專題24-解三角形中的最值、范圍問題(解析版)

專題24-解三角形中的最值、范圍問題(解析版)專題24解三角形中的最值、范圍問題解三角形問題是高考高頻考點，命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理、三角形面積公式等知識解題，解題時要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”，另外要注意三者的關(guān)系.高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理實現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式.1、正弦定理：，其中為外接圓的半徑正弦定理的主要作用是方程和分式中的邊角互化.其原則為關(guān)于邊，或是角的正弦值是否具備齊次的特征.如果齊次則可直接進行邊化角或是角化邊，否則不可行學(xué)/科-+網(wǎng)例如：（1）（2）（恒等式）（3）2、余弦定理：變式：此公式在已知的情況下，配合均值不等式可得到和的最值4、三角形中的不等關(guān)系（1）任意兩邊之和大于第三邊：在判定是否構(gòu)成三角形時，只需驗證較小的兩邊之和是否比第三邊大即可.由于不存在等號成立的條件，在求最值時使用較少（2）在三角形中，邊角以及角的三角函數(shù)值存在等價關(guān)系：其中由利用的是余弦函數(shù)單調(diào)性，而僅在一個三角形內(nèi)有效.5、解三角形中處理不等關(guān)系的幾種方法（1）轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€變量的函數(shù)：通過邊角互化和代入消元，將多變量表達式轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)，從而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域（最值）（2）利用均值不等式求得最值【經(jīng)典例題】例1.【2018屆百校聯(lián)盟TOP20高三四月聯(lián)考全國一卷】已知四邊形中，，設(shè)與面積分別為，則的最大值為_____.【答案】【解析】分析：利用余弦定理推，求出的表達式，利用二次函數(shù)以及余弦函數(shù)的值的范圍，求的最大值即可．點睛：求解三角函數(shù)的最值(或值域)時一定要注意自變量的取值范圍，由于三角函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大值和最小值可能不在自變量區(qū)間的端點處取得．例2.【2018屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試高三下學(xué)期第二次調(diào)研】在中，角A,B,C所對的邊分別為，則實數(shù)a的取值范圍是____________.【答案】.【解析】由，得，所以，則由余弦定理，得，解得，又，所以的范圍是.例3.【2018屆浙江省杭州市高三第二次檢測】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若對任意λ∈R，不等式恒成立，則的最大值為_____．【答案】2例4.【衡水金卷信息卷三】已知的三邊分別為，，，所對的角分別為，，，且滿足，且的外接圓的面積為，則的最大值的取值范圍為__________．【答案】【解析】由的三邊分別為，，可得：，可知：，，，例5.【2018屆湖南省株洲市高三檢測（二）】已知中，角所對的邊分別是,且.(1)求角的大??；(2)設(shè)向量，邊長，當(dāng)取最大值時，求邊的長.【答案】(1)(2).【解析】分析：（1）由題意，根據(jù)正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此可求角的大??；（2）因為由此可求當(dāng)取最大值時，求邊的長.（2）因為所以當(dāng)時，取最大值，此時，由正弦定理得，例6.【2018屆四川省攀枝花市高三第三次（4月）統(tǒng)考】已知的內(nèi)角的對邊分別為其面積為,且.學(xué)/科/*網(wǎng)（Ⅰ）求角；（II）若,當(dāng)有且只有一解時,求實數(shù)的范圍及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面積公式化簡得到,再解這個三角方程即得A的值.（II）先根據(jù)有且只有一解利用正弦定理和三角函數(shù)的圖像得到m的取值范圍，再寫出S的函數(shù)表達式求其最大值.詳解：(Ⅰ)由己知(Ⅱ)由己知，當(dāng)有且只有一解時，或,所以；當(dāng)時，為直角三角形，當(dāng)時，由正弦定理，，所以，當(dāng)時，綜上所述，.例7.【2018屆四川省資陽市高三4月（三診）】在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求A．（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.，進而可得結(jié)果.試題解析：（1）根據(jù)正弦定理得，即，則，即，由于，【方法點睛】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).除了直接利用兩定理求邊和角以外，恒等變形過程中，一般來說,當(dāng)條件中同時出現(xiàn)及、時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.例8．【2018屆甘肅省張掖市高三三診】已知，，設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，，成等比數(shù)列，求的取值范圍．【答案】(1)，．(2).【解析】試題分析：（1）由題，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求其單調(diào)增區(qū)間；（2）由題可知，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，，由此可求的取值范圍．