等高模型(古柏優(yōu)講)課件

等高模型

1科學教育等高模型1科學教育

Part1.長方形Part1.長方形如圖：在一個大長方形中有五個小長方形，已知其中四個長方形的面積分別是4平方厘米、8平方厘米、9平方厘米和10平方厘米，求剩下的小長方形的面積。例題1如圖：在一個大長方形中有五個小長方形，已知其中四個長方形的面如圖：在一個大長方形中有五個小長方形，已知其中四個長方形的面積分別是4平方厘米、8平方厘米、9平方厘米和10平方厘米，求剩下的小長方形的面積。例題14cm210cm28cm29cm2ABCDEFG解：給各個頂點上標注字母，如右圖。因為長方形AEKI與長方形IKHD的一邊重合，S長方形IKHD=2S長方形AEKI所以：HK=2EK所以：S長方KFCH=2S長方形EBFK=2×10=20（cm2）S長方形OFCG=20-9=11cm2HIKO如圖：在一個大長方形中有五個小長方形，已知其中四個長方形的面如圖：已知一個大長方形中的三個小長方形的面積分別是5平方厘米、7平方厘米和10平方厘米，求剩下的小長方形的面積。練習1如圖：已知一個大長方形中的三個小長方形的面積分別是5平方厘如圖：已知一個大長方形中的三個小長方形的面積分別是5平方厘米、7平方厘米和10平方厘米，求剩下的小長方形的面積。練習15cm27cm210cm2ABCDEFHIK解：給各個頂點上標注字母，如右圖。因為長方形AEKI與長方形IKHD的一邊重合所以S長方形IKHD=2S長方形AEKI

HK=2EK

即：S長方形KFCH=2S長方形EBFK=2×7=14（cm2）

如圖：已知一個大長方形中的三個小長方形的面積分別是5平方厘

Part2.三角形Part2.三角形等高三角形三角形高不變，底越大，則三角形面積越大等高三角形三角形高不變，底越大，則三角形面積越大等高三角形高不變，底變?yōu)樵瓉淼?倍2cm2cm2cm4cmS=2×2÷2=2（平方厘米）S=4×2÷2=4（平方厘米）兩個三角形高相等面積的倍數(shù)關系=底的倍數(shù)關系等高三角形高不變，底變?yōu)樵瓉淼?倍2cm2cm2cm4cmS平行線間三角形一組平行線間，同底的三角形面積相等haS=a×h÷2

一組平行線間的三角形等高。平行線間三角形一組平行線間，同底的三角形面積相等haS=a×如圖：已知△ABC的面積是20平方厘米，△ABD的邊BD的長為3厘米，△ADC的邊CD的長是2厘米，求△ABD的面積。例題2如圖：已知△ABC的面積是20平方厘米，△ABD的邊B如圖：已知△ABC的面積是20平方厘米，△ABD的邊BD的長為3厘米，△ADC的邊CD的長是2厘米，求△ABD的面積。例題2解：因為BC、BD在同一條直線上，頂點重合所以△ADC、△ABD等高3÷2=1.5BD=1.5DC因為△ABC的面積是20平方厘米所以△ABD的面積：

20÷（1.5+1）×1.5=12（平方厘米）如圖：已知△ABC的面積是20平方厘米，△ABD的邊B如圖：已知在△ABC中，BD的長是3厘米，CD的長是6厘米，且△ABD的面積是9平方厘米，求△ACD的面積。練習2如圖：已知在△ABC中，BD的長是3厘米，CD的長是如圖：已知在△ABC中，BD的長是3厘米，CD的長是6厘米，且△ABD的面積是9平方厘米，求△ACD的面積。練習2解：因為BD、CD在同一條直線上，△ABD、△ACD頂點重合，所以△ABD、△ACD等高。

