微積分上-課件2-1數(shù)列極限中其他一些重要概念如微分、積

極限與連第2極限與連RR在微積分中,極限是一個重要的概念,分、級數(shù)等等都是建立在極限概念的基上的.因此,有關極限的概念、理論與方法,自然成為微積分學的理論基石,本章將討論計算方法并在此基礎上討論函數(shù)的連續(xù)性.2 數(shù)列的極極限概念的引入數(shù)列的概念數(shù)列極限的概念收斂數(shù)列的性質小結考題第2第21、割圓術體而無所失矣— 正六邊形的面積 正十二邊形的面積 正62n1形的面

A2

A3

An 2、截丈問題“一尺之棰，日截其半，萬世不竭X1

12第二天截下的杖長總和為X

11 22 第n天截下的杖長總和為Xn

1

12n1Xn12n 1定義:按自然數(shù)

依次排列的一x1

x2,,

xn

稱為無窮數(shù)列,簡稱數(shù)列.其中的每個數(shù)稱為數(shù),xn1{xn}.例 2,4,8,,2n

{2n1,2

,1,,

{12n1,1,1,,(1)n1 {(1)n12,12

4,,n3

(1)n1n

{n

(1)n1}n3333333注意1數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列.可看作動點在數(shù)軸上依

x1

x2

xn,.x3

x2 x4 xn2.數(shù)列是整標函

xn

f(n).觀察數(shù)列{1

nn

時的變化趨勢問題:

n無限增大時

xn是否無限接近于某確定的數(shù)值?如果是,如何確定通過上面演示實驗的觀察n無限增大時,

1

無限接近于n問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學語言 xn1

(1)n11 給定

1n

1

給定 給定

11

給定

N(1時,

1

成立[]) 定義如果對于任意給定的正數(shù)(不論它多么小),總存在正數(shù)N,使得對于nN時的一切xnxn

都成立,那末就稱常數(shù)axn的極限,或者稱數(shù)列xn收斂于anlimnn

或xn

(n

).如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的

xn

刻劃了xn與a的無限接近正數(shù)是任意給定

,但是一旦給出之后它就是確定了N與給定的有關一般地說越小N將越大{xn}有沒有極限

“前面”的有限項不起作用主要看“后面”的無窮多項N定義

limnnn

a

0使n

N時xn

其中:每一個 的;:至少有一個或存在幾何解釋

a

ax2

xN1

xN x3 當n

N時

所有的

xn都落在

只有有限個(至多只有N個)落在其外

數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法

limnn

(1)n1n

xn

n

(1)n1 1

1

只要1n

或n1所以

取N

[],

則當n

N時n

n

1

即limnn

n

設

C(C為常數(shù)

證明limnn

C

,對于一切自然數(shù)nxn

C

0成立所以

limnnn

C.說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)小結:用定義證數(shù)列極限存在時,關鍵是任意定0,尋找N,但不必要求最小的 證明 n

若q

則limqnn

lim0nnn若0

q

xn0

nln

lnn

ln,lnq

取N

lnq

則當n

N時就有qn

limqn

例用定義證數(shù)列極限存在時,關鍵是任意給限定

0,尋找N,但不必要求最小的證

0要使

01cosnπ

N1

0

n

當n

xn為了簡化解不等式的運算

則當n常常把|xna|作適當?shù)胤糯?/p>

有1cosnπ0

即

n 設

0,且limnnn

a求證n

xn a.axnaxnxn xna

nnn

a,N使得n

N時恒有xna

xna就 xna

aan故 a.ann(1)n驗證

NNNN0當nN時xna證0,(1)n

由(n

10

(n

1

n取N

1,

(1)n

0

(1)n即

(n1)

n(n1)四、數(shù)列極限的性有界定義:對數(shù)列xn,若存在正數(shù)M,使得一切然數(shù)n,否則,稱

nM成立,則稱數(shù)列n.n

有界例如,

n1有

數(shù)列xn

2n.數(shù)軸上對應于有界數(shù)列的點

都落在閉區(qū)間[M

定理1收斂的數(shù)列必定有界n證設limnn

由定義

取則N使得當n

N時恒xn

1

xn

aM

x1,,xN

,a1,

1},則對一切自然數(shù)n,

M

故xn有界注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件推 數(shù)列必定發(fā)散唯一定理2每個收斂的數(shù)列只有一個極限limn

a,又limnnnnn

ba

由定義b2

0,N1,N2

.使得

當n

N1時恒xn

當n

N2時恒xn

取N

maxN1,N則當n

N

xn

b2

a2xn

b2

a2上兩 故收斂數(shù)列極限唯一n1例證明數(shù)列xn 是發(fā)散的n證設limnn

由定義

對于12則N使得當nN時,xn

1成立2即當nN時xn(a

1,a2

2

區(qū)間長度為而xn無休止地反復取1,1兩個數(shù)不可能同時位于長度為1的區(qū)間內事實上xn}是有界的但卻發(fā)散33n定理3如果limn

a

則

當nN有

0(

a0由定義對a

a2

0,

0,當n

N時有xna2

a2

a2用反證推論1如果數(shù)列xn從某用反證

xn

0(

n且limn

那么a

(a

在在數(shù)x中依次任意抽出無窮多項nxn, , 12k(其下標n1n2nk){k}叫做數(shù)列xn的子數(shù)列第k項xnknk項k4.定理

收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極k設數(shù)列xnk

}是數(shù)列xn}的任一子nlimn

a

0,

N,當nNxn

成立現(xiàn)取正整數(shù) 于是

k

時nknK從而

axnkxn

,由此證

limnk n

a由此定理可知

僅從某一個子數(shù)列的收一般不能斷定原數(shù)列的收斂性但若已知一個子數(shù)列發(fā)散或有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限值可斷定原數(shù)列是發(fā)散的.數(shù)列xn的數(shù)列xn的奇子數(shù)x2k1和偶子數(shù)x2k}均收斂于同一常數(shù)a時則數(shù)列xn也收斂于a.(證明留給自己做數(shù)列:研究其變化規(guī)律數(shù)列極限:極限思想,精確定義,幾何意義

“

N

0當n

N時,恒xn

1

”是數(shù)列

xn}收斂于a的 充分但非必要條 B.必要但非充分條充分必要條 D.既非充分也非必要條

若lim

K,則limn2nn2n

( K

2K

2

不確作習題2.1(20 1、割圓術體而無所失矣—1、割圓術體而無所失矣—1、割圓術體而無所失矣—1、割圓術體而無所失矣—1、割圓術體而無所失矣—1、割圓術體而無所失矣—1、割圓術體而無所失矣—1、割圓術體而無所失矣—1、割圓術體而無所失矣—觀察數(shù)列{1 }當nn

時的變化趨勢觀察數(shù)列{1

nn

時的變化趨勢觀察數(shù)列{1

nn

時的變化趨勢觀察數(shù)列{1

nn