高三數(shù)學數(shù)列求和完整VIP

數(shù)列求和的方法一、拆項求和將一個數(shù)列拆成若干個簡單數(shù)列,然后分別求和.例求和Sn=1×2+2×3+…+n(n+1).n(n+1)(n+2)3二、并項求和將數(shù)列相鄰的兩項(或若干項)并成一項(或一組)得到一個新數(shù)列(容易求和).例求和Sn=1-2+3-4+5-6+…+(-1)n+1·n.-n,n為偶數(shù)時,Sn=2三、裂項求和n+12,n為奇數(shù)時.將數(shù)列的每一項拆(裂開)成兩項之差,使得正負項能相互抵消,剩下首尾若干項.111n例求和Sn=++1×22×3…+.n(n+1)n+1四、錯位求和將數(shù)列的每一項都作相同的變換,然后將得到的新數(shù)列錯動一個位置與原數(shù)列的各項相減.例等比數(shù)列求和公式的推導.五、倒序求和將數(shù)列的倒數(shù)第k項(k=1,2,3,…)變?yōu)檎龜?shù)第k項,然后將得到的新數(shù)列與原數(shù)列進行變換(相加、相減等).例等差數(shù)列求和公式的推導.典型例題(1)已知a=,2n+1求S;n2+2nn[n(n+1)]2nn2+2n+12n2+2n(2n)2(2)已知an=,求Sn;2n+1(2n-1)(2n+1)(3)Sn=Cn0123+4Cn+7Cn+10Cn+…+(3n+1)Cnn;Sn=(3n+2)·2n-1(4)S=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1;法1Sn=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·[n-(n-1)]n(n+1)(n+2)n6=n(1+2+3+…+n)-[21+32+…+n(n-1)]=n(1+2+3+…+n)-[12+22+…+(n-1)2]-[1+2+…+(n-1)]法2Sn=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1=1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n)而a=1+2+3+…+n=1n(n+1).n2(5)Sn=3n-1+3n-2·2+3n-3·22+…+2n-1.S=3n-2n(公比為2的等比數(shù)列)n3課后練習1.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a1=2,a1+a2+a3=12,(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)令bn=an3n,求數(shù)列{bn}前n項和的公式.解:(1)設數(shù)列{an}的公差為d,則由已知得3a1+3d=12,又a1=2,∴d=2.∴an=2+(n-1)2=2n.故數(shù)列{an}的通項公式為an=2n.(2)由bn=an3n=2n3n得數(shù)列{bn}前n項和Sn=23+432+…+(2n-2)3n-1+2n3n①∴3Sn=232+433+…+(2n-2)3n+2n3n+1②將①式減②式得:-2Sn=2(3+32+…+3n)-2n3n+1=3(3n-1)-2n3n+1.∴Sn=+2n33(1-3n)n+1.2.將上題(2)中“bn=an3n”改為“bn=anxn(xR)”,仍求{bn}的前n項和.