浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件-第六章樣本及抽樣分布

第六章、樣本及抽樣分布第一節(jié)：隨機樣本第二節(jié)：抽樣分布第六章、樣本及抽樣分布第一節(jié)：隨機樣本引言隨機變量及其所伴隨的概率分布全面描述了隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計性規(guī)律。

概率論的許多問題中，隨機變量的概率分布通常是已知的，或者假設是已知的，而一切計算與推理都是在這已知是基礎上得出來的。但實際中，情況往往并非如此，一個隨機現(xiàn)象所服從的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概型，但是其中的某些參數(shù)是未知的。引言隨機變量及其所伴隨的概率分布全面描述了隨例如：

某公路上行駛車輛的速度服從什么分布是未知的；電視機的使用壽命服從什么分布是未知的；產品是否合格服從兩點分布，但參數(shù)——合格率p是未知的；數(shù)理統(tǒng)計的任務則是以概率論為基礎，根據(jù)試驗所得到的數(shù)據(jù)，對研究對象的客觀統(tǒng)計規(guī)律性做出合理的推斷。例如：某公路上行駛車輛的速度服從什么分布是未知的從第本章開始，我們學習數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識。主要有參數(shù)估計、假設檢驗、方差分析、回歸分析等內容.本章主要介紹數(shù)理統(tǒng)計的一些基本術語、基本概念、重要的統(tǒng)計量及其分布，它們是后面各章的基礎。學習的基本內容從第本章開始，我們學習數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識。主要第一節(jié)隨機樣本總體和樣本小結第一節(jié)隨機樣本總體和樣本一、總體與樣本

一個統(tǒng)計問題總有它明確的研究對象.1、總體與個體…研究某批燈泡的質量研究對象的全體稱為總體，總體總體中所包含的個體的個數(shù)稱為總體的容量.總體中每個成員稱為個體總體有限總體無限總體一、總體與樣本一個統(tǒng)計問題總有它明確的研究對因此在理論上可以把總體與概率分布等同起來.我們關心的是總體中的個體的某項指標(如人的身高、燈泡的壽命,汽車的耗油量…).由于每個個體的出現(xiàn)是隨機的，所以相應的數(shù)量指標的出現(xiàn)也帶有隨機性.從而可以把這種數(shù)量指標看作一個隨機變量X，因此隨機變量X的分布就是該數(shù)量指標在總體中的分布.

總體就可以用一個隨機變量及其分布來描述.因此在理論上可以把總體與概率分布等同起來.我們關心的例如:研究某批燈泡的壽命時，關心的數(shù)量指標就是壽命，那么，此總體就可以用隨機變量X表示，或用其分布函數(shù)F(x)表示.某批燈泡的壽命總體

壽命X可用一概率（指數(shù)）分布來刻劃鑒于此，常用隨機變量的記號或用其分布函數(shù)表示總體.如說總體X或總體F(x).例如:研究某批燈泡的壽命時，關心的數(shù)量指標就

類似地，在研究某地區(qū)中學生的營養(yǎng)狀況時，若關心的數(shù)量指標是身高和體重，我們用X和Y分別表示身高和體重，那么此總體就可用二維隨機變量(X,Y)或其聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)來表示.統(tǒng)計中，總體這個概念的要旨是：總體就是一個隨機變量(向量)或一個概率分布.類似地，在研究某地區(qū)中學生的營養(yǎng)狀況時，若關2、樣本

總體中抽出若干個體而成的集體,稱為樣本。樣本中所含個體的個數(shù)，稱為樣本容量。從國產轎車中抽5輛進行耗油量試驗樣本容量為5抽到哪5輛是隨機的2、樣本總體中抽出若干個體而成的集體,稱為

一旦取定一組樣本X1，…,Xn,得到n個具體的數(shù)(x1,x2,…,xn)，稱為樣本的一次觀察值，簡稱樣本值.最常用的一種抽樣叫作“簡單隨機抽樣”，其特點：1.代表性：X1,X2,…,Xn中每一個與所考察的總體有相同的分布.2.獨立性：X1,X2,…,Xn是相互獨立的隨機變量.注1：所謂樣本就是n個與總體同分布的隨機變量。注2一旦取定一組樣本X1，…,Xn,得到n個具定義：

由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨機樣本，它可以用與總體獨立同分布的n個相互獨立的隨機變量X1,X2,…,Xn表示.定義：由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨機樣

