專題3-5 圓錐曲線定值問題-(人教A版2019選擇性必修第一冊) (教師版)

圓錐曲線定值問題1定值問題在圓錐曲線中，某些幾何量在特定的關(guān)系結(jié)構(gòu)中，不受相關(guān)變元的制約而恒定不變，則稱該變量具有定值特征.Eg①一個(gè)球在水平面上無論怎么滾動(dòng)，球心到水平面的距離都是半徑長；②橢圓上一動(dòng)點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)F1、F2的距離之和2解決此類問題的基本策略定值問題往往涉及到一連串的“運(yùn)動(dòng)變化”，要確定某幾何量的定值，我們要先理解題意，明確“變化的源頭”，再找到源頭與含定值特征的幾何量之間的代數(shù)或幾何關(guān)系，來確定解題的突破口.①參數(shù)法把相關(guān)幾何量用曲線里的參變量表示，再證明結(jié)論與求參數(shù)無關(guān)；解題步驟引進(jìn)參數(shù)--列出關(guān)系式--化簡消參，求出定值.②由特殊到一般法把相關(guān)幾何量的變元特殊化，在特例中求出幾何量的定值，再證明結(jié)論與特定狀態(tài)無關(guān).③幾何法根據(jù)幾何關(guān)系確定相關(guān)幾何量的不變.【方法一】參數(shù)法【典題1】已知橢圓x2a2+y2b(1)求橢圓的方程；(2)過F1作兩直線m,n交橢圓于A,B,C,D四點(diǎn)，若m⊥n，求證：1【解析】(1)過程略，所求橢圓方程為x24+(2)證明：當(dāng)直線m斜率不存在時(shí)，此時(shí)|AB|=3,|CD|=4，當(dāng)直線m斜率存在時(shí)，設(shè)直線m的方程為y=k(x+1)(k≠0)．由y=k(x+1)x24設(shè)A(x則有x|AB|=1+(求AB用弦長公式)∵m⊥n，∴直線n的方程為y=-同理|CD|=12(1+k2)所以1|AB|綜上1|AB|+1【點(diǎn)撥】①定值問題往往涉及到“運(yùn)動(dòng)變化”，我們一定要找到其“源頭”.我們是如下思考的線段AB、CD長度是分別隨直線∵m⊥n，∵m⊥n，∴直線m的變化決定了直線n線段AB、CD長度由直線直線m直線m過F線段AB、CD長度由直線m的斜率這樣就找到了“源頭”，故想到用k表示線段AB、②本題采取參數(shù)法，AB、CD顯然可理解為直線與橢圓的弦長，故用弦長公式表示線段，當(dāng)直線m斜率k存在時(shí)，1|AB|+1|CD|表示成關(guān)于參數(shù)k的式子③若本題是一道非解答題，利用特殊法(即k不存在時(shí))就很容易得到1|AB|+1【典題2】橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為35，P(m,0)為C的長軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)斜率為(1)求C的方程；(2)求證：PA2+【解析】(1)過程略，橢圓C的方程為x2(2)依題意l的方程為x=5代入x225+設(shè)A(x則PA同理PB2=PA2所以PA2【點(diǎn)撥】①本題的“變化源頭”是m，線段PA、PB的長度變化顯然是由m的值決定的，故想到用m表示線段PA、②本題采取參數(shù)法，線段PA、PB用兩點(diǎn)間距離公式x1-x22+y1-y22表示成xA,③直線l的方程設(shè)為x=54【典題3】已知A、B是橢圓x22+(1)求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；(2)在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使得MA?MB【解析】(1)由已知條件知：直線AB過橢圓右焦點(diǎn)F(1,0)．當(dāng)直線AB與x軸重合時(shí)，λ=3±2當(dāng)直線AB不與x軸重合時(shí)，設(shè)AB：x=my+1，代入橢圓方程，并整理得2+m設(shè)A(x由根與系數(shù)的關(guān)系得y1所以(y又由AF=λFB，所以(解之得3-22綜上，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[3-22,3+2(2)設(shè)M(a,0)，直線AB不與x軸重合時(shí)，則MA?MB=(=(m=(1+m=-1+=-1+(2a-3)m22+m2所以-12=2a-3故存在定點(diǎn)M(54,0)，使得經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)AB與x軸重合時(shí)也成立，∴存在定點(diǎn)M(54,0)，使得MA【點(diǎn)撥】①本題的“變化源頭”是直線AB，若設(shè)直線AB方程為x=my+1，“源頭”可理解為m，即不管m取任何值，MA?MB的值恒定不變，引入?yún)?shù)②若式子c+dxa+bx是定值，不受x的影響，則有c③注意最后直線AB與x軸重合特殊情況的分析.