6÷3=2DC=2BD所以S△ACD=2S△ABD=2×9=18（平方厘米）如圖：已知在△ABC中，BD的長是3厘米，CD的長是如圖：△ABC的面積是12平方厘米，其中AE=3AB，BD=2BC，則△BDE的面積是多少平方厘米？例題3如圖：△ABC的面積是12平方厘米，其中AE=3AB，如圖：△ABC的面積是12平方厘米，其中AE=3AB，BD=2BC，則△BDE的面積是多少平方厘米？例題3解：連接AD因為△ACD、△ABC等底，BD=2BC

BC=CD，所以S△ABC=S△ACD=12（cm2）

因為△BDE、△ABD等高，且AE=3AB

BE=2AB，所以

S△BDE=2S△ABD=2×(12+12)=48（cm2）如圖：△ABC的面積是12平方厘米，其中AE=3AB，如圖：已知△ABC的面積是60平方厘米，點D是邊BC的中點，AD=3AE，求△ABE的面積。練習3如圖：已知△ABC的面積是60平方厘米，點D是邊BC解：S△ABE=1（份）因為AE、AD在一條直線上，△ABD、△ABE的頂點重合所以△EBD、△ABE等高，AD=3AE

DE=2AE，所以S△EBD=2S△ABE=1×2=2（份）因為BD、BC在一條直線上，△ABD、△ABC的頂點重合，所以△ABD、△ADC等高又因為D是邊BC的中點，BD=DC所以S△ABD:S△ADC=1+2=3（份） 1+2+3=6（份）所以△ABE的面積：60÷6=10（cm2）練習3解：S△ABE=1（份）練習3如圖：已知△ABC的面積是120平方厘米，點D是邊BC的中點，AD=3AE，BE=2BF。△AEF的面積是多少平方厘米？例題4如圖：已知△ABC的面積是120平方厘米，點D是邊B如圖：已知△ABC的面積是120平方厘米，點D是邊BC的中點，AD=3AE，BE=2BF?！鰽EF的面積是多少平方厘米？例題4解：S△AEF=1（份）

△ABF、△AFE等高，BE=2BF

BF=EF，所以S△AFE=S△ABF=1（份）△BED、△ABE等高，AD=3AEDE=2AE，所以S△EBD=2S△ABE=2×(1+1)=4（份）△ABD、△ADC等高，D是邊BC的中點

BD=DC，所以S△ABD=S△ADC=1+1+4=6（份）

1+1+4+6=12（份）120÷12=10（cm2）

△AEF的面積是10平方厘米。如圖：已知△ABC的面積是120平方厘米，點D是邊B如圖：在△ABC中，點D、E、F分別是BC、AC、DE的中點，△ABC的面積是1000平方厘米，那么陰影部分的面積是多少平方厘米？練習4如圖：在△ABC中，點D、E、F分別是BC、AC、DE如圖：在△ABC中，點D、E、F分別是BC、AC、DE的中點，△ABC的面積是1000平方厘米，那么陰影部分的面積是多少平方厘米？練習4解：S△ADF=1（份）△ADF、△AEF等高，點F是邊ED的中點

DF=EF，所以S△ADF=S△AEF=1（份）△ACD、△CDE等高，點E是邊AC的中點

AE=EC，所以S△CDE=S△AED=1+1=2（份）△ABD、△ACD等高，點D是邊BC的中點

BD=CD，所以S△ABD=S△ADC=1+1+2=4（份）

1+1+2+4=8（份）1000÷8=125（cm2）如圖：在△ABC中，點D、E、F分別是BC、AC、DE如圖：已知在△AEF中，點C是邊AE的中點，點B、D是邊AF的三等分點，△EDF的面積是50平方厘米，求△ABC的面積。例題5如圖：已知在△AEF中，點C是邊AE的中點，點B、D如圖：已知在△AEF中，點C是邊AE的中點，點B、D是邊AF的三等分點，△EDF的面積是50平方厘米，求△ABC的面積。例題5解：S△ACB=1（份）

