教學(xué)課件-《金融數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》孟生旺

金融數(shù)學(xué)1金融數(shù)學(xué)1教學(xué)內(nèi)容：基本的金融計(jì)算問題。不含BS期權(quán)定價(jià)、期權(quán)交易策略、隨機(jī)利率。計(jì)算工具：EXCEL金融函數(shù)，解方程教學(xué)進(jìn)度：每周15-18頁教材課外學(xué)習(xí)時(shí)間：每周至少3小時(shí)2教學(xué)內(nèi)容：基本的金融計(jì)算問題。不含BS期權(quán)定價(jià)、期權(quán)交易策略練習(xí)和作業(yè)：課堂練習(xí)（英文為主）：根據(jù)情況要求提交。教材練習(xí)（中文）：自己檢查核對，提供參考答案課外作業(yè)（英文）：每章安排一次，共10次作業(yè)。測驗(yàn)和考試測驗(yàn)（英文）：開卷，隨堂完成。期末考試（10題，2題英文，8題中文）：閉卷，2小時(shí)，可以使用計(jì)算器。成績評定：平時(shí)（課堂練習(xí)、作業(yè)、測驗(yàn)）：30%期末考試：70%資源下載（/mengshw）3練習(xí)和作業(yè)：3利息度量累積函數(shù)實(shí)際利率單利和復(fù)利貼現(xiàn)函數(shù)實(shí)際貼現(xiàn)率名義利率名義貼現(xiàn)率利息力（連續(xù)復(fù)利）4利息度量累積函數(shù)4幾個(gè)實(shí)際問題半年期的定期存款利率是2%。請問1萬元存半年，到期的利息是多少？三年期的定期存款利率是4.25%。請問1萬元存三年，到期的利息是多少？銀行推出的理財(cái)產(chǎn)品為65天，預(yù)期年化收益率為5%，購買10萬元到期可以獲得多少利息？5幾個(gè)實(shí)際問題半年期的定期存款利率是2%。請問1萬元存半年，到6如何度量速度？公里/小時(shí)，米/秒，……瞬時(shí)速度如何度量利息？利率（實(shí)際，名義）貼現(xiàn)率（實(shí)際，名義）利息力（連續(xù)復(fù)利）6如何度量速度？71.1利息的基本函數(shù)利息（interest）的定義：借用他人資金需支付的成本，或出讓資金獲得的報(bào)酬。利息存在的合理性資金的稀缺性時(shí)間偏好資本也是生產(chǎn)力71.1利息的基本函數(shù)利息（interest）的定義：8關(guān)于利息的幾個(gè)基本概念本金（principal）：初始投資的資本金額。累積值（accumulatedvalue）：一段時(shí)期后收到的總金額。利息（interest）——累積值與本金之間的差額。8關(guān)于利息的幾個(gè)基本概念本金（principal）：初始投資9積累函數(shù)(Accumulationfunction)累積函數(shù)：時(shí)間零點(diǎn)的1元在時(shí)間t的累積值,記為a(t)。性質(zhì)：a(0)=1；a(t)通常是時(shí)間的增函數(shù)；當(dāng)利息是連續(xù)產(chǎn)生時(shí)，a(t)是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。

注：一般假設(shè)利息是連續(xù)產(chǎn)生的。9積累函數(shù)(Accumulationfunction)10例：常見的幾個(gè)積累函數(shù)（1）常數(shù)：a(t)=1（2）線性：a(t)=1+0.1t（3）指數(shù)：a(t)=(1+0.1)t

10例：常見的幾個(gè)積累函數(shù)11111210ta(t)累積函數(shù)？對應(yīng)哪些實(shí)例？1210ta(t)累積函數(shù)？對應(yīng)哪些實(shí)例？例假設(shè)累積函數(shù)為請計(jì)算t=1時(shí)的500元

，在t=2的累積值是多少。解：13ta(t)011225310例假設(shè)累積函數(shù)為13ta(t)011225310141.2實(shí)際利率（effectiverateofinterest）實(shí)際利率i

是時(shí)間零點(diǎn)的1元在期末產(chǎn)生的利息：實(shí)際利率i是期末獲得的利息金額與期初本金之比：141.2實(shí)際利率（effectiverateofi15實(shí)際利率經(jīng)常用百分比表示，如8%；利息是在期末支付的；本金在整個(gè)時(shí)期視為常數(shù)；通常使用的時(shí)間單位是年。如無特殊說明，利率是指年利率。注：15實(shí)際利率經(jīng)常用百分比表示，如8%；注：16例：

把1000元存入銀行，第1年末存款余額為1020元，第2年末存款余額為1050元，求第一年和第二年的實(shí)際利率分別是多少？問題：整個(gè)存款期間的實(shí)際利率是多少？整個(gè)存款期間的年平均實(shí)際利率是多少？（后面討論）16例：問題：整個(gè)存款期間的實(shí)際利率是多少？171.3單利(simpleinterest)單利的積累函數(shù)：171.3單利(simpleinterest)單利的積18單利的累積函數(shù)

18單利的累積函數(shù)19單利對應(yīng)的實(shí)際利率：問題:為什么每個(gè)時(shí)期的利息金額相等，而實(shí)際利率卻越來越小呢？可見，實(shí)際利率是

t的遞減函數(shù)。單利與實(shí)際利率的關(guān)系：19單利對應(yīng)的實(shí)際利率：問題:為什么每個(gè)時(shí)期的利息金額相只有本金產(chǎn)生利息，而利息不會(huì)產(chǎn)生新的利息。時(shí)間零點(diǎn)投資1元，在每年末得到完全相同的利息i

，i稱為單利率。20單利的特點(diǎn)：只有本金產(chǎn)生利息，而利息不會(huì)產(chǎn)生新的利息。20單利的特點(diǎn)：21例若年單利為8％，求投資2000元在4年后的積累值和利息。累積值為：利息為：21例若年單利為8％，求投資2000元在4年后的積累值和利息22時(shí)間t的確定,t=投資天數(shù)/每年的天數(shù)（1）“實(shí)際/365”（actual/actual）：投資天數(shù)按兩個(gè)日期之間的實(shí)際天數(shù)計(jì)算，每年按365天計(jì)算。（2）“實(shí)際/360”：投資天數(shù)按兩個(gè)日期之間的實(shí)際天數(shù)計(jì)算，每年按360天計(jì)算。稱為行家規(guī)則

