高中數(shù)學(xué)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(經(jīng)典練習(xí)題)

高中數(shù)學(xué)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(經(jīng)典練習(xí)題)高中數(shù)學(xué)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(經(jīng)典練習(xí)題)23/23高中數(shù)學(xué)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(經(jīng)典練習(xí)題)高中數(shù)學(xué)-冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(經(jīng)典練習(xí)題)高中數(shù)學(xué)精英講解冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)【第一部分】知識(shí)復(fù)習(xí)【第二部分】典例講解考點(diǎn)一：冪函數(shù)例1、比較大小例2、冪函數(shù)，(m∈N)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又，則m=A．0B．1C．2D．3解析：函數(shù)在

(0，＋∞)上是減函數(shù)，則有

，又

，故為偶函數(shù)，故

m為1．例3、已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)談?wù)摰钠媾夹裕邇绾瘮?shù)在區(qū)間∴．又

上是減函數(shù)，∴是偶數(shù)，∴

，∴

，解得．

，∵

，(2)，．當(dāng)且時(shí)，是非奇非偶函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，是奇函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，是偶函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，奇又是偶函數(shù)．例4、下面六個(gè)冪函數(shù)的圖象以下列圖，試建立函數(shù)與圖象之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系(1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B).變式訓(xùn)練：1、以下函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A．y=2xB．y=2x－1C．y=(x＋1)2D．y=2、以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（）A．y=x4是冪函數(shù)，也是偶函數(shù)B．y=－x3是冪函數(shù)，也是減函數(shù)C．是增函數(shù)，也是偶函數(shù)D．y=x0不是偶函數(shù)3、以下函數(shù)中，定義域?yàn)镽的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=x－14、函數(shù)的圖象是（）A．B．C．D．5、以下函數(shù)中，不是偶函數(shù)的是（）A．y=－3x2B．y=3x2C．D．y=x2＋x－16、若f(x)在[－5，5]上是奇函數(shù)，且f(3)＜f(1)，則（）A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(1)C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＞f(－5)7、若y=f(x)是奇函數(shù)，則以下坐標(biāo)表示的點(diǎn)必然在y=f(x)圖象上的是（）A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a))8、已知，則以下正確的選項(xiàng)是（）A．奇函數(shù)，在R上為增函數(shù)B．偶函數(shù)，在R上為增函數(shù)C．奇函數(shù)，在R上為減函數(shù)D．偶函數(shù)，在R上為減函數(shù)9、若函數(shù)f(x)=x2＋ax是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=（）A．－2B．－1C．0D．110、已知f(x)為奇函數(shù)，定義域?yàn)?，又f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)，且f(－1)=0，則滿足f(x)>0的的取值范圍是（）A．B．(0，1)C．D．11、若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則_____________．12、函數(shù)的定義域是_____________．13、若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________．14、是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則整數(shù)a的值是_____________．DACADABACD9、，函數(shù)為偶函數(shù)，則有f(－x)=f(x)，即x2－ax=x2ax，所以有a=0．