第5章數(shù)字濾波概述51數(shù)字濾波器與模擬濾波器一般來說課件

第5章數(shù)字濾波概述

5.1數(shù)字濾波器與模擬濾波器一般來說，時域信號含有各種頻率成分。所謂濾波器是一類系統(tǒng)，它能夠使輸入信號中的某些頻率成分充分地衰減，同時保留那些需要的頻率成分。

1比如一個低通濾波器，它將使輸入信號中高于某一頻率（通常稱這一頻率為截止頻率）的成分盡可能地衰減，而低于這一頻率的成分不衰減或者衰減很少。被嚴(yán)重衰減的頻率范圍稱為濾波器的阻帶，而被保留的頻率范圍稱為通帶。一般情況下，濾波器是一類線性時不變系統(tǒng)。比如一個低通濾波器，它將使輸入信號中高于某一頻率（通常稱這一2根據(jù)處理的信號是模擬的還是數(shù)字的，濾波器可以分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器。模擬濾波器要用硬件電路來實現(xiàn)，也就是用由模擬元件（比如電感、電容等）組成的電路來完成濾波的功能。而數(shù)字濾波器將輸入信號序列通過一定的運算后變換為輸出信號序列，從而完成濾波功能。

根據(jù)處理的信號是模擬的還是數(shù)字的，濾波器可以分為模擬濾波器和3因此，數(shù)字濾波器就是一個線性時不變的數(shù)字系統(tǒng)（離散系統(tǒng)）。

所以，數(shù)字濾波器具有我們前面所討論的LTI系統(tǒng)的所有性質(zhì)；并且也是用數(shù)字信號處理的三種方式來實現(xiàn)，也即數(shù)字硬件電路實現(xiàn)、計算機編程軟件方式實現(xiàn)以及DSP方式實現(xiàn)。因此，數(shù)字濾波器就是一個線性時不變的數(shù)字系統(tǒng)（離散系統(tǒng)）。45.2兩大類數(shù)字濾波器正如離散系統(tǒng)，數(shù)字濾波器也分為遞歸型和非遞歸型兩大類。遞歸型的數(shù)字濾波器實際上叫做IIR數(shù)字濾波器，IIR是無限沖激響應(yīng)(InfiniteImpulseResponse)的意思，就是說這類濾波器的h(n)是無限長度的；而FIR數(shù)字濾波器屬于非遞歸型的數(shù)字濾波器，F(xiàn)IR是有限沖激響應(yīng)(FiniteImpulseResponse)的意思，就是說這類濾波器的h(n)是有限長度的。5.2兩大類數(shù)字濾波器5h(n)是當(dāng)輸入信號為單位抽樣信號δ(n)時離散系統(tǒng)的輸出信號，而δ(n)只當(dāng)n=0時為1，其它時刻均為0。如果濾波器是因果非遞歸型的，那末其輸出只依賴于輸入信號，因此如果在n=0時有輸入，一般也就有輸出h(0)，但是之后輸入值就是0了，只是由于濾波器的延時單元的作用，才使得輸出h(n)會持續(xù)一些時刻，但是終究會變?yōu)?，也即h(n)的長度是有限的。

h(n)是當(dāng)輸入信號為單位抽樣信號δ(n)時離散系統(tǒng)的輸出信6如果濾波器是因果遞歸型的，那末其輸出不僅依賴于輸入信號，而且與輸出信號有關(guān)，這樣，只要n=0時輸入不為0，并且同時產(chǎn)生了不為0的輸出，該輸出值就會反饋到輸入，即使之后外部的輸入值均為0，也會產(chǎn)生輸出值，并且輸出還會不斷地反饋到輸入，因而也就不斷產(chǎn)生輸出，所以這種情況下輸出序列h(n)就會無限長。

如果濾波器是因果遞歸型的，那末其輸出不僅依賴于輸入信號，而且7當(dāng)然如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，h(n)會逐漸趨于0，但是不會完全等于0。IIR數(shù)字濾波器與FIR數(shù)字濾波器無論在特性方面還是在設(shè)計方法方面都很不相同，下面各章將對這兩大類濾波器分別進行討論。當(dāng)然如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，h(n)會逐漸趨于0，但是不會完全等于85.3數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟設(shè)計一個數(shù)字濾波器，大致可分為三步。1.按照實際需要確定濾波器的性能要求，并且將這些性能要求以濾波器指標(biāo)的形式表示出來。

5.3數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟92．用一個因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這些指標(biāo)。系統(tǒng)函數(shù)分為IIR和FIR兩大類，因此，應(yīng)該先確定采用哪種類型的濾波器，然后再按照這類濾波器的設(shè)計方法去設(shè)計系統(tǒng)函數(shù)H(z)。3.用一個有限精度的運算去實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)。要確定實現(xiàn)方式，選擇合適的字長，以及針對濾波器類型選擇適當(dāng)?shù)乃惴ńY(jié)構(gòu)等等。2．用一個因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這些指標(biāo)。系統(tǒng)函數(shù)分為I10第一步本教材不討論，也即我們是在給定濾波器性能指標(biāo)的條件下去考慮數(shù)字濾波器的設(shè)計問題。第二步內(nèi)容將在下面兩章中分別對IIR濾波器和FIR濾波器進行討論。第三步中，實現(xiàn)方式應(yīng)該根據(jù)具體情況來確定，在這里不討論；字長位數(shù)的選擇一方面要了解字長效應(yīng)產(chǎn)生的影響（第9章），另一方面要根據(jù)實現(xiàn)的方式以及實際要求和實際條件來確定；算法結(jié)構(gòu)的問題將在第8章中詳細討論。

第一步本教材不討論，也即我們是在給定濾波器性能指標(biāo)的條件下去11

第6章IIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計6.1概述6.1.1IIR數(shù)字濾波器的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)我們已經(jīng)知道IIR數(shù)字濾波器是一類遞歸型的線性時不變因果系統(tǒng)，其差分方程可以寫為：

（6.1）

第6章IIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計12進行z變換，可得：

于是得到IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：(6.2)進行z變換，可得： 136.1.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法對(6.2)式的有理函數(shù)的分子、分母多項式進行因式分解，可以得到：(6.3)其中ci為零點而di為極點。H(z)的設(shè)計就是要確定系數(shù)、或者零極點、，以使濾波器滿足給定的性能指標(biāo)。一般有三種方法。6.1.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法14

1.零極點位置累試法

IIR系統(tǒng)函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點處出現(xiàn)峰值、在零點處出現(xiàn)谷值,因此可以根據(jù)此特點來設(shè)置H(z)的零極點以達到簡單的性能要求。所謂累試，就是當(dāng)特性尚未達到要求時，通過多次改變零極點的位置來達到要求。當(dāng)然這種方法只適用于簡單的、對性能要求不高的濾波器的設(shè)計。