(banker’srule)。（3）“30/360”規(guī)則：每月按30天計(jì)算,每年按360天計(jì)算。兩個(gè)給定日期之間的天數(shù)按下述公式計(jì)算：其中起始日為Y2年M2月D2日，到期日為Y1年M1月D1日。22時(shí)間t的確定,t=投資天數(shù)/每年的天數(shù)（123例：投資者在2014年6月14日存入基金10000元，2015年2月7日取出，基金的年單利利率為8%，請分別根據(jù)下列規(guī)則計(jì)算投資者可以獲得的利息金額：（1）“實(shí)際/365”規(guī)則（2）“實(shí)際/360”規(guī)則（3）“30/360”規(guī)則23例：投資者在2014年6月14日存入基金10000元，2（1）精確天數(shù)為238，在“實(shí)際/365”規(guī)則下，t=238/365，利息金額為：（2）在“實(shí)際/360”規(guī)則下，t=238/360，利息金額為：（3）在“30/360”規(guī)則下，兩個(gè)日期之間的天數(shù)為：

故t=233/360，利息金額為：（1）精確天數(shù)為238，在“實(shí)際/365”規(guī)則下，t=225單利的缺陷：不滿足一致性

證明：含義：分兩段投資將產(chǎn)生更多利息。問題：分段越來越多，產(chǎn)生的利息是否會(huì)趨于無窮大？25單利的缺陷：不滿足一致性練習(xí)單利的年利率為i，當(dāng)前的1元到年末的累積值為1+i如果把1年劃分為n個(gè)等間隔的時(shí)間段按單利進(jìn)行投資，年末的累積值是多少？當(dāng)n趨于無窮大時(shí)會(huì)怎樣？26練習(xí)單利的年利率為i，當(dāng)前的1元到年末的累積值為1+i26271.4復(fù)利(compoundinterest)單利：本金保持不變。復(fù)利：前期的利息收入計(jì)入下一期的本金，即“利滾利”。例：假設(shè)年初投資1000元，年利率為5％，則年末可獲利50元，因此在年末有1050元可以用來投資。第二年按照1050元來計(jì)算，將在年末獲得52.5元利息。問題：在利率相等的情況下，復(fù)利的累積值總是大于單利嗎？271.4復(fù)利(compoundinterest)單利28復(fù)利的積累函數(shù)28復(fù)利的積累函數(shù)29實(shí)際利率=復(fù)利利率復(fù)利的實(shí)際利率29實(shí)際利率=復(fù)利利率復(fù)利的實(shí)際利率30單利與復(fù)利的比較（假設(shè)年利率相等）單利的實(shí)際利率逐期遞減，復(fù)利的實(shí)際利率為常數(shù)。當(dāng)0<t<1時(shí)，單利比復(fù)利產(chǎn)生更大的積累值。當(dāng)t>1時(shí)，復(fù)利比單利產(chǎn)生更大的積累值。當(dāng)t=0或1時(shí)，單利和復(fù)利產(chǎn)生相同的累積值。復(fù)利單利30單利與復(fù)利的比較（假設(shè)年利率相等）單利的實(shí)際利率逐期遞減313132ExerciseItisknownthat1000investedfor4yearswillearn250ininterest,i.e.,thatthevalueofthefundafter4yearswillbe1250.Determinetheaccumulatedvalueof4500investedatthesamerateofcompoundinterestfor10years.32ExerciseItisknownthat10033Solution:33Solution:341.5貼現(xiàn)（discount）累積：在時(shí)間零點(diǎn)投資1元，在時(shí)間

t的累積值是多少？貼現(xiàn)：在時(shí)間零點(diǎn)投資多少，才能在時(shí)間

t累積到1元?時(shí)間t的1元在時(shí)間零點(diǎn)的價(jià)值稱為貼現(xiàn)函數(shù)，記為a-1(t)。0t1a(t)a-1(t)1341.5貼現(xiàn)（discount）累積：在時(shí)間零點(diǎn)投資1元35貼現(xiàn)函數(shù)(discountfunction)單利的貼現(xiàn)函數(shù)復(fù)利的貼現(xiàn)函數(shù)注：除非特別申明，今后一概使用復(fù)利。35貼現(xiàn)函數(shù)(discountfunction)單利的36(1+i)累積因子：accumulationfactor

t年累積因子：t-yearaccumulationfactor貼現(xiàn)因子：discountfactorvt

t年貼現(xiàn)因子：t-yeardiscountfactor幾個(gè)術(shù)語：36(1+i)累積因子：acc37

實(shí)際貼現(xiàn)率：d

(effectiverateofdiscountwithcompoundinterest)實(shí)際貼現(xiàn)率等于一個(gè)時(shí)期的利息收入與期末累積值之比：期初本金期末累積值利息=期末累積值-期初本金（期初比期末少百分之幾？）（期末比期出多百分之幾？）37實(shí)際貼現(xiàn)率：d

(effectiverate例年實(shí)際貼現(xiàn)率為d，請計(jì)算年末的1元相當(dāng)于年初的多少？解：令其等于X，則由貼現(xiàn)率的定義，有381-d101例年實(shí)際貼現(xiàn)率為d，請計(jì)算年末的1元相當(dāng)于年初的多少？3839實(shí)際利率i與實(shí)際貼現(xiàn)率d的關(guān)系（1）11+i01當(dāng)期利息：i根據(jù)貼現(xiàn)率的定義：39實(shí)際利率i與實(shí)際貼現(xiàn)率d的關(guān)系（1）11+i040實(shí)際利率i與實(shí)際貼現(xiàn)率d的關(guān)系（2）1-d101當(dāng)年利息：d年末的1元在年初的現(xiàn)值為：1-d根據(jù)利率的定義：40實(shí)際利率i與實(shí)際貼現(xiàn)率d的關(guān)系（2）1-d141證明：注：把年末支付的利息i