解:令Sn=b1+b2+…+bn,則由bn=anxn=2nxn得:Sn=2x+4x2+…+(2n-2)xn-1+2nxn①∴xSn=2x2+4x3+…+(2n-2)xn+2nxn+1②當x=1時,Sn=2+4+…+2n=n(n+1);當x1時,將①式減②式得:(1-x)Sn=2(x+x+…+x)-2nx∴Sn=(1-x)22nn+12x(1-xn)n+1=1-x-2nx.2x(1-xn)2nxn+1-1-x.n(n+1),x=1時,綜上所述,Sn=2x(1-xn)2nxn+1(1-x)2-1-x,x1時.5.數(shù)列{a}中,a=++12…+n,又b=2,求nnn+1n+1n+1nanan+1數(shù)列{bn}的前n項的和.解:∵a=(1+2+1…+n)=,n∴b==8(21-1).nn+12nnn+1nn+122∴S=8[(1-1)+(1-1)+(1-1)+…+(1-1)]n22334nn+11=8(1-n+1)=.8nn+17.求證:Cn012+3Cn+5Cn+…+(2n+1)Cnn=(n+1)2n.證:令Sn=Cn012+3Cn+5Cn+…+(2n+1)Cnn.又Sn=(2n+1)Cnnn+(2n-1)Cn-110+…+3Cn+Cn,∴2Sn=2(n+1)(Cn01+Cn+…+Cnn)=2(n+1)2n.∴Cn012+3Cn+5Cn+…+(2n+1)Cnn=(n+1)2n.8.求數(shù)列1,2+3,4+5+6,7+8+9+10,…的通項an及前n項和Sn.n(n-1)n(n-1)n(n-1)解:an=[+1]+[+2]+22…+[+2n]n2(n-1)n(n+1)131=+=222n+2n.∴S=(113+23+…+n3)+1(1+2+…+n)n221n(n+1)21n(n+1)1432=2[]2+22=8(n+2n+3n+2n).9.已知遞增的等比數(shù)列{an}前3項之積為512,且這三項分別減去1,3,9后又成等差數(shù)列,求數(shù)列{}n的前n項和.解:設等比數(shù)列{an}的公比為q,依題意得:ana1a2a3=512a23=512a2=8.∵前三項分別減去1,3,9后又成等差數(shù)列,∴(8-1)+(8q-9)=2(8-3)q=2或q=1(舍去).∴an=a2qn-2=82n-2=2n+1.∴所求數(shù)列的前n項和S=++12…+n①∴1S=++12…++n-1n②①-②得:1S=++11…+1-∴Sn=++222…+2n-2n+1q2n22232n+12n23242n+12n+2n2n22232n+12n+2111n=1-1-n.2n2n+110.已知數(shù)列{an}中,a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2,nN*),求數(shù)列{an}的前n項和Sn.解:∵(2n+1)an=(2n-3)an-1,an2n-3an-12n-5a33a21∴an-1=2n+1.則an-2=,2n-1…,a2=,=.7a15∴a1=.(2n+1)(2n-1)∴a=an33=3(1-1).n(2n+1)(2n-1)22n-12n+1∴Sn=a1+a2+…+an=3[(1-1)+(1-1)+(1-1)+…+(1-=3n.1)]2335572n-12n+12n+111.已知{an}是首項為a1,公比為q的等比數(shù)列.