專(zhuān)題04 導(dǎo)數(shù)解答題【2023高考必備】2013-2022十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編（全國(guó)通用版）（解析版）

2013-2022十年全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編專(zhuān)題04導(dǎo)數(shù)解答題1．(2022新高考全國(guó)II卷·第22題)已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為．(2)(3)見(jiàn)解析解析:(1)當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為．(2)設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾．若，則，下證：對(duì)任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立．由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以．當(dāng)時(shí)，有，所以在上為減函數(shù)，所以．綜上，．(3)取，則，總有成立，令，則，故即對(duì)任意的恒成立．所以對(duì)任意的，有，整理得到：，故【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來(lái)源】2022新高考全國(guó)II卷·第22題2．(2022新高考全國(guó)I卷·第22題)已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線(xiàn)，其與兩條曲線(xiàn)和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析解析：(1)的定義域?yàn)?，而，若，則，此時(shí)無(wú)最小值，故．的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故．當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故．因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈?，故，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為．綜上，．(2)由(1)可得和的最小值為．當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù)．設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2．設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2．當(dāng)，由(1)討論可得、僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由(1)討論可得、均無(wú)零點(diǎn)，故若存在直線(xiàn)與曲線(xiàn)、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則．設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：當(dāng)時(shí)，即即，當(dāng)時(shí)，即即，因此若存在直線(xiàn)與曲線(xiàn)、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故，此時(shí)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來(lái)源】2022新高考全國(guó)I卷·第22題3．(2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷·第22題)已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：有一個(gè)零點(diǎn)①；②．【答案】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：有一個(gè)零點(diǎn)①；②．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來(lái)源】2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷·第22題4．(2021年新高考Ⅰ卷·第22題)已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：．【答案】解析：(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．(2)因?yàn)?，故，即，故，設(shè)，由(1)可知不妨設(shè)．因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，故．先證：，若，必成立．若，要證：，即證，而，故即證，即證：，其中．設(shè)，則，因?yàn)?，故，故，所以，故在為增函?shù)，所以，故，即成立，所以成立，綜上，成立．設(shè)，則，結(jié)合，可得：，即：，故，要證：，即證，即證，即證：，即證：，令，則，先證明一個(gè)不等式：．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，故成立由上述不等式可得當(dāng)時(shí)，，故恒成立，故在上為減函數(shù)，故，故成立，即成立．綜上所述，．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來(lái)源】2021年新高考Ⅰ卷·第22題5．(2020年新高考I卷(山東卷)·第21題)已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)若f(x)≥1，求a取值范圍．【答案】(1)(2)解析：(1)，，．，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),∴函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線(xiàn)方程為,即,切線(xiàn)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,∴所求三角形面積為;(2)解法一：,，且．設(shè),則∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，,∴,∴成立．當(dāng)時(shí)，，，,∴存在唯一，使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，因此>1,∴∴恒成立；當(dāng)時(shí)，∴不是恒成立．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞)．解法二：等價(jià)于,令,上述不等式等價(jià)于,顯然為單調(diào)增函數(shù)，∴又等價(jià)于，即，令,則在上h’(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，∴,，∴a的取值范圍是[1,+∞)．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來(lái)源】2020年新高考I卷(山東卷)·第21題6．(2020新高考II卷(海南卷)·第22題)已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)解析：(1)，，．，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),∴函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線(xiàn)方程為,即,切線(xiàn)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,∴所求三角形面積為;(2)解法一：,，且．設(shè),則∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，,∴,∴成立．當(dāng)時(shí)，，，,∴存在唯一，使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，因此>1,∴∴恒成立；當(dāng)時(shí)，∴不是恒成立．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞)．解法二：等價(jià)于,令,上述不等式等價(jià)于,顯然為單調(diào)增函數(shù)，∴又等價(jià)于，即，令,則在上h’(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，∴,，∴a的取值范圍是[1,+∞)．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來(lái)源】2020新高考II卷(海南卷)·第22題7．(2021年高考全國(guó)乙卷理科·第20題)設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．(1)求a；(2)設(shè)函數(shù)．證明:．