統(tǒng)計(jì)決策專題講座

統(tǒng)計(jì)決策理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)建模專題講座第1頁，共36頁。

決策是指為了實(shí)現(xiàn)特定的目標(biāo)，根據(jù)客觀的可能性，在占有一定信息和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，借助一定的工具、技巧和方法，對影響未來目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的諸因素進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算和判斷選優(yōu)后，對未來行動做出的決定。

3.1概述第2頁，共36頁。例3.1一位收藏家擬收購一件古物，這件古物標(biāo)價為3000元。若這件古物是真品，則值6000元；若是贗品，則一文不值。此外，沒有買下一件真品古物會損害這位收藏家的名譽(yù)，其收益情況可列表如下：現(xiàn)在，這位收藏家需要決定是買還是不買這件古物？

第3頁，共36頁。例3.2

一位姑娘自己種花賣花，她每晚摘花第二天去賣，每束花成本為1元，售價可達(dá)5元。若當(dāng)天賣不掉，因花枯萎而不能再賣。據(jù)經(jīng)驗(yàn)，她一天至少能賣5束鮮花，最多能賣10束鮮花。若將一天中賣出的花束數(shù)θ視作隨機(jī)變量，且已知其分布為現(xiàn)要研究她前一天晚上采摘幾束鮮花為最優(yōu)行為。第4頁，共36頁。統(tǒng)計(jì)決策：廣義上說，是依據(jù)統(tǒng)計(jì)的原理、原則和方法進(jìn)行的決策；狹義地講，是指將未來情況的發(fā)生視為隨機(jī)事件，依據(jù)概率統(tǒng)計(jì)提供的理論和方法進(jìn)行的決策。統(tǒng)計(jì)決策提供了在未來情況具有不確定性時，處理問題的原理和方法。第5頁，共36頁。決策問題的三個基本要素狀態(tài)集行動集行動空間決策目標(biāo)第6頁，共36頁。依統(tǒng)計(jì)決策論的觀點(diǎn)，對決策有用的信息先驗(yàn)信息樣本信息決策問題的分類無數(shù)據(jù)（無樣本信息）決策問題統(tǒng)計(jì)決策問題貝葉斯決策問題第7頁，共36頁。統(tǒng)計(jì)決策的顯著特點(diǎn)是：統(tǒng)計(jì)決策建立在統(tǒng)計(jì)分析和統(tǒng)計(jì)預(yù)測的基礎(chǔ)上，是一種定量決策。統(tǒng)計(jì)決策是在不確定情況下，應(yīng)用概率來進(jìn)行決策的計(jì)算和分析，是一種概率決策。

第8頁，共36頁。統(tǒng)計(jì)決策的分類確定型決策風(fēng)險型決策不確定型決策決策的自然狀態(tài)完全確定，即在未來情況已知的條件下，按照既定目標(biāo)和決策準(zhǔn)則選定方案的決策。

事件中存在著兩個以上的不以決策者主觀意志為轉(zhuǎn)移的自然狀態(tài)，在幾種不同的自然狀態(tài)中未來會出現(xiàn)哪一種狀態(tài)，決策者不能肯定，但各種狀態(tài)出現(xiàn)的可能性即概率，可由決策者預(yù)先估計(jì)或計(jì)算出來。決策者在對未來情況未知，對各種自然狀態(tài)及其概率也一無所知的情況下所進(jìn)行的決策。

第9頁，共36頁。3.2風(fēng)險型決策

進(jìn)行風(fēng)險型決策一般應(yīng)具備的條件：

具有明確的目標(biāo)；兩個或兩個以上的可能狀態(tài)及不同可能狀態(tài)出現(xiàn)的概率；兩個或兩個以上的行動方案以及不同方案在不同可能狀態(tài)下的損益值。第10頁，共36頁。3.2.1最大可能性準(zhǔn)則決策

在決策中選擇概率最大的自然狀態(tài)，將其它概率較小的自然狀態(tài)予以忽略，然后比較各備選方案在這種概率最大的自然狀態(tài)下的收益或損失值，選取收益最大或損失最小的方案作為行動方案。第11頁，共36頁。例3.3對例3.2，按最大可能性準(zhǔn)則方法，該姑娘前一天晚上應(yīng)采摘幾束鮮花？

例3.2

一位姑娘自己種花賣花，她每晚摘花第二天去賣，每束花成本為1元，售價可達(dá)5元。若當(dāng)天賣不掉，因花枯萎而不能再賣。據(jù)經(jīng)驗(yàn)，她一天至少能賣5束鮮花，最多能賣10束鮮花。若將一天中賣出的花束數(shù)θ視作隨機(jī)變量，且已知其分布為現(xiàn)要研究她前一天晚上采摘幾束鮮花為最優(yōu)行為。第12頁，共36頁。解寫出收益矩陣，如下表所示

