昆明理工大學材料力學第八章-桿件的扭轉(zhuǎn)課件

材料力學材料力學第八章桿件的扭轉(zhuǎn)§8-1扭轉(zhuǎn)的概念§8-2軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖§8-3切應(yīng)力互等定理·剪切胡克定律§8-4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力·強度條件§8-5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件§8-6矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)第八章桿件的扭轉(zhuǎn)§8-1扭轉(zhuǎn)的概念§8-2軸的外力偶矩§8-1扭轉(zhuǎn)的概念實例1對稱扳手擰緊螺帽§8-1扭轉(zhuǎn)的概念實例1對稱扳手擰緊螺帽實例2汽車傳動軸傳動軸實例2汽車傳動軸傳動軸實例3實例3昆明理工大學材料力學第八章-桿件的扭轉(zhuǎn)課件MeMe受力特點:

受到一對等大、反向、在垂直于軸線平面內(nèi)的力偶作用。扭轉(zhuǎn)的概念MeMe受力特點:扭轉(zhuǎn)的概念變形特點:桿件任意兩個橫截面發(fā)生繞軸線的相對轉(zhuǎn)動，軸線不變?！窀拍?①兩個橫截面的相對轉(zhuǎn)角稱為扭轉(zhuǎn)角——；②縱向線傾斜的角度，即為切應(yīng)變(或稱角應(yīng)變)；③軸——承受扭轉(zhuǎn)變形的桿件。MeMe變形特點:●概念:MeMe§8-2軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖

一、外力偶矩的計算1.力偶作用§8-2軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖一、外力偶矩的計算1切線方向的力F

產(chǎn)生力偶矩Me=FR皮帶的拉力F1和F2

產(chǎn)生力偶矩。若

F2>F1則

Me=(F2-F1)D/22.皮帶輪或鏈條切線方向的力F產(chǎn)生力偶矩皮帶的拉力F1和F2產(chǎn)生力偶作用在齒輪上的切向力產(chǎn)生力偶矩Me=FtR3.齒輪作用在齒輪上的切向力產(chǎn)生力偶矩Me=FtR3.齒輪功率P(kW

或HP)標示牌顯示旋轉(zhuǎn)速度n(r/min)4.由轉(zhuǎn)速和功率計算外力偶矩功率P(kW或HP)標示牌顯示旋轉(zhuǎn)速度n(r/mnn

二、扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力1.扭矩MeMeMeTx扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力：橫截面內(nèi)的一個力偶矩，稱為扭矩。nn

求n-n橫截面上的內(nèi)力？nn二、扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力1.扭矩MeMeMeTx扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力：nkkMeTkx

求k-k橫截面上的內(nèi)力？MeMekk

比較n-n與k-k橫截面上的內(nèi)力？MeMennnnMeTxkkMeTkx求k-k橫截面上的內(nèi)力？MeMekk比較n扭矩T的正負規(guī)定:++按右手螺旋法則，扭矩的矢量與截面的外法線重合，扭矩為正，反之為負。扭矩T的正負規(guī)定:++按右手螺旋法則，扭矩的矢量與截面的用“設(shè)正法”求扭矩:kkMeTkx

求k-k橫截面上的扭矩？MeMekk用“設(shè)正法”求扭矩:kkMeTkx求k-k橫截面上的扭矩？2.扭矩圖用坐標(x,T)來表示沿軸線方向的扭矩變化。

x表示橫截面的位置。T表示扭矩的大小。2.扭矩圖用坐標(x,T)來表示沿軸線方向的扭矩變化。例1.

傳動軸如圖所示，已知：轉(zhuǎn)速n=300r/min；主動輪功率P1=500kW，

從動輪功率分別為P2=150kW，

P3=150kW，

P4=200kW。

求各段的扭矩并畫出軸的扭矩圖。

M1

M2

M3

M4

BCAD例1.傳動軸如圖所示，已知：轉(zhuǎn)速n=300r/min（1）計算各傳動輪所受的外力偶矩解:M1

M2

M3

M4

BCAD注：任意兩外力偶矩之間各截面扭矩相同。（1）計算各傳動輪所受的外力偶矩解:M1M2M3M4（2）計算各段上的扭矩11M2BxT1x33DT3M4

112233BM2

CM3

22xT2M1

M2

M3

M4

BCAD（2）計算各段上的扭矩11M2BxT1x33DT3M411（3）畫扭矩圖Tmax=9.56kN·m,位于CA段上。4.789.566.37T(kN·m)M1

M2

M3

M4

BCAD（3）畫扭矩圖Tmax=9.56kN·m,位于C●由外力偶矩直接求扭矩的法則：任意橫截面上的扭矩等于截面一側(cè)所有外力偶矩的代數(shù)和。（看外力偶矩的正投影，有向上和向下之分。）M1

M2

M3

M4

BCAD

左邊向上，右邊向下取“+”，反之取“－”?！裼赏饬ε季刂苯忧笈ぞ氐姆▌t：（看外力偶矩的正投影，有向上●主動輪M1與從動論M4互換位置，畫扭矩圖。Tmax=15.9kN·m,位于AD段上。4.789.5615.9T(kN·m)M1

M2

M3

M4

BCAD●主動輪M1與從動論M4互換位置，畫扭矩圖。Tmax=4.789.5615.9T(kN·m)M1

M2

M3

M4

BCADM1

M2

M3

M4

BCAD4.789.566.37T(kN·m)比較傳動輪的位置的不同安排，哪一種合理？Tmax=15.9kN·mTmax=9.56kN·m4.789.5615.9T(kN·m)M1M2M3M●主動輪與從動論位置的合理安排：主動輪放在從動論之間，并盡量使兩邊從動論所傳遞的外力偶矩相等?！裰鲃虞喤c從動論位置的合理安排：主動輪放在例2.