簡單隨機樣本是應用中最常見的情形，今后，當說到“X1,X2,…,Xn是取自某總體的樣本”時，若不特別說明，就指簡單隨機樣本.=F(x1)F(x2)…F(xn)

若總體的分布函數(shù)為F(x)、概率密度函數(shù)為f(x),則其簡單隨機樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為其簡單隨機樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù)為=f(x1)f(x2)…f(xn)

簡單隨機樣本是應用中最常見的情形，今后，當說到

事實上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值.如我們從某班大學生中抽取10人測量身高,得到10個數(shù)，它們是樣本取到的值而不是樣本.我們只能觀察到隨機變量取的值而見不到隨機變量.3.總體、樣本、樣本值的關系事實上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值總體（理論分布）？樣本樣本值統(tǒng)計是從手中已有的資料--樣本值，去推斷總體的情況---總體分布F(x)的性質.總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷總體.樣本是聯(lián)系二者的橋梁總體（理論分布）樣本樣本值統(tǒng)計是從手中已有由樣本值去推斷總體情況，需要對樣本值進行“加工”，這就要構造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來.——統(tǒng)計量及其分布如何對樣本進行加工？由樣本值去推斷總體情況，需要對樣本值進行“加工”第二節(jié)抽樣分布統(tǒng)計量與經驗分布函數(shù)統(tǒng)計三大抽樣分布幾個重要的抽樣分布定理小結第二節(jié)抽樣分布統(tǒng)計量與經驗分布函數(shù)1.統(tǒng)計量不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計量.它是完全由樣本決定的量.一、統(tǒng)計量與經驗分布函數(shù)1.統(tǒng)計量不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)例解：例解：請注意:（1）統(tǒng)計量是一個隨機變量。請注意:（1）統(tǒng)計量是一個隨機變量。

幾個常見統(tǒng)計量樣本平均值它反映了總體均值的信息樣本方差它反映了總體方差的信息樣本標準差幾個常見統(tǒng)計量樣本平均值它反映了樣本方差它反映了總體樣本它反映了總體k階矩的信息樣本k階原點矩樣本k階中心矩

k=1,2,…它反映了總體k階中心矩的信息樣本k階原點矩樣本k階中心矩k=1,2,…它反映了總體k統(tǒng)計量的觀察值統(tǒng)計量的觀察值請注意:請注意:2.經驗分布函數(shù)2.經驗分布函數(shù)浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件-第六章樣本及抽樣分布二、統(tǒng)計三大抽樣分布記為分布1、定義:設相互獨立,都服從正態(tài)分布N(0,1),則稱隨機變量：

所服從的分布為自由度為n

的分布.分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布.

c2

分布二、統(tǒng)計三大抽樣分布記為分布1、定義:設分布的密度函數(shù)為來定義.其中伽瑪函數(shù)通過積分分布的密度函數(shù)為來定義.其中伽瑪函數(shù)通過積1.

設相互獨立,都服從正態(tài)分布則這個性質叫分布的可加性.3．若近似正態(tài)分布N(0,1).(應用中心極限定理可得)2．設且X1,X2相互獨立，1.

設E(X)=n,D(X)=2n.E(X)=n,D(X)=2n.浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件-第六章樣本及抽樣分布概率密度函數(shù)為：

定義:設X～N(0,1),Y～,且X與Y相互獨立，則稱變量所服從的分布為自由度為n的t分布.2、t分布概率密度函數(shù)為：定義:設X～N(0,1),Y～浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件-第六章樣本及抽樣分布浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件-第六章樣本及抽樣分布浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件-第六章樣本及抽樣分布由定義可見，3、F分布~F(n2,n1)定義:設U與V相互獨立，則稱隨機變量服從自由度為n1及n2的F分布，n1稱為第自由度，n2稱為第二自由度，記作F~F(n1,n2).由定義可見，3、F分布~F(n2,n1)定義:設即它的數(shù)學期望并不依賴于第一自由度n1.1.F分布的數(shù)學期望為:若n2>2若F~F(n1,n2)，F(xiàn)的概率密度為即它的數(shù)學期望并不依賴于第一自由度n1.1.F分布的數(shù)學期望2.F分布的分位數(shù)2.F分布的分位數(shù)三、幾個重要的抽樣分布定理三、幾個重要的抽樣分布定理當總體為正態(tài)分布時，給出幾個重要的抽樣分布定理.當總體為正態(tài)分布時，給出幾個重要的抽樣分布定

