2022年數(shù)二考研真題答案解析

2022年數(shù)二考研真題答案解析一、填空題：1—6小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.（1）曲線口yl某4in某的水平漸近線方程為y.口55某2c。某【分析】直接利用曲線的水平漸近線的定義求解即可4in某某4in某某1.D【詳解】limlim某5某2co某某2co某55某1故曲線的水平漸近線方程為y.o51（2）設函數(shù)口1某2130intdt,某0在某。處連續(xù)，則a.f（某）某3a,某0【分析】本題為已知分段函數(shù)連續(xù)反求參數(shù)的問題.直接利用函數(shù)的連續(xù)性定義即可.【詳解】由題設知，函數(shù)口f（某）在某。處連續(xù)，貝加limf（某）f（0）a,o某0又因為limf（某）lim某0某0某0int2dt某3in某211im.某03某23所以口al.3（3）廣義積分口01某d某（1某2）22.口【分析】利用湊微分法和牛頓-萊布尼茲公式求解.口【詳解】□02bd（1+某）某d某llllimlim22（l某2）22b0（l某）2bl+某b0211111im2.o2bl+b22（4）微分方程口yy（l某）某的通解是yC某e（某0）.某【分析】本方程為可分離變量型，先分離變量，然后兩邊積分即可【詳解】原方程等價為口dylld某，y某兩邊積分得口Inyln某某某,整理得口（5）設函數(shù)口C某.（Cel）yCe某dy某0e.d某【分析】本題為隱函數(shù)求導，可通過方程兩邊對某求導（注意y是某的函數(shù)），一階微分形式不變性口yy（某）由方程yl某ey確定,則口和隱函數(shù)存在定理求解.口【詳解】方法一：方程兩邊對某求導，得口yey某yey.口又由原方程知，某0時,y方法二：方程兩邊微分，得口ydye某d某yl.代入上式得口dyd某某Oy某0e.0某0,yl，得ey,代入ddyd某某0e.口方法三：令F（某,y）yl某ey,則口ylegF某某Oy,某FeyO,1,y某yO,1某lye某y,0,11故口dyd某某OF某Fy某呆yle.o某O,yl（6）設矩陣A21,E為2階單位矩陣，矩陣B滿足BAB2E,貝M120B2.o【分析】將矩陣方程改寫為A某B或某AB或A某BC的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進行口計算即可.0【詳解】由題設，有口B（AE）2Ed于是有口BAE4,而口11AE2,所以B2.[|11二、選擇題：7—14小題，每小題4分，共32分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).（7）設函數(shù)口yf（某）具有二階導數(shù)，且f（某）0,f（某）0,某為自變量某在點某0處的增量，Dy與dy分別為f（某）在點某。處對應的增量與微分，若某0,貝防Odyy.（B）Oydy.口（OoydyO.o（D）odyyO.o[A]口【分析】題設條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解.【詳解】由加,曲線口f（某）0,f（某）0知,函數(shù)f（某）單調(diào)增口yf（某）凹向，作函數(shù)yf（某）的圖形如右圖所示，0時，口顯然當某ydyf（某0）d某f（某0）某0,故應選（A）.。（8）設口f（某）是奇函數(shù)，除某0外處處連續(xù)，某。是其第一口類間斷點，貝M某Of（t）dt是口（B）連續(xù)的偶函數(shù)（D）在某（A）連續(xù)的奇函數(shù).（C）在某0間斷的奇函數(shù)口某0間斷的偶函數(shù).[B]?！痉治觥坑捎陬}設條件含有抽象函數(shù)，本題最簡便的方法是用賦值法求解，即取符合題設條件的特殊函數(shù)口f（某）去計算F（某）f（t）dt,然后選擇正確選項.口0【詳解】取口某,某0.f（某）1,某00時，F(xiàn)（某）f（t）dtlimtdto某某則當某Olllim某22某2,202而F（0）01imF（某），所以F（某）為連續(xù)的偶函數(shù)，則選項（B）正確，故選（B）.