軸受力如圖所示，畫出軸的扭矩圖。

CMe=2mamABa2am—分布力偶矩單位：kN·m/m分布力偶矩作用的段，扭矩圖是斜直線。1122x例2.軸受力如圖所示，畫出軸的扭矩圖。一、

薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)R0tR0—平均半徑t

(或δ)—筒壁厚度薄壁：R0/t≥

101.薄壁圓筒lMeMe11任取的1-1橫截面上的扭矩可求?！?-3切應(yīng)力互等定理·剪切胡克定律一、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)R0tR0—平均半徑t(或δ)—筒壁厚R0tMeMe11Me11T求1-1橫截面上的扭矩？R0tMeMe11Me11T求1-1橫截面上的扭矩？(1)圓周線繞軸線相對轉(zhuǎn)動；(2)圓周線的大小和間距不變；(3)各縱向線傾斜同一角度；(4)矩形網(wǎng)格變?yōu)槠叫兴倪呅?。變形現(xiàn)象：近似認為管內(nèi)變形與管表面變形相同2.實驗：CˊDˊg微正六面體(1)圓周線繞軸線相對轉(zhuǎn)動；(2)圓周線的大小和間距不變；(微體只產(chǎn)生剪切變形。沿圓周方向所有微體的剪切變形相同

結(jié)論：

橫截面上只存在切應(yīng)力，沒有正應(yīng)力?？v向線傾斜的角度γ

就是切應(yīng)變，是由切應(yīng)力引起的。CˊDˊg微體只產(chǎn)生剪切變形。沿圓周方向所有微體的剪切變形相同結(jié)論：

3.切應(yīng)力的方向：切應(yīng)力的方向是與半徑垂直，

并與扭矩繞向一致。TT3.切應(yīng)力的方向：切應(yīng)力的方向是與半徑垂直，

4.切應(yīng)力的計算：①因為壁很薄，所以認為沿壁厚方向切應(yīng)力均勻分布。TR0切應(yīng)力的分布規(guī)律4.切應(yīng)力的計算：TR0切應(yīng)力的分布規(guī)律橫截面上各點切應(yīng)力的合力為一力偶矩，此力偶矩就是扭矩。TR0②切應(yīng)力的大小橫截面上各點切應(yīng)力的合力為一力偶矩，此力偶矩二、

切應(yīng)力互等定理從圓筒上取出一微正六面體′′dxdydxdytTMe—切應(yīng)力互等定理MeMet二、切應(yīng)力互等定理從圓筒上取出一微正六面體′′切應(yīng)力互等定理:

在相互垂直的兩個平面上，切應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且大小相等，并都垂直于兩個平面的交線，方向則共同指向或共同背離這一交線?！洹鋎xdyt切應(yīng)力互等定理:在相互垂直的兩個平面上，純剪切應(yīng)力狀態(tài)–—單元體的四個側(cè)面上只有切

應(yīng)力而無正應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)?！浼兗羟袘?yīng)力狀態(tài)–—單元體的四個側(cè)面上只有切 思考已知單元體上、下兩個面上的切應(yīng)力，以下各圖中所畫的其他面上的切應(yīng)力，哪個圖是正確的？ABCD思考已知單元體上、下兩個面上的切應(yīng)力，以下各圖中所畫的其他面三、

剪切胡克定理g—切應(yīng)變MeMe用一低碳鋼所做的圓軸做扭轉(zhuǎn)實驗，在兩端截面上加力偶矩直至扭斷。γ‵′‵′‵′‵′‵′‵′‵′‵′三、剪切胡克定理g—切應(yīng)變MeMe用一低碳鋼所做的圓軸γbspp—剪切比例極限s—剪切屈服極限b—剪切強度極限剪切時的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系曲線在剪切比例極限前，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比。

—剪切胡克定律γbspp—剪切比例極限s—剪切屈服極限b—剪剪切胡克定律G—剪切彈性模量。

它與τ具有相同的量綱。常用單位：GPa

。G,E

和

都是材料的彈性常量，它們中只有兩個是獨立的，關(guān)系是(在線彈性范圍內(nèi))剪切胡克定律G—剪切彈性模量。G,E§8-4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力·強度條件