定理1(樣本均值的分布)設X1,X2,…,Xn是來自正態(tài)總體的樣本，是樣本均值，則有定理1(樣本均值的分布)設X1,X2,…,n取不同值時樣本均值的分布請注意:n取不同值時樣本請注意:

定理2(樣本方差的分布)設X1,X2,…,Xn是來自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有n取不同值時的分布定理2(樣本方差的分布)設X1,X2,…,Xn是來自定理3(樣本均值的分布)設X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有定理3(樣本均值的分布)設X1,X2,…,Xn

定理4(兩總體樣本均值差、樣本方差比的分布)分別是這兩個樣本的且X與Y獨立,X1,X2,…,是來自X的樣本,是取自Y的樣本,這兩個樣本的樣本方差,則有Y1,Y2,…,樣本均值，分別是定理4(兩總體樣本均值差、樣本方差比的分布)分別是四、例題例1解四、例題例1解六、小結在這一節(jié)中我們學習了統(tǒng)計量的概念,幾個重要的統(tǒng)計量及其分布,即抽樣分布.要求大家熟練地掌握它們.六、小結在這一節(jié)中我們學習了統(tǒng)計量的概念,常用的統(tǒng)計量樣本平均值樣本方差樣本標準差樣本k階原點矩樣本k階中心矩常用的統(tǒng)計量樣本平均值樣本方差樣本標準差樣本k階原點矩樣本抽樣分布t分布F分布抽樣分布t分布F分布抽樣分布定理樣本均值的分布樣本方差、均值的分布抽樣分布定理樣本均值的分布樣本方差、均值的分布兩總體樣本均值差、樣本方差比的分布兩總體樣本均值差、樣本方差比的分布9、春去春又回，新桃換舊符。在那桃花盛開的地方，在這醉人芬芳的季節(jié)，愿你生活像春天一樣陽光，心情像桃花一樣美麗，日子像桃子一樣甜蜜。2022/12/12022/12/1Thursday,December1,202210、人的志向通常和他們的能力成正比例。2022/12/12022/12/12022/12/112/1/20225:47:26PM11、夫學須志也，才須學也，非學無以廣才，非志無以成學。2022/12/12022/12/12022/12/1Dec-2201-Dec-2212、越是無能的人，越喜歡挑剔別人的錯兒。2022/12/12022/12/12022/12/1Thursday,December1,202213、志不立，天下無可成之事。2022/12/12022/12/12022/12/12022/12/112/1/202214、ThankyouverymuchfortakingmewithyouonthatsplendidoutingtoLondon.ItwasthefirsttimethatIhadseentheToweroranyoftheotherfamoussights.IfI'dgonealone,Icouldn'thaveseennearlyasmuch,becauseIwouldn'thaveknownmywayabout.。01十二月20222022/12/12022/12/12022/12/115、會當凌絕頂，一覽眾山小。十二月222022/12/12022/12/12022/12/112/1/202216、如果一個人不知道他要駛向哪頭，那么任何風都不是順風。2022/12/12022/12/101December202217、一個人如果不到最高峰，他就沒有片刻的安寧，他也就不會感到生命的恬靜和光榮。2022/12/12022/12/12022/12/12022/12/1謝謝觀看THEEND9、春去春又回，新桃換舊符。在那桃花盛開的地方，在這醉人芬芳第六章、樣本及抽樣分布第一節(jié)：隨機樣本第二節(jié)：抽樣分布第六章、樣本及抽樣分布第一節(jié)：隨機樣本引言隨機變量及其所伴隨的概率分布全面描述了隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計性規(guī)律。

概率論的許多問題中，隨機變量的概率分布通常是已知的，或者假設是已知的，而一切計算與推理都是在這已知是基礎上得出來的。但實際中，情況往往并非如此，一個隨機現(xiàn)象所服從的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概型，但是其中的某些參數(shù)是未知的。引言隨機變量及其所伴隨的概率分布全面描述了隨例如：

某公路上行駛車輛的速度服從什么分布是未知的；電視機的使用壽命服從什么分布是未知的；產品是否合格服從兩點分布，但參數(shù)——合格率p是未知的；數(shù)理統(tǒng)計的任務則是以概率論為基礎，根據(jù)試驗所得到的數(shù)據(jù)，對研究對象的客觀統(tǒng)計規(guī)律性做出合理的推斷。例如：某公路上行駛車輛的速度服從什么分布是未知的從第本章開始，我們學習數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識。主要有參數(shù)估計、假設檢驗、方差分析、回歸分析等內容.本章主要介紹數(shù)理統(tǒng)計的一些基本術語、基本概念、重要的統(tǒng)計量及其分布，它們是后面各章的基礎。學習的基本內容從第本章開始，我們學習數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識。主要第一節(jié)隨機樣本總體和樣本小結第一節(jié)隨機樣本總體和樣本一、總體與樣本