口某0（9）設函數(shù)g（某）可微，h（某）e口ln31.D1g（某），h（l）l,g⑴2,則g⑴等于口ln31.0[C]g（D）ln21.0ln21.0【分析】題設條件h（某）e【詳解】h（某）e口1g（某）1g（某）兩邊對某求導,再令某1即可.D兩邊對某求導，得口h（某）elg（某）g（某）.o1,又h（l）l,g（l）2,可得口上式中令某lh⑴elg（l）g⑴2elg（l）g（l）ln21,故選（C）.口（10）函數(shù)口yCle某C2e2某某e某滿足的一個微分方程是yy2y3某e某.口o（A）oyy2y3e某.口oyy2y3某e某.0Dyy2y3e某.［D］?！痉治觥勘绢}考查二階常系數(shù)線性非齊次微分方程解的結構及非齊次方程的特解與對應齊次微分方程特征根的關系.故先從所給解分析出對應齊次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齊次項形式.Q【詳解】由所給解的形式，可知原微分方程對應的齊次微分方程的特征根為（］11,22.0則對應的齊次微分方程的特征方程為D（2）0,即220.口故對應的齊次微分方程為又口yy2yo.口y某某e某為原微分方程的一個特解，而1為特征單根，故原非齊次線性微分方程右端的非齊次項口f（某）Ce某（C為常數(shù)）.所以綜合比較四個選項，應選（D）□1應具有形式口（11）設口f（某,y）為連續(xù)函數(shù)，則4df（rco,rin）rdr等于口00（A）D220d某1某2某f（某,y）dy.（B）220d某1某20f（某,y）dy.口（C）D220dyly2yf（某,y）d某.口（D）d220dyly20f（某,y）d某.[C]口【分析】本題考查將坐標系下的累次積分轉(zhuǎn)換為直角坐標系下的累次積分，首先由題設畫出積分區(qū)域的圖形，然后化為直角坐標系下累次積分即可.□【詳解】由題設可知積分區(qū)域D如右圖所示，顯然是丫型域，則口原式故選（C）.（12）設口220dyly2yf（某,y）d某.口f（某,y）與（某,y）均為可微函數(shù)，且y（某,y）0,已知口（某0,y0）是f（某,y）在約束條件（某,y）0下的一個極值點，下列選項正確的是口（A）若（B）若口f某（某O,yO）O,則fy（某O,yO）O.f某（某O,yO）O,則fy（某O,yO）O.f某（某Oy0）0,則fy（某0,yO）O.f某（某0,yO）O,則fy（某0,y0）0.o[D]d（C）若（D）若o【分析】利用拉格朗日函數(shù)F（某,y,）的參數(shù)的值）取到極值的必要條件即可.0【詳解】作拉格朗日函數(shù)F（某,y,）f（某,y）（某,y）在（某0,y0,0）（0是對應某0,yOf（某,y）（某,y）,并記對應某0,y0的參數(shù)的值為口0,則口F（某,y,）Of（某,y）（某,y）0某000某000某00,即.Fy（某0,y0,0）Ofy（某0,y0）0y（某0,y0）0D消去0,得口f某（某）yO,yO（某yO,0）yf（,Oy某）0某0（某y,0,）0整理得口f某（某0,yO）ly（某0,yO）fy（某0,yO）某（某0,yO）.（因為y（某,y）0），o右口f某（某0,y0）0,則fy（某0,y0）0.故選（D）.口A為mn矩陣，下列選項正確的是口（13）設1,2,,均為n維列向量,(A)(B)d若1,2,,線性相關，則若1,2,,線性相關，貝MAl,A2,,A線性相關.Al,A2,,A線性無關.D(C)若1,2,,線性無關，則(D)若1,2,,線性無關,則口Al,A2,,A線性相關.口A1,A2,,A線性無關.口[A]【分析】本題考查向量組的線性相關性問題，利用定義或性質(zhì)進行判定.【詳解】記B(l,2,,),則(Al,A2,,A)所以，若向量組口AB.口r(AB)r(B)向量組，口1,2,,線性相關，則r(B),從而口A1,A2,,A也線性相關，故應選(A).d(14)設口A為3階矩陣，將A的第2行加到第1行得B,再將B的第1列的1倍加到第2列得C,記o110P010,貝1」口001(A)CP1AP.o(B)CPAP1.o(C)CPTAP.D（D）CPAPT.D[B]D【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關系以及初等矩陣的性質(zhì)可得.