貼現(xiàn)到年初，等于在年初支付的d。換言之，年末的i相當(dāng)于年初的d。實(shí)際利率i與實(shí)際貼現(xiàn)率d的關(guān)系（3）41證明：注：把年末支付的利息i貼現(xiàn)到年初，等于在年初支42v=1–d解釋：年末的1在年初的現(xiàn)值可以表示為v，或1–d。貼現(xiàn)函數(shù)可表示為a–1(t)=

累積函數(shù)可表示為a(t)=

011v（1－d）實(shí)際利率i與實(shí)際貼現(xiàn)率d的關(guān)系（4）證明：42v=1–d解釋：年末的1在年初的現(xiàn)值可以表示為43i–d=id解釋：1元本金在年末有i元利息，(1–d)元本金在年末有d元利息。產(chǎn)生(i–d)元利息差額。原因：本金有d元差額，導(dǎo)致的利息差額是id。本金（Principal）利息（interest）累積值（Accumulatedvalue）1i1+i1-dd1

本金之差:d→

利息之差

di

利息之差:i–d實(shí)際利率i與實(shí)際貼現(xiàn)率d的關(guān)系（5）證明：43i–d=id解釋：1元本金在年末有i元利息，44

例:

i=5%=1/20,

d=1/21證明：實(shí)際利率i與實(shí)際貼現(xiàn)率d的關(guān)系（6）44例:證明：實(shí)際利率i與實(shí)際貼現(xiàn)率d的關(guān)系問題：已知年實(shí)際利率為5%?；卮鹣率鰡栴}：（1）100萬元貸款在年末的利息是多少？（2）如果在貸款起始日收取利息，應(yīng)該收取多少利息？（3）年實(shí)際貼現(xiàn)率是多少？（4）寫出累積函數(shù)和貼現(xiàn)函數(shù)。（5）分別用實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率計(jì)算，5年末到期的100萬元在時(shí)間零點(diǎn)的價(jià)值是多少？45問題：已知年實(shí)際利率為5%。回答下述問題：45問題：

（1）貼現(xiàn)率隨著利率變化的規(guī)律？（2）利率隨著貼現(xiàn)率變化的規(guī)律？46問題：4647利率貼現(xiàn)率利率i和貼現(xiàn)率d的關(guān)系問題：如果利率趨于無窮？47利率貼現(xiàn)率利率i和貼現(xiàn)率d的關(guān)系問題：如果利率趨于48貼現(xiàn)率利率貼現(xiàn)率d和利率i的關(guān)系問題：如果貼現(xiàn)率趨于1？48貼現(xiàn)率利率貼現(xiàn)率d和利率i的關(guān)系問題：如果貼現(xiàn)率49例面值為100元的一年期零息債券的價(jià)格為95元。一年期定期儲(chǔ)蓄存款的利率為5.25％。投資者應(yīng)該存款還是購買零息債券？49例面值為100元的一年期零息債券的價(jià)格為95元。50解：比較貼現(xiàn)率：零息債券的貼現(xiàn)率d＝5%儲(chǔ)蓄的貼現(xiàn)率d＝i/(1+i)=4.988％比較利率：零息債券的利率儲(chǔ)蓄的利率為5.25％50解：比較貼現(xiàn)率：51計(jì)算累積值和現(xiàn)值，既可以用利率，也可以用貼現(xiàn)率。用利率計(jì)算：累積函數(shù)：a(t)=(1+i)t

貼現(xiàn)函數(shù)：a–1(t)=(1+i)–t用貼現(xiàn)率計(jì)算：累積函數(shù)：a(t)=(1－d)-t貼現(xiàn)函數(shù)：a–1(t)=(1－d)t小結(jié)：51計(jì)算累積值和現(xiàn)值，既可以用利率，也可以用貼現(xiàn)率。小結(jié)：52一些重要的等價(jià)關(guān)系式：i=d/(1-d)d=i/(1+i)d=iv

v=1-d

i-d=id

0111+i1-d1v152一些重要的等價(jià)關(guān)系式：i=d/(1-d)0111+53ExerciseAninvestordeposits20,000inabank.Duringthefirst4yearsthebankcreditsanannualeffectiverateofinterestofi.Duringthenext4yearsthebankcreditsanannualeffectiverateofinterestofi-0.02.Attheendof8yearsthebalanceintheaccountis22081.10.Whatwouldtheaccountbalancehavebeenattheendof10yearsiftheannualeffectiverateofinterestwerei+0.01foreachofthe10years?020,0004810ii-0.0222081.10?i+0.0153ExerciseAninvestordeposit54Theequationofvalueistheaccountbalanceafter10yearswouldbeSolution:54Theequationofvalueisthe55ExerciseItisknownthattheaccumulationfunctiona(t)isoftheformb(1.1)t

+ct2,wherebandcareconstantstobedetermined.(a)If$100investedattimet=0accumulatesto$170attimet=3,findtheaccumulatedvalueattimet=12of$100investedattimet=1.(b)Determineageneralformulaforin,andshowthat55ExerciseItisknown56Solution:(a)Anaccumulationfunctionmusthavethepropertythat

a(0)=1;thisimpliesthat1=b+0,sob=1.thenc=0.041henceThegivendataimplythata(t)=b(1.1)t