一、等直圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力rMeMe(1)圓周線繞軸線相對轉(zhuǎn)動；(2)圓周線大小和間距不變；(4)縱向線傾斜同一角度；(5)矩形變?yōu)榱庑巍Ｗ冃维F(xiàn)象：實驗：g—切應(yīng)變(3)徑向直線仍然保持為直線；§8-4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力·強度條件一、等直圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)圓軸扭轉(zhuǎn)變形前的橫截面，變形后仍保持為平面，大小和形狀不變，半徑仍保持為直線，任意兩橫截面間的距離保持不變，但繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。●平面截面假設(shè)圓軸扭轉(zhuǎn)變形前的橫截面，變形后仍保持為平面，分析論證平面保持平面分析論證平面保持平面rMeMe●結(jié)論：1.橫截面上不產(chǎn)生正應(yīng)力；

(任意兩橫截面間的距離保持不變。)2.橫截面上只產(chǎn)生剪應(yīng)力；(縱向線傾斜的角度就是切應(yīng)變，由切應(yīng)力引起。)3.剪應(yīng)力的分布不是均勻分布。rMeMe●結(jié)論：1.橫截面上不產(chǎn)生正應(yīng)力；理論分析與拉壓桿問題相比，圓軸扭轉(zhuǎn)問題的載荷和變形都要復(fù)雜一些，因此理論分析必須包含三類條件。三類條件變形幾何關(guān)系物理關(guān)系

靜力關(guān)系理論分析與拉壓桿問題相比，圓軸扭轉(zhuǎn)問題的載荷和變形都要復(fù)雜一1.變形幾何關(guān)系橫截面周界上一點的切應(yīng)變距圓心為處一點的切應(yīng)變1.變形幾何關(guān)系橫截面周界上一點的切應(yīng)變距圓心為處一點變形幾何關(guān)系：——扭轉(zhuǎn)角沿軸線的變化率；

當外力一定時是一常量。上式表明:

橫截面上任意一點的切應(yīng)變與該點到圓心的距離成正比。距圓心相同的點切應(yīng)變相同，圓心處為零，在外表面達到最大值。變形幾何關(guān)系：——扭轉(zhuǎn)角沿軸線的變化率； 當外力一定時2.物理關(guān)系O說明：橫截面上任意一點的切應(yīng)力與它到圓心的距離

成正比，方向垂直于半徑，并與扭矩繞向一致。剪切胡克定律2.物理關(guān)系O說明：橫截面上任意一點的切應(yīng)力與它到圓心●切應(yīng)力的分布規(guī)律：①實心圓截面②空心圓截面TmaxminT●切應(yīng)力的分布規(guī)律：①實心圓截面②空心圓截面Tmaxmi切應(yīng)力互等定理T切應(yīng)力互等定理T3.靜力關(guān)系——極慣性矩基本變形公式TrdA3.靜力關(guān)系——極慣性矩基本變形公式TrdA●切應(yīng)力的計算式：——

扭轉(zhuǎn)截面模量(抗扭矩）①等直圓截面、圓環(huán)截面桿；②應(yīng)力不超過剪切比例極限。注意：公式的適用范圍T●切應(yīng)力的計算式：——扭轉(zhuǎn)截面模量(抗扭矩）①等直圓截面D空心圓截面OdrrDdrrOd

二、Ip和Wt的計算實心圓截面D空心圓截面OdrrDdrrOd二、Ip和Wt的計算實心圓

三、強度條件等直圓截面軸強度分析的三類問題：1.校核強度2.設(shè)計橫截面直徑3.計算許用扭矩階梯圓截面軸三、強度條件等直圓截面軸強度分析的三類問題：1.校核強度

四、圓軸扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象

低碳鋼:沿橫截面斷裂，由切應(yīng)力引起。

鑄鐵:沿與軸線成45°角左右的斜截面斷裂，由拉

應(yīng)力引起，因為此斜截面上有最大的拉應(yīng)力。MeMeMeMe四、圓軸扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象低碳鋼:沿橫截面斷裂，由切應(yīng)力引起?！?-5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件一、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形1.相對扭轉(zhuǎn)角jdjgD'TO1O2ababdxDAT

相距為dx的兩橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角為dj§8-5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件一、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形1.rMeMel

相距為l的兩端橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角j

：對于僅在兩端受外力偶矩作用的圓截面軸其中GIp—抗扭剛度。（rad）（°）或者rMeMel相距為l的兩端橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角j：●階梯軸AMe3Me1BCMe2求A、C兩橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角？注意：Ti要代入符號計算。●階梯軸AMe3Me1BCMe2求A、C兩橫截面的相對扭轉(zhuǎn)2.單位扭轉(zhuǎn)角′單位長度上的扭轉(zhuǎn)角。（rad/m)（°/m)或者2.單位扭轉(zhuǎn)角′單位長度上的扭轉(zhuǎn)角。（rad/m)二、剛度條件1.對于等直圓軸許可單位扭轉(zhuǎn)角，單位:/m2.對于階梯軸二、剛度條件1.對于等直圓軸許可單位扭轉(zhuǎn)角，單位:對于精密機械上的軸對于一般傳動軸0.5m2mABC思考AC軸是否滿足剛度要求？對于精密機械上的軸對于一般傳動軸0.5m2mABC思考AC軸一、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時的變形特征翹曲——桿橫截面外周線改變原來的形狀，且橫