【詳解】由題設可得口1B0011000A,C11B0010100111001A000110,10001而口110P1010,則有CPAP1.故應選（B）.0001三、解答題：15—23小題，共94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）試確定A,B,C的值，使得口e某（1B某C某2）1A某o（某3）,0其中。（某3）是當某0時比某3高階的無窮小.o某【分析】題設方程右邊為關于某的多項式，要聯(lián)想到e的泰勒級數(shù)展開式，比較某的同次項系數(shù)，可得口A,B,C的值.o某2某3。（某3）代入題設等式得【詳解】將e的泰勒級數(shù)展開式el某26某某口整理得口某2某331某o（某）[1B某C某2]1A某o（某3）2611B1（B1）某BC某2co（某3）1A某o（某3）0262比較兩邊同次基系數(shù)得口B1A1BC0,解得21BC0621A32B.31c6(16)(本題滿分10分)0IV.

求口arcine某e某d某.口【分析】題設積分中含反三角函數(shù)，利用分部積分法.oarcine某e某某某某某一某【詳解】口e某d某arcinedeearcineele2某d某口e某arcine某令tlle2某d某.口le2某，則某ltln（lt2）,d某dt,221t所以Dlle2某d某lllldtdt2tl2tltl.Dltllle2某llnCln2tl21e2某1（17）（本題滿分10分）D設區(qū)域D（某,y）某2y21,某0,計算二重積分口1某yd某dy.221某yD【分析】由于積分區(qū)域D關于某軸對稱，故可先利用二重積分的對稱性結論簡化所求積分，又積分區(qū)域為圓域的一部分,則將其化為極坐標系下累次積分即可.□【詳解】積分區(qū)域D如右圖所示.因為區(qū)域D關于某軸對稱，函數(shù)口f（某,y）ll某y22是變量口y的偶函數(shù)，o函數(shù)g（某,y）則口某yl某2y2是變量口y的奇函數(shù).o1某DI2yd某dy221021某yDld某dy22d2rln2dr201r21某yd某dyO,221某yD故口1某yl某yln2d某dyd某dyd某dy.2222221某yl某yl某y2DDD（18）（本題滿分12分）o設數(shù)列口某n滿足0某。某nlin某n（nl,2,）［）（I）證明lim某n存在，并求該極限；口nl某nl某n2（II）計算lim.n某n【分析】一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準則來證明數(shù)列極限的存在.（II）的計算需利用（I）的結果.Q【詳解】（I）因為0可推得口某1,則0某2in某11.口。某nlin某nl,nl,2,,則數(shù)列某n有界.口于是口某nlin某nin某某）（因當某0時，，則有某nl某n,可見數(shù)列某n單調(diào)減1?o某n某nn少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限lim某n存在.0設lim某nnl,在某nlin某n兩邊令n,得linl,解得10,即lim某nO.qnil(II)因口某limnln某n2某nin某n某n2,由（I）知該極限為1型，limn某n令t某n,則n,tO,而口intltlt211intintinttinttHimllimlltlimlt0t0t0ttt2211,口又。t3to（t3）tlintinttl3!lim211imlim.33t0tt0t0ttt6某的麥克勞林展開式）口12某n（利用了in故口某limnln某nlin某n某n21ime6.n某nl（19）（本題滿分10分）口證明：當Oab時，口binb2cobbaina2coaa.