+ct256Solution:(a)Anaccumulation57hence(b)57hence(b)58ExerciseItisknownthataninvestmentof750willincreaseto2097.75attheendof25years.Findthesumofthepresentvaluesofpaymentsof5000eachwhichwilloccurattheendsof10,15,and25years.7502097.755010152025500050005000？58ExerciseItisknownthatan59Solution:Theknownfact:Thepresentvalueofthreepaymentsof5000after10,15,and25yearswillbe59Solution:Theknownfact:The第二講60第二講60本章主要內(nèi)容累積函數(shù)，實(shí)際利率貼現(xiàn)函數(shù)，實(shí)際貼現(xiàn)率名義利率名義貼現(xiàn)率利息力（連續(xù)復(fù)利）61本章主要內(nèi)容累積函數(shù)，實(shí)際利率6162回顧62回顧63實(shí)際利率：一年復(fù)利一次。名義利率：一年復(fù)利多次，或多年復(fù)利一次。例：3個(gè)月期的存款年利率為1.8%例：3年期的存款年利率為4%名義利率？63實(shí)際利率：一年復(fù)利一次。名義利率？64考慮下述兩筆貸款：貸款100萬，年利率為12％，年末支付利息12萬。貸款100萬，年利率為12％，每月末支付一次利息，每次支付1萬。第一個(gè)12％是年實(shí)際利率，第二個(gè)是年名義利率。64考慮下述兩筆貸款：65名義利率的各種表述季度的實(shí)際利率為3%：年利率為12%，每年結(jié)轉(zhuǎn)4次利息；年利率為12%，每年復(fù)利4次；年利率為12%，每季度結(jié)轉(zhuǎn)一次利息；年利率為12%，每季度復(fù)利一次。相關(guān)術(shù)語利息結(jié)轉(zhuǎn)期：interestconversionperiod；每月結(jié)轉(zhuǎn)一次：convertiblemonthly；每月支付一次：payablemonthly；每月復(fù)利一次：compoundmonthly；65名義利率的各種表述季度的實(shí)際利率為3%：66年名義利率

i(m)

表示每年復(fù)利m次，即每1/m年支付一次利息，每1/m年的實(shí)際利率為i(m)/m。例：i(4)=8%

表示每季度復(fù)利1次，每季度的實(shí)際利率為2%。例：i(12)=6%

表示每月復(fù)利1次，每月的實(shí)際利率為0.5%。例：i(1/5)=10%

表示每5年復(fù)利1次，5年期的實(shí)際利率為50%。例：i(1/2)=9%

表示每2年復(fù)利1次，2年期的實(shí)際利率為18%。名義利率的定義66年名義利率i(m)表示每年復(fù)利m次，即每1/67問題：三個(gè)月定期存款的年利率為1.8％，存1000元滿3個(gè)月可得多少利息？答案：i(4)＝1.8%，三個(gè)月的實(shí)際利率為1.8%÷4，存1000元滿3個(gè)月可得利息1000×1.8%/4=4.5

元。問題：5年期定期存款的年利率為6％，存1000元滿5年可得多少利息？答案：i(1/5)＝6%，5年期的實(shí)際利率為6%×5，存1000元滿5年可得利息1000×6%×5=300元。67問題：三個(gè)月定期存款的年利率為1.8％，存1000元滿68名義利率與實(shí)際利率的關(guān)系：

對名義利率的一種解釋：

名義利率是在1/m時(shí)期內(nèi)與實(shí)際利率（復(fù)利利率）i

等價(jià)的單利利率。68名義利率與實(shí)際利率的關(guān)系：對名義利率的一種解釋：例：時(shí)間零點(diǎn)投資100萬元，年利率為12%，請?jiān)谙率龈鞣N條件下計(jì)算1個(gè)月末和1年末的累積值：（1）上述利率是單利利率（2）上述利率是實(shí)際利率（復(fù)利利率）（3）上述利率是名義利率，每年復(fù)利12次解：69例：時(shí)間零點(diǎn)投資100萬元，年利率為12%，請?jiān)谙率龈鞣N條件70Example：Whichrateismorefavorabletoaninvestor:5%compoundsemi-annually4.95%compounddaily(note:ayearis365days)70Example：Whichrateismoref71

年利率一定的條件下，每年的復(fù)利次數(shù)越多，年實(shí)際利率越高。年名義利率為10%時(shí)，年實(shí)際利率隨復(fù)利次數(shù)的變化情況年復(fù)利次數(shù)年實(shí)際利率110.000%210.25%410.38%1210.47%52（每周）10.51%365(每天)10.52%71年利率一定的條件下，每年的復(fù)利次數(shù)越多，年實(shí)際利率72問題：年利率i(m)一定的情況下，如果復(fù)利次數(shù)m為無窮大，年實(shí)際利率會(huì)是多少？年復(fù)利次數(shù)年實(shí)際利率110.00%365(每天)10.52%∞10.52%72問題：年利率i(m)一定的情況下，如果復(fù)利次數(shù)m為無窮大73ExampleAnominalannualrateof6%iscompoundedevery8months,whatistheaccumulationfunction?Solution:Therearem=12/8=1.5compoundingperiodsperyear,so73ExampleAnominalannualrat74課后練習(xí)：銀行儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)的年利率如下，請計(jì)算它們等價(jià)的年實(shí)際利率。存款年利率（％）活期定

期3個(gè)月6個(gè)月1年2年3年5年0.721.802.252.523.063.694.1474課后練習(xí)：銀行儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)的年利率如下，請計(jì)算它們等價(jià)的年實(shí)75存款利率：等價(jià)的名義利率和實(shí)際利率的比較定

期3個(gè)月6個(gè)月1年2年3年5年年名義利率1.802.252.523.063.694.14等價(jià)的年實(shí)際利率1.8122.2632.523.0153.5623.834小于1年時(shí)，實(shí)際利率大于名義利率；超過1年時(shí)，實(shí)際利率小于名義利率。75存款利率：等價(jià)的名義利率和實(shí)際利率的比較定

期3個(gè)76Exercise：EricdepositsXintoasavingsaccountattime0,whichpaysinterestatanominalrateofi,compoundedsemiannually.Mikedeposits2Xintoadifferentsavingsaccountattime0,whichpayssimpleinterestatanannualrateofi.EricandMikeearnthesameamountofinterestduringthelast6monthsofthe8thyear.Calculatei.76Exercise：EricdepositsXint777778名義貼現(xiàn)率(nominalannualrateofdiscount)

定義：d

(m)

是指每1/m時(shí)期的實(shí)際貼現(xiàn)率為d

(m)

/m。對名義貼現(xiàn)率的一種解釋：

名義貼現(xiàn)率是在1/m時(shí)期內(nèi)