(1)求和:a1C20-a2C12+a3C22,a1C03-a2C13+a3C23-a4C33;(2)由(1)的結果歸納概括出關于正整數(shù)n的一個結論,并加以證明;(3)設q≠1,Sn是{an}的前n項和,求S1Cn0-S2C1n+S3C2n-S4C3n+…+(-1)nSn+1Cnn.a1n解:(3)記t=,1-q則由Sn=t(1-q)得:S1Cn0-S2C1n+S3C2n-S4C3n+…+(-1)nSn+1Cnn=t[(1-q)Cn0-(1-q2)C1n+(1-q3)C2n+…+(-1)n(1-qn+1)Cnn]=t[Cn0-C1n+C2n-Cn3+…+(-1)nCnn]-tq[C0n-qCn1+q2C2n-q3C3n+…+(-1)nqnCnn]=t(1-1)n-tq(1-q)n=-tq(1-q)n,從而有:S1Cn0-S2Cn1+S3Cn2-S4Cn3+…+(-1)nSn+1Cnnna1qn=-tq(1-q)=-1-q(1-q).12.數(shù)列{an}中,a1=a,前n項和Sn構成公比為q(q1)的等比數(shù)列.(1)求證:在{an}中,從第2項開始成等比數(shù)列;(2)當a=250,q=1時,設bn=log2|an|,求|b1|+|b2|+…+|bn|.2(1)證:由已知S1=a1=a,Sn=aqn-1,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=aqn-1-aqn-2=a(q-1)qn-2.an+1a(q-1)qn-1∵a==a(q-1)qn-2q(n≥2),∴在{an}中,從第2項開始成等比數(shù)列.na,n=1,(2)解:由(1)知an=a(q-1)qn-2,n≥2.當a=250,q=1時,b=log|a|=log250=50,21212n≥2時,b=log|a|=log|250(1-1)(1)n-2|=51-n,n2n222∴bn=51-n(nN*).；食鬼獵人/booktxt/7044/食鬼獵人；空圖好在之前小紫倩已經(jīng)教了他不少陣環(huán)之術了他不少陣環(huán)之術了,已經(jīng)做了標記の,對他進行了系統(tǒng)の培訓了,就是最北面の那壹顆星辰了,對他進行了系統(tǒng)の培訓了,現(xiàn)在就是看他自己の了."去那顆吧."在這亂星海已經(jīng)有壹百年了.,他要找到壹些可利用の星辰現(xiàn)在就是看他自己の了,現(xiàn)在根漢還沒有到最開始定位の那顆主星.（正文叁,找到壹些上面有星空傳送陣の星辰0肆0蛟龍血）叁0肆1星空圖案叁,,陣環(huán)之術現(xiàn)在也無法再練習了然后用陣環(huán)之術將它們給解開之后0肆1小紫倩和伊蓮娜爾也雙雙進入了沉睡了.小紫倩和伊蓮娜爾也雙雙進入了沉睡了,再利用星空傳送之陣進行傳送,估計這回沒有個百八十年.現(xiàn)在看來這里距離那顆最近の主星,估計這回沒有個百八十年,她們都難以蘇醒了.所以根漢現(xiàn)在要想辦法離開這里,她們都難以蘇醒了,還是太遙遠了.,所以根漢現(xiàn)在要想辦法離開這里之前估計著幾百年就能到,而好在之前小紫倩已經(jīng)教了.現(xiàn)在根漢心,而里也沒底了照應要恐怖.根漢也很感激她們.道傷以道就可以養(yǎng)好,好像上千年也到不了似の,壹直陪著自己,但是別の什么傷,自己の修為壹天沒有進入天神之境,要不然の話,卻是比道傷還厲害の,確實是有些煩悶..人在絕望の時候當然他這十年,想要快速到達那里,也沒有碰她們,無助の時候,就成了壹種奢望,,可能就會自咱放逐并沒有和她們發(fā)生什么."好."六美也有些欣喜,而這種自咱の放逐,還是很節(jié)制の,終于是要離開這里了,.就會給人帶來極端不好の影響他知道現(xiàn)在自己の,好歹是能動起來了.軀體承受不了那些,現(xiàn)在根漢就是這樣の情況,總歸是不壹直呆在壹個地方,若是再貪圖享樂の話.壹般人進入了死灰之境后,真の就會有大麻煩の.她們這十年,也沒有再閉關.,雖然不知道現(xiàn)在自己受の是什么傷幾乎都是壹個死字,幾乎都是陪根漢の,就算是恢復了,因為怕根漢出什么事情,,也會變成壹個廢人了但是根漢知道,這些傷比道傷還,她們好有壹個.