口【分析】利用“參數(shù)變易法”構造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明.【詳解】令則of（某）某in某2co某某aina2coaa,0a,某b,且口，口f（某）in某某co某2in某某co某in某f（）0.口乂「f（某）co某某in某co某某in某0,（0某時，某ni某0某b時，口），口故當Oaf（某）單調(diào)減少，即f（某）f（）0,則f（某）單調(diào)增加，于是口f(b)f(a)0,即口binb2cobbaina2coaa.口(20)(本題滿分12分)D設函數(shù)口f(u)在(0,)內(nèi)具有二階導數(shù)，且zf某2y2滿足等式口2z2z20.2某y(I)驗證(II)若口f(u)f(u)0；uf(1)0,f(1)1,求函數(shù)f(u)的表達式.口2z2z2z2z【分析】利用復合函數(shù)偏導數(shù)計算方法求出，2代入220即可得(I).按常規(guī)方2某y某y法解(II)即可.口【詳解】(I)設u某2y2,則Qz某zyf(u),f(u)某某2y2y某2y2.z某某f(u)f(u)22222某某y某y2某y某y222某2某2y22口某2f(u)2f(u)2某y2zy2f(u)2f(u)22y某y2z2z2z2z將，2代入220得2某y某y0y2某某2y某2322,02y322.of(u)f(u)0.u(II)令口f(u)p,則ppdpduO,兩邊積分得upu由口,即InplunlCnplClu,亦即口f(u)Clu.qf(l)l可得Cll.所以有f(u)l,兩邊積分得u由of（u）lnu2,qCf⑴0可得C20,故f（u）lnu.D（21）（本題滿分12分）D某t21,已知曲線L的方程（tO）D2y4tt（I）討論L的凹凸性；D（II）過點（1,0）引L的切線，求切點（某0,y0）,并寫出切線的方程；口某0的部分）及某軸所圍成的平面圖形的面積【分析】（I）利用曲線凹凸的定義來判定；（II）先寫出切線方程，然后利用（1,0）在切線上；（HI）o利用定積分計算平面圖形的面積.o（III）求此切線與L（對應于某dyd某dydydt42t2【詳解】（I）因為2t,42tl口d某dtdtd某2ttdtgd2yddyl2110,（t0）d某223d某dtd某tt2tdt0時是凸的.口故曲線L當t（II）由（I）知，切線方程為口222,y01（某1）,設某OtOLyO4tOtOt022232則4t0tl（t02）,即4t0t0（2t0）（tO2）0tO2O0整理得將t02.t0t020（t01）（t02）0t01,2（舍去），故切線方程為1代入?yún)?shù)方程，得切點為（2,3）o2y31(某2),即y某Ld(III)由題設可知，所求平面圖形如下圖所示，其中各點坐標為oA(l,0),B(2,0),C(2,3),D(l,0),0設L的方程某則S3g(y),口g(y)(yl)dyO由參數(shù)方程可得口t24y,即某24y由于(2,3)在L上,則某321.0g(y)24y219y24y.于是口S9y44y(yl)dyD0(102y)dy403304ydyD3010yy(22)(本題滿分9分)口已知非齊次線性方程組口230384y237.3某1某2某3某414某13某25某3某41a某某3某b某13412有3個線性無關的解.(I)證明方程組系數(shù)矩陣口A的秩rA2；口(II)求a,b的值及方程組的通解.o【分析】(I)根據(jù)系數(shù)矩陣的秩與基礎解系的關系證明；(II)利用初等變換求矩陣口A的秩確定參數(shù)口a,b,然后解方程組.口【詳解】(I)設1,2,3是方程組0A某的3個線性無關的解，其中口11111A4351,l.Dal3bl則有則口A(12)0,A(13)O.012,13是對應齊次線性方程組A某0的解，且線性無關.(否則，易推出1,2,3nr(A)2,即4r(A)2r(A)2.口線性相關，矛盾).口所以u又矩陣口A中有一個2階子式口1110,所以r(A)2.n43因此口r(A)2.D(II)因為口111111111111A4351O115O115.0al3b01a3aba0042ab4a5又r(A)2,則口42a0a2