一個統(tǒng)計問題總有它明確的研究對象.1、總體與個體…研究某批燈泡的質量研究對象的全體稱為總體，總體總體中所包含的個體的個數(shù)稱為總體的容量.總體中每個成員稱為個體總體有限總體無限總體一、總體與樣本一個統(tǒng)計問題總有它明確的研究對因此在理論上可以把總體與概率分布等同起來.我們關心的是總體中的個體的某項指標(如人的身高、燈泡的壽命,汽車的耗油量…).由于每個個體的出現(xiàn)是隨機的，所以相應的數(shù)量指標的出現(xiàn)也帶有隨機性.從而可以把這種數(shù)量指標看作一個隨機變量X，因此隨機變量X的分布就是該數(shù)量指標在總體中的分布.

總體就可以用一個隨機變量及其分布來描述.因此在理論上可以把總體與概率分布等同起來.我們關心的例如:研究某批燈泡的壽命時，關心的數(shù)量指標就是壽命，那么，此總體就可以用隨機變量X表示，或用其分布函數(shù)F(x)表示.某批燈泡的壽命總體

壽命X可用一概率（指數(shù)）分布來刻劃鑒于此，常用隨機變量的記號或用其分布函數(shù)表示總體.如說總體X或總體F(x).例如:研究某批燈泡的壽命時，關心的數(shù)量指標就

類似地，在研究某地區(qū)中學生的營養(yǎng)狀況時，若關心的數(shù)量指標是身高和體重，我們用X和Y分別表示身高和體重，那么此總體就可用二維隨機變量(X,Y)或其聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)來表示.統(tǒng)計中，總體這個概念的要旨是：總體就是一個隨機變量(向量)或一個概率分布.類似地，在研究某地區(qū)中學生的營養(yǎng)狀況時，若關2、樣本

總體中抽出若干個體而成的集體,稱為樣本。樣本中所含個體的個數(shù)，稱為樣本容量。從國產轎車中抽5輛進行耗油量試驗樣本容量為5抽到哪5輛是隨機的2、樣本總體中抽出若干個體而成的集體,稱為

一旦取定一組樣本X1，…,Xn,得到n個具體的數(shù)(x1,x2,…,xn)，稱為樣本的一次觀察值，簡稱樣本值.最常用的一種抽樣叫作“簡單隨機抽樣”，其特點：1.代表性：X1,X2,…,Xn中每一個與所考察的總體有相同的分布.2.獨立性：X1,X2,…,Xn是相互獨立的隨機變量.注1：所謂樣本就是n個與總體同分布的隨機變量。注2一旦取定一組樣本X1，…,Xn,得到n個具定義：

由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨機樣本，它可以用與總體獨立同分布的n個相互獨立的隨機變量X1,X2,…,Xn表示.定義：由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨機樣

簡單隨機樣本是應用中最常見的情形，今后，當說到“X1,X2,…,Xn是取自某總體的樣本”時，若不特別說明，就指簡單隨機樣本.=F(x1)F(x2)…F(xn)

若總體的分布函數(shù)為F(x)、概率密度函數(shù)為f(x),則其簡單隨機樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為其簡單隨機樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù)為=f(x1)f(x2)…f(xn)

