解析

①中不等式可表示為

(x－1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可變?yōu)?/p>

log2x＋1≥2，log2x1得x>1；③中由a>b>0，得a<b，而c<0，因此原命題是真命題，則它的逆否命題也為真．題型三例3

充要條件的判斷問題(1)甲：x≠2或y≠3；乙：

x＋y≠5，則

(

)A．甲是乙的充分不用要條件B．甲是乙的必要不充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件2(2)設(shè)命題p：|4x－3|≤1；命題q：x－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是()11A.0，2B.0，2C．(－∞，0)∪1，＋∞D(zhuǎn)．(－∞，0)∪1，＋∞22審題破題(1)利用逆否命題鑒識甲、乙的關(guān)系；(2)轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€會集間的包含關(guān)系，利用數(shù)軸解決．答案

(1)B

(2)A解析

(1)“甲??“x＝2且

乙”，即“x≠2或y≠3”?“x＋y≠5”，其逆否命題為：“x＋y＝5”y＝3”顯然不正確．同理，可判斷命題“乙?甲”為真命題．因此甲是乙的必要不充分條件．2(2)綈p：|4x－3|>1；綈q：x－(2a＋1)x＋a(a＋1)>0，解得綈p：x>1或x<1；綈q：x>a＋1或x<a.2111.若綈p?綈q，則a≤2或a<2，即0≤a≤a＋1>1a＋1≥12反思?xì)w納(1)充要條件判斷的三種方法：定義法、會集法、等價命題法；(2)判斷充分、必要條件時應(yīng)注意的問題：①要弄清先后序次：“A的充分不用要條件是B”是指B能推出A，且A不能夠推出B；而“A是B的充分不用要條件”則是指A能推出B，且B不能夠推出A；②要善于舉出反例：若是從正面判斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進(jìn)行時，能夠經(jīng)過舉出適合的反例來說明．變式訓(xùn)練3(1)(2012·山東)設(shè)a>0且a≠1，則“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的(

)A．充分不用要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不用要條件答案

A解析由題意知函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)等價于上是增函數(shù)等價于0<a<1或1<a<2，

0<a<1，函數(shù)

g(x)＝(2－a)x3在

R∴“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的充分不用要條件．x(2)設(shè)A＝{x|x－1<0}，B＝{x|0<x<m}，若B是A成立的必要不充分條件，則m的取值范圍是()A．m<1B．m≤1C．m≥1D．m>1答案Dx解析x－1<0?0<x<1.由已知得，0<x<m?0<x<1，但0<x<1?0<x<m成立．∴m>1.典例設(shè)非空會集S＝{x|m≤x≤l}滿足：當(dāng)x∈S時，有x2∈S.給出以下三個命題：①若m＝1，則S＝{1}；②若m＝－1，則1≤l≤1；24③若l＝1，則－2≤m≤0.22其中正確命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3解析①m＝1時，l≥m＝1且x2≥1，∴l(xiāng)＝1，故①正確．12＝11②m＝－時，m4，故l≥.24又l≤1，∴②正確．③l＝1時，m2≤1且m≤0，則－2≤m≤0，222∴③正確．答案D得分技巧