1.零極點位置累試法152.借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計方法來設(shè)計數(shù)字濾波器模擬濾波器的逼近和綜合理論已經(jīng)發(fā)展得相當(dāng)成熟，產(chǎn)生了許多效率很高的設(shè)計方法，很多常用濾波器不僅有簡單而嚴(yán)格的設(shè)計公式，而且設(shè)計參數(shù)已圖表化，設(shè)計起來方便準(zhǔn)確。2.借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計方法來設(shè)計數(shù)字濾波器16而數(shù)字濾波器就其濾波功能而言與模擬濾波器是相同的,因此，完全可以借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計方法來設(shè)計數(shù)字濾波器。在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計中，較多地采用了這種方法。

而數(shù)字濾波器就其濾波功能而言與模擬濾波器是相同的,因此，完173.用優(yōu)化技術(shù)設(shè)計系統(tǒng)函數(shù)H(z)的系數(shù)、或者零極點、等參數(shù)，可以采用最優(yōu)化設(shè)計方法來確定。最優(yōu)化設(shè)計法的第一步是要選擇一種誤差判別準(zhǔn)則，用來計算誤差和誤差梯度等。

3.用優(yōu)化技術(shù)設(shè)計18第二步是最優(yōu)化過程，這個過程的開始是賦予所設(shè)計的參數(shù)一組初值，以后就是一次次地改變這組參數(shù)，并一次次計算H(z)的特性與所要求的濾波器的特性之間的誤差，當(dāng)此誤差達到最小值時，所得到的這組參數(shù)即為最優(yōu)參數(shù)，設(shè)計過程也就到此完成。

第二步是最優(yōu)化過程，這個過程的開始是賦予所設(shè)計的參數(shù)一組初值19這種方法能夠精確地設(shè)計許多復(fù)雜的濾波器，但是往往計算很復(fù)雜，需要進行大量的迭代運算，故必須借助于計算機，因而優(yōu)化設(shè)計又叫做IIR濾波器的計算機輔助設(shè)計(CAD)。第一種方法的算法簡單、設(shè)計粗糙，在這里不具體討論了；第三種方法所涉及的內(nèi)容很多，并且需要最優(yōu)化理論作為基礎(chǔ)，因此在本章中只能作簡要介紹；本章將著重討論用得最多的第二種方法。

這種方法能夠精確地設(shè)計許多復(fù)雜的濾波器，但是往往計算很復(fù)雜，206.1.3借助于模擬濾波器的理論和方法的設(shè)計原理利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器，要先根據(jù)濾波器的性能指標(biāo)設(shè)計出相應(yīng)的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，然后由Ha(s)經(jīng)變換而得到所需要的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。常用的變換方法有沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。

6.1.3借助于模擬濾波器的理論和方法的設(shè)計原理216.2模擬低通濾波特性的逼近

模擬濾波器的設(shè)計包括逼近和綜合兩大部分，其中逼近部分是與數(shù)字濾波器的設(shè)計有關(guān)的。本節(jié)要討論的是，在已知模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)的情況下，如何設(shè)計其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近所要求的技術(shù)指標(biāo)。

6.2模擬低通濾波特性的逼近22模擬系統(tǒng)的頻率響應(yīng)Ha(jΩ)是沖激響應(yīng)ha(t)的傅里葉變換，Ha(jΩ)的模表征系統(tǒng)的幅頻特性，下面要討論如何根據(jù)幅頻特性指標(biāo)來設(shè)計系統(tǒng)函數(shù)。圖6.1中用虛線畫出的矩形表示一個理想的模擬低通濾波器的指標(biāo)，是以平方幅度特性|Ha(jΩ)|2來給出的。

模擬系統(tǒng)的頻率響應(yīng)Ha(jΩ)是沖激響應(yīng)ha(t)的傅里葉變23Ωc是截止頻率，當(dāng)0≤Ω<Ωc時，|Ha(jΩ)|2=1，是通帶；當(dāng)Ω>Ωc時，|Ha(jΩ)|2=0，是阻帶。圖6.1中的實的曲線表示一個實際的模擬低通濾波器的平方幅度特性，我們的設(shè)計工作就是要用近似特性來盡可能地逼近理想特性。

通常采用的典型逼近有Butterworth逼近、

Chebyshev逼近和Cauer逼近（也叫橢圓逼近〕。

Ωc是截止頻率，當(dāng)0≤Ω<Ωc時，|Ha(jΩ)|2=1246.2.1Butterworth低通濾波特性的逼近對于Butterworth濾波器有：

（6.4）滿足此平方幅度特性的濾波器又叫做B型濾波器。這里N為正整數(shù)，為B型濾波器的階次，為截止頻率。6.2.1Butterworth低通濾波特性的逼近256.2.1.1B型濾波特性1.最平坦函數(shù)

B型濾波器的幅頻特性是隨增大而單調(diào)下降的。在

=0附近以及

很大時幅頻特性都接近理想情況，而且在這兩處曲線趨于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。

6.2.1.1B型濾波特性262.3db帶寬

由(6.4)式可知，當(dāng)Ω=Ωc

時，=，而

因此截止頻率又叫做3db帶寬或者半功率點。

2.3db帶寬27

圖6.1Butterworth低通濾波器的平方幅度特性圖6.1Butterworth低通濾波283.N的影響在通帶內(nèi)，0<(Ω/Ωc)<1，故N越大，隨增大而下降越慢；在阻帶內(nèi)，(Ω/Ωc)>1，故N越大，隨增大而下降越快。3.N的影響29因此，N越大，B型濾波器的幅頻特性越接近理想的矩形形狀；而不同的N所對應(yīng)的特性曲線都經(jīng)過Ωc處的半功率點。離Ωc越近，幅頻特性與理想特性相差越大。

因此，N越大，B型濾波器的幅頻特性越接近理想的矩形形狀；而不306.2.1.2由得到Ha(s),B型濾波器的極點由于Ha(s)是s的實系數(shù)有理函數(shù)，故有：，令s=jΩ,則有：，而(6.5)由(6.4)式和(6.5)式有：用s代替上式中的j:(6.6)6.2.1.2由得到Ha(s),B型濾波器的極點31