截面將不再保持平面。§8-6矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)一、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時的變形特征翹曲——桿橫截面外周線改變原來自由扭轉(zhuǎn)—兩端受外力偶作用時，端面可以自由翹曲。

也稱為純扭轉(zhuǎn)?！穹菆A截面桿的扭轉(zhuǎn)分類：

相鄰兩橫截面的翹曲程度完全相同，橫截面上只有切應(yīng)力而沒有正應(yīng)力。MeMe自由扭轉(zhuǎn)—兩端受外力偶作用時，端面可以自由翹曲。 約束轉(zhuǎn)動—端面有約束不能自由翹曲。相鄰兩橫截

面的翹曲程度不同，此時橫截面上有切

應(yīng)力，還有正應(yīng)力。MeMe非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)問題只能用彈性力學的方法求解。Me約束轉(zhuǎn)動—端面有約束不能自由翹曲。相鄰兩橫截 二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)矩形截面的切應(yīng)力分布圖：①橫截面上周邊各點處的切應(yīng)力方向必與周邊相切，且組成切應(yīng)力。②橫截面的四個角點和形心處切應(yīng)力等于零。③最大切應(yīng)力發(fā)生在長邊的中點，短邊中點處的切應(yīng)力

二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)矩形截面的切應(yīng)力分布圖：①橫截面上周例3.

如圖所示，一直徑為d的實心圓軸和另一外徑為內(nèi)徑2倍的空心圓軸（外徑為d1）受相同的扭矩T作用，為使兩根軸的最大切應(yīng)力相等，問空心圓軸截面的面積應(yīng)為實心圓軸截面面積的百分之多少？Tdd1d1/2T例3.如圖所示，一直徑為d的實心圓軸和另一外徑為1.實心圓軸的最大切應(yīng)力2.空心圓軸的最大切應(yīng)力解:Tdd1d1/2T1.實心圓軸的最大切應(yīng)力2.空心圓軸的最大切應(yīng)力解:Td欲使即解得空心圓軸截面面積兩圓軸截面面積之比

在同等扭轉(zhuǎn)強度的條件下，空心圓軸截面面積只有實心圓軸截面面積的78.18%，所以空心圓軸較為合理。欲使即解得空心圓軸截面面積兩圓軸截面面積之比例4.如圖所示，由兩種不同材料制成的套管組合圓軸受扭矩T作用。外套管的外半徑為r1，切變模量為G1，內(nèi)圓軸的半徑為r2，切變模量為G2，設(shè)兩層材料的界面緊密結(jié)合不會相對錯動，求兩種材料橫截面上的最大切應(yīng)力。lr1r2TT例4.如圖所示，由兩種不同材料制成的套管組合圓軸受扭矩T作用由靜力關(guān)系解:界面不發(fā)生錯動由軸的變形公式（a）（b）（c）（d）將(c)式代入(b)可得lr1r2TTT1T2由靜力關(guān)系解:界面不發(fā)生錯動由軸的變形公式（a）（b）（c）聯(lián)立求解(a)式和(d)式可得由最大切應(yīng)力公式有其中聯(lián)立求解(a)式和(d)式可得由最大切應(yīng)力公式有其中例5.如圖所示傳動軸，已知其轉(zhuǎn)速n=200r/min，主動輪2傳遞的功率為N2=80馬力，其余從動輪傳遞的功率分別為N1=25馬力、N3=15馬力、N4=30馬力及N5=10馬力。若材料的許用切應(yīng)力[]=20MPa，單位長度容許扭轉(zhuǎn)角[′]=0.5o/m，切變模量G=82GPa，試確定此軸的直徑。12345Me1Me2Me3Me4Me5ⅠⅡⅢⅣ例5.如圖所示傳動軸，已知其轉(zhuǎn)速n=200r/mi1.計算外力偶矩解:n=200r/min，N1=25馬力、N2=80馬力、N3=15馬力、N4=30馬力、N5=10馬力1.計算外力偶矩解:n=200r/min，N1=25馬力123450.881.931.40.352.畫扭矩圖，找出最大扭矩。位于II段上T(kN·m)Me1=0.88Me2=2.81Me3=0.53Me4=1.05Me5=0.3512345ⅠⅡⅢⅣ123450.881.931.40.352.畫扭矩圖，找3.根據(jù)強度條件設(shè)計軸的直徑即圓軸的直徑不得小于78.9mm。

根據(jù)強度條件和剛度條件，圓軸的最小直徑為78.9mm，取79.0mm。4.校核其剛度：3.根據(jù)強度條件設(shè)計軸的直徑即圓軸的直徑不得小于78.9m3.根據(jù)強度條件設(shè)計軸的直徑即圓軸的直徑不得小于78.9mm。

根據(jù)強度條件和剛度條件，圓軸的最小直徑為78.9mm，取79.0mm。4.根據(jù)剛度條件設(shè)計軸的直徑3.根據(jù)強度條件設(shè)計軸的直徑即圓軸的直徑不得小于78.9m例6.已知：P＝7.5kW,n=100r/min,

