2021-2022學(xué)年湖北省武漢市東西湖區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

第21頁(yè)（共21頁(yè)）2021-2022學(xué)年湖北省武漢市東西湖區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選一選，比比誰(shuí)細(xì)心（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的請(qǐng)把正確答案的代號(hào)字母填入答題卷）1．（3分）一元二次方程3x2﹣1＝6x化成一般形式后，其中一次項(xiàng)系數(shù)是（）A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣22．（3分）二次函數(shù)y＝4（x﹣3）2+7的頂點(diǎn)為（）A．（﹣3，﹣7） B．（3，7） C．（﹣3，7） D．（3，﹣7）3．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（﹣3，﹣1）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，1）4．（3分）下面有4個(gè)汽車標(biāo)致圖案，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．5．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（）A．k＞1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＞﹣1且k≠2 D．k＜16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△AB′C′（點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)C′），連接CC′．若∠CC′B′＝32°，則∠B的大小是（）A．57° B．60° C．67° D．77°7．（3分）某藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由100元降為81元．已知兩次降價(jià)的百分率都為x，那么x滿足的方程是（）A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81 C．100（1﹣x%）2＝81 D．100x2＝818．（3分）將拋物線向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，得到的新拋物線的解析式為y＝3x2，則平移前的拋物線解析式為（）A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+3 C．y＝3（x﹣2）2﹣3 D．y＝3（x+2）2﹣39．（3分）點(diǎn)P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+c的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y1＝y(tǒng)2＞y3 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＝y(tǒng)210．（3分）當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí)，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．-74 B．3或-3 C．2或-3 D．2二、填一填、看看誰(shuí)仔細(xì)（本大題共6小題，每小題3分，共18分，請(qǐng)將你的答案寫(xiě)在處）11．（3分）方程x2＝4的解為．12．（3分）設(shè)x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，則x1+x2的值為．13．（3分）如圖，BD為正方形ABCD的對(duì)角線，BE平分∠DBC，交DC與點(diǎn)E，將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，若CE＝1cm，則BF＝cm．14．（3分）用一條長(zhǎng)40cm的繩子圍成一個(gè)面積為64cm2的矩形．設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為xcm，則可列方程為．15．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)為D（﹣1，2），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為個(gè)．16．（3分）如圖（1）在等邊三角形△ABC中，邊AB上的點(diǎn)D從頂點(diǎn)A出發(fā)，向頂點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，邊BC上的點(diǎn)E從頂點(diǎn)B出發(fā)，向頂點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，D，E兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的大小相等，設(shè)x＝AD，y＝AE+CD，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖（2），圖象過(guò)點(diǎn)（0，4），則圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是．三、解答題（本大題共8小題，共72分）17．（8分）已知二次函數(shù)y=-12x2+x+32，一次函數(shù)y＝kx+6的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，m18．（8分）如圖，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝60°，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBD，求證：CD＝2AB．19．（8分）如圖，利用函數(shù)y＝x2﹣4x+3的圖象，直接回答：（1）方程x2﹣4x+3＝0的解是．（2）當(dāng)x滿足時(shí)，y隨x的增大而增大．（3）當(dāng)x滿足時(shí)，函數(shù)值大于0．（4）當(dāng)0＜x＜5時(shí)，y的取值范圍是．20．（8分）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，點(diǎn)E也是格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫(huà)圖，按步驟完成下列問(wèn)題．（1）將線段BE繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，畫(huà)出線段BF；（2）畫(huà)線段EF的中點(diǎn)G；（3）連接BG，并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)H，直接寫(xiě)出CH的長(zhǎng)．21．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝α°，∠ABC+∠ADC＝180°，AC、BD交于點(diǎn)E，將△CBA繞點(diǎn)C順時(shí)針α°旋轉(zhuǎn)得到△CDF．（1）求證：∠CAB＝∠CAD．（2）若∠ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，△BCE的面積為S1，△CDE的面積為S2，求S1：S2的值．