△ABC、△BDC等高，因為點B、D是邊AF的三等分點，AB=BD=DF。所以S△DBC=S△ABC=1（份）

△ADC、△EDC等高，點C是邊AE的中點

AC=CE，S△EDC=S△ADC=1+1=2（份）

△ADE、△DEF等高，2AD=DF。

S△DEF=S△ADE÷2=（1+1+2）÷2=2（份）

50÷2=25（平方厘米）

△ABC的面積為25平方厘米。如圖：已知在△AEF中，點C是邊AE的中點，點B、D如圖：已知在△AEF中，點D是邊AF的中點，點C是邊AE的中點，點B是邊AD的中點，△ABC的面積是2平方厘米，求△AEF的面積。練習5如圖：已知在△AEF中，點D是邊AF的中點，點C是邊如圖：已知在△AEF中，點D是邊AF的中點，點C是邊AE的中點，點B是邊AD的中點，△ABC的面積是2平方厘米，求△AEF的面積。練習5解：1+1+2+4=8（份）8×2=16（平方厘米）如圖：已知在△AEF中，點D是邊AF的中點，點C是邊

Part3.綜合題目Part3.綜合題目如圖：已知長方形ABCD的面積是30平方厘米，△CDE的面積是10平方厘米，對角線AC的長是9厘米，求AE的長。例題6如圖：已知長方形ABCD的面積是30平方厘米，△CDE如圖：已知長方形ABCD的面積是30平方厘米，△CDE的面積是10平方厘米，對角線AC的長是9厘米，求AE的長。例題6解：由一半模型可得：

S△ACD=30÷2=15（平方厘米）

S△AED=15-10=5（平方厘米）△AED、△CDE等高

S△CDE=2S△ACD

CE=2AE所以AE=9÷(1+2)=3（厘米）如圖：已知長方形ABCD的面積是30平方厘米，△CDE如圖：已知長方形ABCD的面積是20平方厘米，△ADE的面積是2平方厘米，邊BC的長是4厘米，求EC的長。練習6如圖：已知長方形ABCD的面積是20平方厘米，△ADE如圖：已知長方形ABCD的面積是20平方厘米，△ADE的面積是2平方厘米，邊BC的長是4厘米，求EC的長。練習6解：因為長方形ABCD的面積是20平方厘米，邊BC的長是4厘米所以CD=20÷4=5（厘米）由一半模型可得：

S△ACD=20÷2=10（平方厘米）

S△AEC=10-2=8（平方厘米）△AED、△ACE等高

S△ACE=4S△ADE所以CE=4DE

所以DE=5÷(4+1)=1（厘米）所以EC=5-1=4（厘米）如圖：已知長方形ABCD的面積是20平方厘米，△ADE總結三角形底相等，面積的倍數(shù)關系等于高的倍數(shù)關系三角形高相等，面積的倍數(shù)關系等于底的倍數(shù)關系一組平行線間，等底的三角形面積相等借助輔助線構造等高模型總結三角形底相等，面積的倍數(shù)關系等于高的倍數(shù)關系謝謝!謝謝!等高模型