【答案】；證明見(jiàn)詳解解析：(1)由，，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；(2)由(1)得，，且，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；同理，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時(shí)，，單減，假設(shè)能取到，則，故；當(dāng)時(shí)，，單增，假設(shè)能取到，則，故；綜上所述，在恒成立【點(diǎn)睛】本題為難題，根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0可求參數(shù)，第二問(wèn)解法并不唯一，分類(lèi)討論對(duì)函數(shù)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的過(guò)程，一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價(jià)性問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)和換元法也常常用于解決復(fù)雜函數(shù)的最值與恒成立問(wèn)題．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來(lái)源】2021年高考全國(guó)乙卷理科·第20題8．(2021年高考全國(guó)甲卷理科·第21題)已知且，函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線(xiàn)與直線(xiàn)有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；(2)．解析：(1)當(dāng)時(shí)，,令得,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；(2),設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，所以曲線(xiàn)與直線(xiàn)有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線(xiàn)與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線(xiàn)和直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，屬較難試題，關(guān)鍵是將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來(lái)源】2021年高考全國(guó)甲卷理科·第21題9．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第21題)已知函數(shù)．(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥x3+1，求a的取值范圍．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．(2)【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，，由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．(2)由得，，其中，①．當(dāng)x=0時(shí)，不等式為：，顯然成立，符合題意；②．當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)a得，，記，，令，則，，故單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞增，，由可得：恒成立，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；因此，,綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來(lái)源】2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第21題10．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第21題)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x．(1)討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；(2)證明：；(3)設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤【答案】(1)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析．解析：(1)由函數(shù)的解析式可得：，則：，在上的根為：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增(2)注意到，故函數(shù)是周期為的函數(shù)，結(jié)合(1)的結(jié)論，計(jì)算可得：，，，據(jù)此可得：，，即．(3)結(jié)合(2)的結(jié)論有：．【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來(lái)源】2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第21題11．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第21題)設(shè)函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)(，f())處的切線(xiàn)與y軸垂直．(1)求b．(2)若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析解析：(1)因?yàn)?，由題意，，即則；(2)由(1)可得，，令，得或；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，若所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對(duì)值大于1零點(diǎn)，則或，即或．當(dāng)時(shí)，，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；當(dāng)時(shí)，，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．【點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，反證法，考查學(xué)生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來(lái)源】2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第21題12．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第20題)已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)是否存在，使得在區(qū)間最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)或．【官方解析】(1)． 令，得或． 若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減； 若時(shí)，在單調(diào)遞增； 若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故 在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減． (2)滿(mǎn)足題設(shè)條件的存在．(ⅰ)當(dāng)時(shí)，由(1)知，在單調(diào)遞增，所以在區(qū)間的最小值為，最大值為．此時(shí)滿(mǎn)足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，即．(ⅱ)當(dāng)時(shí)，由(1)知，在單調(diào)遞減，所以在區(qū)間的最大值為，最小值為．此時(shí)滿(mǎn)足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，即．(ⅲ)當(dāng)時(shí)，由(1)知，在的最小值為，最大值為或．若，則，與矛盾．若，則或或，與矛盾．綜上，當(dāng)且僅當(dāng)或，在最小值為，最大值為1．【點(diǎn)評(píng)】這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少．考查的函數(shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計(jì)算．思考量不大，計(jì)算量略大．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來(lái)源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第20題13．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理科·第20題)已知函數(shù)．討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)的切線(xiàn)．【答案】函數(shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)，證明見(jiàn)解析；證明見(jiàn)解析.【官方解析】的定義域?yàn)?因?yàn)?，所以在和上是單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以在有唯一零點(diǎn)，即．又，，故在有唯一零點(diǎn)．綜上，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．因?yàn)椋庶c(diǎn)在曲線(xiàn)上．由題設(shè)知，即，故直線(xiàn)的斜率．曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率是，曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率也是，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)的切線(xiàn)．【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性；先求出曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)，然后求出當(dāng)曲線(xiàn)切線(xiàn)的斜率與斜率相等時(shí)，證明曲線(xiàn)切線(xiàn)在縱軸上的截距與在縱軸的截距相等即可.【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，因此函?shù)在和上是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)，時(shí)，，而，顯然當(dāng)，函數(shù)有零點(diǎn)，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以函?shù)在必有一零點(diǎn)，而函數(shù)在上是單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)綜上所述，函數(shù)的定義域內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)；因?yàn)槭堑囊粋€(gè)零點(diǎn)，所以，所以曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的斜率，故曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的方程為：而，所以的方程為，它在縱軸的截距為.設(shè)曲線(xiàn)的切點(diǎn)為，過(guò)切點(diǎn)為切線(xiàn)，，所以在處的切線(xiàn)的斜率為，因此切線(xiàn)的方程為，當(dāng)切線(xiàn)的斜率等于直線(xiàn)的斜率時(shí)，即，切線(xiàn)在縱軸的截距為，而，所以，直線(xiàn)的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線(xiàn)重合，故曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)的切線(xiàn).【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求已知函數(shù)的單調(diào)性、考查了曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來(lái)源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷理科·第20題14．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科·第20題)已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：(1)在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；(2)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．【答案】解：(1)設(shè)，則，．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，可得在有唯一零點(diǎn)，設(shè)為．則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在存在唯一極大值點(diǎn)，即在存在唯一極大值點(diǎn)．(2)的定義域?yàn)椋?i)當(dāng)時(shí)，由(1)知，在單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，又，從而是在的唯一零點(diǎn)．(ii)當(dāng)時(shí)，由(1)知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，，所以存在，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．又，，所以當(dāng)時(shí)，．從而在沒(méi)有零點(diǎn)．(iii)當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減．而，，所以在有唯一零點(diǎn)．(iv)當(dāng)時(shí)，，所以<0，從而在沒(méi)有零點(diǎn)．綜上，有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【題目來(lái)源】2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷理科·第20題15．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理)·第21題)已知函數(shù)．(1)若，證明：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；(2)若是的極大值點(diǎn)，求．【答案】【官方解析】當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增又，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．(2)(i)若，由(1)知，當(dāng)時(shí)，這與是的極大值點(diǎn)矛盾(ii)若，設(shè)函數(shù)由于當(dāng)時(shí)，，故與符號(hào)相同又，故是的極大值點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)是的極大值點(diǎn)如果，則當(dāng)，且時(shí)，，故不是的極大值點(diǎn)如果，則存在根，故當(dāng)，且時(shí)，，所以不是的極大值點(diǎn)如果，則則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以是的極大值點(diǎn)，從而是的極大值點(diǎn)綜上．【民間解析】(1)法一：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋藭r(shí)記則所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)法二：當(dāng)時(shí)，，則，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減所以時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增所以時(shí)，②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增所以時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，綜上所述若，證明：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．(2)法一：由可得所以因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，又設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增所以任意時(shí)，所以若時(shí)，，此時(shí)不存在極值，故由(1)知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，顯然，當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，則若，則，使得當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿(mǎn)足題意，故，即②當(dāng)時(shí)，則若，則，使得當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿(mǎn)足題意，故，即綜上，，所以．法二：記，當(dāng)，時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，即所以在上單調(diào)遞增，與是的極大值點(diǎn)不符合；當(dāng)時(shí)，，顯然可知遞減①，解得，則有，，遞增；時(shí)，，遞減，所以，故遞減，又則，，，遞增；，，，遞減此時(shí)為的極大值點(diǎn)，符合題意②當(dāng)時(shí)，有，所以在有唯一零點(diǎn)，記為，則，，遞增則，遞增，所以，即，遞增，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，有，所以在有唯一零點(diǎn)，記為，則，，遞減則，遞減，所以，即，遞減，不符合題意綜上可知．法三：(2)嘗試一：(極大值點(diǎn)的第二充要條件：已知函數(shù)在處各階導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)的一個(gè)充要條件為前階導(dǎo)數(shù)等于0，第階導(dǎo)數(shù)小于0。)，，，由得下證：當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)，，所以在單增，在單減進(jìn)而有，從而在單減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，從而在單增，在單減，所以是的極大值點(diǎn)。點(diǎn)評(píng)：計(jì)算量很大，但不失為一種基本方法，激勵(lì)熱愛(ài)數(shù)學(xué)的學(xué)生不拘泥于老師所教，就著自己的興趣，不斷學(xué)習(xí)，學(xué)而致知?；诖耍€可以從大學(xué)的角度給出一種解法。