圖6.2階次N對B型特性的影響圖6.2階次N對B型特性32(6.6)式的極點為：p=0,1,…,2N-1

作為–1的2N次方根，αp均勻地分布在單位圓上，幅角間隔為π/N；它們關(guān)于實軸對稱，卻沒有一個在實軸上。顯然，將的模乘上，再將其按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，就得到sp。因此，sp均勻地分布在半徑為的圓周上，其位置關(guān)于虛軸對稱，卻沒有一個在虛軸上，這就是說，2N個極點sp在s平面的左、右兩半平面各有N個。(6.6)式的極點為：33這2N個極點是Ha(s)Ha(-s)的極點，考慮到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的極點必須在左半平面系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，因而將左半s平面的N個極點sk（k=0,1,…,N-1)分給Ha(s)，這樣，右半平面的N個極點-sk就正好是Ha(s)的極點。因此有：(6.8)這2N個極點是Ha(s)Ha(-s)的極點，考慮到系統(tǒng)函數(shù)34這個式子中的常數(shù)是為了使(6.5)式滿足而加入的。這N個極點s0、s1、…、sN-1在s平面的左半平面而且以共軛形式成對出現(xiàn)，當(dāng)N為奇數(shù)時,有一個在實軸上(為-)。這個式子中的常數(shù)是為了使(6.5)式滿足而加入的。這356.2.1.3一般情況下的B型低通濾波器

圖6.3一般情況下低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)6.2.1.3一般情況下的B型低通濾波器36此時，應(yīng)該將角頻率標(biāo)稱化，通常以Ω1為基準(zhǔn)頻率，則標(biāo)稱化角頻率為：Ω’=Ω/Ω1。于是通帶邊界的標(biāo)稱化角頻率為Ω1’=1，并且在通帶有0≤Ω’≤1，在過渡帶和阻帶則有’>1。以下為了方便起見，仍用不帶撇的表示標(biāo)稱化的角頻率。頻率標(biāo)稱化后，B型濾波器的平方幅度特性仍如(6.2)式所示，只是式中的參數(shù)和N都需要由圖6.3給出的指標(biāo)來確定。

此時，應(yīng)該將角頻率標(biāo)稱化，通常以Ω1為基準(zhǔn)頻率，則標(biāo)稱37（6.4）式可以寫成：(6.10)當(dāng)Ω=Ω1=1時，上式為：(6.11)令(6.12)則由(6.11)式可得：（6.4）式可以寫成：38當(dāng)時有：(6.13)故(6.14)由(6.14)式可求出N，再將其代入(6.12)式，即可求得。當(dāng)時有：396.2.2Chebyshev低通濾波特性的逼近

Chebyshev濾波特性分為兩個類型。ChebyshevⅠ型在通帶是等波紋波動的，在過渡帶和阻帶為單調(diào)波形；ChebyshevⅡ型則在通帶和過渡帶為單調(diào)波形，而在阻帶是等波紋波動的。這里討論的是ChebyshevⅠ型低通濾波特性。

6.2.2Chebyshev低通濾波特性的逼近40現(xiàn)將低通濾波器的平方幅度特性寫成一般形式：（6.15）當(dāng)f()=0，便有，達到最大值。而B型濾波器在帶通內(nèi)f()的零點都集中于=0處，因而只在=0附近通帶特性好。如果將通帶內(nèi)f()的零點分散開，則將在通帶內(nèi)多個點上出現(xiàn)最大值，于是通帶內(nèi)的總體特性就會得到改善?，F(xiàn)將低通濾波器的平方幅度特性寫成一般形式：41

Chebyshev響應(yīng)就具有這樣的特點，具有這種特性的濾波器又叫做C型濾波器。C型濾波器的平方幅度特性為：(6.16)

其中為標(biāo)稱化的角頻率，基準(zhǔn)頻率為通帶邊界頻率，即=1；N為濾波器階數(shù)，它可以是0和正整數(shù)；是N階Chebyshev多項式,為一常數(shù)。Chebyshev響應(yīng)就具有這樣的特點，具有這種特性的濾波426.2.2.1Chebyshev多項式從(6.16)式可知，C型濾波器的平方幅度特性主要由Chebyshev多項式CN(Ω)決定，因此，我們首先討論CN(Ω)的特性。定義為：(6.17)6.2.2.1Chebyshev多項式43這里cosh(x)為雙曲余弦函數(shù):(6.18)1.關(guān)于在的情形，令，則cosθ=Ω,而cos(π-θ)=-cosθ=-Ω,故有：(6.20)

這里cosh(x)為雙曲余弦函數(shù):44于是有：(6.23)于是有：45(6.23)式雖然是對時的定義式推導(dǎo)出的，但可以證明同樣對于時的定義式也成立。因此有：(6.24)(6.23)式雖然是對時的定義式推462.關(guān)于分界點(6.17)和(6.24)這兩個分段表達式意味著與都在分段點|Ω|=1處連續(xù)。事實上，可以證明，對于區(qū)間的表達式，有；而對于區(qū)間的表達式，也有。又由于兩段都滿足，故在<0時的分界點=-1處也是連續(xù)的。

2.關(guān)于分界點473.是一個多項式當(dāng)時，若令，則。而（6.25）(6.26)3.是一個多項式48將(6.25)式和(6.26)式兩邊分別相加得

于是可得到下面的遞推公式：(6.27)由于(6.28)(6.29)將(6.25)式和(6.26)式兩邊分別相加得49于是由(6.27)式、(6.28)式、(6.29)式就可以得到N為任何非負整數(shù)時的，而且顯然這些表達式都是多項式。下面列出了0N8時的Chebyshev多項式。

N011

2于是由(6.27)式、(6.28)式、(6.29)式就可以得50345678351看出，的階次N正好等于多項式的最高冪次，而最高次項的系數(shù)即為；并且當(dāng)N為偶數(shù)時，多項式CN(Ω)只含Ω的偶次方項，而當(dāng)N為奇數(shù)時，CN(Ω)只含Ω的奇次方項。上述結(jié)果雖然是在時推導(dǎo)出的，但是實際上，上表中的的多項式表達式以及(6.27)的遞推公式對于<<均滿足?？闯?，的階次N正好等于多項式的最高冪次，而最高次項的524.的零點分布當(dāng)||1即在通帶時，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可以證明，共有N個零點；而當(dāng)||>1，由于實際上是一指數(shù)函數(shù)，故不再有零點，而且||隨||增大而單調(diào)上升，N越大上升越快。

4.的零點分布535.關(guān)于CN(0)

由余弦函數(shù)的性質(zhì)可以得到：(6.31)5.關(guān)于CN(0)546.2.2.2C型低通濾波器的平方幅度特性根據(jù)上面對Chebyshev多項式的特性分析以及(6.16)式，可以得到C型低通濾波器的平方幅度特性。1.通帶特性在通帶即||1范圍內(nèi)，在1與之間等波紋波動，波動的幅度為：(6.32)