【典題4】一束光線從點(diǎn)F1(－1,0)出發(fā)，經(jīng)直線l：2x－(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求以F1、F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)(3)設(shè)點(diǎn)Q是橢圓C上除長軸兩端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，試問在x軸上是否存在兩定點(diǎn)A、B，使得直線QA、【解析】(1)設(shè)F1關(guān)于l的對稱點(diǎn)為F(m,n)(由反射的性質(zhì)，可知點(diǎn)F,P,F2則nm+1=-12且2?m-1易得直線PF方程為x+7y-1=0，由x+7y-1=02x-y+3=0，解得(2)因?yàn)镻F得2a=P所以a=2．又c=1所以b=1．所以橢圓C的方程為x2(3)方法一假設(shè)存在兩定點(diǎn)為A(s,0),B(t,0)，則kQA?kQB=(若其是定值，則不受x,y的影響，先想到消元)又x22若要2-x22st+2解得s=2t=-2所以有且只有兩定點(diǎn)(2使得kQA?k方法二假設(shè)存在兩定點(diǎn)為A(s,0),B(t,0)，使得對于橢圓上任意一點(diǎn)Q(x,y)(除長軸兩端點(diǎn))都有kQA?kQB=k即yx-s?yk+12x由題意(*)式對任意x∈(-所以k+12=0k(x+t)=0kst-1=0所以有且只有兩定點(diǎn)(2使得kQA?k【點(diǎn)撥】①方法一分式a1x2+b1方法二利用方程恒成立的方法：式子ax2+bx+c=0對x恒成立?a=0,b=0,c=0，設(shè)②點(diǎn)P處的切線PT平分△PF1F2在點(diǎn)【典題5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，以橢圓C左頂點(diǎn)T為圓心作圓(1)求橢圓C的方程；(2)求TM?TN的最小值，并求此時(shí)圓(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M,N的任意一點(diǎn)，且直線MP,NP分別與x軸交于點(diǎn)R,S,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：|OR|?OS【解析】(1)過程略，橢圓C的方程為x24(2)過程略，TM?TN最小值為-15，圓T(3)分析：|OR|?|OS|=|xRxS|方法一設(shè)P(x0,y0則直線MP的方程為y-y令y=0，得xR同理xS=x1y0+故xR?又點(diǎn)M與點(diǎn)P在橢圓上，故x0代入(*)式，得xR所以|OR|?|OS|=|xR方法二設(shè)M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,－不妨設(shè)sinθ>0,P(2cosα,sinα)，其中sinα≠±sinθ．則直線MP的方程為y-sinα=令y=0，得xR同理xS=2(sinαcosθ+cosαsinθ)sinα+sinθ，(把上式的故xR所以|OR|?|OS|=|x【點(diǎn)撥】參數(shù)法處理定值問題，找到了“運(yùn)動(dòng)源頭”，如何引入?yún)?shù)需要根據(jù)題意，計(jì)算量是一衡量因素.本題源頭是點(diǎn)P和點(diǎn)M，設(shè)P(x0,y0)，【方法二】“由特殊到一般”法【典題1】已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，F(xiàn)1、F2分別是它的左、右焦點(diǎn)，A(－(1)求雙曲線的方程；(2)若直線AP、AQ分別與直線x=12交于(3)是否存在常數(shù)λ，使得∠PF2A=λ∠PA【解析】(1)過程略，雙曲線C的方程為：x2(2)證明：設(shè)直線l的方程為x=ty+2，(源頭是t，則用t表示MF2?N另設(shè)P(x聯(lián)立3x2-y∴y又直線AP的方程為y=代入x=12，解得同理N(1∴M∴M=9(3)(分析：先通過特殊情況確定λ，再證明一般情況下也成立)當(dāng)直線l的方程為x=2時(shí)，解得P(2,3)．