專題34：圓錐曲線中點弦問題

第第頁參考答案1．A【分析】設直線交橢圓于，，把兩點坐標代入橢圓方程，利用點差法求得斜率，然后求解直線方程．【解析】設弦所在的直線與橢圓交，則，兩式相減得：，因為弦中點為，所以，所以，即則直線方程為：,化簡得．故選：A．【點評】本題主要考查了直線與橢圓相交的位置關系，“點差法”的解題思想方法，直線方程的求法，屬于中檔題．2．B【分析】設,,根據(jù)向量運算可得，聯(lián)立直線與拋物線方程，由根與系數(shù)的關系即可求解k.【解析】設，則，由，，，，①即，由得，當，即時，代入①得：即，解得或（舍去），故選：B【點評】本題主要考查了拋物線的方程，直線與拋物線的位置關系，向量運算，屬于難題.3．D【分析】設出兩點的坐標，代入橢圓方程，作差變形，利用斜率公式和中點坐標可求得結果.【解析】設，因為直線過，所以，得，所以，設，由，得，得，因為P為線段的中點，O為坐標原點，所以，，所以，又在直線上，所以，所以，即，將其代入，得，，所以橢圓C的方程為.故選：D【點評】本題使用點差法求解，一般涉及到弦的中點和斜率問題的題目可以使用點差法，步驟如下：①設出弦的兩個端點的坐標；②將弦的兩個端點的坐標代入曲線方程；③作差變形并利用斜率公式和中點坐標公式求解.4．A【分析】設點、，利用點差法求得，進而可得出雙曲線的離心率為，即可得解.【解析】設點、，則，由題意，得，，兩式相減，得，整理得，所以，因此，雙曲線的離心率為，故選：A.【點評】求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關于、的齊次方程，然后轉化為關于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.5．B【分析】利用點差法求出直線斜率，即可得出直線方程.【解析】由直線得所以解得則設，則，兩式相減得，即，則直線方程為，即.

故選：B.【點評】點差法是求解中點弦有關問題的常用方法.6．A【分析】設，，的中點，根據(jù)點M，N在雙曲線上，且P為中點，利用點差法得到，再由M，N關于直線對稱，得到，則，又點在直線上，得到，聯(lián)立求得點P,代入拋物線方程求解.【解析】設，，的中點，因為，所以；又因為，所以；又因為M，N關于直線對稱，所以，即；又因為點在直線上，所以；由，可得，所以，即或，故選：A.【點評】圓錐曲線上兩點關于直線的對稱問題主要有聯(lián)立方程法和點差法兩種解法．7．【分析】將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出線段的中點的橫坐標，由此可得出結果.【解析】拋物線的焦點為，設點、，由題意可知，直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達定理可得，則線段的中點的橫坐標為.因此，線段的中點到軸的距離是.故答案為：.【點評】利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.8．【分析】設，，由題中條件設雙曲線方程為，將兩點坐標代入雙曲線方程，兩式作差化簡整理，得到，求出，即可得出雙曲線的漸近線方程.【解析】由題意，可設雙曲線方程為，，，因為過的直線與C交于，兩點，的中點為，所以，，，，又，兩式作差可得，即，則，即，又，所以，因此，則，所以此雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.【點評】思路點睛：求解圓錐曲線的中點弦問題時，一般需要先設弦兩端點的坐標，將兩點代入曲線方程，兩式作差整理，得到直線斜率與弦中點坐標之間關系，進而即可求解.9．（1）；（2），理由見解析【分析】（1）設出直線的方程聯(lián)立橢圓方程，再由中點坐標公式即可求解.（2）假設存在，利用斜率公式，等差中項列出式子求解即可.【解析】解：（1）由題知：，，設直線的方程為：，，，則聯(lián)立直線與橢圓方程：，消去得：，，，是的中點，的橫坐標為，解得：，，的縱坐標為，（2）假設存在直線滿足條件，由（1）知：，，，是，的中點，的坐標為：，，，成等差數(shù)列，，，，，，代入得：，化簡得：，將，，，，代入并化簡解得：，直線的方程為：.【點評】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．10．（1）證明見解析；（2）是，4.【分析】（1）設，，由是橢圓上的點可得，兩式相減進行整理可得，從而可求出，則可得的垂直平分線的斜率，由點斜式可得的垂直平分線的方程為，即可得所過定點.（2）由點斜式得直線的方程為，則點從而可求；得直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立可求出其交點橫坐標，聯(lián)立與橢圓方程，結合韋達定理，對進行化簡，可得，即可求出的值，從而可判斷是否為定值.【解析】解：設，.（1）由題意知，直線的斜率為，因為是橢圓上的點，則，兩式相減，整理得，所以，故線段的垂直平分線的斜率為，從而線段的垂直平分線的方程為，所以，線段的垂直平分線經(jīng)過定點.（2）直線的方程為，由條件知：，則點，.聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去得：，所以，.直線的方程為①，直線的方程為②.