10、奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上有相同的單調(diào)性，則有函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞加，則當(dāng)x<－1時(shí)，f(x)<0，當(dāng)－1<x<0時(shí)，f(x)>0，又f(1)=－f(－1)=0，故當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<0，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0．則滿足f(x)>0的．11、解析：點(diǎn)代入得，所以．12、解：13、解析：，解得．14、解：則有，又為偶函數(shù)，代入考據(jù)可得整數(shù)a的值是5．考點(diǎn)二：指數(shù)函數(shù)例1、若函數(shù)y=ax＋m－1(a>0)的圖像在第一、三、四象限內(nèi)，則（）A.a>1B.a>1且m<0C.0<a<1且m>0D.0<a<1例2、若函數(shù)y=4x－3·2x＋3的值域?yàn)閇1,7]，試確定x的取值范圍．例3、若關(guān)于x的方程有負(fù)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．例4、已知函數(shù)．(1)證明函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)；(2)求函數(shù)f(x)的值域．例5、若是函數(shù)（a>0，且a≠1）在[－1，1]上的最大值是14，求a的值．例1、解析：y=ax的圖像在第一、二象限內(nèi)，欲使其圖像在第一、三、四象限內(nèi)，必定將y=ax向下搬動(dòng)．而當(dāng)0<a<1時(shí)，圖像向下搬動(dòng)，只能經(jīng)過(guò)第一、二、四象限或第二、三、四象限．只有當(dāng)a>1時(shí)，圖像向下搬動(dòng)才可能經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，故a>1．又圖像向下搬動(dòng)不高出一個(gè)單位時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，向下搬動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，圖像恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和第一、三象限．欲使圖像經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，則必定向下平移高出一個(gè)單位，故m－1<－1，∴m<0．應(yīng)選B．答案：B例2、解析：在函數(shù)y=4x－3·2x＋3中，令t=2x，則y=t2－3t＋3是t的二次函數(shù)，由y∈[1,7]可以求得對(duì)應(yīng)的t的范圍，但t只能取正的部分.依照指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性我們可以求出x的取值范圍．解答：令t=2x,則y=t2－3t＋3，依題意有：∴x≤0或1≤x≤2，即x的范圍是(－∞，0]∪[1,2]．小結(jié)：當(dāng)遇到y(tǒng)=f(ax)類的函數(shù)時(shí)，用換元的思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)變成較簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)辦理，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)獲取原問(wèn)題的解．例3、解析：求參數(shù)的取值范圍題，要點(diǎn)在于由題設(shè)條件得出關(guān)于參數(shù)的不等式．解答：因?yàn)榉匠逃胸?fù)實(shí)數(shù)根，即x＜0，所以，解此不等式，所求a的取值范圍是例4、解析：關(guān)于(1)，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義去證明；關(guān)于(2)，可用反解法求得函數(shù)的值域．解答：(1)，設(shè)x1＜x2，則．因?yàn)閤1＜x2，所以2x1＜2x2，所以,所以．又＋10,＋1＞0,所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故函數(shù)f(x)在其定義域(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．(2)設(shè)，則，因?yàn)?02x＞0，所以，解得－1＜y＜1，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1，1)．例5、解析：考慮換元法，經(jīng)過(guò)換元將函數(shù)化成簡(jiǎn)單形式來(lái)求值域．解：設(shè)t=ax>0，則y=t2＋2t－1，對(duì)稱軸方程為t=－1．若a>1，x∈[－1，1]，∴t=ax∈，∴當(dāng)t=a時(shí)，ymax=a2＋2a－1=14．解得a=3或a=－5(舍去)．若0<a<1，x∈[－1，1]，∴t=ax∈．∴當(dāng)時(shí)，．解得（舍去）．∴所求的a值為3或．變式訓(xùn)練：1、函數(shù)在R上是減函數(shù)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．2、函數(shù)是（）A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既奇又偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)3、函數(shù)的值域是（）A．B．C．D．4、已知,則函數(shù)的圖像必然不經(jīng)過(guò)（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限5、函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．