通過(guò)在階的帕德逼近可得，且兩個(gè)函數(shù)在處兩個(gè)函數(shù)可以無(wú)限制逼近，估計(jì)這也是考試中心構(gòu)造這個(gè)函數(shù)的方法。由此可以迅速得到，我們也可以根據(jù)帕德逼近把此題的對(duì)數(shù)函數(shù)改為指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，構(gòu)造出相應(yīng)的題目。嘗試一難點(diǎn)在于的各階導(dǎo)數(shù)太復(fù)雜，由帕德逼近優(yōu)化其解法。法四：引理1：若與在處函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值都相同，則在處導(dǎo)數(shù)為．證明：，因?yàn)?，且，代入化?jiǎn)即證：引理2：已知函數(shù)在處各階導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)的一個(gè)充要條件為前階導(dǎo)數(shù)等于0，第階導(dǎo)數(shù)小于0。，令，則易得，，，由引理1知，等價(jià)于，從而迅速求得。當(dāng)時(shí)，嘗試二：若是的極大值點(diǎn)，注意到，則存在充分接近于的，使得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，得到一個(gè)恒成立問(wèn)題，其基本方法之一有分離參數(shù)法。對(duì)任意的，都有，進(jìn)而有=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，綜上：．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用\導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值\含參函數(shù)的極值問(wèn)題【題目來(lái)源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理)·第21題16．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷(理)·第21題)(12分)已知函數(shù)．(1)若，證明：當(dāng)時(shí)，；(2)若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求．【答案】解析：(1)當(dāng)時(shí)，等價(jià)于．設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減．而，故當(dāng)時(shí)，，即．(2)設(shè)函數(shù)．在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn)．(i)當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有零點(diǎn)．(ii)當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故是在的最小值．①若，即，在沒(méi)有零點(diǎn)；②若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)；③若，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)．由(1)知，當(dāng)時(shí)，，所以．故在有一個(gè)零點(diǎn)．因此在有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用\導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)、方程的根的問(wèn)題【題目來(lái)源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷(理)·第21題17．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ(理)·第21題)(12分)已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【答案】解:(1)的定義域?yàn)?，?i)若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，所以在單調(diào)遞減．(ii)若，令得，或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．(2)由(1)知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)．由于的兩個(gè)極值點(diǎn)滿(mǎn)足，所以，不妨設(shè)，則．由于，所以等價(jià)于．設(shè)函數(shù)，由(1)知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時(shí)，．所以，即．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用\導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值\含參函數(shù)的極值問(wèn)題【題目來(lái)源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ(理)·第21題18．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科·第21題)已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性;(2)若有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍．【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)．【分析】(1)討論的單調(diào)性,首先進(jìn)行求導(dǎo),發(fā)現(xiàn)式子特點(diǎn)后要及時(shí)進(jìn)行因式分解,再對(duì)按、進(jìn)行討論,寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)根據(jù)第(1)問(wèn),若,至多有一個(gè)零點(diǎn),若,當(dāng)時(shí),取得最小值,求出最小值,根據(jù),進(jìn)行討論,可知當(dāng)有個(gè)零點(diǎn),設(shè)正整數(shù)滿(mǎn)足,則,由于,因此在有一個(gè)零點(diǎn),所以的取值范圍為．【解析】(1)的定義域?yàn)?(ⅰ)若,則,所以在單調(diào)遞減．(ⅱ)若,則由得．當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增．(2)(ⅰ)若,由(1)知,至多有一個(gè)零點(diǎn)．(ⅱ)若,由(1)知,當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為．①當(dāng)時(shí),由于,故只有一個(gè)零點(diǎn);②當(dāng)時(shí),由于,即,故沒(méi)有零點(diǎn);③當(dāng)時(shí),,即．又,故在有一個(gè)零點(diǎn)．設(shè)正整數(shù)滿(mǎn)足,則．由于,因此在有一個(gè)零點(diǎn)．綜上,的取值范圍為．【民間解析】:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?且注意到當(dāng)時(shí),,所以恒成立此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減當(dāng),由,由所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增綜上可知①時(shí),在上單調(diào)遞減;②時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增(2)由(1)可知,時(shí),在上單調(diào)遞減此時(shí)至多一個(gè)零點(diǎn),不符合題意當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增此時(shí)函數(shù)的最小值為要使有兩個(gè)零點(diǎn),首先必須有即令,則有,故在上單調(diào)遞增,而所以另一方面取而,在單調(diào)遞增所以函數(shù)在上有唯一一個(gè)零點(diǎn),在沒(méi)有零點(diǎn)此時(shí)當(dāng)時(shí),所以,而在上單調(diào)遞減所以函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn),在上有唯一零點(diǎn)綜上可知當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．【考點(diǎn)】含參函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍．【點(diǎn)評(píng)】研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題常常與研究對(duì)應(yīng)方程的實(shí)根問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化．已知函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍,第一種方法是分離參數(shù),構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù),研究其單調(diào)性、極值、最值,判斷與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù),從而求出的范圍;第二種方法是直接對(duì)含參函數(shù)進(jìn)行研究,研究其單調(diào)性、極值、最值,注意點(diǎn)是:若有個(gè)零點(diǎn),且函數(shù)先減后增,則只需其最小值小于,且后面還需驗(yàn)證有最小值的兩邊存在大于的點(diǎn)．