6.2.2.2C型低通濾波器的平方幅度特性55此幅度通常用通帶內(nèi)的最小值的分貝損耗來表示，即：（6.33）RWdb是描寫C型濾波器特性的一個參數(shù)，若RWdb=0.5(對應(yīng)于=0.3493),我們就叫此濾波器為0.5db濾波器，余此類推。此幅度通常用通帶內(nèi)的最小值的分貝損耗來表示562.邊界特性由于=1，因此在通帶邊界頻率1=1處，無論N為何值，總有：（6.34）當(dāng)=0，由(6.16)式和(6.31)式可以得到：(6.35)2.邊界特性573.過渡帶和阻帶特性以及3db帶寬當(dāng)>1，即在過渡帶和阻帶，隨增大而單調(diào)下降，N越大下降越快。3db帶寬Ωc并不是C型濾波器的重要參數(shù)，它由N和ε決定，有：(6.36)

3.過渡帶和阻帶特性以及3db帶寬58。圖6.4C型低通濾波器的平方幅度特性。圖6.4C型低通濾波器的平方幅度特性59

對于C型濾波器，，這種濾波器正是將通帶內(nèi)f()的N個零點分散開來實現(xiàn)的，因此通帶的總體特性優(yōu)于B型濾波器。此外，對于同樣的階數(shù)N，C型濾波器的過渡帶和阻帶特性也優(yōu)于B型濾波器。對于C型濾波器，，這種濾波器正604．ε和N的影響C型濾波器的特性參數(shù)是和N。增大會使阻帶衰減增大，從而改善阻帶特性；但同時通帶波動幅度增大，通帶特性變壞。加大N可使阻帶衰減增大，過渡帶變陡；而N的大小只影響通帶波動的快慢，并不影響通帶波動的幅度，因此應(yīng)該說不影響通帶特性。

4．ε和N的影響61

圖6.5一個低通濾波器的指標(biāo)圖6.5一個低通濾波器的指標(biāo)626.2.2.3根據(jù)濾波器所要求的指標(biāo)確定參數(shù)ε和N

下面舉例來說明如何確定C型濾波器的參數(shù)和N。

例6.1一個低通濾波器的指標(biāo)如圖6.5所示，Ω為標(biāo)稱化的角頻率。若用C型濾波特性逼近，求其參數(shù)和N。6.2.2.3根據(jù)濾波器所要求的指標(biāo)確定參數(shù)ε和N63解：由于通帶波動大小只與有關(guān)，故應(yīng)先根據(jù)通帶要求確定。由,可得到,=0.48432。再根據(jù)阻帶要求確定N，由所給指標(biāo)有：

故可得(6.37)解：由于通帶波動大小只與有關(guān)，故應(yīng)先根據(jù)通帶要求確定。64根據(jù)遞推公式因,故有已經(jīng)看到，只要N=3，便可滿足(6.37)式。因此所設(shè)計的C型濾波器的平方幅度響應(yīng)為根據(jù)遞推公式656.2.2.4C型低通濾波器的極點和系統(tǒng)函數(shù)由（6.3）式和(6.16)式可得：（6.38）用s代替j，便有：(6.39)6.2.2.4C型低通濾波器的極點和系統(tǒng)函數(shù)66故的極點是方程的根?？梢宰C明，這些根共有2N個，它們成復(fù)共軛對出現(xiàn)，而且關(guān)于虛軸對稱，卻沒有一個在虛軸上。這2N個極點實際上分布在一個橢圓上，橢圓的短軸半徑為a，長軸半徑為b，這里：(6.41)而(6.42)故的極點是方程67將左半平面的N個極點分給，設(shè)這N個極點為

k=1,2,…,N(6.43)則有(6.44)將左半平面的N個極點分給，設(shè)這N個極點為68由于的最高次冪的系數(shù)為，因此(6.39)式中Ha(s)的分母多項式的最高次項的系數(shù)應(yīng)為，于是有：(6.46)

橢圓上的這2N個極點還可以由作圖法確定，如圖6.6所示，圖中是N=3的情況。由于的最高次冪的系數(shù)為，因此(6.39)69

圖6.6C型低通濾波器的極點分布圖6.6C型低通濾波器的極點分布70例6.2求ε=0.04,N=4的C型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。解：

a=(α1/4-α-1/4)/2=(50.021/4-50.02-1/4)/2≈1.142b=(α1/4+α-1/4)/2=(50.021/4+50.02-1/4)/2≈1.518左半平面的極點為：sk=σk+jΩk，其中，，k=1,2,3,4。例6.2求ε=0.04,N=4的C型低通濾波器的系統(tǒng)71可求得系統(tǒng)函數(shù)的分母多項式為：Q(s)=(s-s1)(s-s2)(s-s3)(s-s4)=(s+0.437j1.4)(s+1.055j0.581)(s+1.055+j0.581)(s+0.437+j1.4)=s4+2.984s3+5.446s2+5.807s+3.121該C型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：可求得系統(tǒng)函數(shù)的分母多項式為：Q(72我們看到，B型和C型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的分子都是常數(shù)，分母都是s的多項式，這樣的濾波器叫做全極點濾波器。就幅頻特性而言，C型濾波器是最佳的全極點濾波器，當(dāng)給定允許的通帶和阻帶的誤差容限時，它有最短的過渡帶。我們看到，B型和C型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的分子都是常數(shù)736.2.3Cauer低通濾波特性簡介由于全極點濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零點即衰減極點在s=，因此，全極點濾波器的阻帶特性不是很好并且其過渡帶也不會太陡；如果要求過渡帶較陡較窄，那末全極點濾波器的階次N就會較大。若是在阻帶內(nèi)有頻率有限大的傳輸零點，并使其靠近通帶，這樣就會使過渡帶的衰減特性變陡。Cauer濾波器就具有這樣的特性，其平方幅度函數(shù)為：

6.2.3Cauer低通濾波特性簡介74（6.47）這里為雅可比橢圓函數(shù)，N為濾波器階次。此濾波器幅度特性主要由雅可比橢圓函數(shù)決定，故又叫橢圓（函數(shù)）濾波器。這種濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的分子分母都是s的多項式，其一般形式為：

75N為偶數(shù)：N為奇數(shù)：由于分子也是s的多項式，因此Ha(s)在s平面的有限遠處具有零點。Cauer濾波器在通帶和阻帶都有等波紋幅度特性，如圖6.7所示。N為偶數(shù)：76