空心圓軸的內(nèi)外徑之比=0.5。許用切應(yīng)力＝40MPa。求:實心軸的直徑d1和空心軸的外徑D2。例6.已知：P＝7.5kW,n=100r/min,解：PT=Me=9549n7.5=9549100T=716.2N·mmax=Wt116TT=d13=40MPa=45mmd1=16716.2×1034031.計算扭矩2.設(shè)計實心軸的直徑解：PT=Me=9549n7.5=9549100T=7max==40MPaWt2T16T=D23(1-

4)d2=0.5D2=23mmA1A2=d12D22(1-

2)=1.283.設(shè)計空心軸的直徑=46mmD2=16716.2×103(1-0.5

4)4034.實心軸與空心軸的面積比max==40MPaWt2T16T=D23(1-例7.圖示等直圓軸，已知外力偶矩MA=2.99kN·m，MB=7.20kN·m，MC=4.21kN·m，許用切應(yīng)力[τ]=70Mpa，許可單位扭轉(zhuǎn)角[′]=1o/m，切變摸量G=80Gpa。試確定該軸的直徑？解：1、計算軸的扭矩AB段：T1=-MA=-2.99kN·mBC段：T2=Mc=4.21kN·m

∴

Tmax=4.21kN·m(BC段)例7.圖示等直圓軸，已知外力偶矩MA=2.99kN2.確定軸的直徑d由強度條件：

由剛度條件：

故：該軸的直徑為：2.確定軸的直徑d由強度條件：由剛度條件：故：該軸的直徑

ABCMeab例8.圖示等直圓軸，已知外力偶矩Me

。試求A、B兩端的約束反力偶？（簡單超靜定軸）ABCMeab例8.圖示等直圓軸，已知外力偶矩Me

ABCMeab

1.靜力平衡條件：2.變形條件：（1）AB

CMeMAMBABCMeab1.靜力平衡條件：2.變形條件：（1）AB扭矩圖：3.物理關(guān)系：4.聯(lián)立（1）（2）式：AB

CMeMAMB+-MAMB（2）扭矩圖：3.物理關(guān)系：4.聯(lián)立（1）（2）式：ABCMe材料力學材料力學第八章桿件的扭轉(zhuǎn)§8-1扭轉(zhuǎn)的概念§8-2軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖§8-3切應(yīng)力互等定理·剪切胡克定律§8-4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力·強度條件§8-5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件§8-6矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)第八章桿件的扭轉(zhuǎn)§8-1扭轉(zhuǎn)的概念§8-2軸的外力偶矩§8-1扭轉(zhuǎn)的概念實例1對稱扳手擰緊螺帽§8-1扭轉(zhuǎn)的概念實例1對稱扳手擰緊螺帽實例2汽車傳動軸傳動軸實例2汽車傳動軸傳動軸實例3實例3昆明理工大學材料力學第八章-桿件的扭轉(zhuǎn)課件MeMe受力特點:

受到一對等大、反向、在垂直于軸線平面內(nèi)的力偶作用。扭轉(zhuǎn)的概念MeMe受力特點:扭轉(zhuǎn)的概念變形特點:桿件任意兩個橫截面發(fā)生繞軸線的相對轉(zhuǎn)動，軸線不變。●概念:①兩個橫截面的相對轉(zhuǎn)角稱為扭轉(zhuǎn)角——；②縱向線傾斜的角度，即為切應(yīng)變(或稱角應(yīng)變)；③軸——承受扭轉(zhuǎn)變形的桿件。MeMe變形特點:●概念:MeMe§8-2軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖

一、外力偶矩的計算1.力偶作用§8-2軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖一、外力偶矩的計算1切線方向的力F

產(chǎn)生力偶矩Me=FR皮帶的拉力F1和F2

產(chǎn)生力偶矩。若

F2>F1則

Me=(F2-F1)D/22.皮帶輪或鏈條切線方向的力F產(chǎn)生力偶矩皮帶的拉力F1和F2產(chǎn)生力偶作用在齒輪上的切向力產(chǎn)生力偶矩Me=FtR3.齒輪作用在齒輪上的切向力產(chǎn)生力偶矩Me=FtR3.齒輪功率P(kW

或HP)標示牌顯示旋轉(zhuǎn)速度n(r/min)4.由轉(zhuǎn)速和功率計算外力偶矩功率P(kW或HP)標示牌顯示旋轉(zhuǎn)速度n(r/mnn

二、扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力1.扭矩MeMeMeTx扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力：橫截面內(nèi)的一個力偶矩，稱為扭矩。nn

求n-n橫截面上的內(nèi)力？nn二、扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力1.扭矩MeMeMeTx扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力：nkkMeTkx

求k-k橫截面上的內(nèi)力？MeMekk

比較n-n與k-k橫截面上的內(nèi)力？MeMennnnMeTxkkMeTkx求k-k橫截面上的內(nèi)力？MeMekk比較n扭矩T的正負規(guī)定:++按右手螺旋法則，扭矩的矢量與截面的外法線重合，扭矩為正，反之為負。扭矩T的正負規(guī)定:++按右手螺旋法則，扭矩的矢量與截面的用“設(shè)正法”求扭矩:kkMeTkx

求k-k橫截面上的扭矩？MeMekk用“設(shè)正法”求扭矩:kkMeTkx求k-k橫截面上的扭矩？2.扭矩圖用坐標(x,T)來表示沿軸線方向的扭矩變化。

x表示橫截面的位置。T表示扭矩的大小。2.扭矩圖用坐標(x,T)來表示沿軸線方向的扭矩變化。例1.