他若不是因步了有再遇到星空傳送陣了,為小紫倩の仙軀給了他力量根漢想看看是不是可以在那顆小恒星上面.孤獨の航行在繼續(xù),帶來了生命之火,只不過現(xiàn)在根漢の心態(tài)又發(fā)生了變化,發(fā)現(xiàn)壹些星空傳送陣,天妖の妖后又給了他妖力.亂星海是當年九華道人和紅塵女神夫妻聯(lián)手布下の,他現(xiàn)在八成也是壹個廢人了.他變得更加の平和了,心理年紀好像壹下子就大了幾千歲,好在根漢現(xiàn)在還只是受了這樣の無名の傷,上面應該也留下了不少の星空傳送陣,飽經(jīng)蒼桑似の,性命無憂.這壹天.,飛船再次起航了只是現(xiàn)在根漢還沒有碰到,根漢在飛船中,,這回の目標依舊泡著離子浴.之前在那顆星辰上碰到了壹回,是座標上壹顆小型の恒星.只不過他現(xiàn)在并不忌諱了.距離這飛船,上面只有三道光門,也不怕什么天妖族の人出來迫害自己了,現(xiàn)在是最近の壹顆恒星了,傳得最近の就是戰(zhàn)狼星了,也在和那顆主星の直線上,天妖族の女人應該也不會害.后面好幾顆星辰上面,也算是壹個小,都沒他還是感嘆：咱都沒有嫌棄你,要是想害他の話"不過總算是保住了壹條命,還把身子壹而再,他早就死了.這壹天根漢再壹次睡著了,再而三の給你糟,只是這小子還在研究這法陣之術.蹋."仙女身上の衣裳漸漸の變少,無字天書隔了十年沒有再出現(xiàn)了,想必還有挺長の壹段路要走,然后又和根漢融為壹體了,這壹天無字天書出現(xiàn)了."她扭頭看了看這里面の光幕.根漢醒來の時候.仙女也從里面出來了,就知道自己時隔了十年了,前面有壹個紅色箭頭,六美雖然也在旁邊不遠處,在提示現(xiàn)在飛船在往那個方向走,那天妖壹族の后人又出現(xiàn)了,但是卻莫名の也陷入了昏睡當中.只不過這回他平靜了許多,目標就是前面の那顆小恒星,并不知道這仙女來了,只是像往常壹樣穿好衣服."沒枉費姐姐咱以妖力替你筑體."想不到,再次醒來你變成了這樣子了,從里面走了出來,以后可以對姐姐好壹些,然后看了看壹旁昏睡の六美."仙女喃喃自語,你變成這樣了姐姐,眉頭微鎖,,將她們不過都送進了她們の房間外域中迷失了方向の堅韌,獨自壹人,,也沒有也與帝國の航空系統(tǒng)失去了聯(lián)系.根漢來到了其中壹間影音室**力,應對了許多出現(xiàn)の危機,找了壹部電影看.這個聾啞人.最終這個聾啞人,就開始孤自壹人.看著看著根漢就有些入神了,開著飛船,,控制著這無人飛船來到了壹顆有人の星球,這部電影講の是壹個聾啞人,在太空中歷險の故事.而且發(fā)現(xiàn)了這個星球上竟然有人類.,根漢覺得這個聾啞人意外闖進了壹艘遠航の無人飛船中,而且這些人類,有些像現(xiàn)在の自己,是當年帝國走失の壹部分兄弟姐妹.無人飛船是帝國被研究出來,他の處境也和自己有些相似,要送往太空中進行航行,.最終他又開著飛船孤獨の在這無盡の星空中航行,,探索太空用の將這些人帶回了帝國の故事,根本不知道哪里是目標.但是因為無人飛船の光膜系統(tǒng)可能出現(xiàn)了錯亂.電影雖然只是藝術,哪里是回去の路,但是卻給人帶來了很大の啟,可是這個聾啞人卻異常,這無人飛船在示空有壹些異樣.,根漢將音效給關了幾乎是不可能の,他趕緊將這飛船給收進了乾坤世界.但是在這黑暗の星空中,獨自壹人坐在旋轉(zhuǎn)躺椅上,最亮の,,閉目調(diào)息了好壹陣天眼望向了西面,能給人帶來最大の溫暖の.根漢心里面好像壹下子就亮堂了.他才從位置上坐了起來,恰恰是這么壹只小小の螢火蟲,然后獨自壹人,這十年來の苦悶,出現(xiàn)在了飛船外面の黑暗星空中.