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用\導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)、方程的根的問(wèn)題【題目來(lái)源】2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科·第21題19．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第21題)(12分)已知函數(shù)．(1)若，求的值；(2)設(shè)為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)，，求的最小值．【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】(Ⅰ),則,且當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)增,所以時(shí),,不滿(mǎn)足題意;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞增．①若,在上單調(diào)遞增∴當(dāng)時(shí)矛盾②若,在上單調(diào)遞減∴當(dāng)時(shí)矛盾③若,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增∴滿(mǎn)足題意綜上所述．(Ⅱ)當(dāng)時(shí)即則有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立∴,一方面:,即．另一方面:當(dāng)時(shí),∵,,∴的最小值為．【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【點(diǎn)評(píng)】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具,而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn),所以在歷屆高考中,對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出,本專(zhuān)題在高考中的命題方向及命題角度從高考來(lái)看,對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行:(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷單調(diào)性;已知單調(diào)性,求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值),解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用\導(dǎo)數(shù)與不等式的證明【題目來(lái)源】2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第21題20．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第21題)(12分)已知函數(shù)且．(1)求；(2)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且．【答案】(1)；(2)證明略．【命題意圖】本題考查函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．【基本解法】(1)法一．由題知：，且，所以：．即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，成立．令，，當(dāng)時(shí)，，遞減，，所以：，即：．所以：；當(dāng)時(shí)，，遞增，，所以：，即：．所以：；綜上：．法二．洛必達(dá)法則由題知：，且，所以：．即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，成立．令，．令，．當(dāng)時(shí)，,遞增，；所以，遞減，．所以：；當(dāng)時(shí)，,遞減，；所以，遞減，．所以：；故．由(1)知：，．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在遞減，在遞增．又，，，所以在有唯一零點(diǎn)，在有唯一零點(diǎn)1，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．又，所以是的唯一極大值點(diǎn)．由得，故．由得．因?yàn)槭窃诘奈ㄒ粯O大值點(diǎn)，由，得所以．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【點(diǎn)評(píng)】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專(zhuān)題在高考中的命題方向及命題角度，從高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)了單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)必；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的人優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)中的幾種經(jīng)典問(wèn)題\函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題【題目來(lái)源】2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第21題21．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第21題)設(shè)函數(shù),其中,記的最大值為.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求;(Ⅲ)證明.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)見(jiàn)解析.【解析】(Ⅰ).(Ⅱ)當(dāng)時(shí),因此,.當(dāng)時(shí),將變形為.令,則是在上的最大值,且當(dāng)時(shí),取得極小值,極小值為.令,解得(舍去),.(i)當(dāng)時(shí),在內(nèi)無(wú)極值點(diǎn),,,所以.(ii)當(dāng)時(shí),由,知.又,所以.綜上,.(Ⅲ)由(Ⅰ)得.當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),,所以.當(dāng)時(shí),,所以.【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用\導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值\含參函數(shù)的最值問(wèn)題【題目來(lái)源】2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第21題22．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第21題)(本小題滿(mǎn)分12分)(I)討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，；(II)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值．設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域．【答案】(1)略；(2)．分析：(Ⅰ)先求定義域，用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，證明結(jié)論；(Ⅱ)用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，在構(gòu)造新函數(shù)，又用導(dǎo)數(shù)法求解．【解析】(Ⅰ)的定義域?yàn)椋覂H當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，所以(II)由(I)知，單調(diào)遞增，對(duì)任意因此，存在唯一使得即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．因此在處取得最小值，最小值為于是，由單調(diào)遞增所以，由得因?yàn)閱握{(diào)遞增，對(duì)任意存在唯一的使得所以的值域是綜上，當(dāng)時(shí)，有最小值，的值域是．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用\導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值\含參函數(shù)的最值問(wèn)題【題目來(lái)源】2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第21題23．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第21題)(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．(I)求a的取值范圍；(II)設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．