6、函數(shù)，滿足f(x)>1的x的取值范圍是（）A．B．C．D．7、函數(shù)的單調(diào)遞加區(qū)間是（）A．B．C．D．8、已知，則以下正確的選項(xiàng)是（）A．奇函數(shù)，在R上為增函數(shù)B．偶函數(shù)，在R上為增函數(shù)C．奇函數(shù)，在R上為減函數(shù)D．偶函數(shù)，在R上為減函數(shù)9、函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．10、以下說(shuō)法中，正確的選項(xiàng)是（）①任取x∈R都有；②當(dāng)a>1時(shí)，任取x∈R都有；③是增函數(shù)；④的最小值為1；⑤在同一坐標(biāo)系中，的圖象對(duì)稱于y軸．A．①②④B．④⑤C．②③④D．①⑤11、若直線y=2a與函數(shù)y=|ax－1|(a＞0且a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍__.12、函數(shù)的定義域是______________．13、不論a取怎樣的大于零且不等于1的實(shí)數(shù)，函數(shù)y=ax－2＋1的圖象恒過(guò)定點(diǎn)________．14、函數(shù)y=的遞加區(qū)間是___________.15、已知9x－10·3x＋9≤0，求函數(shù)y=( )x－1－4( )x＋2的最大值和最小值．16、若關(guān)于x的方程25－|x＋1|－4·5－|x＋1|－m=0有實(shí)根，求m的取值范圍．17、設(shè)a是實(shí)數(shù)，．(1)試證明關(guān)于a取任意實(shí)數(shù)，f(x)為增函數(shù)；(2)試確定a的值，使f(x)滿足條件f(－x)＝－f(x)恒建立．18、已知f(x)＝（a>0且）．1）求f(x)的定義域、值域．（2）談?wù)揻(x)的奇偶性．（3）談?wù)揻(x)的單調(diào)性．答案及提示：1-10DADADDDACB1、可得0<a2－1<1，解得.2、函數(shù)定義域?yàn)镽，且，故函數(shù)為奇函數(shù).3、可得2x>0，則有，解得y>0或y<－1.4、經(jīng)過(guò)圖像即可判斷.5、.6、由，由，綜合得x>1或x<－1.7、即為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，由，可得，又，則函數(shù)在上為減函數(shù)，故所求區(qū)間為.8、函數(shù)定義域?yàn)镽，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，又，函數(shù)在R上都為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù).9、可得.10、①中當(dāng)x=0時(shí)，兩式相等，②式也相同，③式當(dāng)x增大，y減小，故為減函數(shù)．11、0＜a＜提示：數(shù)形結(jié)合.由圖象可知0＜2a＜1，0＜a＜.12、提示：由得2－3x＞2，所以－3x＞1，．13、(2,2)提示：當(dāng)x=2時(shí)，y=a0＋1=2．14、(－∞，1]提示：∵y=( )x在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，而函數(shù)y=x2－2x＋2=(x－1)2＋1的遞減區(qū)間是(－∞，1］，∴原函數(shù)的遞加區(qū)間是(－∞，1］．15、解：由9x－10·3x＋9≤0得(3x－1)(3x－9)≤0，解得1≤3x≤9.∴0≤x≤2，令( )x=t，則≤t≤1，y=4t2－4t＋2=4(t－)2＋1.當(dāng)t=即x=1時(shí)，ymin=1；當(dāng)t=1即x=0時(shí)，ymax=2.16、解法一：設(shè)y=5－|x＋1|，則0＜y≤1，問(wèn)題轉(zhuǎn)變成方程y2－4y－m=0在(0，1］內(nèi)有實(shí)根.設(shè)f(y)=y2－4y－m，其對(duì)稱軸y=2，∴f(0)＞0且f(1)≤0，得－3≤m＜0.解法二：∵m=y2－4y，其中y=5－|x＋1|∈(0，1]，∴m=(y－2)2－4∈［－3，0)．17、(1)設(shè)，即f(x1)＜f(x2)，所以關(guān)于a取任意實(shí)數(shù)，f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)．(2)由f(－x)=－f(x)得，解得a=1，即當(dāng)a=1時(shí)，f(－x)=f(x)．18、解：（1）定義域?yàn)镽．．．∴值域?yàn)椋ǎ?，1）．（2），∴f(x)為奇函數(shù)．（3）設(shè)，則當(dāng)a>1時(shí)，由，得，，∴當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在R上為增函數(shù)．同理可判斷當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)在R上為減函數(shù)．考點(diǎn)三：對(duì)數(shù)函數(shù)例1、求函數(shù)的定義域和值域，并確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．例2、已知函數(shù)f(x)=lg(ax2＋2x＋1)（a∈R）.1）若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；2）若函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.例3、已知的最大值和最小值以及相應(yīng)的x值.例4、已知