與實(shí)際貼現(xiàn)率d等價(jià)的單貼現(xiàn)率。78名義貼現(xiàn)率(nominalannualrateof79Example：Findthepresentvalueof$1000tobepaidattheendofsixyearat6%perannumpayableinadvanceandconvertiblesemiannually.（名義貼現(xiàn)率為6％，半年復(fù)利1次，第6年末的值為$1000，求現(xiàn)值）解：79Example：Findthepresentval80名義利率與名義貼現(xiàn)率的關(guān)系把

i

(m)/m

和d

(m)/m

看作1/m

年內(nèi)的實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率，則80名義利率與名義貼現(xiàn)率的關(guān)系81例：確定每季度復(fù)利一次的利率，使它等價(jià)于每月復(fù)利一次的6％的貼現(xiàn)率。解：81例：確定每季度復(fù)利一次的利率，使它等價(jià)于每月復(fù)利一次的682nominalannualrateofdiscountis10%CompoundingtimesperyearEffectiveannualrateofdiscount1(每年)10.00%2(每半年)9.75%4(每季)9.63%12(每月)9.55%52(每周)9.53%365(每天)9.52%∞9.52%82nominalannualrateofdisco83小結(jié)：各種等價(jià)度量工具之間的數(shù)值大小關(guān)系？m=1:12i=0.05d=i/(1+i)im=((1+i)^(1/m)-1)*mdm=(1-(1-d)^(1/m))*mmatplot(m,cbind(im,dm),type='l',lwd=3,ylab='',main='隨著復(fù)利次數(shù)m的增加，名義利率和名義貼現(xiàn)率的變化過程 （假設(shè)實(shí)際利率為5%）')legend(4,0.05,c('名義利率','名義貼現(xiàn)率'),lty=1:2,col=1:2,lwd=2,box.col='white')abline(h=i,lty=2,col=4)abline(h=i/(1+i),lty=2,col=4)abline(h=log(1+i),lty=2,col=4)83小結(jié)：各種等價(jià)度量工具之間的數(shù)值大小關(guān)系？84Example:Jeffdeposits10intoafundtodayand20fifteenyearslater.Interestiscreditedatanominaldiscountrateofdcompoundedquarterlyforthefirst10years,andatanominalinterestrateof6%compoundedsemiannuallythereafter.Theaccumulatedbalanceinthefundattheendof30yearsis100.Calculated.$10$20015years30years$10010years84Example:Jeffdeposits10in85Solution：$10$20015years30years$10010years85Solution：$10$20015years30y86回顧：年實(shí)際利率可以度量資金在一年內(nèi)的增長強(qiáng)度（年平均）。名義利率可以度量資金在一個(gè)小區(qū)間（如一個(gè)月）的增長強(qiáng)度（月平均）。問題：如何度量資金在每一個(gè)時(shí)點(diǎn)上的增長強(qiáng)度？在名義利率中，如果時(shí)間區(qū)間無窮小，名義利率就度量了資金在一個(gè)時(shí)點(diǎn)上的增長強(qiáng)度。稱作利息力。1.8利息力(forceofinterest)86回顧：1.8利息力(forceofinterest87定義：利息力度量資金在每一時(shí)點(diǎn)上（無窮小的時(shí)間區(qū)間）增長的強(qiáng)度。在時(shí)間區(qū)間[t,t+h]的實(shí)際利率為對應(yīng)的年名義利率為（1年包含1/h個(gè)小區(qū)間）87定義：利息力度量資金在每一時(shí)點(diǎn)上（無窮小的時(shí)間區(qū)間）增長88

為時(shí)刻t的利息增長強(qiáng)度（即利息力）。定義：設(shè)積累函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，則時(shí)刻t的利息力為問題：為什么不用a(t)直接度量利息的增長強(qiáng)度？8889單利在t時(shí)刻的利息力單利的累積函數(shù)

t時(shí)

的利息力為單利的利息力是時(shí)間的遞減函數(shù)（參見下圖）。89單利在t時(shí)刻的利息力單利的累積函數(shù)909091復(fù)利在時(shí)刻t的利息力因?yàn)樗詴r(shí)刻t的利息力為復(fù)利的利息力是常數(shù)！與時(shí)間無關(guān)。稱為復(fù)利的利息力。故累積函數(shù)可以表示為91復(fù)利在時(shí)刻t的利息力因?yàn)?2用利息力表示的累積函數(shù)和貼現(xiàn)函數(shù)：

兩邊從0到t積分，得故有

92用利息力表示的累積函數(shù)和貼現(xiàn)函數(shù)：93對利息力的另一個(gè)解釋：在復(fù)利條件下，當(dāng)m趨于無窮時(shí)的名義利率就是利息力：93對利息力的另一個(gè)解釋：在復(fù)利條件下，當(dāng)m趨于無窮時(shí)的94問題：當(dāng)m趨于無窮時(shí)的名義貼現(xiàn)率d(m)與利息力有何關(guān)系？94問題：當(dāng)m趨于無窮時(shí)的名義貼現(xiàn)率d(m)與利息力有何利息力的相關(guān)概念：連續(xù)收益率？連續(xù)復(fù)利？對數(shù)收益率？股票的日收益率？例：股價(jià)：100,101,102對數(shù)收益率：ln(101/100),ln(102/101)95利息力的相關(guān)概念：95961.9貼現(xiàn)力(forceofdiscount)用貼現(xiàn)函數(shù)a-1(t)代替累積函數(shù)，在t時(shí)刻的貼現(xiàn)力為

增加一個(gè)負(fù)號使得貼現(xiàn)力為正。利息力=貼現(xiàn)力：961.9貼現(xiàn)力(forceofdiscount)971.10利率概念辨析實(shí)際利率和名義利率：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，實(shí)際利率是扣除了通脹率以后的利率；名義利率是包含通脹率的利率。用i表示名義利率，r表示實(shí)際利率，