22．（10分）某服裝店購(gòu)進(jìn)一批秋衣，價(jià)格為每件30元．物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不高于每件60元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：日銷售量y（件）是銷售單價(jià)x（元）的一次函數(shù)，且當(dāng)x＝60時(shí)，y＝80；x＝50時(shí)，y＝100．在銷售過(guò)程中，每天還要支付其他費(fèi)用450元．（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（2）求該服裝店銷售這批秋衣日獲利W（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該服裝店日獲利最大？最大獲利是多少元？23．（10分）（1）如圖1，正方形ABCD中以AB為邊在正方形內(nèi)構(gòu)造等邊△ABE，等邊△ABE邊AE交正方形對(duì)角線BD于F點(diǎn)，求證：BFFD（2）將等腰Rt△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，連接DE，M點(diǎn)為DE的中點(diǎn)，連接AM、MF，求MA與MF的關(guān)系；（3）如圖3，將等腰Rt△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，若EF＝4，AB＝1，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M在這個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為．24．（12分）拋物線y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）交x軸正半軸于A，B兩點(diǎn)（A在B的左邊），交y軸正半軸于C；（1）如圖①，連接AC，BC，若△ABC的面積為3，①求拋物線的解析式；②拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠PCB+∠ACB≤45°？若存在，求出P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）如圖②，若Q為B點(diǎn)右側(cè)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，直線QA、QB分別交y軸于點(diǎn)D，E，判斷CD：DE的值是否為定值．說(shuō)明理由．

2021-2022學(xué)年湖北省武漢市東西湖區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選一選，比比誰(shuí)細(xì)心（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的請(qǐng)把正確答案的代號(hào)字母填入答題卷）1．（3分）一元二次方程3x2﹣1＝6x化成一般形式后，其中一次項(xiàng)系數(shù)是（）A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣2【解答】解：化為一般式為：3x2﹣6x+1＝0∴故一次項(xiàng)系數(shù)為﹣6，故選：B．2．（3分）二次函數(shù)y＝4（x﹣3）2+7的頂點(diǎn)為（）A．（﹣3，﹣7） B．（3，7） C．（﹣3，7） D．（3，﹣7）【解答】解：∵y＝4（x﹣3）2+7，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，7），故選：B．3．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（﹣3，﹣1）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，1）【解答】解：點(diǎn)（﹣3，﹣1）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：（3，1）．故選：A．4．（3分）下面有4個(gè)汽車標(biāo)致圖案，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；B、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．5．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（）A．k＞1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＞﹣1且k≠2 D．k＜1【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝4+4（k﹣2）＞0，解得k＞﹣1，∵k﹣2≠0，∴k≠2，∴k的取值范圍k＞﹣1且k≠2，故選：C．6．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△AB′C′（點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)C′），連接CC′．若∠CC′B′＝32°，則∠B的大小是（）A．57° B．60° C．67° D．77°【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△AB′C′，∴AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∠B＝∠AB'C'，∴△ACC'是等腰直角三角形，∴∠ACC'＝45°，∴∠AB'C'＝∠ACC'+∠B'C'C＝45°+32°＝77°，∴∠B＝77°，故選：D．7．（3分）某藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由100元降為81元．已知兩次降價(jià)的百分率都為x，那么x滿足的方程是（）A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81 C．100（1﹣x%）2＝81 D．100x2＝81【解答】解：設(shè)兩次降價(jià)的百分率均是x，由題意得：x滿足方程為100（1﹣x）2＝81．故選：B．8．（3分）將拋物線向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，得到的新拋物線的解析式為y＝3x2，則平移前的拋物線解析式為（）A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+3 C．y＝3（x﹣2）2﹣3 D．y＝3（x+2）2﹣3【解答】解：y＝3x2，此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），把點(diǎn)（0，0）向下平移3個(gè)單位再向右平移2個(gè)單位所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣3），所以原拋物線解析式為y＝3（x﹣2）2﹣3．故選：C．9．（3分）點(diǎn)P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+c的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y1＝y(tǒng)2＞y3 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＝y(tǒng)2【解答】解：二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+c的圖象的對(duì)稱軸為直線x=-2而P1（﹣1，y1）和P2（3，y2）到直線x＝1的距離都為2，P3（5，y3）到直線x＝1的距離為4，所以y1＝y(tǒng)2＞y3．