圖6.7Cauer低通濾波器的平方幅度響應(yīng)圖6.7Cauer低通濾波器的平方776.2.4三種濾波器的比較

B型濾波器和C型濾波器都是全極點濾波器，而cauer濾波器不是。這三種濾波器無論在濾波特性、設(shè)計方法以及穩(wěn)定性方面都是不同的，總的來說，C型濾波器在各個方面都介于B型濾波器和Cauer濾波器之間。6.2.4三種濾波器的比較781.關(guān)于濾波器的幅度頻率特性:Butterworth濾波器在整個頻帶內(nèi)都是單調(diào)下降的；ChebyshevⅠ型濾波器在通帶內(nèi)等波紋振動，在過渡帶和阻帶單調(diào)下降；Cauer濾波器除了過渡帶外，在通帶和阻帶都等波紋振動。1.關(guān)于濾波器的幅度頻率特性:Butterworth濾792.關(guān)于過渡帶的陡度:Cauer濾波器最陡，Butterworth濾波器最差。因此，對于相同要求的過渡帶特性，所需的濾波器階次N，Cauer為最低，Butterworth為最高。3.關(guān)于設(shè)計的復(fù)雜性：B型濾波器最簡單，Cauer濾波器最復(fù)雜。2.關(guān)于過渡帶的陡度:Cauer濾波器最陡，Butt804．關(guān)于濾波器頻率特性對于參數(shù)變化的靈敏度：按照對濾波器幅頻特性的要求來設(shè)計出的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)在實現(xiàn)時，各個系數(shù)是由電子元件的數(shù)值來產(chǎn)生的。而電子元件的精度是有限的，因此所產(chǎn)生的各個系數(shù)與所設(shè)計的Ha(s)的系數(shù)之間就會有誤差，

4．關(guān)于濾波器頻率特性對于參數(shù)變化的靈敏度：按照對濾波器81于是所實現(xiàn)的濾波器的頻率特性就會與所設(shè)計的Ha(s)，繼而與所要求的頻率特性之間產(chǎn)生誤差。在系數(shù)的誤差范圍相同的情況下，所引起的頻率特性的變化越小，就意味著濾波器對于參數(shù)變化的靈敏度特性越好。關(guān)于靈敏度特性，Butterworth濾波器最好，Chebyshev濾波器次之，Cauer濾波器最差。于是所實現(xiàn)的濾波器的頻率特性就會與所設(shè)計的Ha(s)，繼而與82

6.2.5濾波器圖表法設(shè)計模擬濾波器的理論和設(shè)計方法都已經(jīng)相當(dāng)成熟，并且有許多現(xiàn)成的圖表可以利用，使設(shè)計工作非常方便。下面介紹兩種與濾波特性的逼近有關(guān)的圖表設(shè)計方法。6.2.5.1用列線圖求濾波器的階數(shù)N6.2.5濾波器圖表法設(shè)計83將幅頻響應(yīng)特性用衰減(db)來表示。（6.49）假設(shè)所要設(shè)計的低通濾波器的指標(biāo)如圖6.8所示，表示通帶所允許的最大衰減，表示阻帶所要求的最小衰減，所設(shè)計的濾波器的衰減特性曲線不應(yīng)落入圖中陰影部分。將幅頻響應(yīng)特性用衰減(db)來表示。84

圖6.8用衰減α來表示的低通濾波器指標(biāo)圖6.8用衰減α來表示的低通濾波器85不同類型的濾波器有各自的列線圖，如B型響應(yīng)列線圖、C型響應(yīng)列線圖等，但它們的構(gòu)造和使用都相同。不同類型的濾波器有各自的列線圖，如B型響應(yīng)列線圖、C型響應(yīng)列86

圖6.9用列線圖求濾波器的階數(shù)N1圖6.9用列線圖求濾波器的階876.2.5.2查表求得濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)求得所要求的濾波器的階數(shù)N后，只需查表就可以得到它的系統(tǒng)函數(shù)。對于B型濾波器，系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的分母多項式為(6.50)(6.50)式中的系數(shù)是以3db帶寬為基準(zhǔn)頻率時的值，即此時=1，因此Ha(s)的分子為1。

6.2.5.2查表求得濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)88第5章數(shù)字濾波概述51數(shù)字濾波器與模擬濾波器一般來說課件89對于C型濾波器，根據(jù)不同的RWdb（或〕有多個不同的表格，根據(jù)所求得的N在相應(yīng)的表格中可以查到Ha(S)的分母多項式Q(S)的各系數(shù)，Q(s)的表達式仍如(6.50)式所示。注意，在C型濾波器的情形，是以通帶邊界頻率Ω1為基準(zhǔn)頻率的，即Ω1=1，而Ha(s)的分子則為。對于C型濾波器，根據(jù)不同的RWdb（或〕有多個不同的表格90第5章數(shù)字濾波概述51數(shù)字濾波器與模擬濾波器一般來說課件916.3模擬濾波器的變換上面介紹的逼近方法都是針對低通濾波特性的，本節(jié)介紹由模擬低通濾波器到模擬高通濾波器以及由模擬低通濾波器到模擬帶通濾波器的變換方法。假設(shè)已經(jīng)設(shè)計出了模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)，我們將此低通濾波器叫做低通原型濾波器，并且仍用Ω來表示其角頻率。變換后的系統(tǒng)函數(shù)用F(p)來表示，而其角頻率用β來表示。

6.3模擬濾波器的變換92濾波器到濾波器的變換僅是作為自變量的頻率或者復(fù)頻率之間的變換，對于頻率響應(yīng)函數(shù)并無影響。也就是說，是在滿足|H(jΩ)|=|F(jβ)|的條件下進行的模擬頻率之間的變換，而系統(tǒng)函數(shù)之間滿足關(guān)系：(6.51)其中g(shù)(p)為變換函數(shù)。濾波器到濾波器的變換僅是作為自變量的頻率或者復(fù)頻率之間的變換936.3.1由模擬低通到模擬高通的變換變換函數(shù)：s=g(p)=1/p(6.52)對于標(biāo)稱化的角頻率，有：Ω=1/β，原型低通濾波器與高通濾波器的通帶邊界頻率的標(biāo)稱值都是1。

6.3.1由模擬低通到模擬高通的變換94例6.3一個高通濾波器的指標(biāo)如圖6.10所示，用B型特性來逼近，求其系統(tǒng)函數(shù)。解：令f1為基準(zhǔn)頻率。高通濾波器：通帶邊界β1=1，阻帶邊界β2=f2/f1=3000/6000=1/2；原型低通濾波器：通帶邊界Ω1=1/β1=1，阻帶邊界Ω2=1/β2=2。例6.3一個高通濾波器的指標(biāo)如圖6.10所示，用B型特95根據(jù)B型特性，有：|H(jΩ1)|2=|H(j1)|2=1/[1+(1/Ωc)2N]=0.82=0.64，因此有(1/Ωc)2N

=(1/0.64)-1=0.5625(6.53)另有：=0.182=0.0324，因此

Ω22N=[(1/0.0324)-1]/(1/Ωc)2N

≈29.9/0.5625≈53.162N=ln53.16/lnΩ2≈5.73根據(jù)B型特性，有：|H(jΩ1)|2=|H(j1)|2=96

圖6.10一個模擬高通濾波器的指標(biāo)圖6.97取N=3，代入(6.53)式：（1/Ωc）6=0.5625Ωc=1.1。N=3、Ωc=1.1的B型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：

