寧夏青銅峽市寧朔中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

第17頁/共17頁青銅峽市寧朔中學(xué)2022-2023學(xué)年第一學(xué)期高三年級數(shù)學(xué)（理）期中試卷一、選擇題（本大題共12道小題，每小題5分，共60分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式化簡集合，再求交集即可.詳解】由解得，故.又，所以.故選：C.2.設(shè)，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】解不等式得到或，根據(jù)范圍的大小關(guān)系得到答案.【詳解】，即，故或，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.已知向量，，且，則（）A.-4 B.4 C.-6 D.6【答案】C【解析】【分析】利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示，列式計算作答.【詳解】因向量，，且，則，得，所以.故選：C4.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性和中間值比較大小【詳解】因為，所以故選：A5.在中，內(nèi)角的對邊分別為a，b，c，已知，則角（）A.或 B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理即可求出.【詳解】由正弦定理可得，則，，，.故選：D.6.將函數(shù)的圖象向左平移后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律可得答案.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為.故選：B7.在數(shù)列中，若，，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】通過遞推公式求出可得數(shù)列是周期數(shù)列，根據(jù)周期即得.【詳解】由題可得，，，則數(shù)列周期數(shù)列，滿足，，.故選：A.8.等于A. B.2 C.-2 D.+2【答案】D【解析】【詳解】∵.故選D9.已知在R上是奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則A.-2 B.2 C.-98 D.98【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可知函數(shù)的周期為，即可利用周期性和奇偶性將轉(zhuǎn)化為，即可求出．【詳解】∵，∴是以4為周期的周期函數(shù)，由于為奇函數(shù)，∴，而，即故選：A．【點睛】本題主要考查函數(shù)周期性和奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10.函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可排除AC，再由當(dāng)時，，排除D，即可得解.【詳解】設(shè)，則函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除AC；當(dāng)時，，所以，排除D.故選：B.11.已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（）A.14 B.12 C.6 D.3【答案】D【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項即可得解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.12.若是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分類討論，當(dāng)和時，導(dǎo)函數(shù)都小于等于0，可求出a的范圍，再由函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，解出a的范圍，然后取交集即可．【詳解】由題意，當(dāng)時，，則在恒成立，則；當(dāng)時，，則在恒成立，即在恒成立，解得；且，解得，即，故，解得，故選D.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了學(xué)生邏輯推理能力與計算求解能力，屬于中檔題．二、填空題（本大題共4道小題，每小題5分，共20分）13.記為數(shù)列的前項和，若，則_____________．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題中所給的，類比著寫出，兩式相減，整理得到，從而確定出數(shù)列為等比數(shù)列，再令，結(jié)合的關(guān)系，求得，之后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求得的值.【詳解】根據(jù)，可得，兩式相減得，即，當(dāng)時，，解得，所以數(shù)列是以-1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以，故答案是.點睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的求和問題，在求解的過程中，需要先利用題中的條件，類比著往后寫一個式子，之后兩式相減，得到相鄰兩項之間的關(guān)系，從而確定出該數(shù)列是等比數(shù)列，之后令，求得數(shù)列的首項，最后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求解即可，只要明確對既有項又有和的式子的變形方向即可得結(jié)果.14.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是_____________．【答案】【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)非負，列出不等式，轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】解：由題意得：由函數(shù)可知：函數(shù)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，可轉(zhuǎn)化為在上恒成立.于是可知對于二次函數(shù)只要解得：故答案為：15.在四邊形中，，，，，點在線段的延長線上，且，則__________.【答案】.【解析】【分析】建立坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運算分別寫出向量而求解．【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，．因為∥，，所以，因為，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為．