34科學教育等高模型1科學教育

Part1.長方形Part1.長方形如圖：在一個大長方形中有五個小長方形，已知其中四個長方形的面積分別是4平方厘米、8平方厘米、9平方厘米和10平方厘米，求剩下的小長方形的面積。例題1如圖：在一個大長方形中有五個小長方形，已知其中四個長方形的面如圖：在一個大長方形中有五個小長方形，已知其中四個長方形的面積分別是4平方厘米、8平方厘米、9平方厘米和10平方厘米，求剩下的小長方形的面積。例題14cm210cm28cm29cm2ABCDEFG解：給各個頂點上標注字母，如右圖。因為長方形AEKI與長方形IKHD的一邊重合，S長方形IKHD=2S長方形AEKI所以：HK=2EK所以：S長方KFCH=2S長方形EBFK=2×10=20（cm2）S長方形OFCG=20-9=11cm2HIKO如圖：在一個大長方形中有五個小長方形，已知其中四個長方形的面如圖：已知一個大長方形中的三個小長方形的面積分別是5平方厘米、7平方厘米和10平方厘米，求剩下的小長方形的面積。練習1如圖：已知一個大長方形中的三個小長方形的面積分別是5平方厘如圖：已知一個大長方形中的三個小長方形的面積分別是5平方厘米、7平方厘米和10平方厘米，求剩下的小長方形的面積。練習15cm27cm210cm2ABCDEFHIK解：給各個頂點上標注字母，如右圖。因為長方形AEKI與長方形IKHD的一邊重合所以S長方形IKHD=2S長方形AEKI

HK=2EK

即：S長方形KFCH=2S長方形EBFK=2×7=14（cm2）

如圖：已知一個大長方形中的三個小長方形的面積分別是5平方厘

Part2.三角形Part2.三角形等高三角形三角形高不變，底越大，則三角形面積越大等高三角形三角形高不變，底越大，則三角形面積越大等高三角形高不變，底變?yōu)樵瓉淼?倍2cm2cm2cm4cmS=2×2÷2=2（平方厘米）S=4×2÷2=4（平方厘米）兩個三角形高相等面積的倍數(shù)關系=底的倍數(shù)關系等高三角形高不變，底變?yōu)樵瓉淼?倍2cm2cm2cm4cmS平行線間三角形一組平行線間，同底的三角形面積相等haS=a×h÷2

一組平行線間的三角形等高。平行線間三角形一組平行線間，同底的三角形面積相等haS=a×如圖：已知△ABC的面積是20平方厘米，△ABD的邊BD的長為3厘米，△ADC的邊CD的長是2厘米，求△ABD的面積。例題2如圖：已知△ABC的面積是20平方厘米，△ABD的邊B如圖：已知△ABC的面積是20平方厘米，△ABD的邊BD的長為3厘米，△ADC的邊CD的長是2厘米，求△ABD的面積。例題2解：因為BC、BD在同一條直線上，頂點重合所以△ADC、△ABD等高3÷2=1.5BD=1.5DC因為△ABC的面積是20平方厘米所以△ABD的面積：

20÷（1.5+1）×1.5=12（平方厘米）如圖：已知△ABC的面積是20平方厘米，△ABD的邊B如圖：已知在△ABC中，BD的長是3厘米，CD的長是6厘米，且△ABD的面積是9平方厘米，求△ACD的面積。練習2如圖：已知在△ABC中，BD的長是3厘米，CD的長是如圖：已知在△ABC中，BD的長是3厘米，CD的長是6厘米，且△ABD的面積是9平方厘米，求△ACD的面積。練習2解：因為BD、CD在同一條直線上，△ABD、△ACD頂點重合，所以△ABD、△ACD等高。

6÷3=2DC=2BD所以S△ACD=2S△ABD=2×9=18（平方厘米）如圖：已知在△ABC中，BD的長是3厘米，CD的長是如圖：△ABC的面積是12平方厘米，其中AE=3AB，BD=2BC，則△BDE的面積是多少平方厘米？例題3如圖：△ABC的面積是12平方厘米，其中AE=3AB，如圖：△ABC的面積是12平方厘米，其中AE=3AB，BD=2BC，則△BDE的面積是多少平方厘米？例題3解：連接AD因為△ACD、△ABC等底，BD=2BC

BC=CD，所以S△ABC=S△ACD=12（cm2）

因為△BDE、△ABD等高，且AE=3AB

BE=2AB，所以

S△BDE=2S△ABD=2×(12+12)=48（cm2）如圖：△ABC的面積是12平方厘米，其中AE=3AB，如圖：已知△ABC的面積是60平方厘米，點D是邊BC的中點，AD=3AE，求△ABE的面積。練習3如圖：已知△ABC的面積是60平方厘米，點D是邊BC解：S△ABE=1（份）因為AE、AD在一條直線上，△ABD、△ABE的頂點重合所以△EBD、△ABE等高，AD=3AE