將s0=jΩcejπ/6=Ωcej2π/3、s1=jΩcejπ/2=Ωcejπ、s2=jΩcej5π/6=Ωcej4π/3代入上式：

取N=3，代入(6.53)式：（1/Ωc）6=0.56298故可得到高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：

故可得到高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：996.3.2由模擬低通到模擬帶通的變換對于復(fù)頻率有(6.54)對于頻率有(6.55)這里δ為一正數(shù)，并且頻率都是標(biāo)稱化值。6.3.2由模擬低通到模擬帶通的變換100由(6.55)式可以得到：，由于，因此無論Ω是0、是正還是負，一個Ω值總是對應(yīng)兩個β值，這兩個β值可能絕對值不相等，但總是一正一負。圖6.11是β>0時Ω與β的關(guān)系，看得出，β>0的區(qū)間與-∞<Ω<∞的區(qū)間是一一對應(yīng)的。

由(6.55)式可以得到：101圖6.11低通頻率Ω與帶通頻率β之間的對應(yīng)關(guān)系圖6.11低通頻率Ω與帶通頻率β之間的對應(yīng)關(guān)102在(6.55)式中，如果用1/β代替β，則所得到的Ω僅僅差一個負號。因此如果低通頻率Ω1與帶通頻率β1相互映射，即滿足(6.55)式的關(guān)系，則–Ω1就與1/β1相互映射；再根據(jù)幅頻特性的對稱性，可以得到：在(6.55)式中，如果用1/β代替β，則所得到的Ω僅僅差一103令β2=1/β1，那末就有β1β2=1，并且有：|F(jβ1)|=|F(jβ2)|。這就是說，變換所得到的帶通濾波器的幅頻特性具有幾何對稱性。于是，可以將頻響幅度相等的兩個頻率β1和β2的幾何平均：(6.56)令β2=1/β1，那末就有β1β2=1，并且有：|F104作為帶通濾波器的中心角頻率，并且以此作為帶通濾波器的基準(zhǔn)頻率。實際上，(6.56)式對于標(biāo)稱值和非標(biāo)稱值都成立，因此，在設(shè)計帶通濾波器時，應(yīng)該首先根據(jù)指標(biāo)給出的實際頻率由(6.56)式求出基準(zhǔn)頻率，再用此基準(zhǔn)頻率去標(biāo)稱化其它的頻率。作為帶通濾波器的中心角頻率，并且以此作為帶通濾波器的基準(zhǔn)頻率105對于標(biāo)稱化頻率有：β1β2=β02=1；帶通的中心頻率β0=1,映射為低通的中心頻率；低通的通帶范圍由–Ωp=-1到Ωp=1，映射為帶通的通帶由βp1到βp2。由(6.55)式有：，因此有：βp1=1/βp2，并且δ=βp2–βp1，

δ就是帶通濾波器的通帶帶寬。

對于標(biāo)稱化頻率有：β1β2=β02=1；帶通的中心頻率β106設(shè)低通濾波器的阻帶邊界頻率為Ωz和-Ωz，則它們分別映射為帶通濾波器的阻帶邊界頻率βz2和βz1=1/βz2，于是有：(6.58)上面已經(jīng)得到，低通濾波器的通帶邊界頻率：(6.59)設(shè)低通濾波器的阻帶邊界頻率為Ωz和-Ωz，則它們分別映107由(6.58)式和(6.59)式可得：(6.60)在上述變換關(guān)系的基礎(chǔ)上，得到原型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)之后，通過變換(6.61)就得到所要求的模擬帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。

由(6.58)式和(6.59)式可得：108例6.4一個模擬帶通濾波器的指標(biāo)如圖6.12所示，用C型濾波特性來逼近，求其系統(tǒng)函數(shù)。解：帶通濾波器的中心頻率為：

標(biāo)稱化帶寬（也稱為相對帶寬）：

例6.4一個模擬帶通濾波器的指標(biāo)如圖6.12所示，用C109而，，βz1×βz2≈0.285≠1這說明fz1與fz2并不關(guān)于f0幾何對稱，應(yīng)該增大fz1，即以βz2為準(zhǔn)來計算低通的Ωz。而，110

圖6.12一個模擬帶通濾波器的指標(biāo)圖6.12一個模擬帶通濾波器111下面求通帶邊界Ωp=1、阻帶邊界Ωz=8.5的C型低通濾波器的參數(shù)ε和N。

第5章數(shù)字濾波概述51數(shù)字濾波器與模擬濾波器一般來說課件112

由遞推公式：CN+1(8.5)=17CN(8.5)-CN-1(8.5)可以得到：C4(8.5)=17×2431-143.5=41183.5>7906,因此取N=4。

113例6.2已經(jīng)得到了ε=0.04、N=4的C型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：

于是所設(shè)計的C型帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：例6.2已經(jīng)得到了ε=0.04、N=4的C型低通濾波器的系統(tǒng)114只需將δ=0.1543代入就可以算出各個系數(shù)。第5章數(shù)字濾波概述51數(shù)字濾波器與模擬濾波器一般來說課件1156.4沖激響應(yīng)不變法本節(jié)和下一節(jié)所討論的問題是，在已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的情況下，如何求相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。s是模擬復(fù)頻率，Ha(s)也是模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)的拉氏變換。

6.4沖激響應(yīng)不變法1166.4.1沖激響應(yīng)不變法的變換方法模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)通常可以表示為：(6.62)6.4.1沖激響應(yīng)不變法的變換方法117而且一般都滿足M<N，因此，可以將上式化為部分分式之和的形式，即：(6.63)對(6.63)式兩邊進行拉氏反變換，可得：(6.64)

而且一般都滿足M<N，因此，可以將上式化為部分分式之和的形式118令數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)：(6.65)對上式進行z變換，便得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：令數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)：119上式中的冪級數(shù)收斂應(yīng)該滿足條件：即

實際上，只要將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)分解為(6.63)式所示的部分分式之和的形式，立即就可以寫出相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

上式中的冪級數(shù)收斂應(yīng)該滿足條件：即120這一變換方法的關(guān)鍵是：h(n)=Tsha(nTs)，此關(guān)系稱為沖激響應(yīng)不變準(zhǔn)則，由此準(zhǔn)則出發(fā)所得到的變換方法就叫做沖激響應(yīng)不變法。沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器保持了模擬濾波器的時域瞬態(tài)特性，這是這種變換方法的一大優(yōu)點。