故選：A．10．（3分）當(dāng)﹣2≤x≤1時(shí)，二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．-74 B．3或-3 C．2或-3 D．2【解答】解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝m，①m＜﹣2時(shí)，x＝﹣2時(shí)二次函數(shù)有最大值，此時(shí)﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m=-74，與m＜﹣2②當(dāng)﹣2≤m≤1時(shí)，x＝m時(shí)，二次函數(shù)有最大值，此時(shí)，m2+1＝4，解得m=-3，m③當(dāng)m＞1時(shí)，x＝1時(shí)二次函數(shù)有最大值，此時(shí)，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2，綜上所述，m的值為2或-3故選：C．二、填一填、看看誰(shuí)仔細(xì)（本大題共6小題，每小題3分，共18分，請(qǐng)將你的答案寫(xiě)在處）11．（3分）方程x2＝4的解為x1＝2，x2＝﹣2．【解答】解：開(kāi)方得，x＝±2，即x1＝2，x2＝﹣2．故答案為，x1＝2，x2＝﹣2．12．（3分）設(shè)x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，則x1+x2的值為5．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝5，故答案為5．13．（3分）如圖，BD為正方形ABCD的對(duì)角線，BE平分∠DBC，交DC與點(diǎn)E，將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，若CE＝1cm，則BF＝2+2cm【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BD于點(diǎn)M，如圖所示，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴△DEM為等腰直角三角形．∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM＝EC＝1cm，∴DE=2EM=2由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：CF＝CE＝1cm，∴BF＝BC+CF＝CE+DE+CF＝1+2+1＝2+故答案為：2+214．（3分）用一條長(zhǎng)40cm的繩子圍成一個(gè)面積為64cm2的矩形．設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為xcm，則可列方程為x（20﹣x）＝64．【解答】解：設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為xcm，∵長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為40cm，∴寬為＝（20﹣x）（cm），得x（20﹣x）＝64．故答案為：x（20﹣x）＝64．15．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)為D（﹣1，2），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為3個(gè)．【解答】解：∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0，所以①錯(cuò)誤；∵頂點(diǎn)為D（﹣1，2），∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和（1，0）之間，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正確；∵拋物線的頂點(diǎn)為D（﹣1，2），∴a﹣b+c＝2，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-b∴b＝2a，∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正確；∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，二次函數(shù)有最大值為2，即只有x＝﹣1時(shí)，ax2+bx+c＝2，∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以④正確．綜上所述，共有3個(gè)正確結(jié)論，故答案為：3．16．（3分）如圖（1）在等邊三角形△ABC中，邊AB上的點(diǎn)D從頂點(diǎn)A出發(fā)，向頂點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，邊BC上的點(diǎn)E從頂點(diǎn)B出發(fā)，向頂點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，D，E兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的大小相等，設(shè)x＝AD，y＝AE+CD，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖（2），圖象過(guò)點(diǎn)（0，4），則圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是23【解答】解：∵圖象過(guò)點(diǎn)（0，4），即當(dāng)x＝AD＝BE＝0時(shí)，點(diǎn)D與A重合，點(diǎn)E與B重合，此時(shí)y＝AE+CD＝AB+AC＝4，∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC＝2，由點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短可知，當(dāng)AD=12AB時(shí)，y即圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是23故答案為：23三、解答題（本大題共8小題，共72分）17．（8分）已知二次函數(shù)y=-12x2+x+32，一次函數(shù)y＝kx+6的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，m【解答】解：∵二次函數(shù)y=-12x2+x+32經(jīng)過(guò)點(diǎn)A∴m=-12×9+（﹣3又∵一次函數(shù)y＝kx+6的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，m），∴m＝﹣3k+6，即﹣6＝﹣3k+6，解得，k＝4．∴m和k的值分別是﹣6、4．18．（8分）如圖，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝60°，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBD，求證：CD＝2AB．【解答】證明：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝2AB，∵將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBD，∴BC＝BD，∠CBD＝60°，∴△CBD是等邊三角形，∴CD＝BD，∴CD＝2AB．19．