摘5束，能賣6束摘8束，賣7束7×5-8×1=27

每天賣出8束花的概率最大，達(dá)到0.40，在這種狀態(tài)下，最大收益值為32，32所對應(yīng)的方案為每天采摘8束花，所以，該姑娘前一天晚上應(yīng)采摘8束鮮花。

如果在一組自然狀態(tài)中，某一自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率比其它自然狀態(tài)顯著地大，而益損值差別又不很大時，采用最大可能性準(zhǔn)則的決策效果較好。第13頁，共36頁。3.2.2期望值準(zhǔn)則決策

期望值準(zhǔn)則決策，就是在考慮各種結(jié)果對決策帶來綜合影響的情況下，選擇其中期望值最大的方案作為最優(yōu)方案的一種決策方法。

第14頁，共36頁。期望值準(zhǔn)則決策的步驟：

列出決策收益表；以決策收益表為基礎(chǔ)，根據(jù)各種自然狀態(tài)的概率計(jì)算出不同方案的期望損益值；從期望損益值中選擇最大的值所對應(yīng)的方案作為最優(yōu)方案。第15頁，共36頁。期望損益計(jì)算公式為

例3.3利用表3.3中的資料，按照期望值準(zhǔn)則方法，求該姑娘應(yīng)選擇何種采摘方案？

表示第i種方案在第j種狀態(tài)下的益損值。第16頁，共36頁。解：由表3.3和期望值準(zhǔn)則決策計(jì)算公式得

因此各種情況平均起來考慮，方案A4收益的期望值最高，故該方案為最優(yōu)方案，即賣花姑娘前一天晚上應(yīng)采摘8束鮮花。

第17頁，共36頁。收寄包裹數(shù)（個）41-5051-6061-7071-8081-90占的比例10%15%30%25%20%例3.4某郵局要求當(dāng)天收寄的包裹當(dāng)天處理完畢。根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)記錄，每天收寄包裹的情況見下表已知每個郵局職員平均每小時處理4個包裹，每小時工資為5元。規(guī)定每人每天實(shí)際工作7小時。如加班工作，每小時工資額增加50%，但加班時間每人每天不得超過5小時（加班時間以小時計(jì)，不足1小時的按1小時計(jì)算）。試確定該郵局最優(yōu)雇傭工人的數(shù)量。第18頁，共36頁。每人每天正常處理的包裹數(shù)為4×7=28（個），最多處理的包裹數(shù)量為4×（7+5）=48（個）。而每天需要理的包裹數(shù)最多為90個，故我們只考慮兩個方案（雇傭2個工人）和（雇傭3個工人）。分析：表示收寄的包裹位于區(qū)間：第19頁，共36頁。支付工資

方案狀態(tài)（概率）5×7×2=705×7×3=1055×7×2+7.5=77.55×7×3=1055×7×2+7.5×4=1005×7×3=1055×7×2+7.5×6=1155×7×3=1055×7×2+7.5×9=137.55×7×3+7.5×2=120表3.4決策損失表每小時5元，每天7小時，2人7×4×2=56[41,50][51,60]2人正常處理56個郵件，還需加班1小時[61,70]2人正常處理56個郵件，還剩14個，需加班4小時第20頁，共36頁。支付工資

方案狀態(tài)（概率）5×7×2=705×7×3=1055×7×2+7.5=77.55×7×3=1055×7×2+7.5×4=1005×7×3=1055×7×2+7.5×6=1155×7×3=1055×7×2+7.5×9=137.55×7×3+7.5×2=120表3.4決策損失表若雇傭兩個工人，則郵局的平均支付工資為：若雇傭三個工人，則郵局的平均支付工資為：第21頁，共36頁。若雇傭兩個工人，則郵局的平均支付工資為：若雇傭三個工人，則郵局的平均支付工資為：根據(jù)期望值準(zhǔn)則，故從郵局的角度來看，最優(yōu)雇傭工人的數(shù)量為2。因?yàn)榈?2頁，共36頁。3.2.3決策樹法

決策樹法是通過把決策過程用圖解方式顯示出來，從而使決策問題顯得更為形象、直觀，便于管理人員審度決策局面，分析決策過程。決策樹法不僅適用于單階段決策問題，而且可以處理多階段決策中用圖表法無法表達(dá)的問題。