傳動軸如圖所示，已知：轉(zhuǎn)速n=300r/min；主動輪功率P1=500kW，

從動輪功率分別為P2=150kW，

P3=150kW，

P4=200kW。

求各段的扭矩并畫出軸的扭矩圖。

M1

M2

M3

M4

BCAD例1.傳動軸如圖所示，已知：轉(zhuǎn)速n=300r/min（1）計算各傳動輪所受的外力偶矩解:M1

M2

M3

M4

BCAD注：任意兩外力偶矩之間各截面扭矩相同。（1）計算各傳動輪所受的外力偶矩解:M1M2M3M4（2）計算各段上的扭矩11M2BxT1x33DT3M4

112233BM2

CM3

22xT2M1

M2

M3

M4

BCAD（2）計算各段上的扭矩11M2BxT1x33DT3M411（3）畫扭矩圖Tmax=9.56kN·m,位于CA段上。4.789.566.37T(kN·m)M1

M2

M3

M4

BCAD（3）畫扭矩圖Tmax=9.56kN·m,位于C●由外力偶矩直接求扭矩的法則：任意橫截面上的扭矩等于截面一側(cè)所有外力偶矩的代數(shù)和。（看外力偶矩的正投影，有向上和向下之分。）M1

M2

M3

M4

BCAD

左邊向上，右邊向下取“+”，反之取“－”?！裼赏饬ε季刂苯忧笈ぞ氐姆▌t：（看外力偶矩的正投影，有向上●主動輪M1與從動論M4互換位置，畫扭矩圖。Tmax=15.9kN·m,位于AD段上。4.789.5615.9T(kN·m)M1

M2

M3

M4

BCAD●主動輪M1與從動論M4互換位置，畫扭矩圖。Tmax=4.789.5615.9T(kN·m)M1

M2

M3

M4

BCADM1

M2

M3

M4

BCAD4.789.566.37T(kN·m)比較傳動輪的位置的不同安排，哪一種合理？Tmax=15.9kN·mTmax=9.56kN·m4.789.5615.9T(kN·m)M1M2M3M●主動輪與從動論位置的合理安排：主動輪放在從動論之間，并盡量使兩邊從動論所傳遞的外力偶矩相等。●主動輪與從動論位置的合理安排：主動輪放在例2.

軸受力如圖所示，畫出軸的扭矩圖。

CMe=2mamABa2am—分布力偶矩單位：kN·m/m分布力偶矩作用的段，扭矩圖是斜直線。1122x例2.軸受力如圖所示，畫出軸的扭矩圖。一、

薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)R0tR0—平均半徑t

(或δ)—筒壁厚度薄壁：R0/t≥

101.薄壁圓筒lMeMe11任取的1-1橫截面上的扭矩可求?！?-3切應(yīng)力互等定理·剪切胡克定律一、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)R0tR0—平均半徑t(或δ)—筒壁厚R0tMeMe11Me11T求1-1橫截面上的扭矩？R0tMeMe11Me11T求1-1橫截面上的扭矩？(1)圓周線繞軸線相對轉(zhuǎn)動；(2)圓周線的大小和間距不變；(3)各縱向線傾斜同一角度；(4)矩形網(wǎng)格變?yōu)槠叫兴倪呅?。變形現(xiàn)象：近似認為管內(nèi)變形與管表面變形相同2.實驗：CˊDˊg微正六面體(1)圓周線繞軸線相對轉(zhuǎn)動；(2)圓周線的大小和間距不變；(微體只產(chǎn)生剪切變形。沿圓周方向所有微體的剪切變形相同

結(jié)論：

橫截面上只存在切應(yīng)力，沒有正應(yīng)力?？v向線傾斜的角度γ

就是切應(yīng)變，是由切應(yīng)力引起的。CˊDˊg微體只產(chǎn)生剪切變形。沿圓周方向所有微體的剪切變形相同結(jié)論：

3.切應(yīng)力的方向：切應(yīng)力的方向是與半徑垂直，

并與扭矩繞向一致。TT3.切應(yīng)力的方向：切應(yīng)力的方向是與半徑垂直，

4.切應(yīng)力的計算：①因為壁很薄，所以認為沿壁厚方向切應(yīng)力均勻分布。TR0切應(yīng)力的分布規(guī)律4.切應(yīng)力的計算：TR0切應(yīng)力的分布規(guī)律橫截面上各點切應(yīng)力的合力為一力偶矩，此力偶矩就是扭矩。TR0②切應(yīng)力的大小橫截面上各點切應(yīng)力的合力為一力偶矩，此力偶矩二、

切應(yīng)力互等定理從圓筒上取出一微正六面體′′dxdydxdytTMe—切應(yīng)力互等定理MeMet二、切應(yīng)力互等定理從圓筒上取出一微正六面體′′切應(yīng)力互等定理:

在相互垂直的兩個平面上，切應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且大小相等，并都垂直于兩個平面的交線，方向則共同指向或共同背離這一交線?！洹鋎xdyt切應(yīng)力互等定理:在相互垂直的兩個平面上，純剪切應(yīng)力狀態(tài)–—單元體的四個側(cè)面上只有切

應(yīng)力而無正應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)?！浼兗羟袘?yīng)力狀態(tài)–—單元體的四個側(cè)面上只有切 思考已知單元體上、下兩個面上的切應(yīng)力，以下各圖中所畫的其他面上的切應(yīng)力，哪個圖是正確的？ABCD思考已知單元體上、下兩個面上的切應(yīng)力，以下各圖中所畫的其他面三、

剪切胡克定理g—切應(yīng)變MeMe用一低碳鋼所做的圓軸做扭轉(zhuǎn)實驗，在兩端截面上加力偶矩直至扭斷。γ‵′‵′‵′‵′‵′‵′‵′‵′三、剪切胡克定理g—切應(yīng)變MeMe用一低碳鋼所做的圓軸γbspp—剪切比例極限s—剪切屈服極限b—剪切強度極限剪切時的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系曲線在剪切比例極限前，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比。

—剪切胡克定律γbspp—剪切比例極限s—剪切屈服極限b—剪剪切胡克定律G—剪切彈性模量。

它與τ具有相同的量綱。常用單位：GPa

。G,E

和

都是材料的彈性常量，它們中只有兩個是獨立的，關(guān)系是(在線彈性范圍內(nèi))剪切胡克定律G—剪切彈性模量。G,E§8-4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力·強度條件

一、等直圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力rMeMe(1)圓周線繞軸線相對轉(zhuǎn)動；(2)圓周線大小和間距不變；(4)縱向線傾斜同一角度；(5)矩形變?yōu)榱庑?。變形現(xiàn)象：實驗：g—切應(yīng)變(3)徑向直線仍然保持為直線；§8-4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力·強度條件一、等直圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)圓軸扭轉(zhuǎn)變形前的橫截面，變形后仍保持為平面，大小和形狀不變，半徑仍保持為直線，任意兩橫截面間的距離保持不變，但繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。●平面截面假設(shè)圓軸扭轉(zhuǎn)變形前的橫截面，變形后仍保持為平面，分析論證平面保持平面分析論證平面保持平面rMeMe●結(jié)論：1.橫截面上不產(chǎn)生正應(yīng)力；

(任意兩橫截面間的距離保持不變。)2.橫截面上只產(chǎn)生剪應(yīng)力；(縱向線傾斜的角度就是切應(yīng)變，由切應(yīng)力引起。)3.剪應(yīng)力的分布不是均勻分布。rMeMe●結(jié)論：1.橫截面上不產(chǎn)生正應(yīng)力；理論分析與拉壓桿問題相比，圓軸扭轉(zhuǎn)問題的載荷和變形都要復(fù)雜一些，因此理論分析必須包含三類條件。三類條件變形幾何關(guān)系物理關(guān)系

靜力關(guān)系理論分析與拉壓桿問題相比，圓軸扭轉(zhuǎn)問題的載荷和變形都要復(fù)雜一1.變形幾何關(guān)系橫截面周界上一點的切應(yīng)變距圓心為處一點的切應(yīng)變1.變形幾何關(guān)系橫截面周界上一點的切應(yīng)變距圓心為處一點變形幾何關(guān)系：——扭轉(zhuǎn)角沿軸線的變化率；

當外力一定時是一常量。上式表明:

橫截面上任意一點的切應(yīng)變與該點到圓心的距離成正比。距圓心相同的點切應(yīng)變相同，圓心處為零，在外表面達到最大值。變形幾何關(guān)系：——扭轉(zhuǎn)角沿軸線的變化率； 當外力一定時2.物理關(guān)系O說明：橫截面上任意一點的切應(yīng)力與它到圓心的距離

成正比，方向垂直于半徑，并與扭矩繞向一致。剪切胡克定律2.物理關(guān)系O說明：橫截面上任意一點的切應(yīng)力與它到圓心●切應(yīng)力的分布規(guī)律：①實心圓截面②空心圓截面TmaxminT●切應(yīng)力的分布規(guī)律：①實心圓截面②空心圓截面Tmaxmi切應(yīng)力互等定理T切應(yīng)力互等定理T3.靜力關(guān)系——極慣性矩基本變形公式TrdA3.靜力關(guān)系——極慣性矩基本變形公式TrdA●切應(yīng)力的計算式：——

扭轉(zhuǎn)截面模量(抗扭矩）①等直圓截面、圓環(huán)截面桿；②應(yīng)力不超過剪切比例極限。注意：公式的適用范圍T●切應(yīng)力的計算式：——扭轉(zhuǎn)截面模量(抗扭矩）①等直圓截面D空心圓截面OdrrDdrrOd

二、Ip和Wt的計算實心圓截面D空心圓截面OdrrDdrrOd二、Ip和Wt的計算實心圓

三、強度條件等直圓截面軸強度分析的三類問題：1.校核強度2.設(shè)計橫截面直徑3.計算許用扭矩階梯圓截面軸三、強度條件等直圓截面軸強度分析的三類問題：1.校核強度