（8分）如圖，利用函數(shù)y＝x2﹣4x+3的圖象，直接回答：（1）方程x2﹣4x+3＝0的解是x1＝1，x2＝3．（2）當(dāng)x滿足＞2時(shí)，y隨x的增大而增大．（3）當(dāng)x滿足x＜1或x＞3時(shí)，函數(shù)值大于0．（4）當(dāng)0＜x＜5時(shí)，y的取值范圍是﹣1≤y＜8．【解答】解：（1）由圖象可得，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1或x＝3，故方程x2﹣4x+3＝0的解是x1＝1，x2＝3，故答案為：x1＝1，x2＝3；（2）由圖象可得，當(dāng)y＝0時(shí)，x＞1+32=2時(shí)，y故答案為：＞2；（3）由圖象可得，當(dāng)x＜1或x＞3時(shí)，函數(shù)值大于0，故答案為：x＜1或x＞3；（4）由圖象可得，函數(shù)y＝x2﹣4x+3的對(duì)稱軸是直線x=1+32=2，當(dāng)x＝2∴當(dāng)0＜x＜5時(shí)，x＝2取得最小值﹣1，x＝5時(shí)y的值為8，即當(dāng)0＜x＜5時(shí)，y的取值范圍是﹣1≤y＜8，故答案為：﹣1≤y＜8．20．（8分）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，點(diǎn)E也是格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫(huà)圖，按步驟完成下列問(wèn)題．（1）將線段BE繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，畫(huà)出線段BF；（2）畫(huà)線段EF的中點(diǎn)G；（3）連接BG，并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)H，直接寫(xiě)出CH的長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖所示，線段BF即為所求；（2）如圖所示，連接EF，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知對(duì)角線的交點(diǎn)即為點(diǎn)G；（3）如圖，在Rt△FED中，EF=D∵G是EF的中點(diǎn)，∴FG=1∵∠FGH＝∠D＝90°，∠GFH＝∠DFE，∴△GFH∽△DFE，∴GFDF∴342∴FH=17∴CH＝HF﹣CF=17∴CH的長(zhǎng)為12521．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝α°，∠ABC+∠ADC＝180°，AC、BD交于點(diǎn)E，將△CBA繞點(diǎn)C順時(shí)針α°旋轉(zhuǎn)得到△CDF．（1）求證：∠CAB＝∠CAD．（2）若∠ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，△BCE的面積為S1，△CDE的面積為S2，求S1：S2的值．【解答】（1）證明：∵將△CBA繞點(diǎn)C順時(shí)針α°旋轉(zhuǎn)得到△CDF．∴∠CAB＝∠CFD，∠ABC＝∠CDF，AC＝CF，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠CDF＝180°，∴點(diǎn)A，點(diǎn)D，點(diǎn)F三點(diǎn)共線，∵AC＝CF，∴∠CFD＝∠CAD，∴∠BAC＝∠CAD；（2）解：∵∠ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，∴AD=AB2如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH∥AB交AC的延長(zhǎng)線于H，∴∠H＝∠BAC，∴∠DAC＝∠H，∴AD＝DH＝5，∵AB∥DH，∴△ABE∽△HDE，∴BEDE∴S1：S2=BE22．（10分）某服裝店購(gòu)進(jìn)一批秋衣，價(jià)格為每件30元．物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不高于每件60元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：日銷售量y（件）是銷售單價(jià)x（元）的一次函數(shù)，且當(dāng)x＝60時(shí)，y＝80；x＝50時(shí)，y＝100．在銷售過(guò)程中，每天還要支付其他費(fèi)用450元．（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（2）求該服裝店銷售這批秋衣日獲利W（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該服裝店日獲利最大？最大獲利是多少元？【解答】解：（1）設(shè)y＝kx+b，根據(jù)題意得：60k解得：k＝﹣2，b＝200，∵球衣進(jìn)價(jià)為30元，銷售單價(jià)不高于每件60元，∴30≤x≤60，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；（2）由題意得：W＝（x﹣30）y﹣450＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝﹣2x2+260x﹣6450，∴W與x之間的函數(shù)關(guān)系式為W＝﹣2x2+260x﹣6450；（3）W＝﹣2x2+260x﹣6450＝﹣2（x﹣65）2+2000，∵﹣2＜0，∴x＜65時(shí)，W隨x的增大而增大，∵30≤x≤60，∴當(dāng)x＝60時(shí)，W有最大值，最大值為1950，∴當(dāng)銷售單價(jià)為60元時(shí)，該服裝店日獲利最大，最大值為1950元．23．（10分）（1）如圖1，正方形ABCD中以AB為邊在正方形內(nèi)構(gòu)造等邊△ABE，等邊△ABE邊AE交正方形對(duì)角線BD于F點(diǎn)，求證：BFFD（2）將等腰Rt△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，連接DE，M點(diǎn)為DE的中點(diǎn)，連接AM、MF，求MA與MF的關(guān)系；（3）如圖3，將等腰Rt△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，若EF＝4，AB＝1，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M在這個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為42π．【解答】（1）證明：如圖1中，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H．∵四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，∴∠ABD＝45°，∠BAF＝60°，設(shè)AH＝m，則FH＝BH=3m∴AB＝m+3m＝（1+3）∴BD=2AB＝（2+6）m，BF=2∴DF＝BD＝BF=2m∴BFDF（2）解：結(jié)論：MA＝MF，MA⊥MF．理由：如圖2中，延長(zhǎng)AM到T，使得MT＝MA，連接ET，F(xiàn)T，AF，延長(zhǎng)TE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，設(shè)BF交EH于點(diǎn)J．∵AM＝MT，∠AMD＝∠TME，MD＝ME，∴△AMD≌△TME（SAS），∴∠DAM＝∠MTE，AD＝ET，∴AD∥TH，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴AB＝ET，∴∠H＝180°﹣∠BAD＝90°，∵∠H＝∠EFJ