DE=2AE，所以S△EBD=2S△ABE=1×2=2（份）因為BD、BC在一條直線上，△ABD、△ABC的頂點重合，所以△ABD、△ADC等高又因為D是邊BC的中點，BD=DC所以S△ABD:S△ADC=1+2=3（份） 1+2+3=6（份）所以△ABE的面積：60÷6=10（cm2）練習3解：S△ABE=1（份）練習3如圖：已知△ABC的面積是120平方厘米，點D是邊BC的中點，AD=3AE，BE=2BF?！鰽EF的面積是多少平方厘米？例題4如圖：已知△ABC的面積是120平方厘米，點D是邊B如圖：已知△ABC的面積是120平方厘米，點D是邊BC的中點，AD=3AE，BE=2BF。△AEF的面積是多少平方厘米？例題4解：S△AEF=1（份）

△ABF、△AFE等高，BE=2BF

BF=EF，所以S△AFE=S△ABF=1（份）△BED、△ABE等高，AD=3AEDE=2AE，所以S△EBD=2S△ABE=2×(1+1)=4（份）△ABD、△ADC等高，D是邊BC的中點

BD=DC，所以S△ABD=S△ADC=1+1+4=6（份）

1+1+4+6=12（份）120÷12=10（cm2）

△AEF的面積是10平方厘米。如圖：已知△ABC的面積是120平方厘米，點D是邊B如圖：在△ABC中，點D、E、F分別是BC、AC、DE的中點，△ABC的面積是1000平方厘米，那么陰影部分的面積是多少平方厘米？練習4如圖：在△ABC中，點D、E、F分別是BC、AC、DE如圖：在△ABC中，點D、E、F分別是BC、AC、DE的中點，△ABC的面積是1000平方厘米，那么陰影部分的面積是多少平方厘米？練習4解：S△ADF=1（份）△ADF、△AEF等高，點F是邊ED的中點

DF=EF，所以S△ADF=S△AEF=1（份）△ACD、△CDE等高，點E是邊AC的中點

AE=EC，所以S△CDE=S△AED=1+1=2（份）△ABD、△ACD等高，點D是邊BC的中點

BD=CD，所以S△ABD=S△ADC=1+1+2=4（份）

1+1+2+4=8（份）1000÷8=125（cm2）如圖：在△ABC中，點D、E、F分別是BC、AC、DE如圖：已知在△AEF中，點C是邊AE的中點，點B、D是邊AF的三等分點，△EDF的面積是50平方厘米，求△ABC的面積。例題5如圖：已知在△AEF中，點C是邊AE的中點，點B、D如圖：已知在△AEF中，點C是邊AE的中點，點B、D是邊AF的三等分點，△EDF的面積是50平方厘米，求△ABC的面積。例題5解：S△ACB=1（份）

△ABC、△BDC等高，因為點B、D是邊AF的三等分點，AB=BD=DF。所以S△DBC=S△ABC=1（份）

△ADC、△EDC等高，點C是邊AE的中點

AC=CE，S△EDC=S△ADC=1+1=2（份）

△ADE、△DEF等高，2AD=DF。

S△DEF=S△ADE÷2=（1+1+2）÷2=2（份）

50÷2=25（平方厘米）

△ABC的面積為25平方厘米。如圖：已知在△AEF中，點C是邊AE的中點，點B、D如圖：已知在△AEF中，點D是邊AF的中點，點C是邊AE的中點，點B是邊AD的中點，△ABC的面積是2平方厘米，求△AEF的面積。練習5如圖：已知在△AEF中，點D是邊AF的中點，點C是邊如圖：已知在△AEF中，點D是邊AF