創(chuàng)新性試題中最常有的是以新定義的方式給出試題，

這類試題要求在新的情境中使用已知的數(shù)學(xué)知識解析解決問題，

解決這類試題的要點是透徹理解新定義，

抓住新定義的實質(zhì)，判斷給出的各個結(jié)論，適合的時候能夠經(jīng)過反例推翻其中的結(jié)論．閱卷老師提示在給出的幾個命題中要求找出其中正確命題類的試題實質(zhì)上就是一個多項選擇題，解答這類試題時要對各個命題屢次進(jìn)行商酌，確定可能正確的要進(jìn)行嚴(yán)格的證明，確定可能錯誤的要舉出反例，這樣才能有效防備答錯試題．2，B＝{x|ax＝1}，若A∩B＝B，則a等于()1．已知會集A＝{x|x＋x－2＝0}A．－1或1B．2或－12C．－2或1或0D．－1或1或02答案D解析依題意可得A∩B＝B?B?A.由于會集A＝{x|x2＋x－2＝0}＝{－2,1}，當(dāng)x＝－2時，－2a＝1，解得a＝－12；當(dāng)x＝1時，a＝1；又由于B是空集時也吻合題意，這時a＝0，應(yīng)選D.2．(2013·江浙)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，則“f(x)是奇函數(shù)”是“φπ＝”的()2A．充分不用要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不用要條件答案B解析ππφ＝?f(x)＝Acosωx＋2＝－Asinωx為奇函數(shù)，2π∴“f(x)是奇函數(shù)”是“φ＝”的必要條件．2又f(x)＝Acos(ωx＋φ)是奇函數(shù)?ππf(0)＝0?φ＝＋kπ(k∈Z)?φ＝.22∴“f(x)是奇函數(shù)”不是“φ＝π2”的充分條件．3．已知會集A＝{(x，y)|x，y為實數(shù)，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y為實數(shù)，且y＝x}，則A∩B的元素個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3答案C解析會集A表示的是圓心在原點的單位圓，會集B表示的是直線y＝x，據(jù)此畫出圖象，可得圖象有兩個交點，即A∩B的元素個數(shù)為2.4．已知會集P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，則a的取值范圍為()A．(－∞，－1]B．[1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案C解析由P＝{x|x2≤1}得P＝{x|－1≤x≤1}．由P∪M＝P得M?P.又M＝{a}，∴－1≤a≤1.5．以下命題中錯誤的選項是()A．命題“若x2－5x＋6＝0，則x＝2”的逆否命題是“若x≠2，則x2－5x＋6≠0”B．若x，y∈R，則“x＝y(tǒng)”是“xy≤x＋y2中等號成立”的充要條件2C．已知命題p和q，若p∨q為假命題，則命題p與q中必一真一假D．命題“若x>y，則x>|y|”的抗命題是真命題答案C解析易知選項A，B，D都正確；選項C中，若p∨q為假命題，依照真值表，可知p，q必都為假，故C錯．專題限時規(guī)范訓(xùn)練一、選擇題1．(2013陜·西)設(shè)全集為R，函數(shù)f(x)＝1－x2的定義域為M，則?RM為()A．[－1,1]B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案D解析由題意得M＝[－1,1]，則?RM＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．(2013山·東)給定兩個命題p，q.若綈p是q的必要而不充分條件，則p是綈q的()A．充分而不用要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件答案A解析由題意知：綈p?q?(逆否命題)p?綈q.3．(2012·南湖)命題“若α＝π，則tanα＝1”的逆否命題是4()ππA．若α≠α≠1，則tanα≠1B．若α＝，則tan44ππC．若tanα≠1，則α≠4D．若tanα≠1，則α＝4答案C解析由命題與其逆否命題之間的關(guān)系可知，π原命題的逆否命題是：若tanα≠1，則α≠.44．設(shè)會集A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，則滿足S?A且S∩B≠?的會集S的個數(shù)是()A．57B．56C．49D．8答案B解析由S?A知S是A的子集，又∵A＝{1,2,3,4,5,6}，∴滿足條件S?A的S共有2664(種)可能．又∵S∩B≠?，B＝{4,5,6,7,8}，∴S中必含4,5,6中最少一個元素，而在滿足S?A的全部子集S中，不含4,5,6的子集共有23＝8(種)，∴滿足題意的會集S的可能個數(shù)為64－8＝56.5．設(shè)會集A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，則“x∈A∪B”是“x∈C”的()A．充分而不用要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不用要條件答案