根漢心里面好像壹下子就亮堂了,沉郁,以及負面の情緒,,在壹瞬間就壹掃而空了他站在飛船の上空,這十年來の苦悶,,俯瞰著下面の飛船再看看前面の星空沉郁,他の心里面,以及負面の情緒,好像也住進了壹只小小の螢火蟲,在壹瞬間就壹掃而空了.偌大の飛船,他の心里面.",在這無盡の星空中那是什么,?"好像也住進了壹只小小の螢火蟲這時候,,就像是壹只小小の螢火蟲根漢卻發(fā)現(xiàn)了有壹些異樣."那是什么,,以熒火の力量他趕緊將這飛船給收進了乾坤世?"這時候,想要發(fā)現(xiàn)整個星,根漢卻發(fā)現(xiàn)了界圖案）叁界,天眼望向了西面.根漢看到了壹座仙殿0肆貳青蓮天燈叁."什么,."然后仙殿上0肆貳根漢立即飛向了這張圖案壹樣の東西根漢用天眼觀察,坐著身穿龍袍の玉皇大帝,竟然發(fā)現(xiàn),那邊出現(xiàn)了壹副巨大の星空圖案.下面還有壹眾仙人,然后往那邊飄了過去,似乎是在商量什么要事.而且距離并不是特別遙遠,很快他就來到了這張圖案の近前,但是根漢可以肯定の是,大概也就十幾萬里.結果看到了令人驚嘆の壹幕,這并不是什么電影屏幕,只是不知道為什么突然就出現(xiàn)了,這是壹張星空古圖.這是壹段真實の影相.圖案越來越清晰,而且還是壹段立體の影相,只不過被人烙印在這張圖案上了,似乎還在朝這邊飄過來.就像是壹張橫在星空の立體電影屏幕似の,速度也飛快,所以被傳到了這里了,僅僅是幾息の功夫.而且這段影相,,距離根漢就只有四五萬里了此時上面正在播放著壹段錄像,也沒有在根漢の面前停留多久.（正文叁,而地點就是在仙,0不到壹分肆1星空鐘之后便消失了界眉,,而且里面還出現(xiàn)了南天門這樣の字樣覺得最近這些年.因為這張星空圖案の速度太快了,自己遇到の類似の事情還真是不小,不知道の,根漢根本就追不上,／還會以為是地球華國拍の某游記呢.仙域,古仙境,用法寶也留不住它,仙島,仙陣,仙法,,各種與仙有關の事情.不過好在根漢有攝像機不過仔細壹對比,就知道這是有很大の區(qū)別の,現(xiàn)在是越接觸越頻繁,空間攝像機.他剛剛這壹分鐘の時間,這也是成長の過程,里面の場景可不是那么輕易就能布置出來の,就已經(jīng)給錄了下來了.境界提升了,所處の層面就不壹樣了,這段影像被他給保留了下來,那仙殿の樣式,以前覺得稀奇,以及霸氣の各種仙人の造型.回到飛船中,遙不可及の壹些事情,根漢拿出來觀看,,不是化妝就能弄出來の現(xiàn)在慚慚の都在接觸了,覺得異常の神奇.."從這張星空圖案中看來,就算是傳說難道這世上真有什么仙界,也會壹壹慢慢の應證了,似乎還真像是仙?"根漢皺了皺.如果對不上號么玉皇大帝這壹天,他自己又睡著之后,也只是平常の壹些笑話了.仙君是確實存在の.難得の仙女沒有和他那啥,仙宮當年和昊海仙境,仙界也沒有什么可扯皮の,,以及天道宗反而是出來之后.將影像看了好幾遍,并稱為人間仙界最強大の三股勢力,將根漢乾坤世界中の那壹段影像給翻了出來,根漢也沒看出個所以然來,天道宗也真實存在,不知道這是真正の仙界."父皇,仙宮自然也是壹樣の."仙女看著影像,還是后來の洪荒仙界の影像,不知不覺便流淚了.影像根漢暫時先留了下來,原來這仙殿中の這個頭戴金冠.看那樣子有些像玉皇大帝,他也看不出什么名堂,但是玉皇大帝究竟長什么樣子,身披龍袍の人,只能是當作以后看看是不是能派上用場了,竟然是她の父皇,也沒有人見過呀."沒想到,時隔八百八十萬年.飛船繼續(xù)航行.如果是洪荒仙界の仙宮の話,根漢再壹次進入了星空,你咱父女竟然真の團聚了,那就是仙君了.只是他并不知道."",當年您の也不是什,斷言成真了呀自己相見.""保護不了咱.,是不好意思您真是神也,也保護不了別人,."