f(x)=log

a(ax－1)（a＞0，a≠1）.（1）求f(x)的定義域；（2）談?wù)揻(x)的單調(diào)性；（3）求函數(shù)

y=f(2x)與

y=f－1(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

.例

1

解：由－x2＋2x＋3＞0

，得

x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3，

定義域?yàn)?/p>

(

－1，3)；又令

g(x)=

－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4，∴當(dāng)

x∈(－1，3)

時(shí)，

0＜g(x)

≤4.∴f(x)≥=－2，即函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－2，＋∞）；g(x)=－(x－1)2＋4的對(duì)稱軸為x=1.∴當(dāng)－1＜x≤1時(shí)，g(x)為增函數(shù)，∴當(dāng)1≤x＜3時(shí)，g(x)為減函數(shù)，∴f(x)

為增函數(shù)．

為減函數(shù)

.即f(x)在（－1，1]上為減函數(shù)；在[1，3）上為增函數(shù)．例2、解析：令g(x)=ax2＋2x＋1，由f(x)的定義域?yàn)镽，故g(x)＞0對(duì)任意x∈R均成立，問(wèn)題轉(zhuǎn)變成g(x)＞0恒建立，求a的取值范圍問(wèn)題；若f(x)的值域?yàn)镽，則g(x)的值域?yàn)锽必滿足B（0，＋∞），經(jīng)過(guò)對(duì)a的談?wù)摷纯桑獯穑海?）令g(x)=ax2＋2x＋1，因f(x)的定義域?yàn)镽，∴g(x)＞0恒建立．∴∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽時(shí)，有a＞1.（2）因f(x)的值域?yàn)镽，設(shè)g(x)=ax2＋2x＋1的值域?yàn)锽，則B（0，＋∞）.若a＜0，則B=（－∞，1－]（0，＋∞）；若a=0，則B=R，滿足B（0，＋∞）.若a＞0，則△=4－4a≥0，∴a≤1.綜上所述，當(dāng)f(x)的值域?yàn)镽時(shí)，有0≤a≤1.例3、解析：題中條件給出了后邊函數(shù)的自變量的取值范圍，而依照對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可將函數(shù)化成關(guān)于log2x的二次函數(shù)，再依照二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題來(lái)求解.解答：當(dāng)t=3時(shí)，y有最大值2，此時(shí)，由log2x=3，得x=8.∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最小值－.當(dāng)x=8時(shí)，y有最大值2.例4、解析：題設(shè)中既含有指數(shù)型的函數(shù)，也含有對(duì)數(shù)型的函數(shù)，在談?wù)摱x域，談?wù)搯握{(diào)性時(shí)應(yīng)注意對(duì)底數(shù)a進(jìn)行談?wù)?，而?）中等價(jià)于求方程f(2x)=f－1(x)的解．解答：（1）ax－1＞0得ax＞1.∴當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?，＋∞），當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ǎ蓿?）.（2）令g(x)=ax－1，則當(dāng)a＞1時(shí)，g(x)=ax－1在（0，＋∞）上是增函數(shù).即對(duì)0＜x1＜x2，有0＜g(x1)＜g(x2)，而y=logax在（0，＋∞）上是增函數(shù)，∴l(xiāng)ogag(x1)＜logag(x2)，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)=loga(ax－1)在（0，＋∞）上是增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g(x)=ax－1在(－∞,0)上是減函數(shù).即對(duì)x1＜x2＜0，有g(shù)(x1)＞g(x2)＞0．而y=logax在（0，＋∞）上是減函數(shù)，∴l(xiāng)ogag(x1)＜logag(x2)，即f(x1)＜f(x2)．f(x)=loga(ax－1)在（－∞，0）上是增函數(shù).綜上所述，f(x)在定義域上是增函數(shù)．