（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，，，綜上，的取值范圍為．例9.【2018屆吉林省吉林市高三第三次調(diào)研】銳角中，對邊為，（1）求的大??；（2）求代數(shù)式的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）由及余弦定理的變形可得，因為，故得，從而可得銳角中．（2）利用正弦定理將所求變形為，然后根據(jù)的取值范圍求出代數(shù)式的取值范圍即可．試題解析：（1）∵，，∴，∴∴，∴,∵為銳角三角形，且∴，即,解得，∴∴∴．故代數(shù)式的取值范圍．點睛：（1）求的取值范圍時，可根據(jù)正弦定理將問題轉(zhuǎn)化為形如的函數(shù)的取值范圍的問題解決，這是在解三角形問題中常用的一種方法，但在解題中要注意確定角的范圍．（2）解答本題時要注意“銳角三角形”這一條件的運用，根據(jù)此條件可的求得的范圍，然后結(jié)合函數(shù)的圖象可得的范圍，以達到求解的目的．例10.【2018屆衡水金卷信息卷（一）】已知的內(nèi)角的對邊分別為，若向量，且.（1）求角的值；（2）已知的外接圓半徑為，求周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】試題分析：（1）由，得，利用正弦定理統(tǒng)一到角上易得（2）根據(jù)題意，得，由余弦定理，得，結(jié)合均值不等式可得，所以的最大值為4，又，從而得到周長的取值范圍.得.又，所以.（2）根據(jù)題意，得.由余弦定理，得，即，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以的最大值為4.又，所以，所以.所以的周長的取值范圍為.【精選精練】1.【2018屆東莞市高三第二次考試】在中，若，則的取值范圍為()A.B.C.D.【答案】D【解析】因為，所以，即，即，2．【2018屆湖南省衡陽市高三二?！吭谥?，已知為的面積)，若,則的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】C【解析】，，，，又，，，，故選C.3．【2018屆四川省綿陽市高三三診】四邊形中，，，設(shè)、的面積分別為、，則當(dāng)取最大值時，__________．【答案】【點睛】本小題主要考查三角形的面積公式的應(yīng)用,考查同角三角函數(shù)關(guān)系,考查利用余弦定理解三角形,考查二次函數(shù)最值的求法.首先根據(jù)題目所求,利用三角形面積公式,寫出面積的表達式,利用同角三角函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為余弦值,利用余弦定理化簡,再利用配方法求得面積的最值,并求得取得最值時的值.4．【2018屆廣東省肇慶市高三第三次模擬】已知的角對邊分別為，若，且的面積為，則的最小值為________.【答案】5．【2018屆遼寧省遼南協(xié)作校高三下學(xué)期一模】設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為且+,則的范圍是__________．【答案】【解析】由+得,所以，即，再由余弦定理得，即，解得，又，所以的范圍是.點睛：在解三角形問題中，一般需要利用余弦定理結(jié)合均值不等式，來求兩邊和的取值范圍或者是三角形的面積的最值，只需運用余弦定理，并變形為兩邊和與兩邊積的等式，在利用均值不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于兩邊和或兩邊積的不等式，解不等式即可求出范圍.6．【2018屆四川省攀枝花市高三第三次（4月）統(tǒng)考】已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為,且,則的最大值為__________．【答案】即，所以的最大值為．點睛：本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問題，對于解三角形問題，通常利用正弦定理進行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.7．【2018屆寧夏石嘴山市高三4月適應(yīng)性測試（一模）】已知分別為內(nèi)角的對邊，且.（1）求角；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由正弦定理邊化角得到，從而得解；（2）由余弦定理得，結(jié)合即可得最值.試題解析：（1）∵，∴由正弦定理可得，即面積的最大值為.8．【2018屆四川省攀枝花市高三第三次（4月）統(tǒng)考】已知的內(nèi)角的對邊分別為其面積為,且.（Ⅰ）求角；（II）若,當(dāng)有且只有一解時,求實數(shù)的范圍及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面積公式化簡得到,再解這個三角方程即得A的值.（II）先根據(jù)有且只有一解利用正弦定理和三角函數(shù)的圖像得到m的取值范圍，再寫出S的函數(shù)表達式求其最大值.詳解：(Ⅰ)由己知由余弦定理得，所以，即,，所以.由正弦定理，，所以，當(dāng)時，綜上所述，.點睛：本題在轉(zhuǎn)化有且只有一解時,容易漏掉m=2這一種情況.此時要通過正弦定理和正弦函數(shù)的圖像分析，不能死記硬背.先由正弦定理得再畫正弦函數(shù)的圖像得到或.9．【衡水金卷信息卷（二）】在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）若，且，求邊的取值范圍.【答案】(1)；(2).在中，由正弦定理，得，∴，∵，∴，∴，即的取值范圍為.10．【2018屆遼寧省沈陽市東北育才學(xué)校高三三?！恳阎齻€內(nèi)角的對邊分別為，的面積滿足．（1）求角的值；（2）求的取值范圍．【答案】（1）；（2），又，.（2）11．【2018屆江蘇省姜堰、溧陽、前黃中學(xué)高三4月聯(lián)考】在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，且.（1）求的值；（2）若，為的面積，求的取值范圍.【答案