表示通脹率，則有

(1+i)=(1+r)(1+)i=r+

+r

可近似表示為

i

r+

或r

i－

即實(shí)際利率近似等于名義利率減去通脹率。例：當(dāng)前存入100元，1年后獲得110元。如果通脹率為10%，則實(shí)際利率為0。971.10利率概念辨析實(shí)際利率和名義利率：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，98利率和貼現(xiàn)率：在需要計(jì)算現(xiàn)值的場合，利率有時(shí)被誤稱為貼現(xiàn)率。計(jì)算現(xiàn)值可以用利率、貼現(xiàn)率、利息力：98利率和貼現(xiàn)率：在需要計(jì)算現(xiàn)值的場合，利率有時(shí)被誤稱為貼現(xiàn)99小結(jié)99小結(jié)100Acustomerisofferedaninvestmentwhereinterestiscalculatedaccordingtothefollowingforceofinterest:Thecustomerinvests1000attimet=0.Whatnominalrateofinterest,compoundedquarterly,isearnedoverthefirstfour–yearperiod?Exercise100Acustomerisofferedanin101Solution:101Solution:102Exercise：Brucedeposits100intoabankaccount.Hisaccountiscreditedinterestatanominalrateofinteresticonvertiblesemiannually.Atthesametime,Peterdeposits100intoaseparateaccount.Peter’saccountiscreditedinterestataforceofinterestofd.After7years,thevalueofeachaccountis200.Calculate(i-d).102Exercise：Brucedeposits100103103104Attime0,KisdepositedintoFundX,whichaccumulatesataforceofinterestdt=0.006t2.Attimem,2KisdepositedintoFundY,whichaccumulatesatanannualeffectiveinterestrateof10%.Attimen,wheren>m,theaccumulatedvalueofeachfundis4K.Determinem.Exercise104Attime0,Kisdepositedi105Solution:ForthefundX,So,n=8.85.ForthefundY,

m=8.85－7.27=1.58105Solution:106Tawnymakesadepositintoabankaccountwhichcreditsinterestatanominalinterestrateof10%perannum,convertiblesemiannually.Atthesametime,Fabiodeposits1000intoadifferentbankaccount,whichiscreditedwithsimpleinterest.Attheendof5years,theforcesofinterestonthetwoaccountsareequal,andFabio’saccounthasaccumulatedtoZ.DetermineZ.Exercise106Tawnymakesadepositinto107Solution：ForTawny’sbankaccount,andtheforceofinterestisForFabio’saccount,a(t)=1+itanddt=i/(1+it).Attimet=5,2ln(1.05)=i/(1+i5).So,107Solution：ForTawny’sbanka108BrianandJennifereachtakeoutaloanofX.Jenniferwillrepayherloanbymakingonepaymentof800attheendofyear10.Brianwillrepayhisloanbymakingonepaymentof1120attheendofyear10.Thenominalsemi-annualratebeingchargedtoJenniferisexactlyone–halfthenominalsemi–annualratebeingchargedtoBrian.CalculateX.(X=568.14)Exercise108BrianandJennifereachtak109解：109解：110x(1+i)20=800x(1+2i)20=1120i=0.017259

x=568.14110x(1+111例：基金A以利息力函數(shù)累積；

基金B(yǎng)以利息力函數(shù)累積。

分別用和表示它們的累積函數(shù)。

令，計(jì)算使達(dá)到最大的時(shí)刻T。

111例：112解：h(t)=t–2t2，h’(t)=1–4t，因此當(dāng)t＝1/4時(shí)，h(t)達(dá)到最大。112解：等額年金

（LevelAnnuity）113等額年金

（LevelAnnuity）113引言利息度量：累積函數(shù)：實(shí)際利率、名義利率、利息力貼現(xiàn)函數(shù)：實(shí)際貼現(xiàn)率、名義貼現(xiàn)率、利息力年金（現(xiàn)金流）的價(jià)值？等額年金變額年金114引言利息度量：114115本章主要內(nèi)容：計(jì)算等額年金的價(jià)值年金的含義和類型期末付年金（Annuity-immediate）

期初付年金（Annuity-due）

期初付與期末付年金的關(guān)系延期年金（deferredannuity）永續(xù)年金（Perpetuity）每年支付m次的年金（mthlypayableannuity）連續(xù)年金（continuouspayableannuity）115本章主要內(nèi)容：計(jì)算等額年金的價(jià)值年金的含義和類型116年金（annuity）含義：一系列的付款（或收款），付款時(shí)間和付款金額具有一定規(guī)律性。116年金（annuity）含義：一系列的付款（或收款），付117年金的類型支付時(shí)間和支付金額是否確定？確定年金(annuity-certain)風(fēng)險(xiǎn)年金(contingentannuity)。支付期限？定期年金（period-certainannuity)永續(xù)年金（perpetuity）。117年金的類型支付時(shí)間和支付金額是否確定？支付時(shí)點(diǎn)？期初付年金（annuity-due）期末付年金（annuity-immediate）開始支付的時(shí)間？即期年金，簡稱年金延期年金（deferredannuity）每次付款的金額是否相等？等額年金(levelannuity)變額年金(varyingannuity)118支付時(shí)點(diǎn)？1181191、期末付年金（Annuity-immediate）含義：每個(gè)時(shí)期末付款1元。年金時(shí)間1191、期末付年金（Annuity-immediate）120

：a-angle-n期末付年金的現(xiàn)值因子

（annuity-immediatepresentvaluefactor）120期末付年金的現(xiàn)值因子

（annuity-immedia121 ：s-angle-n期末付年金的累積值（終值）因子

annuity-immediateaccumulatedvaluefactor121 ：s-angle-n期末付年金的累積值（終值）因子

122等價(jià)關(guān)系式（1）：

含義：初始投資1，在每期末產(chǎn)生利息i，這些利息的現(xiàn)值為。在第n個(gè)時(shí)期末收回本金1，其現(xiàn)值為。1iii……10122等價(jià)關(guān)系式（1）：1iii……10123證明（可略）：(下圖解釋）等價(jià)關(guān)系式（2）：123證明（可略）：(下圖解釋）等價(jià)關(guān)系式（2）：1240n1……iiiii+111240n1……iiiii+11125例：銀行貸出100萬元的貸款，期限10年，年實(shí)際利率為6％，請計(jì)算在下面三種還款方式下，銀行在第10年末的累積值是多少（假設(shè)：銀行收到的款項(xiàng)仍然按6%的利率進(jìn)行投資）。本金和利息在第10年末一次還清；每年的利息在當(dāng)年末支付，本金在第10年末歸還。在10年期內(nèi)，每年末償還相等的金額。125例：銀行貸出100萬元的貸款，期限10年，年實(shí)際利率126解：（1）10年末的累積值為（2）（3）設(shè)每年末的償還額為R，則