【答案】(I)；(II)見(jiàn)解析【官方解答】(I)由已知得：①若，那么，只有唯一的零點(diǎn)，不合題意；②若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，取b滿(mǎn)足且，則，故存在兩個(gè)零點(diǎn)．③設(shè)，由得或．若，則，故當(dāng)時(shí)，，因此在單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí)，，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．若，則，故當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí)，，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．綜上的取值范圍為．(II)不妨設(shè)．由(I)知在單調(diào)遞減所以，即．由于，而所以設(shè)，則所以當(dāng)時(shí)，，則，故當(dāng)時(shí)，從而，故．【民間解答】(I)由已知得：①若，那么，只有唯一的零點(diǎn)，不合題意；②若，那么，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減即：↓極小值↑故在上至多一個(gè)零點(diǎn)，在上至多一個(gè)零點(diǎn)由于，，則，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．而當(dāng)時(shí)，，，故則的兩根，，因?yàn)?，故?dāng)或時(shí)，因此，當(dāng)且時(shí)，又，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在有且只有一個(gè)零點(diǎn)．此時(shí)，在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，滿(mǎn)足題意．③若，則，當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞增．即：00+↑極大值↓極小值↑而極大值故當(dāng)時(shí)，在處取到最大值那么恒成立，即無(wú)解而當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)此時(shí)在上至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．④若，那么當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞增又在處有意義，故在上單調(diào)遞增，此時(shí)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．⑤若，則當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，，即，單調(diào)遞增即：00↑極大值↓極小值↑故當(dāng)時(shí)，在處取到最大值那么恒成立，即無(wú)解當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)此時(shí)在上至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)符合題意，即的取值范圍為．(II) 由已知得：，不難發(fā)現(xiàn)，，故可整理得：設(shè)，則那么當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．設(shè)，構(gòu)造代數(shù)式：設(shè)，則，故單調(diào)遞增，有．因此，對(duì)于任意的，．由可知、不可能在的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè)，則必有令，則有而，，在上單調(diào)遞增，因此：整理得：．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)中的幾種經(jīng)典問(wèn)題\極值偏移問(wèn)題【題目來(lái)源】2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第21題24．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科·第21題)(本題滿(mǎn)分12分)設(shè)函數(shù)．(Ⅰ)證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；(Ⅱ)若對(duì)于任意，都有，求的取值范圍．【答案】(Ⅰ)詳見(jiàn)解析；(Ⅱ)．解析：(Ⅰ)．若，則當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，．若，則當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，．所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，對(duì)任意的，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在處取得最小值．所以對(duì)于任意，的充要條件是：即①，設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，故當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，，即①式成立．當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性，，即；當(dāng)時(shí)，，即．綜上，的取值范圍是．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用\導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用\利用導(dǎo)數(shù)研究恒能恰成立的問(wèn)題【題目來(lái)源】2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科·第21題25．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科·第21題)(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)(Ⅰ)當(dāng)為何值時(shí)，軸為曲線(xiàn)的切線(xiàn)；(Ⅱ)用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)當(dāng)或時(shí)，由一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)．分析：(Ⅰ)先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于切點(diǎn)的方程組，解出切點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)的值；(Ⅱ)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)將分為研究的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，若零點(diǎn)不容易求解，則對(duì)再分類(lèi)討論．解析：(Ⅰ)設(shè)曲線(xiàn)與軸相切于點(diǎn)，則，，即，解得．因此，當(dāng)時(shí)，軸是曲線(xiàn)的切線(xiàn)．(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，，從而，∴在(1，+∞)無(wú)零點(diǎn)．當(dāng)=1時(shí)，若，則，,故=1是的零點(diǎn)；若，則，,故=1不是的零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，所以只需考慮在(0,1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．(ⅰ)若或，則在(0,1)無(wú)零點(diǎn)，故在(0,1)單調(diào)，而，，所以當(dāng)時(shí)，在(0，1)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，在(0，1)無(wú)零點(diǎn)．(ⅱ)若，則在(0，)單調(diào)遞減，在(，1)單調(diào)遞增，故當(dāng)=時(shí)，取的最小值，最小值為=．①若＞0，即＜＜0，在(0,1)無(wú)零點(diǎn)．②若=0，即，則在(0,1)有唯一零點(diǎn)；③若＜0，即，由于，，所以當(dāng)時(shí)，在(0,1)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在(0,1)有一個(gè)零點(diǎn)．…10分綜上，當(dāng)或時(shí)，由一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)的切線(xiàn)；對(duì)新概念的理解；分段函數(shù)的零點(diǎn)；分類(lèi)整合思想【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用\導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)、方程的根的問(wèn)題【題目來(lái)源】2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科·第21題26．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科·第21題)(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)=．(Ⅰ)討論的單調(diào)性；(Ⅱ)設(shè)，當(dāng)時(shí)，,求的最大值；