四、圓軸扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象

低碳鋼:沿橫截面斷裂，由切應(yīng)力引起。

鑄鐵:沿與軸線成45°角左右的斜截面斷裂，由拉

應(yīng)力引起，因為此斜截面上有最大的拉應(yīng)力。MeMeMeMe四、圓軸扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象低碳鋼:沿橫截面斷裂，由切應(yīng)力引起?！?-5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件一、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形1.相對扭轉(zhuǎn)角jdjgD'TO1O2ababdxDAT

相距為dx的兩橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角為dj§8-5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件一、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形1.rMeMel

相距為l的兩端橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角j

：對于僅在兩端受外力偶矩作用的圓截面軸其中GIp—抗扭剛度。（rad）（°）或者rMeMel相距為l的兩端橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角j：●階梯軸AMe3Me1BCMe2求A、C兩橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角？注意：Ti要代入符號計算。●階梯軸AMe3Me1BCMe2求A、C兩橫截面的相對扭轉(zhuǎn)2.單位扭轉(zhuǎn)角′單位長度上的扭轉(zhuǎn)角。（rad/m)（°/m)或者2.單位扭轉(zhuǎn)角′單位長度上的扭轉(zhuǎn)角。（rad/m)二、剛度條件1.對于等直圓軸許可單位扭轉(zhuǎn)角，單位:/m2.對于階梯軸二、剛度條件1.對于等直圓軸許可單位扭轉(zhuǎn)角，單位:對于精密機械上的軸對于一般傳動軸0.5m2mABC思考AC軸是否滿足剛度要求？對于精密機械上的軸對于一般傳動軸0.5m2mABC思考AC軸一、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時的變形特征翹曲——桿橫截面外周線改變原來的形狀，且橫

截面將不再保持平面?！?-6矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)一、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時的變形特征翹曲——桿橫截面外周線改變原來自由扭轉(zhuǎn)—兩端受外力偶作用時，端面可以自由翹曲。

也稱為純扭轉(zhuǎn)。●非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)分類：

相鄰兩橫截面的翹曲程度完全相同，橫截面上只有切應(yīng)力而沒有正應(yīng)力。MeMe自由扭轉(zhuǎn)—兩端受外力偶作用時，端面可以自由翹曲。 約束轉(zhuǎn)動—端面有約束不能自由翹曲。相鄰兩橫截

面的翹曲程度不同，此時橫截面上有切

應(yīng)力，還有正應(yīng)力。MeMe非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)問題只能用彈性力學的方法求解。Me約束轉(zhuǎn)動—端面有約束不能自由翹曲。相鄰兩橫截 二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)矩形截面的切應(yīng)力分布圖：①橫截面上周邊各點處的切應(yīng)力方向必與周邊相切，且組成切應(yīng)力。②橫截面的四個角點和形心處切應(yīng)力等于零。③最大切應(yīng)力發(fā)生在長邊的中點，短邊中點處的切應(yīng)力

二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)矩形截面的切應(yīng)力分布圖：①橫截面上周例3.

如圖所示，一直徑為d的實心圓軸和另一外徑為內(nèi)徑2倍的空心圓軸（外徑為d1）受相同的扭矩T作用，為使兩根軸的最大切應(yīng)力相等，問空心圓軸截面的面積應(yīng)為實心圓軸截面面積的百分之多少？Tdd1d1/2T例3.如圖所示，一直徑為d的實心圓軸和另一外徑為1.實心圓軸的最大切應(yīng)力2.空心圓軸的最大切應(yīng)力解:Tdd1d1/2T1.實心圓軸的最大切應(yīng)力2.空心圓軸的最大切應(yīng)力解:Td欲使即解得空心圓軸截面面積兩圓軸截面面積之比

在同等扭轉(zhuǎn)強度的條件下，空心圓軸截面面積只有實心圓軸截面面積的78.18%，所以空心圓軸較為合理。欲使即解得空心圓軸截面面積兩圓軸截面面積之比例4.如圖所示，由兩種不同材料制成的套管組合圓軸受扭矩T作用。外套管的外半徑為r1，切變模量為G1，內(nèi)圓軸的半徑為r2，切變模量為G2，設(shè)兩層材料的界面緊密結(jié)合不會相對錯動，求兩種材料橫截面上的最大切應(yīng)力。lr1r2TT例4.如圖所示，由兩種不同材料制成的套管組合圓軸受扭矩T作用由靜力關(guān)系解:界面不發(fā)生錯動由軸的變形公式（a）（b）（c）（d）將(c)式代入(b)可得lr1r2TTT1T2由靜力關(guān)系解:界面不發(fā)生錯動由軸的變形公式（a）（b）（c）聯(lián)立求解(a)式和(d)式可得由最大切應(yīng)力公式有其中聯(lián)立求解(a)式和(d)式可得由最大切應(yīng)力公式有其中例5.如圖所示傳動軸，已知其轉(zhuǎn)速n=200r/min，主動輪2傳遞的功率為N2=80馬力，其余從動輪傳遞的功率分別為N1=25