126解：1272、期初付年金（annuity-due）

含義：在n個(gè)時(shí)期，每個(gè)時(shí)期初付款1元。

1111……1

0123……n-1n

1272、期初付年金（annuity-due）含義：在128——期初付年金的現(xiàn)值因子——期初付年金的積累值因子128——期初付年金的現(xiàn)值因子129和的關(guān)系證明（可略）：129和的關(guān)系證明（可略）：1300n1……ddd1diiii+11300n1……ddd1diiii+11313、期初付年金和期末付年金的關(guān)系說明:的n次付款分解為第1次付款與后面的(n–1)次付款。11……11n次111……111313、期初付年金和期末付年金的關(guān)系說明:的132ExampleCharleshasinheritedanannuity-dueonwhichthereremain12paymentsof10,000peryearataneffectivediscountrateof5%;thefirstpaymentisdueimmediately.Hewishestoconvertthistoa25-yearannuity-immediateatthesameeffectiveratesofdiscount,withfirstpaymentdueoneyearfromnow.Whatwillbethesizeofthepaymentsunderthenewannuity?10000……10000X……X（12payments,d=5%)(25payments,d=5%)132ExampleCharleshasinherit133令X是新年金在每年末的支付額，則Solution:d=5%133令X是新年金在每年末的支付額，則Solution:d134ExerciseKathryndeposits100intoanaccountatthebeginningofeach4-yearperiodfor40years.Theaccountcreditsinterestatanannualeffectiveinterestrateofi.Theaccumulatedamountintheaccountattheendof40yearsisX,whichis5timestheaccumulatedamountintheaccountattheendof20years.CalculateX.134ExerciseKathryndeposits10135SolutionTheeffectiveinterestrateoverafour-yearperiodis:135SolutionTheeffectiveinter1364、延期年金（deferredannuity）含義：推遲m個(gè)時(shí)期后才開始付款的年金。延期年金現(xiàn)值為1364、延期年金（deferredannuity）含義137例：年金共有7次付款，每次支付1元，分別在第3年末到第9年末。求此年金的現(xiàn)值和在第12年末的積累值。137例：年金共有7次付款，每次支付1元，分別在第3年末到1385、永續(xù)年金（Perpetuity）永續(xù)年金：無限期支付下去的年金。為期末付永續(xù)年金（perpetuity-immediate）的現(xiàn)值。永續(xù)年金：將本金按利率i無限期投資，每期支付利息。1385、永續(xù)年金（Perpetuity）永續(xù)年金：無限期139表示期初付的永續(xù)年金（perpetuity-due）的現(xiàn)值。139表示期初付的永續(xù)年金（perpetuity-140期末付年金與永續(xù)年金的關(guān)系：n年的期末付年金可看作下述兩個(gè)永續(xù)年金之差：第一個(gè)每年末付款1，現(xiàn)值為；第二個(gè)延遲n年，從n+1年開始每年支付1，現(xiàn)值為

因此n年的期末付年金的現(xiàn)值等于140期末付年金與永續(xù)年金的關(guān)系：n年的期末付年金可看作下141ExampleAperpetuitypaying1atthebeginningofeachyearhasapresentvalueof20.IfthisperpetuityisexchangedforanotherperpetuitypayingRatthebeginningofevery2years,findRsothatthevaluesofthetwoperpetuitiesareequal.1111……RR……141ExampleAperpetuitypaying142兩年期的實(shí)際貼現(xiàn)率D為：故新的永續(xù)年金的現(xiàn)值為142兩年期的實(shí)際貼現(xiàn)率D為：故新的永續(xù)年金的現(xiàn)值為143練習(xí)：

一筆10萬元的遺產(chǎn)：第一個(gè)10年將每年的利息付給受益人A，第二個(gè)10年將每年的利息付給受益人B，二十年后將每年的利息付給受益人C。遺產(chǎn)的年收益率為7％，請確定三個(gè)受益者的相對受益比例。143練習(xí)：一筆10萬元的遺產(chǎn)：144解：10萬元每年產(chǎn)生的利息是7000元。A所占的份額是B所占的份額是C所占的份額是A、B、C受益比例近似為49％，25％和26％。144解：10萬元每年產(chǎn)生的利息是7000元。145ExampleGiveanalgebraicproofandaverbalexplanationfortheformula。145ExampleGiveanalgebraicpr146Solution（課后閱讀）

146Solution（課后閱讀）1470mm+n解釋：一個(gè)永續(xù)年金可以分解為三個(gè)年金之和：1470mm+n解釋：一個(gè)永續(xù)年金可以分解為三個(gè)年金之和：1486、可變利率年金Example：Findtheaccumulatedvalueofa10-yearannuity-immediateof$100peryeariftheeffectiverateofinterestis5%forthefirst6yearsand4%forthelast4years.06101001005%4%100accumulatedvalue1486、可變利率年金Example：Findtheac149解：前六年的投資在第6年末的價(jià)值為再按4％的利率積累到第10年末的價(jià)值為后四年的投資在第10年末的累積值為在第10年末的價(jià)值為06101001005%4%100149解：前六年的投資在第6年末的價(jià)值為0610100100150Exercise:Afundof2500istobeaccumulatedbynannualpaymentsof50,followedbyn+1annualpaymentsof75,plusasmallerfinalpaymentXofnotmorethan75made1yearafterthelastregularpayment.Iftheeffectiveannualrateofinterestis5%,findnandtheamountofthefinalirregularpayment.

nn+1X每次50每次75Accumulatedvalue：2500150Exercise:Afundof2500i151Solution：nn+1X每次50每次75（看作期末付款）（負(fù)值的含義？）累積：2500151Solution：nn+1X每次50每次75（看作期末152Exercise:Alevelperpetuity-immediateistobesharedbyA,B,C,andD.Areceivesthefirstnpayments,Bthenext2npayments,Cpayments#3n+1,…,5n,andDthepaymentsthereafter.ItisknownthatthepresentvaluesofB'sandD'ssharesareequal.FindtheratioofthepresentvalueofthesharesofA,B,C,D.