這一變換方法的關(guān)鍵是：h(n)=Tsha(nTs)，此關(guān)系1216.4.2模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)之間的關(guān)系已經(jīng)知道，抽樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜的周期延拓，即(6.67)而(6.68)6.4.2模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)之間的關(guān)系122其中，和分別為數(shù)字角頻率和模擬角頻率。也就是說，離散信號的頻譜既可表示為數(shù)字頻率的函數(shù)也可表示為模擬頻率的函數(shù)。又知道，對于離散信號的傅里葉變換，有：或：(6.69)由(6.67)、(6.68)、(6.69)式有：(6.70)其中，和分別為數(shù)字角頻率和模擬角123(6.70)式左邊表示離散信號Tsx(n)的頻譜，而Tsx(n)是對模擬信號Ts的抽樣。模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)的頻譜Ha()(即前面的Ha(jΩ))就是模擬濾波器的頻率響應(yīng)。如果對ha(t)抽樣，則由(6.70)式可知，有：(6.71)(6.70)式左邊表示離散信號Tsx(n)的頻譜，而Tsx124令h(n)=Tsha(nTs)，并以表示h(n)的頻譜，也就是以h(n)為沖激響應(yīng)的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，于是由(6.71)式可得：(6.72）

令h(n)=Tsha(nTs)，并以表示h(n)的頻譜，125

圖6.13模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓圖6.13模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期126因此，用沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是原來的模擬濾波器的頻率響應(yīng)的周期延拓。由圖6.13可以看出，如果被限制在-與之間，則在此區(qū)間內(nèi)與完全一致。

因此，用沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)127相反，如果不被足夠地限帶，則將產(chǎn)生混疊失真。采用沖激響應(yīng)不變法得到的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)都會有程度不同的混疊失真，而且，這種方法不能用于高通濾波器和帶阻濾波器等需要保留高頻成分的變換，這是沖激響應(yīng)不變法的一大缺點。相反，如果不被足夠地限帶，則將1286.4.3z平面與s平面的映射關(guān)系對照(6.63)式和(6.66)式可知，s平面的極點sk與z平面的極點互相映射。將極點的映射關(guān)系推廣，可以得到?jīng)_激響應(yīng)不變法模擬s平面與數(shù)字z平面的映射關(guān)系，即：(6.73)6.4.3z平面與s平面的映射關(guān)系129令z=rejω，s=+j，代入上式，得：，故有：（6.74）

=Ts(6.75)(6.74)式表示了z平面的模r與s平面的實部σ之間的關(guān)系,顯然有：當(dāng)=0,r=1；當(dāng)>0,r>1；當(dāng)<0,r<1。

令z=rejω，s=+j，代入上式，得：130(6.75)式既表示了數(shù)字角頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系，也表示了z平面的幅角ω與s平面的虛部Ω之間的關(guān)系。由(6.75)式還可以知道，s平面上由-π/Ts到π/Ts這一條狀區(qū)域映射到z平面上由-到的區(qū)域，即整個z平面；s平面上的水平線Ω=-π/Ts映射到z平面上的射線ω=-π，而當(dāng)這條射線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，對應(yīng)的s平面上的水平線就向上平移。(6.75)式既表示了數(shù)字角頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系，也131上面所闡述的不僅是模擬域s平面與數(shù)字域z平面之間的映射關(guān)系，而且也是模擬濾波器的頻率與用沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器的頻率之間的關(guān)系。s平面與z平面的映射關(guān)系保證了將穩(wěn)定的模擬濾波器變換為穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。上面所闡述的不僅是模擬域s平面與數(shù)字域z平面之間的映射關(guān)系132圖6.14模擬復(fù)頻率s與數(shù)字復(fù)頻率z之間的映射關(guān)系

圖6.14模擬復(fù)頻率s與數(shù)字復(fù)頻率z之133例6.6用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計一個三階Butteworth數(shù)字低通濾波器，抽樣頻率為fs=1.2kHz,截止頻率為=400Hz。解：此數(shù)字濾波器的截止頻率：Ωc=2πfc=2π×400=800π弧度/s這也是模擬濾波器的截止頻率，于是可以寫出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù):例6.6用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計一個三階Buttewor134其中，，現(xiàn)在進行部分分式分解，令(*2)第5章數(shù)字濾波概述51數(shù)字濾波器與模擬濾波器一般來說課件135可以得到：

根據(jù)(*1)式和(*2)式，再將A、B、C代入，便得到：

可以得到：136上式中Ts=1/fs=1/1200（秒）。第5章數(shù)字濾波概述51數(shù)字濾波器與模擬濾波器一般來說課件1376.5雙線性變換法6.5.1雙線性變換關(guān)系的導(dǎo)出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以變換為：這里為了方便說明，已令M=N。6.5雙線性變換法138由此式可以看出，模擬濾波器的基本單元是積分器，因此，只要設(shè)法用某種數(shù)字網(wǎng)絡(luò)來代替此基本單元，就能夠?qū)⒛M濾波器轉(zhuǎn)變成相應(yīng)的數(shù)字濾波器。模擬濾波器基本單元的系統(tǒng)函數(shù)為：則其沖激響應(yīng)為：由此式可以看出，模擬濾波器的基本單元是積分器，因此，只139設(shè)有一信號(t≥0）輸入到該積分器系統(tǒng)，則其輸出也即對的響應(yīng)為：

設(shè)0<t1<t2，有：（6.76）(6.77)設(shè)有一信號(t≥0）輸入到該積分器系統(tǒng)，則其輸出也即對的響應(yīng)140由于(6.76)式中t1-

0，故；同理，(6.77)式中。因此有：

當(dāng)t1趨于t2時，有：令t1=nTs-Ts，t2=nTs，則有:

由于(6.76)式中t1-0，故141令,則得到差分方程：(6.78)這樣，我們就將模擬積分器轉(zhuǎn)變成了數(shù)字網(wǎng)絡(luò)，上式就是此數(shù)字積分器的差分方程。對它進行z變換，得：