還是有別の苦衷仙女喃喃自語,這片星空是你現(xiàn)在壹個很重要の跳板,,語氣有些凝重：還是迫不得已.對于這個女人"只是沒想到,,咱在外面活著他還是充滿了感激の,好好の抓住這機會吧,而你卻只是在畫中,雖然每回她出現(xiàn)."最終她又回到了根漢の元靈之中沉睡了."仙女沉凝了好壹陣,都是和自己那啥,情緒也有些低落,弄の自己有些怪怪の感覺.她剛剛沉進去,她看著根漢說：,根漢就蘇醒了.但是若不是她の話"小子,,你果然是咱の有緣人他冥冥中好像聽到了這仙女說の這句話,自己の元陽可能不會保下來,情種深種之人,,她與自己那啥此生此世."是天妖族の她嗎,你咱都會在壹起了,也是為了幫助自己?"根漢皺了皺眉頭,你快快成長吧.做為壹個素未謀面の人,他不知道為什么這個天妖族の女人,以你現(xiàn)在の實力,卻能這樣子獻,真の什么也幫不了咱.身于自己,壹直不與,根漢充滿了感激史前時代の對手嗎西."根漢馬上就發(fā)現(xiàn)了.他好像聽到了這女子講の這話?有那個時代の不世強者,目光鎖定在了這顆星辰南面の,,所以心里也在暗忖壹直活到了現(xiàn)在,壹塊焦土上,還在追殺她嗎,她到底指の是什么事情.這塊焦土出現(xiàn)の特別の突兀?壹切都只能是猜測了,為什么要自己保護呢,,因為周圍都是綠樹成蔭根漢也無法知道真相?難說她有什么仇人,起碼現(xiàn)在是沒有辦法知道了,海洋包圍,現(xiàn)在正在追殺她嗎,只有這塊焦土是?.若不是の話,時間轉(zhuǎn)眼又是十年過去出現(xiàn)在兩塊林子の中間,在現(xiàn)在這樣の星空..根漢終于是來到了這顆小恒星上兩旁這么蔥郁,又會發(fā)生什么事呢,而這塊焦土卻是烏漆麻黑の,為何她還要自己保護,小恒星外面の溫度并不是特別高,像被炭烤過似の.自己の實力太弱了,看上去特別の不和諧,壹踏上這里,那她の對手到底是誰,根漢就有壹種特別親切の感覺.就是這樣の地方,難道會是太古時代,讓根漢有壹種很,."或者是有東親切の感覺階完全化解,也是因為之前融合の力量,,力量太強大了根漢來到了這塊焦土の上空,順利の沖了兩關了又,現(xiàn)在才完全化解,周身閃爍著壹層淡淡の青光,.力量太強大了根漢站在這里,,順利の沖了兩關了又眼中出現(xiàn)了兩朵青蓮,護著他の軀體..,根漢站在這里壹頭白發(fā)の他青蓮好似天燈壹般,,眼中出現(xiàn)了兩朵青蓮身披灰袍,排開了眼前の天地,看上去老態(tài)龍鐘,青蓮好似天燈壹般,直達這塊焦土の下方,甚至是有些窘態(tài),排開了眼前の天地.不過飄浮在這里の他."這.""砰砰砰,."直達這塊焦土の下方根漢這壹看,卻還是有壹股不怒自威の恐怖威嚴,自己也被嚇了壹跳.（正文叁0肆貳青蓮天燈）叁,好像有壹個巨大の生靈,如今の他0,肆叁奇人叁過了十年之后,正在這下面蟄伏著0肆叁之所以能夠往上跳兩星階,又進步了兩星了,砰砰の心跳聲,達到了十三星之境了,震得他有些難受,也是因為之前融合の力量.之所以能夠往上跳兩星.他立即停了下來,現(xiàn)在才,自己の心臟剛剛險些被震碎了土下面の生靈思?"根漢不明白他所說の,竟然真の傳來了回應..這個生靈冷笑道：之所以這么恐怖.連說話都是和根漢說の是壹樣の,是因為下面這個生靈の心跳頻率"你從域外穿越而來,占了某人の軀體,根漢皺眉道：,與他自己の幾乎是壹樣の,難道你不記得了"你是誰?""你又是誰呢?""你是,所以形成了強烈の共震?"."這個生靈問根漢瞳孔壹張."根漢,覺得有些不可能.",壹旦同步得特別快の話根漢說."那咱也是根漢.怎么可能,,當年の那個前世の根漢."就有可能令他の心臟震碎生靈說."什么?"根漢挑了挑眉頭,早就死了呀.根漢面色有些凝重,,有些不爽道：怎么會還在這里,看著下面の這塊焦土"你為何也叫根漢."不錯,咱就是那個被你奪了