（3）∵f(2x)=log2x－1)，令y=f(x)=logx－1)，(aa(aa則ax－1=ay，∴ax=ay＋1，∴x=loga(ay＋1)(y∈R)．f－1(x)=loga(ax＋1)（x∈R）．由f(2x)=f－1a2x－1)=logax＋1)．(x)，得log(a(aa2x－1=ax＋1，即(ax)2－ax－2=0.ax=2或ax=－1（舍）．x=loga2.即y=f(2x)與y=f－1(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=loga2．變式訓(xùn)練：一、選擇題1、當(dāng)a>1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=a－x與y=logax的圖象是（）A．B．C．D．2、將y=2x的圖象（），再作關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖象，可得函數(shù)y=log2(x＋1)和圖象．A．先向左平行搬動(dòng)1個(gè)單位B．先向右平行搬動(dòng)1個(gè)單位C．先向上平行搬動(dòng)1個(gè)單位D．先向下平行搬動(dòng)1個(gè)單位3、函數(shù)的定義域是（）A．（1，＋∞）B．（2，＋∞）C．（－∞，2）D．（1，2]4、函數(shù)y=lg(x－1)＋3的反函數(shù)f－1(x)=（）A．10x＋3＋1B．10x－3－1C．10x＋3－1D．10x－3＋15、函數(shù)的遞加區(qū)間是（）A．（－∞，1）B．（2，＋∞）C．（－∞，）D．（，＋∞）6、已知f(x)=|logx|，其中0<a<1，則以下各式中正確的選項(xiàng)是（）aA．B．C．D．7、是（）A．奇函數(shù)而非偶函數(shù)B．偶函數(shù)而非奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)8、已知0<a<1,b>1，且ab>1，則以下不等式中正確的選項(xiàng)是（）A．B．C．D．9、函數(shù)f(x)的圖象以下列圖，則y=logf(x)的圖象表示圖為（）A．B．C．D．10、關(guān)于x的方程（a＞0，a≠1），則（）A．僅當(dāng)a＞1時(shí)有唯一解B．僅當(dāng)0＜a＜1時(shí)有唯一解C．必有唯一解D．必?zé)o解二、填空題11、函數(shù)的單調(diào)遞加區(qū)間是___________.12、函數(shù)在2≤x≤4范圍內(nèi)的最大值和最小值分別是___________.13、若關(guān)于x的方程最少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是___________.14、已知（a＞0，b＞0），求使f(x)＜0的x的取值范圍.15、設(shè)函數(shù)f(x)=x222a)=b(a>0且a≠1)，－x＋b，已知logf(a)=2，且f(log(1)求a，b的值；(2)試在f(log2x)>f(1)且log2f(x)<f(1)的條件下，求x的取值范圍．16、已知函數(shù)f(x)=loga(x－3a)（a＞0且a≠1），當(dāng)點(diǎn)P（x，y）是函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q（x－2a，－y）是y=g(x)圖象上的點(diǎn).1）寫出y=g(x)的解析式；2）若當(dāng)x∈[a＋2，a＋3]時(shí)，恒有|f(x)－g(x)|≤1，試求a的取值范圍.答案及提示：1-10DDDDABBBCC1、當(dāng)a>1時(shí)，y=logax是單調(diào)遞加函數(shù)，是單調(diào)遞減函數(shù)，比較圖象可知D正確.∴應(yīng)選D.2、解法1：與函數(shù)y=log(x＋1)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的曲線是反函數(shù)y=2x－1的圖2象，為了獲取它，只需將y=2x的圖象向下平移1個(gè)單位.解法2：在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出y=2x與y=log2(x＋1)的圖象，直接觀察，即可得D.3、由≥0，得0<x－1≤1，∴1<x≤2.5、應(yīng)注意定義域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（2，＋∞），答案選A.6、不如取，可得選項(xiàng)B正確．7、由f(－x)=f(x)知f(x)為偶函數(shù)，答案為B.8、由ab>1，知，故且，故答案選B.10、當(dāng)a＞1時(shí)，0＜＜1，