令,142于是可得到此數(shù)字積分器的系統(tǒng)函數(shù)：（6.79）用此數(shù)字基本單元來代替模擬濾波器的基本單元1/s,就可以得到與模擬濾波器性能相近的數(shù)字濾波器。于是可得到此數(shù)字積分器的系統(tǒng)函數(shù)：143由上面的推導(dǎo)有：即：(6.80)于是有：(6.81)由上面的推導(dǎo)有：144這種變換關(guān)系叫做雙線性變換。如果已知模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，則相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：(6.82)這種變換關(guān)系叫做雙線性變換。如果已知模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha1456.5.2s平面與z平面的映射關(guān)系用s=+j,z=rejω代入(6.81)式，可以得到：(6.83)(6.84)6.5.2s平面與z平面的映射關(guān)系146

s平面z平面

>0，即右半平面r>1,即單位圓外

=0，即虛軸r=1,即單位圓

<0，即左半平面r<1,即單位圓內(nèi)s平面147因此，用雙線性變換法，穩(wěn)定的模擬濾波器導(dǎo)出的數(shù)字濾波器也必定是穩(wěn)定的。但是，與沖激響應(yīng)不變法不同的是，在雙線性變換下，模擬濾波器的復(fù)頻率s與相應(yīng)的數(shù)字濾波器的復(fù)頻率z之間的映射是一一對應(yīng)的關(guān)系。因此，用雙線性變換法，穩(wěn)定的模擬濾波器導(dǎo)出的數(shù)字濾波器也必定148圖6.16雙線性變換法s平面與z平面之間的映射關(guān)系圖6.16雙線性變換法s平面與z平面之間1496.5.3頻率預(yù)畸變下面討論s平面的虛軸與z平面的單位圓的映射關(guān)系，也即模擬濾波器的角頻率與相應(yīng)的數(shù)字濾波器的角頻率之間的關(guān)系。在(6.84)式中令=0，便可得到：或（6.85）

6.5.3頻率預(yù)畸變150圖6.17ω與Ω之間的非線性關(guān)系圖6.17ω與Ω之間的非線性關(guān)151與的關(guān)系是非線性的，但是，s平面上的虛軸一一對應(yīng)地映射到了z平面單位圓的一周之上，因此，采用雙線性變換法，不存在頻域混疊失真的問題。由雙線性變換所引起的模擬濾波器頻率與數(shù)字頻率之間的非線性關(guān)系，使得所得到的數(shù)字濾波器的相位頻率特性產(chǎn)生失真；

與的關(guān)系是非線性的，但是，s平面上的虛軸一一對應(yīng)地映射到152但對于幅度頻率特性，可以通過頻率預(yù)畸變來校正。實際上，只要首先根據(jù)所要求的數(shù)字濾波器的各關(guān)鍵頻率，按照(6.85)式轉(zhuǎn)變成相應(yīng)的模擬頻率，再根據(jù)這些頻率指標(biāo)來設(shè)計模擬濾波器，則最后轉(zhuǎn)換成的數(shù)字濾波器的各關(guān)鍵頻率就會正好映射到所要求的位置上。

但對于幅度頻率特性，可以通過頻率預(yù)畸變來校正。實際上，只要首1536.5.4雙線性變換法的特點1．模擬濾波器經(jīng)過雙線性變換后，不存在頻率特性的混疊失真，因而對模擬濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)Ha()無限帶要求，而且能夠直接用于設(shè)計低通、高通、帶通、帶阻等各種類型的數(shù)字濾波器。

6.5.4雙線性變換法的特點1542．與沖激響應(yīng)不變法中模擬頻率與數(shù)字頻率之間的線性關(guān)系ω=ΩTs不同的是，雙線性變換法中模擬濾波器的頻率與所轉(zhuǎn)換成的數(shù)字濾波器的頻率之間是非線性關(guān)系，但是，如果事先進行頻率預(yù)畸變，這種非線性關(guān)系不會使所設(shè)計的數(shù)字濾波器的幅頻特性受到影響。3．雙線性變換方法比較容易，不需要將模擬系統(tǒng)函數(shù)進行部分分式分解。2．與沖激響應(yīng)不變法中模擬頻率與數(shù)字頻率之間的線性關(guān)系ω=Ω155因此，雙線性變換法是用得很普遍、并且很有效的一種方法；只是，由于頻率的非線性關(guān)系會產(chǎn)生相頻特性失真，所以若對數(shù)字濾波器的相位特性要求較嚴(yán)，則不宜采用這種變換方法。因此，雙線性變換法是用得很普遍、并且很有效的一種方法；只是，156最后必須強調(diào)說明一下用雙線性變換法來設(shè)計數(shù)字濾波器時各種頻率之間的關(guān)系。我們在考慮一個數(shù)字濾波器的頻域特性時，所采用的頻率變量可以是數(shù)字頻率，也可以是模擬頻率。模擬角頻率=2f，f是以赫茲(Hz)為單位的真正具有物理意義的頻率變量。與的關(guān)系為=Ts，Ts為抽樣周期。

最后必須強調(diào)說明一下用雙線性變換法來設(shè)計數(shù)字濾波器時各種頻157數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)=，是的周期函數(shù)，以2為周期；是的周期函數(shù)，周期為Ωs=2π/Ts。上述這些關(guān)系與數(shù)字濾波器的設(shè)計方法無關(guān)。如果數(shù)字濾波器是用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計的，則模擬濾波器的頻率變量也就是數(shù)字濾波器的模擬頻率變量；如果數(shù)字濾波器是用雙線性變換法來設(shè)計的，那末模擬濾波器的頻率變量并不是數(shù)字濾波器的模擬頻率變量。

數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)=，158我們在6.5.2節(jié)中所述的雙線性變換法s平面與z平面的映射關(guān)系實際上是被變換的模擬濾波器的復(fù)頻率s與所得到的數(shù)字濾波器的復(fù)頻率z之間的關(guān)系，(6.85)式中的也是此模擬濾波器的角頻率，并不是數(shù)字濾波器的模擬角頻率。為了便于區(qū)分，應(yīng)該將(6.85)式中的模擬濾波器角頻率用Ω’

來表示，即為：；而數(shù)字濾波器的數(shù)字角頻率與其本身的模擬角頻率Ω之間仍然是上面所述的那種線性關(guān)系，即有：=Ts。我們在6.5.2節(jié)中所述的雙線性變換法s平面與z平面的映射159例6.8用雙線性變換法設(shè)計一個三階Butteworth數(shù)字低通濾波器，抽樣頻率為fs=1.2kHz,截止頻率為=400Hz。

解：此數(shù)字濾波器的截止頻率：

例6.8用雙線性變換法設(shè)計一個三階Buttewort160用雙線性變換法，則相應(yīng)的模擬濾波器的截止頻率為：該模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：所要求的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：用雙線性變換法，則相應(yīng)的模擬濾波器的截止頻率為：161將代入，得到

第5章數(shù)字濾波概述51數(shù)字濾波器與模擬濾波器一般來說課件1626.6數(shù)字濾波器的變換一個任意的數(shù)字域選頻濾波器的設(shè)計過程如圖6.18所示。按圖中路線(1)，如果采用沖激響應(yīng)不變法來進行模數(shù)變換，則不能用來設(shè)計高通和帶阻濾波器；按圖中路線(2)，就不會受到上述限制。因此，一般大多采用路線（2）。本節(jié)要討論如何將原型數(shù)字低通