離散余弦變換

離散余弦變換離散余弦變換(DiscreteCosineTransform,簡(jiǎn)稱DCT變換)是一種與傅立葉變換緊密相關(guān)的數(shù)學(xué)運(yùn)算。在傅立葉級(jí)數(shù)展開式中，如果被展開的函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)，那么其傅立葉級(jí)數(shù)中只包含余弦項(xiàng)，再將其離散化可導(dǎo)出余弦變換，因此稱之為離散余弦變換。DCT原理C(k)=2ccosn=0C(k)=2ccosn=0(2n+1)k兀

2N,k=0,1,...N-1k=0k=1,2,...,N-1,、2明(2n+1)k兀x(n)=「=乙c(k)C(k)cos,n=0,1,...N—1TOC\o"1-5"\h\z<N2Nk=0二維的DCT2(2m+1)k兀(2n+1)/兀Y(k,/)=c(k)c(l)?x(m,n)coscosMN2Mm=0n=0l=0,1,...,N-1。k=0k=1,2,...,M-1c(c(/)="k=0k=1,2,...,N-1二維逆離散余弦變換(IDCT)的定義如下:(2n+1)/兀cos2N2年1反1(2m+1)k^x(m,n)=."—c(k)c(/)Y(k,/)cosMN2MK=0L=0(2n+1)/兀cos2N，、小、…-、小-、…N,設(shè)y(n)=x(2n),y(N-n-1)=x(2n-1),n=0,1,...,—-12對(duì)x(n)做DCT變換，用y(n)替換x(n)，得2兀kn.sinN冗k——),k=0,1,...2兀kn.sinN冗k——),k=0,1,...N-12NX(k)=x(k)"y(n)(coscos一sinNN2Nn=0k=0k=1,2,...,N-1對(duì)y(n)做DFT變換，用歐拉公式展開，得

Y(k)=t1n=0/、2兀kn...2兀kny(n)cos+jsinNN,k=0,1,,N-1…、2很容易得出,x(k)Y(k)=t1n=0/、2兀kn...2兀kny(n)cos+jsinNN,k=0,1,,N-1…、2很容易得出,x(k)=孑x(k)cos%Thecommandsbelowcomputethediscretecosinetransformfortheautumn%image.Noticethatmostoftheenergyisintheupperleftcorner.RGB=imread('autumn.tif');I=rgb2gray(RGB);J=dct2(I);imshow(log(abs(J)),[]),colormap(jet(64)),colorbar%Nowsetvalueslessthanmagnitude10intheDCTmatrixtozero,andthen%reconstructtheimageusingtheinverseDCTfunctionidct2.J(abs(J)<10)=0;K=idct2(J);imview(I)imview(K,[0255])J的部分?jǐn)?shù)據(jù)297853603.6-1762.71621-2092.82102-118.15-1461-619.01634.42-603.35311.98-386.95352.2710940779.34-521.39583.21-827.63499.28-86.533433.9385.5-2757.8-685.67-354.22974.36-1014.3-478.77137.71-100.7-2397.7365.12-680.77702.71-205.15-661.45-54.241-3875.3-645.331962.9-769.621174-159.97-10.454-141.26234.6682.381329.7-770.64731.9-157.91040.1152.08875.92872.3472.12-127.97-54.858-831.221232.6-234.97968.98-383.86-527.87-125.97-641.26-179.3372.05-826.34151.28-626.28-817.0389.972-172.79160.85-494.6-703.92-52.045-722.03415.47-171.91282.21271.9-452.22157.2-196.83-129.38350.66146.72356.730-85.975633.47019.2418.74678.66228.22-178.69253.58315.47-291.1699.85386.82-300.3528.409-256.85-22.00198.33分析：得到的系數(shù)可認(rèn)為就是原始圖像信號(hào)在頻率不斷增大的余弦函數(shù)上的投影，也就是說一個(gè)圖像的DCT低頻系數(shù)分布在DCT系數(shù)矩陣的左上角，高頻系數(shù)分布在右下角，低頻系數(shù)的絕對(duì)值大與高頻系數(shù)的絕對(duì)值。中、低頻系數(shù)所含有的原始信號(hào)的成份較多，所以由其反變換重構(gòu)圖像就能得到圖像的近似部分。高頻系數(shù)是在眾多正交的余弦函數(shù)上投影的加權(quán)，是這些不同頻率的余弦信號(hào)一起來刻畫原始信號(hào)的結(jié)果，圖像近似的部分在這些函數(shù)上被相互抵消了，剩下的就是圖像的細(xì)節(jié)部分了。例2我們用分塊函數(shù)的方法fun=@dct2;J=blkproc(I,[88],fun);imagesc(J),colormap(hot)DCT的物理意義在圖像壓縮編碼中，減少空間相關(guān)性的主要方法是正交變換。圖像經(jīng)過正交變換后，能實(shí)現(xiàn)圖像數(shù)據(jù)壓縮的物理本質(zhì)在于經(jīng)過多維坐標(biāo)系中的適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)旋轉(zhuǎn)和變換，能夠把散在各個(gè)坐標(biāo)軸上的原始圖像數(shù)據(jù)，在新的坐標(biāo)系中集中到少數(shù)坐標(biāo)軸上，因而能夠用較少編碼比特?cái)?shù)來表示一幅圖像，實(shí)現(xiàn)圖像的壓縮編碼。圖像經(jīng)DCT后，得到的DCT圖像有三個(gè)特點(diǎn)：一是系數(shù)值全部集中到0值附近(從直方圖統(tǒng)計(jì)的意義上)，動(dòng)態(tài)范圍很小，這說明用較小的量化比