C解析A＝{x|x－2>0}＝{x|x>2}＝(2，＋∞)，B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，∴A∪B＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x<0或x>2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．A∪B＝C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要條件．ex6．設(shè)有兩個命題，p：不等式1x在R上是減＋x>a的解集為R；q：函數(shù)f(x)＝－(7－3a)4e函數(shù)，若是這兩個命題中有且只有一個真命題，那么實數(shù)a的取值范圍是()7A．1≤a<2B．2<a≤37C．2≤a<3D．1<a≤2答案Aex解析記A＝{a|不等式1＋x>a的解集為R}；4eB＝{a|f(x)＝－(7－3a)x在R上是減函數(shù)}．x1e由于函數(shù)y＝4＋ex的最小值為1，故A＝{a|a<1}．又由于函數(shù)f(x)＝－(7－3a)x在R上是減函數(shù)，故7－3a>1，即a<2，因此B＝{a|a<2}．要使這兩個命題中有且只有一個真命題，a的取值范圍為[(?RA)∩B]∪[(?RB)∩A]，而(?RA)∩B＝[1，＋∞)∩(－∞，2)＝[1,2)，(?RB)∩A＝[2，＋∞)∩(－∞，1)＝?，因此[(?RA)∩B]∪[(?RB)∩A]＝[1,2)，應(yīng)選A.2x7．已知p：x－1<1，q：(x－a)(x－3)>0，若綈p是綈q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1)B．[1,3]C．[1，＋∞)D．[3，＋∞)答案C解析2x－1<0?x＋1x－1x－1<0?(x－1)(x＋1)<0?p：－1<x<1.當(dāng)a≥3時，q：x<3或x>a；當(dāng)a<3時，q：x<a或x>3.綈p是綈q的必要不充分條件，即p是q的充分不用要條件，即p?q且q?p，從而可推出a的取值范圍是a≥1.8．以下命題中是假命題的是()A．存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβB．對任意x>0，有l(wèi)g2x＋lgx＋1>0C．△ABC中，A>B的充要條件是sinA>sinBD．對任意φ∈R，函數(shù)y＝sin(2x＋φ)都不是偶函數(shù)答案D解析對于A，當(dāng)α＝β＝0時，tan(α＋β)＝0＝tanα＋tanβ，因此選項A是真命題；對2x＋lgx＋1＝lgx＋1233>0，因此選項B是真命題；對于C，在△ABC于B，注意到lg2＋≥44中，由A>B?a>b?2RsinA>2RsinB?sinA>sinB(其中R是△ABC的外接圓半徑)，因此π選項C是真命題；對于D，注意到當(dāng)φ＝2時，y＝sin(2x＋φ)＝cos2x是偶函數(shù)，因此選項D是假命題．綜上所述，選D.二、填空題9．已知會集A＝{x∈R||x－1|<2}，Z為整數(shù)集，則會集A∩Z中全部元素的和等于________．答案3解析A＝{x∈R||x－1|<2}＝{x∈R|－1<x<3}，會集A中包含的整數(shù)有0,1,2，故A∩Z＝{0,1,2}．故A∩Z中全部元素之和為0＋1＋2＝3.10．設(shè)會集M＝{y|y－m≤0}，N＝{y|y＝2x－1，x∈R}，若M∩N≠?，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案(－1，＋∞)解析M＝{y|y≤m}，N＝{y|y>－1}，結(jié)合數(shù)軸易知m>－1.11．已知命題p：“對任意12－lnx－a≥0”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是x∈[1,2]，x2________．答案－∞，12111解析命題p：a≤x2－lnx在[1,2]上恒成立，令f(x)＝x2－lnx，f′(x)＝x－＝22xx－1x＋1，當(dāng)1<x<2時，f′(x)>0，∴f(x)min＝f(1)＝1，∴a≤1.x2212．給出以下命題：①“數(shù)列{an}為等比數(shù)列”是“數(shù)列{anan＋1}為等比數(shù)列”的充分不用要條件；②“a＝2”是“函數(shù)f(x)＝|x－a|在區(qū)間[2，＋∞)上為增函數(shù)”的充要條件；③“m＝3”是“直線(m＋3)x＋my－2＝0與直線mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要條件；④設(shè)a，b，c分別是△ABC三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a＝1，b＝3，則“