設點，由①，②得，.所以，.即為定值4.【點評】本題考查了中點弦問題，考查了直線與橢圓的位置關系，考查了直線方程的點斜式.本題的難點在于計算，特別是第二問中對交點橫坐標的化簡.一般中點弦問題的做題思路為，設出弦端點的坐標，代入到圓錐曲線方程，兩方程相減，進行化簡，即可得弦的中點和弦所在直線斜率的關系.11．（1）3；（2）.【分析】（1）根據(jù)橢圓方程得出，結合橢圓定義，再根據(jù)基本不等式求得的最大值；（2）設，利用點差法和中點坐標公式，求出，由兩點坐標寫出，結合，求出關于的方程為點M的軌跡方程.【解析】（1）已知橢圓方程為，焦點在軸上，可得，所以，由橢圓的定義可知，，又因為，則當且僅當時，的最大值為3.（2）設，其中，當直線的斜率存在時，則①-②得：，即，又因為：則有：，解得：.當直線的斜率不存在時，也符合上述方程.綜上得：的軌跡方程為：.【點評】本題主要考查橢圓的簡單性質和定義的運用，利用點差法求中點弦所在直線的斜率以及結合基本不等式求最值.12．（1）；（2）【分析】（1）將代入橢圓方程，可得，再結合離心率為，聯(lián)立可求得，即可求出橢圓方程；（2）結合的橫坐標為1，可表示出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結合韋達定理，可得到的表達式，進而求得的取值范圍.【解析】（1）將代入橢圓方程得，則，即，又離心率，即，所以，解得，，所以橢圓的方程為；（2）設，，，若直線的斜率存在且不為0，設為，則，兩式相減得，又，∴，直線的方程為，即，與橢圓的方程聯(lián)立得，則，，故，將代入橢圓方程，得，所以，則，故.當直線的斜率為0時，不滿足的中點的橫坐標為1；當直線的斜率不存在時，，即為橢圓的左右頂點，故，綜上所述，.【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的應用，考查平面向量的坐標運算，考查學生的計算求解能力，屬于難題.13．（1）；（2）（）；（3）.【分析】（1）根據(jù)題意可得，由此求得橢圓方程。（2）設，利用點差法求出線段中點的軌跡方程。（3）設直線的方程為：，直線的方程為：，聯(lián)立求得，由此證明點的橫坐標為定值?！窘馕觥浚?）橢圓兩頂點，短軸長為，焦距為，，解得橢圓方程為：.（2）設，則①，②，則①②得，，即.線段中點的軌跡方程為：.（3）證明：設直線的方程為：，直線的方程為：，兩式聯(lián)立可得：由①②得即③，又三點共線，則④，②代入③得把③④代入⑤整理得.【點評】本題考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，掌握直線與圓錐曲線的位置關系，合理運用數(shù)形結合、整體代入等思想和方法。14．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）能，.【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，結合拋物線的性質，即可求出拋物線的方程為。（Ⅱ）設，，設而不求利用點差法求出直線AB的斜率，再利用點斜式即可求出直線的方程。（Ⅲ）設，，，，且.聯(lián)立直線與拋物線方程，得到聯(lián)立方程，再利用韋達定理以及M，A，C三點共線得出的數(shù)量關系，假設C，D，Q三點共線，構造關于的等式，轉化為的等式，進行求解即可得出結論?！窘馕觥浚á瘢┯深}意有，及，解得.故拋物線的方程為.（Ⅱ）設，，則，，兩式相減得，即.于是，，（注：利用直線與拋物線方程聯(lián)立，求得，同樣得4分）故直線l的方程為，即；（Ⅲ）設，，，，且.由，得，則，，由M，A，C三點共線，可得，化簡得，即.同理可得，，假設C，D，Q三點共線，則有，化簡得，進一步可得，，即，解得.因此，當直線l的斜率時，C，D，Q三點共線.【點評】本題主要考查拋物線的定義，以及利用點差法設而不求的思想求解與拋物線相交的直線的斜率，以及利用方程思想解決圓錐曲線的各類問題。15．（1）；（2）是，.【解析】【分析】（1）利用點差法列式進行化簡，由此求得直線的斜率，進而求得直線的方程.（2）求得直線的方程，代入橢圓方程，利用根與系數(shù)關系以及弦長公式，求得弦長，求得中點的坐標.同理求得弦長，計算到直線的距離，由此計算出【解析】（1）設，，則有,依題意，，．是AB的中點，，，從而．又，在橢圓內，直線AB的方程為，即．（2）垂直平分AB，直線CD的方程為，即，代入橢圓方程，整理得①．又設，，CD的中點為，則，是方程①的兩根，，且，，即中點,于是由弦長公式可得將直線AB的方程，代入橢圓方程得,同理可得．點M到直線AB的距離為．，四點共圓，且原方程為：.【點評】本小題主要考查利用點差法求解有關弦的中點問題，考查四點共面的證明，屬于中檔題.16．（1）x＋2y－4＝0；（2）2.【分析】（1）設直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，設所求直線方程為y－1＝k(x－2)，代入橢圓方程整理后由韋達定理得，再由中點坐標可求得，從而得直線方程；（2）由（1）得，然后由弦長公式可得弦長．【解析】（1）設所求直線方程為y－1＝k(x－2)．代入橢圓方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，①