152Exercise:Alevelperpetui153Solution：153Solution：154B=DA:B:C:D=(1–vn)

:(vn–v3n):(v3n–v5n):(v5n)

=0.2138:0.3003:0.1856:0.3003154B=DA:B:C:D=(1–vn):(155Excel應(yīng)用（說明見下頁）155Excel應(yīng)用（說明見下頁）156PV(rate,nper,pmt,[fv],[type])rate

必需。各期利率。

nper

必需。年金的付款總期數(shù)。

pmt

必需。各期所應(yīng)支付的金額，其數(shù)值在整個(gè)年金期間保持不變。如果省略pmt，則必須包括fv參數(shù)。

fv

可選。終值。缺省值為0。

type

可選。0表示期末，1表示期初。缺省值為0。156PV(rate,nper,pmt,[fv],[157FV(rate,nper,pmt,[pv],[type])rate

必需。各期利率。

nper

必需。年金的付款總期數(shù)。

pmt

必需。各期支付的金額。如果省略pmt，則必須包括pv參數(shù)。

pv

可選。現(xiàn)值。缺省值為0。

type

可選。0表示期末，1表示期初。缺省值為0。157FV(rate,nper,pmt,[pv],[158前述年金的特點(diǎn)每年復(fù)利1次（給出年實(shí)際利率），每年支付1次問題：如何計(jì)算下述年金？每年復(fù)利1次，每年支付m次（常見）方法１：計(jì)算每次付款對應(yīng)的實(shí)際利率，再應(yīng)用基本公式。方法２：建立新公式回顧158前述年金的特點(diǎn)回顧159例：一筆50000元的貸款，計(jì)劃在今后的5年內(nèi)按月償還，如果年實(shí)際利率為6%，請計(jì)算每月末的付款金額。（應(yīng)用基本公式）159例：一筆50000元的貸款，計(jì)劃在今后的5年內(nèi)按月償還160解：年實(shí)際利率為6%，所以月實(shí)際利率j為

假設(shè)每月償還金額為X，則160解：年實(shí)際利率為6%，所以月實(shí)際利率j為1617、每年支付m次的年金：建立新公式n表示年數(shù)。m表示每年的付款次數(shù)。i

表示年實(shí)際利率。1617、每年支付m次的年金：建立新公式162

期末付年金（annuity-immediatepayablemthly）：每年支付m次,每次的付款為1/m元，每年的付款是1元。162期末付年金（annuity-immediatep163證明：（級數(shù)求和）（分子分母同乘(1+i)1/m)（a-upper-m-angle-n）163證明：（級數(shù)求和）（分子分母同乘(1+i)1/m)（a164是以每年的付款等于1計(jì)算的。需要已知年實(shí)際利率和名義利率。應(yīng)用上述現(xiàn)值公式的注意事項(xiàng)：例：10年內(nèi)每月末支付400的現(xiàn)值？例：5年內(nèi)每季度末支付200的現(xiàn)值？164是以每年的付款等于1計(jì)算的。應(yīng)用上述現(xiàn)值公式的注意事項(xiàng)165

的關(guān)系（哪個(gè)較大？）：證明：165的關(guān)系（哪個(gè)較大？166上述年金的累積值：

的關(guān)系（哪個(gè)較大？）：

例：10年內(nèi)每季度末支付400的累積值？例：5年內(nèi)每月末支付200的累積值？166上述年金的累積值：例：10年內(nèi)每季度末支付400的累積167例：投資者向一基金存入10000元，基金的年實(shí)際利率為5%。如果投資者在今后的5年內(nèi)每個(gè)季度末從基金領(lǐng)取一筆等額收入，則投資者第5年末在基金的價(jià)值為零。請計(jì)算該投資者每次可以領(lǐng)取多少。167例：投資者向一基金存入10000元，基金的年實(shí)際利率168解：假設(shè)在每個(gè)季度末可以領(lǐng)取x元，則每年的領(lǐng)取額是4x元，因此所有領(lǐng)取額的現(xiàn)值為，故：Excel應(yīng)用？ABC1實(shí)際利率i5%5%2名義利率i(m)=NOMINAL(C1,4)4.91%3現(xiàn)值因子an=PV(C1,5,-1,0,0)￥4.334領(lǐng)取額=2500/(C1/C2*C3)￥566.92168解：假設(shè)在每個(gè)季度末可以領(lǐng)取x元，則每年的領(lǐng)取額是4169練習(xí)：投資者在每月末向一基金存入1000元，如果基金的年實(shí)際利率為5%，請計(jì)算該投資者在第5年末的積累值。解：每年的存入額為12000元，因此有

Excel應(yīng)用？ABＣ1實(shí)際利率i5%5%2名義利率i(m)=NOMINAL(C1,12)4.889%3終值因子sn=FV(C1,5,-1,0,0)￥5.534第5年末的價(jià)值=12000*C1/C2*C3￥67,813.74169練習(xí)：投資者在每月末向一基金存入1000元，如果基金的170期初付年金（annuity-duepayablemthly）170期初付年金（annuity-duepayablem171每年支付m次的期初付年金的現(xiàn)值：哪個(gè)大？171每年支付m次的期初付年金的現(xiàn)值：哪個(gè)大？172ExampleFindthepresentvalueofanannuityonwhichpaymentsare100perquarterfor5years,justbeforethefirstpaymentismade,ifinterestforceisd

.100100100100100……5years，20payments100Presentvalue？172ExampleFindthepresentva173173174每年支付m次的期初付年金的累積值：哪個(gè)大？174每年