由得，，所以．所以．【點睛】平面向量問題有兩大類解法：基向量法和坐標(biāo)法，在便于建立坐標(biāo)系的問題中使用坐標(biāo)方法更為方便．16.設(shè)函數(shù)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結(jié)論：①在有且僅有3個極大值點②在有且僅有2個極小值點③在單調(diào)遞增④的取值范圍是其中所有正確結(jié)論的編號是______.【答案】①③④【解析】【分析】對①②可以通過作圖判別，對于④令，根據(jù)題意得到不等式，解出范圍即可，對于③證明出當(dāng)時,即可.【詳解】已知在有且僅有5個零點，如圖，其圖象的右端點的橫坐標(biāo)在上,此時在有且僅有3個極大值點,但在可能有2或3個極小值點,所以①正確,②不正確;令,且,在上有且僅有5個零點,在上有且僅有5個零點,,故④正確.當(dāng)時,,又,,在上單調(diào)遞增.在上單調(diào)遞增,故③正確.故答案為：①③④【點睛】關(guān)鍵點睛：令,利用整體思想將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為來研究.(2)當(dāng)時,的圖象可由的圖象經(jīng)過平移、伸縮變換得到,的增、減區(qū)間可通過討論的增、減區(qū)間得到.三、解答題（本大題共6道小題，共70分）17.已知曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)：，：，若，與曲線相交于異于原點的兩點，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)首先將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，然后代入可得極坐標(biāo)方程；(2)聯(lián)立直線，與圓的極坐標(biāo)方程得到，，結(jié)合三角形面積公式可得的面積.【小問1詳解】將曲線的參數(shù)方程消去得到曲線的普通方程為，將代入上式得：；【小問2詳解】由，解得，，解得，.18.已知函數(shù)，.（1）求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）；（2）在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換可得，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即得；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件即得.【小問1詳解】∵，∴；【小問2詳解】∵，∴，所以當(dāng)時，即時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，即時，單調(diào)遞增，故在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.19.已知等差數(shù)列的前項和為，且關(guān)于的不等式的解集為.（1）求數(shù)列通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，不等式的解集為可得到的根為，利用韋達定理可得到，，結(jié)合即可得到答案；（2）利用第（1）問可得，利用分組求和法和等差等比的求和公式即可得到答案【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為關(guān)于的不等式的解集為，所以的根為，所以，所以，，又，所以所以數(shù)列的通項公式為；【小問2詳解】由（1）可得，因為，所以，所以數(shù)列的前項和20.設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，且，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【詳解】（Ⅰ）因為，所以分別代入得解得（Ⅱ）由得，因為所以所以【考點定位】本題考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查了方程思想和運算能力.由求的過程中體現(xiàn)了整體代換的運算技巧，而求的過程則體現(xiàn)了“通性通法”的常規(guī)考查.21.已知.（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若時不等式成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）方法一：將代入函數(shù)解析式，求得，利用零點分段法將解析式化為，分類討論即可求得不等式的解集；（2）方法一：根據(jù)題中所給的，其中一個絕對值符號可以去掉，不等式可以化為時，分情況討論即可求得結(jié)果.【詳解】（1）［方法一］：【通性通法】零點分段法當(dāng)時，，即，所以不等式等價于或或，解得：．故不等式的解集為．［方法二］：【最優(yōu)解】數(shù)形結(jié)合法如圖，當(dāng)時，不等式即為．由絕對值的幾何意義可知，表示x軸上的點到對應(yīng)的點的距離減去到1對應(yīng)點的距離．結(jié)合數(shù)軸可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，．故不等式的解集為．（2）［方法一］：【通性通法】分類討論當(dāng)時，成立等價于當(dāng)時，成立．若，則當(dāng)時，；若，由得，，解得：，所以，故．綜上，的取值范圍為．［方法二］：平方法當(dāng)時，不等式成立，等價于時，成立，即成立，整理得．當(dāng)時，不等式不成立；當(dāng)時，，不等式解集為空集；當(dāng)時，原不等式等價于，解得．由，解得．故a的取值范圍為．［方法三］：【最優(yōu)解】分離參數(shù)法當(dāng)時，不等式成立，等價于時，成立，即，解得：，而，所以．故a的取值范圍為．【整體點評】（1）方法一：利用零點分段法是解決含有兩個以及以上絕對值不等式的常用解法，是通性通法；方法二：利用絕對值的幾何意義解決特殊類型的絕對值不等式，直觀簡潔，是該題的最優(yōu)解．（2）方法一：分類討論解出絕對值不等式，利用是不等式解集的子集求出，是通性通法；方法二：本題將絕對值不等式平方，轉(zhuǎn)化為解含參的不等式，利用是不等式解集的子集求出，雖可解出，但是增加了題目的難度；方法三：利用分離參數(shù)，將不等式問題轉(zhuǎn)化為恒成立最值問題，思想簡單常見，是該題的最優(yōu)解．22已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見解析

（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得到，考慮和兩種情況，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.（2）題目轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到函數(shù)的