簡單隨機樣本是應用中最常見的情形，今后，當說到

事實上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值.如我們從某班大學生中抽取10人測量身高,得到10個數(shù)，它們是樣本取到的值而不是樣本.我們只能觀察到隨機變量取的值而見不到隨機變量.3.總體、樣本、樣本值的關系事實上我們抽樣后得到的資料都是具體的、確定的值總體（理論分布）？樣本樣本值統(tǒng)計是從手中已有的資料--樣本值，去推斷總體的情況---總體分布F(x)的性質.總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本值的規(guī)律，因而可以由樣本值去推斷總體.樣本是聯(lián)系二者的橋梁總體（理論分布）樣本樣本值統(tǒng)計是從手中已有由樣本值去推斷總體情況，需要對樣本值進行“加工”，這就要構造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）的信息集中起來.——統(tǒng)計量及其分布如何對樣本進行加工？由樣本值去推斷總體情況，需要對樣本值進行“加工”第二節(jié)抽樣分布統(tǒng)計量與經驗分布函數(shù)統(tǒng)計三大抽樣分布幾個重要的抽樣分布定理小結第二節(jié)抽樣分布統(tǒng)計量與經驗分布函數(shù)1.統(tǒng)計量不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計量.它是完全由樣本決定的量.一、統(tǒng)計量與經驗分布函數(shù)1.統(tǒng)計量不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)例解：例解：請注意:（1）統(tǒng)計量是一個隨機變量。請注意:（1）統(tǒng)計量是一個隨機變量。

幾個常見統(tǒng)計量樣本平均值它反映了總體均值的信息樣本方差它反映了總體方差的信息樣本標準差幾個常見統(tǒng)計量樣本平均值它反映了樣本方差它反映了總體樣本它反映了總體k階矩的信息樣本k階原點矩樣本k階中心矩

k=1,2,…它反映了總體k階中心矩的信息樣本k階原點矩樣本k階中心矩k=1,2,…它反映了總體k統(tǒng)計量的觀察值統(tǒng)計量的觀察值請注意:請注意:2.經驗分布函數(shù)2.經驗分布函數(shù)浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件-第六章樣本及抽樣分布二、統(tǒng)計三大抽樣分布記為分布1、定義:設相互獨立,都服從正態(tài)分布N(0,1),則稱隨機變量：

所服從的分布為自由度為n

的分布.分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布.

c2

分布二、統(tǒng)計三大抽樣分布記為分布1、定義:設分布的密度函數(shù)為來定義.其中伽瑪函數(shù)通過積分分布的密度函數(shù)為來定義.其中伽瑪函數(shù)通過積1.

設相互獨立,都服從正態(tài)分布則這個性質叫分布的可加性.3．若近似正態(tài)分布N(0,1).(應用中心極限定理可得)2．設且X1,X2相互獨立，1.

設E(X)=n,D(X)=2n.E(X)=n,D(X)=2n.浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件-第六章樣本及抽樣分布概率密度函數(shù)為：

定義:設X～N(0,1),Y～,且X與Y相互獨立，則稱變量所服從的分布為自由度為n的t分布.2、t分布概率密度函數(shù)為：定義:設X～N(0,1),Y～浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件-第六章樣本及抽樣分布浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件-第六章樣本及抽樣分布浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件-第六章樣本及抽樣分布由定義可見，3、F分布~F(n2,n1)定義:設U與V相互獨立，則稱隨機變量服從自由度為n1及n2的F分布，n1稱為第自由度，n2稱為第二自由度，記作F~F(n1,n2).由定義可見，3、F分布~F(n2,n1)定義:設即它的數(shù)學期望并不依賴于第一自由度n1.1.F分布的數(shù)學期望為:若n2>2若F~F(n1,n2)，F(xiàn)的概率密度為即它的數(shù)學期望并不依賴于第一自由度n1.1.F分布的數(shù)學期望2.F分布的分位數(shù)2.F分布的分位數(shù)三、幾個重要的抽樣分布定理三、幾個重要的抽樣分布定理當總體為正態(tài)分布時，給出幾個重要的抽樣分布定理.當總體為正態(tài)分布時，給出幾個重要的抽樣分布定

定理1(樣本均值的分布)設X1,X2,…,Xn是來自正態(tài)總體的樣本，是樣本均值，則有定理1(樣本均值的分布)設X1,X2,…,n取不同值時樣本均值的分布請注意:n取不同值時樣本請注意:

定理2(樣本方差的分布)設X1,X2,…,Xn是來自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有n取不同值時的分布定理2(樣本方差的分布)設X1,X2,…,Xn是來自定理3(樣本均值的分布)設X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有定理3(樣本均值的分布)設X1,X2,…,Xn

定理4(兩總體樣本均值差、樣本方差比的分布)分別是這兩個樣本的且X與Y獨立,X1,X2,…,是來自X的樣本,是取自Y的樣本,這兩個樣本的樣本方差,則有Y1,Y2,…,樣本均值，分別是定理4(兩總體樣本均值差、樣本方差比的分布)分別是四、例題例1解四、例題例1解六、小結在這一節(jié)中我們學習了統(tǒng)計量的概念,幾個