第10章第2節(jié)無界函數(shù)的反常積分課件

本節(jié)討論把定積分概念在另一個方面進行拓廣,即假定積分區(qū)間仍為有限,但被積函數(shù)在區(qū)間上是無界的.這種情況下的積分稱為無界函數(shù)的反常積分(瑕積分).引言12/1/20221本節(jié)討論把定積分概念在另一個方面進行拓廣,一、無界函數(shù)的廣義積分概念二、無界函數(shù)的廣義積分性質(zhì)三、無界函數(shù)的廣義積分收斂判別法四、無界函數(shù)的廣義積分主值主要內(nèi)容12/1/20222一、無界函數(shù)的廣義積分概念二、無界函數(shù)的廣義積分性質(zhì)三、無界1.定義:

設函數(shù)

f(x)在區(qū)間(a,b]上連續(xù),存在,則稱此極限為函數(shù)

f(x)在(a,b]上的廣義積分.

這時也稱廣義積分

收斂.

一.無界函數(shù)反常積分(瑕積分)的概念注意區(qū)間左端點而在點a的右鄰域內(nèi)無界,

取>0.如果極限如果上述極限不存在,就稱廣義積分發(fā)散.12/1/202231.定義:設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b]上連續(xù),存2.定義:

設函數(shù)

f(x)在區(qū)間

上連續(xù),存在,則稱此極限為函數(shù)

f(x)在

上的廣義積分.

以上定義中的a，b稱為函數(shù)的奇點或瑕點.注意區(qū)間右端點而在點

b的左鄰域內(nèi)無界,取>0.如果極限（即函數(shù)在區(qū)間上的不連續(xù)點）12/1/202242.定義:設函數(shù)f(x)在區(qū)間

若在內(nèi)部有一個奇點c，a<c<b,3.定義:奇點在區(qū)間內(nèi)部則收斂,且有且都收斂,12/1/20225若在例1:解:12/1/20226例1:解:12/1/20226所以12/1/20227所以12/1/20227例2：解：12/1/20228例2：解：12/1/20228二.無界函數(shù)反常積分(瑕積分)的性質(zhì)和無窮積分相仿，瑕積分也有定積分具有的性質(zhì),包括分部積分法和換元法對于瑕積分也成立.瑕積分同樣可以引進絕對收斂和條件收斂的概念，并且也有：絕對收斂必收斂，但反之未必.12/1/20229二.無界函數(shù)反常積分(瑕積分)的性質(zhì)和無性質(zhì)１12/1/202210性質(zhì)１12/1/202210性質(zhì)2（瑕積分）（定積分）12/1/202211性質(zhì)2（瑕積分）（定積分）12/1/202211性質(zhì)３12/1/202212性質(zhì)３12/1/202212注:性質(zhì)３說明絕對收斂的積分自身一定收斂．我們稱收斂而不絕對收斂的積分為條件收斂．（這里的結(jié)論與級數(shù)中有關結(jié)論相似注意比較）但自身收斂的積分不一定絕對收斂．12/1/202213注:性質(zhì)３說明絕對收斂的積分自身一定收斂．性質(zhì)4(柯西收斂原理)等價敘述為：12/1/202214性質(zhì)4(柯西收斂原理)等價敘述為：12/1/202214柯西判別法極限形式這里關鍵是記清楚條件中的p、k關系問題.12/1/202215柯西判別法極限形式這里關鍵是記清楚條件中的p、k關系問題.1無窮積分與瑕積分的聯(lián)系：瑕積分無窮積分兩種積分的關系通過上述等式就聯(lián)系起來了.12/1/202216無窮積分與瑕積分的聯(lián)系：瑕積分無窮積分兩種積分的關系通過上述例3：解：12/1/202217例3：解：12/1/202217所以,x=a為被積函數(shù)的無窮間斷點.

于是:oyx

a-

加12/1/202218所以,x=a為被積函數(shù)的無窮間斷點.于是:oyxa-由于解：加作業(yè):P701、2（1、3、5、7）12/1/202219由于解：加作業(yè):P701、2（1、3、5、7）1三.瑕積分收斂的判別法*1.阿貝爾判別法（記清條件和結(jié)論會用）12/1/202220三.瑕積分收斂的判別法*1.阿貝爾判別法（記清條件和結(jié)論*2.狄利克雷判別法（記清條件和結(jié)論會用）12/1/202221*2.狄利克雷判別法（記清條件和結(jié)論會用）12/1/2022解根據(jù)比較判別法,加12/1/202222解根據(jù)比較判別法,加12/1/202222解由洛必達法則知根據(jù)柯西判別法極限形式,所給廣義積分發(fā)散.

a=1這里k=1，p=1加12/1/202223解由洛必達法則知根據(jù)柯西判別法極限形式,所給廣義積分發(fā)散.四.廣義積分（無窮積分.瑕積分)的主值1.瑕積分的柯西主值:12/1/202224四.廣義積分（無窮積分.瑕積分)的主值1.瑕積分的柯西主2.無窮積分的柯西主值:例6：解：作業(yè):P714（2、4、5）6（1、2）12/1/2022252.無窮積分的柯西主值:例6：解：作業(yè):P71特點:1.積分區(qū)間為無窮;12/1/202226特點:1.積分區(qū)間為無窮;12/1/20222612/1/20222712/1/202227－函數(shù)的幾個重要性質(zhì)：12/1/202228－函數(shù)的幾個重要性質(zhì)：12/1/202228小結(jié)一.瑕積分的性質(zhì)二.暇積分收斂的判別法１.柯西準則２.比較原則３.柯西判別法４.狄利克雷判別法５.阿貝爾判別法作業(yè)P70:

12/1/202229小結(jié)一.瑕積分的性質(zhì)二.暇積分收斂的判別法１.柯西準

本節(jié)討論把定積分概念在另一個方面進行拓廣,即假定積分區(qū)間仍為有限,但被積函數(shù)在區(qū)間上是無界的.這種情況下的積分稱為無界函數(shù)的反常積分(瑕積分).引言12/1/202230本節(jié)討論把定積分概念在另一個方面進行拓廣,一、無界函數(shù)的廣義積分概念二、無界函數(shù)的廣義積分性質(zhì)三、無界函數(shù)的廣義積分收斂判別法四、無界函數(shù)的廣義積分主值主要內(nèi)容12/1/202231一、無界函數(shù)的廣義積分概念二、無界函數(shù)的廣義積分性質(zhì)三、無界1.定義:

設函數(shù)

f(x)在區(qū)間(a,b]上連續(xù),存在,則稱此極限為函數(shù)

f(x)在(a,b]上的廣義積分.

這時也稱廣義積分

收斂.

一.無界函數(shù)反常積分(瑕積分)的概念注意區(qū)間左端點而在點a的右鄰域內(nèi)無界,

取>0.如果極限如果上述極限不存在,就稱廣義積分發(fā)散.12/1/2022321.定義:設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b]上連續(xù),存2.定義:

設函數(shù)

f(x)在區(qū)間

上連續(xù),存在,則稱此極限為函數(shù)

f(x)在

上的廣義積分.

以上定義中的a，b稱為函數(shù)的奇點或瑕點.注意區(qū)間右端點而在點

b的左鄰域內(nèi)無界,取>0.如果極限（即函數(shù)在區(qū)間上的不連續(xù)點）12/1/2022332.定義:設函數(shù)f(x)在區(qū)間

若在內(nèi)部有一個奇點c，a<c<b,3.定義:奇點在區(qū)間內(nèi)部則收斂,且有且都收斂,12/1/202234若在例1:解:12/1/202235例1:解:12/1/20226所以12/1/202236所以12/1/20227例2：解：12/1/202237例2：解：12/1/20228二.無界函數(shù)反常積分(瑕積分)的性質(zhì)和無窮積分相仿，瑕積分也有定積分具有的性質(zhì),包括分部積分法和換元法對于瑕積分也成立.瑕積分同樣可以引進絕對收斂和條件收斂的概念，并且也有：絕對收斂必收斂，但反之未必.12/1/202238二.無界函數(shù)反常積分(瑕積分)的性質(zhì)和無性質(zhì)１12/1/202239性質(zhì)１12/1/202210性質(zhì)2（瑕積分）（定積分）12/1/202240性質(zhì)2（瑕積分）（定積分）12/1/202211性質(zhì)３12/1/202241性質(zhì)３12/1/202212注:性質(zhì)３說明絕對收斂的積分自身一定收斂．我們稱收斂而不絕對收斂的積分為條件收斂．（這里的結(jié)論與級數(shù)中有關結(jié)論相似注意比較）但自身收斂的積分不一定絕對收斂．12/1/202242注:性質(zhì)３說明絕對收斂的積分自身一定收斂．性質(zhì)4(柯西收斂原理)等價敘述為：12/1/202243性質(zhì)4(柯西收斂原理)等價敘述為：12/1/202214柯西判別法極限形式這里關鍵是記清楚條件中的p、k關系問題.12/1/202244柯西判別法極限形式這里關鍵是記清楚條件中的p、k關系問題.1無窮積分與瑕積分的聯(lián)系：瑕積分無窮積分兩種積分的關系通過上述等式就聯(lián)系起來了.12/1/202245無窮積分與瑕積分的聯(lián)系：瑕積分無窮積分兩種積分的關系通過上述例3：解：12/1/202246例3：解：12/1/202217所以,x=a為被積函數(shù)的無窮間斷點.

于是:oyx

a-

加12/1/202247所以,x=a為被積函數(shù)的無窮間斷點.于是:oyxa-由于解：加作業(yè):P701、2（1、3、5、7）12/1/202248由于解：加作業(yè):P701、2（1、3、5、7）1三.瑕積分收斂的判別法*1.阿貝爾判別法（記清條件和結(jié)論會用）12/1/202249三.瑕積分收斂的判別法*1.阿貝爾判別法（記清條件和結(jié)論*2.狄利克雷判別法（記清條件和結(jié)論會用）12/1/202250*2.狄利克雷判別法（記清條件和結(jié)論會用）12/1/2022解根據(jù)比較判別法,加12/1/202251解根據(jù)比較判別法,加12/1/202222解由洛必達法則知根據(jù)柯西判別法極限形式,所給廣義積分發(fā)散.

a=1這里k=1，p=1加12/1/202252解由洛必達法則知根據(jù)柯西判別法極限形式,所給廣義積分發(fā)散.四.廣義積分（無窮積分.瑕積分)的主值1.瑕積分的柯西主值:12/1/202253四.廣義積分（無窮積分.瑕積分)的主值1.瑕積分的柯西主2.無窮積分的柯西主值:例6：解：作業(yè):P714（2、4、5）6（1、2）12/1/2022542.無窮積分的柯西主值:例6：解：