第23頁，共36頁。決策樹的一般模型

第24頁，共36頁。（1）單階段決策樹法

單階段決策樹法可分為兩個步驟：從左到右的建樹過程；從右到左的計(jì)算過程。

第25頁，共36頁。例3.5利用決策樹法確定例3.4中郵局最優(yōu)雇傭工人的數(shù)量。第26頁，共36頁。例3.5利用決策樹法確定例3.4中郵局最優(yōu)雇用工人的數(shù)量。支付工資

方案狀態(tài)（概率）5×7×2=705×7×3=1055×7×2+7.5=77.55×7×3=1055×7×2+7.5×4=1005×7×3=1055×7×2+7.5×6=1155×7×3=1055×7×2+7.5×9=137.55×7×3+7.5×2=120第27頁，共36頁。7077.5100115137.5105105105105105決策雇用2個工人雇用3個工人7077.5100115137.5105105105105120104.875108方案枝圖3.2單階段決策樹圖第28頁，共36頁。（2）多階段決策樹法

有些問題的統(tǒng)計(jì)決策帶有階段性，選擇某種行動方案會出現(xiàn)不同的狀態(tài)，按照不同的狀態(tài)，又需要作下一步行動方案的決策，以及更多的狀態(tài)和決策，這些問題表現(xiàn)在決策樹上為多個決策點(diǎn)，可以用多階段決策樹的方法進(jìn)行決策。

第29頁，共36頁。

例3.6某高新技術(shù)集團(tuán)企業(yè)擬生產(chǎn)某種新產(chǎn)品，該企業(yè)有兩個方案可供選擇，方案一是建設(shè)大廠，需投資3200萬元，建成后，若銷路好，每年可得利潤1200萬元，若銷路差，每年則虧損400萬元；另一個方案是建設(shè)小廠，需投資2000萬元，如銷路好，每年可得利潤600萬元，銷路差，每年可得利潤500萬元。兩個工廠的使用期限都是10年。根據(jù)市場預(yù)測，這種產(chǎn)品在今后10年內(nèi)銷路好的概率是0.7，銷路差的概率為0.3，該集團(tuán)企業(yè)計(jì)劃先建小廠，試銷3年，若銷路好再投資1000萬元，加以擴(kuò)建。擴(kuò)建后可使用7年，后7年中每年盈利增至970萬元，應(yīng)如何決策。第30頁，共36頁。

解：這個問題屬于多級決策問題，可以分為前3年和后7年兩個階段考慮各種情況下的損益值，相應(yīng)的決策樹如圖3.3所示。

（1200×0.7-400×0.3）×10-3200=（840-120）×10-3200=7200-3200=4000第31頁，共36頁。（1）計(jì)算決策點(diǎn)2的期望值

狀態(tài)點(diǎn)③、④的期望值為：③：1.0×970×7-1000=5790(萬元)④：1.00×600×7＝4200(萬元)

比較點(diǎn)③與點(diǎn)④，可剪去點(diǎn)④，留下點(diǎn)③。即點(diǎn)③代表決策點(diǎn)2的期望值。

第32頁，共36頁。（2）狀態(tài)點(diǎn)②的期望值計(jì)算

前3年建小廠銷路好時的期望值為0.7×600×3，后7年擴(kuò)建后的期望值為0.7×5790，7年后若不擴(kuò)建，銷路差時的期望值為0.3×500×10。狀態(tài)點(diǎn)②的期望值：(0.7×600×3+0.7×5790+0.3×500×10)-2000＝4813(萬元)第33頁，共36頁。

對比點(diǎn)①與點(diǎn)②的期望值可以知道，應(yīng)采取的決策是先建小廠，試銷3年后，如果銷路好時再擴(kuò)建。第34頁，共36頁。小結(jié)確定型決策風(fēng)險型決策

最大可能性準(zhǔn)則期望值準(zhǔn)則決策樹法不確定型決策第35頁，共36頁。內(nèi)容梗概統(tǒng)計(jì)決策。例3.1一位收藏家擬收購一件古物，這件古物標(biāo)價為3000元。廣義上說，是依據(jù)統(tǒng)計(jì)的原理、原則和方法進(jìn)行的決策。不確定型決策。摘5束，能賣6束。摘8束，賣7束。7×5-8×1=27。以決策收益表為基礎(chǔ)，根據(jù)各種自然狀態(tài)的概率計(jì)算出不同方案的期望損益值。已知每個郵局職員平均每小時處理4個包裹，每小時工資為5元。5×7×2=70。5×7×2=70。5×7×3=105。5×7×2+7.5=77.5。5×7×2+7.5=77.5。7