易知此時(shí)△AF其中∠AF2P=下證：∠AF2P=2∠PAtan2∠PAF∵x12-∴tan2∠PAF∴tan∠AF∴結(jié)合正切函數(shù)在(0,π2)∪(【點(diǎn)撥】①第三問本質(zhì)是證明∠PF2A∠PAF2是定值，本題采取了“由特殊到一般法”，思路是：在直線斜率不存在的特殊情況下易得λ=2，再證明②關(guān)于角度的問題，我們較容易想到解三角形的知識(shí)點(diǎn)，本題要證明∠AF2P=2∠PAF2【方法三】幾何法【典題1】已知拋物線C:y2=2px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)(1)求拋物線C的方程及其相應(yīng)準(zhǔn)線方程；(2)過點(diǎn)E(2,0)作斜率為k1,k2的兩條直線分別交拋物線于M,N和P,Q四點(diǎn)，其中k1+k2=1．設(shè)線段MN和PQ的中點(diǎn)分別為A,B，過點(diǎn)E【解析】(1)過程略，拋物線的方程為y2=4x，準(zhǔn)線方程為(2)證明：設(shè)MN：由y=k1(x-2)y可得x即A(2+2k∴k則直線AB的方程為y=k可得直線AB過定點(diǎn)F(2,2)，則EF=2，又ED⊥FD，(隱圓，定弦定角模型)∴D的軌跡是(2,1)為圓心，1為半徑的圓，則存在定點(diǎn)T(2,1)，使得線段TD長度為定值1．【點(diǎn)撥】①“存在定點(diǎn)T，使得線段TD長度為定值”，意味著動(dòng)點(diǎn)D到定點(diǎn)T是定長，即D的軌跡是以T為圓心的圓；②本題的“變化源頭”是k1(或k2)，由①的分析較為直接的思路是求出D的軌跡，具體作法：求出直線DE方程，再與直線AB聯(lián)立求出點(diǎn)D的坐標(biāo)(用k1表示)，消參k③本題的解法屬于幾何法，在求出直線AB方程，有“意外收獲”：它有定點(diǎn)(2,2)，結(jié)合圖象確定是“定弦定角的隱圓模型”，可知D的軌跡，確定定點(diǎn)T(2,1).【典題2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)A,B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線AF1與直線BF2平行，AF(i)若AF1－BF2=【解析】(1)過程略，橢圓的方程為x2(2)解：由(1)得F1又∵直線AF1與直線∴設(shè)AF1與BF設(shè)A(x∴由x122∴y1=m+∴|AF1同理|BF2i由①②得A∴2mm2∴直線AF1的斜率為(ii)證明：∵直線AF1與直線BF2平行，(∴PBPF由點(diǎn)B在橢圓上知，∴PF同理PF∴PF由①②得，∴PF1+P【點(diǎn)撥】①本題采取了幾何法，利用相似三角形的性質(zhì)把PF1+PF2轉(zhuǎn)化為A②本題另一思路：求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)---求出直線AF2、BF1的方程---求出點(diǎn)P的坐標(biāo)---鞏固練習(xí)1(★★★)如圖，已知橢圓C1：x24+y2=1，過拋物線C2：x2=4y焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M,N兩點(diǎn)，連接NO，MO并延長分別交C1于AA．若記直線NO，MO的斜率分別為k1，kB．△OAB的面積S△OAB是定值C．線段OA，OB長度的平方和OAD．設(shè)λ=S△OMN【答案】ABCD【解析】F(0,1)，設(shè)直線MN的方程為y=kx+1，聯(lián)立方程組y=kx+1x2=4y∴x∴y∴k1k設(shè)直線OA的方程為y=mx(m>0)，則直線OB的方程為y=-1聯(lián)立方程組y=mxx2不妨設(shè)A在第三象限，則A(-21+4用-14m替換m可得∴A到OB的距離d=又|OB|=∴S△OAB=又OA∴OA2+聯(lián)立方程組y=mxx2=4y故N(4m,4m2)，∴|ON|=4mm∴M到直線OA的距離h=∴S當(dāng)且僅當(dāng)2m=12m即∴λ=S△OMNS故選：ABCD．2(★★)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知焦點(diǎn)為F的拋物線x2=4y上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B，且滿足AF=λ(1)求：OA?OB的值；(2)證明FM【答案】(1)-3(2)0【解析】(1)設(shè)A(∵焦點(diǎn)F(0,1)，∴AF∵AF∴-化簡整理得x1-x2x∴OA→?OB(2)拋物線方程為y=1∴過拋物線A、B兩點(diǎn)的切線方程分別為y=即y=12x1x-x∴FM→?3(★★)已知，橢圓C過點(diǎn)A(1,32)(1)求橢圓C的方程；(2)E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值．【答案】(1)x24【解析】(Ⅰ)由題意c=1，可設(shè)橢圓方程為11+b2+9所以橢圓方程為x24+(Ⅱ)設(shè)直線AE方程為：y=k(x-1)+代入x24設(shè)E(x因?yàn)辄c(diǎn)A(1,3所以由韋達(dá)定理得：x所以xE又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以－K代K，可得所以直線EF的斜率K即直線EF的斜率為定值，其值為12．4(★★★)已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長軸長為4，上頂點(diǎn)為(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)M、N為橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若OM?ON=0，問：點(diǎn)O到直線MN【答案】(1)x2【解析】(1)設(shè)橢圓C的半焦距為c,由已知可得2a=4，∵∠F1AF2=60°∴|AF2|=a=2，∴cos∠OA∴橢圓C的方程為x24+(2)當(dāng)直線MN的斜率存不在時(shí)，MN⊥x軸由OM→?ON結(jié)合橢圓的對稱性，可設(shè)M(x,x)，N(x,－將點(diǎn)M(x,x)代入橢圓方程，可得x解得x=±2當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，此時(shí)點(diǎn)O到直線MN的距離d=|m|1+設(shè)M(x聯(lián)立y=kx+mx24由△=64k2m∴x∴x=(1+k=(1+k又∵OM即7m2∴d2=12綜上所述，點(diǎn)O到直線MN的距離d=25(★★★)已知離心率為223的橢圓x2a2+y2=1(a>1)，與直線l交于(1)求橢圓方程；(2)若k1?k【答案】(1)x2【解析】(1)由題意，b=1e=∴b∴橢圓方程為x2(2)設(shè)P(x當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m,聯(lián)立橢圓方程可得：9k則x|PQ|=1+點(diǎn)O到直線的距離d=|m|∴S由k1化簡得：9k2=2若直線的斜率不存在，可得S△POQ綜上可得，三角形POQ的面積為定值326(★★★)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圓O(1)①若圓O過橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的離心率e；②若橢圓上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，求橢圓離心率e的取值范圍；(2)設(shè)直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M,N，求證：a2【答案】(1)22【解析】(1)①∵圓O過橢圓的焦點(diǎn)，圓O：x2∴b=c，∴e=22②由∠APB=90°及圓的性質(zhì)，可得|OP|=∠OAP=∠OBP=∠APB=90°，且|OA|=|OB|=b，則四邊形OABP是正方形，|OP|=|AB|=2b∴OP∴e2(2)設(shè)P(x0整理得x0∵x∴PA方程為：x1x+y∴x直線AB方程為y-y1=-令x=0，得|ON|=|y|=b2|y∴a∴a2|ON|27(★★★)已知點(diǎn)M(－2,0),N(2,0)，點(diǎn)P滿足：直線PM的斜率為k1，直線PN的斜率為k(1)求點(diǎn)P(x,y)的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)F(1,0)的直線l交曲線C于A,B兩點(diǎn)，問在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得QA?QB為定值？若存在，求出點(diǎn)【答案】(1)x2【解析】(1)由題意可得k由k1?整理可得P的軌跡方程為x2(2)假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q(m,0)，使得QA→當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k(x－聯(lián)立3x2+4y2令A(yù)(x1由QA→所以QA==-(5+8m)將m看做常數(shù)，要使得上式為定值，需滿足5+8m=16，即m=此時(shí)QA當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可得A(1,3所以QA→=綜上所述，存在Q(118，8(★★★)已知橢圓E：x2a2(1)若OP2+OQ(2)點(diǎn)B(0,b)，若BP⊥BQ，求證：直線(3)若OP⊥OQ，求證：直線PQ【答案】(1)|kOP?