四川省遂寧市2023屆高三零診考試數(shù)學(xué)（理科）試卷+答案

遂寧市高中2023屆零診考試數(shù)學(xué)（理科）試題本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．總分150分．考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題，滿分60分）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫(xiě)在答題卡上．并檢查條形碼粘貼是否正確．2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆書(shū)寫(xiě)在答題卡對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將答題卡收回．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的．1.已知集合，，那么等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算，可得答案.【詳解】由題意，，則.故選：B.2.若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法即可求解.【詳解】，所以z的虛部為.故選：C3.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)是偶函數(shù) B.函數(shù)是增函數(shù)C.函數(shù)是周期函數(shù) D.函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義、余弦函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由余弦函數(shù)的性質(zhì)，易知函數(shù)在上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由二次函數(shù)的性質(zhì)，易知函數(shù)在上為增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，且當(dāng)時(shí)，，則，故D正確.故選：D.4.已知，都為銳角，，，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得和，代入，計(jì)算可得．【詳解】解：，都是銳角，，，，，故選：A．5.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則等于（）A.10 B.15 C.20 D.25【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差即可得解.【詳解】因數(shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)知：，而，則，等差數(shù)列公差，首項(xiàng)，則.故選：B.6.若實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（）A.8 B.7 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】由約束條件作出可行域，再結(jié)合圖象求出目標(biāo)函數(shù)的最值.【詳解】由約束條件作出可行域，如圖：聯(lián)立，解得由，得，為直線的縱截距.由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的縱截距最大，且.故選：B.7.為公比大于1的正項(xiàng)等比數(shù)列，且和是方程的兩根，若正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到，結(jié)合韋達(dá)定理，，得到，求出或4，結(jié)合公比，求出，得到，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值.【詳解】由題意得：，，因?yàn)闉楣却笥?的正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，故，，由得，將其代入得：，解得：或4，設(shè)公比為，則，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，解得：?dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椋缓项}意，舍去；所以，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選：B8.已知是定義在上的奇函數(shù)，且，對(duì)于上任意兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)和，都滿足，若，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題知函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，進(jìn)而根據(jù)結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可.【詳解】解：因?yàn)槭嵌x在上奇函數(shù)，所以，所以，即函數(shù)為偶函數(shù)，因?qū)τ谏先我鈨蓚€(gè)不相等實(shí)數(shù)和，都滿足，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，，?故選：A9.在中，，，為線段的中點(diǎn)，，為線段垂直平分線上任一異于的點(diǎn)，則（）A. B.4 C.7 D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題意得為直角三角形，，進(jìn)而得，再根據(jù)，，得.【詳解】解：因?yàn)樵谥校瑸榫€段的中點(diǎn)，所以，即，因?yàn)?，，，所以，即，因?yàn)?，所以，即，所以，，即，所以，因?yàn)椋?，即為直角三角形，所以因?yàn)闉榫€段垂直平分線上任一異于的點(diǎn)，所以，，，所以故選：C10.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.若，則B.若為銳角三角形，則C.若，則一定為直角三角形D.若，則可以是鈍角三角形【答案】D【解析】【分析】A.由正弦定理及三角形中大角對(duì)大邊即可判斷.B.通過(guò)內(nèi)角和為化簡(jiǎn)，再借助角為銳角得到角滿足的關(guān)系，在再取角的正弦值化簡(jiǎn)即可.C.邊化角，運(yùn)用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，得到角的關(guān)系，再借助內(nèi)角和為計(jì)算即可得到.D.通過(guò)內(nèi)角和為化簡(jiǎn)角，再利用兩角和的正切公式化簡(jiǎn)即可得到，然后判斷即可.【詳解】A.因?yàn)?，所以由正弦定理知，又因?yàn)樵谌切沃写蠼菍?duì)大邊，所以.故選項(xiàng)A正確.B.因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，所以.故選項(xiàng)B正確.C.由正弦定理邊化角得,則或（舍），則,即，則一定為直角三角形.故選項(xiàng)C正確.D.又因?yàn)樽疃嘀挥幸粋€(gè)角為鈍角，所以，即三個(gè)角都為銳角,所以為銳角三角形.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：D.11.定義在上奇函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱；且當(dāng)時(shí)，．則方程所有的根之和為（）A.10 B.12 C.14 D.16【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意函數(shù)為周期為4的周期函數(shù)，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，從而畫(huà)出簡(jiǎn)圖，根據(jù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解零點(diǎn)和即可.【詳解】∵為奇函數(shù)，∴，又∵關(guān)于直線對(duì)稱，∴函數(shù)為偶函數(shù)，故，所以，又，所以，故為周期函數(shù)，周期為4，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，作函數(shù)圖象如下方程可化為，方程的解即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作函數(shù)的圖象，∴方程的所有實(shí)根之和為.故選：A．12.已知函數(shù)（其中，）有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)、方程的解個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系可得方程有2個(gè)不同的解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)可得，即函數(shù)與圖象在上有2個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求解.【詳解】函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則方程有2個(gè)不同的解，方程，設(shè)函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，得，即，則函數(shù)與圖象在上有2個(gè)交點(diǎn).設(shè)函數(shù)，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以，解得.故選：D.第Ⅱ卷（非選擇題，滿分90分）注意事項(xiàng)：1．請(qǐng)用藍(lán)黑鋼筆或圓珠筆在第Ⅱ卷答題卡上作答，不能答在此試卷上．2．試卷中橫線的地方，是需要你在第Ⅱ卷答題卡上作答．本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題至第21題為必考題，每個(gè)試題考生都作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，若與垂直，則實(shí)數(shù)等于____．【答案】0或4【解析】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算的垂直關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】向量，，若與垂直，則，解得或，故答案為：0或4.14.__【答案】6【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)等知識(shí)確定正確答案.【詳解】原式.故答案為：15.若命題：“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)___．【答案】或【解析】【分析】先得出存在量詞命題的否定，即為恒成立問(wèn)題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)對(duì)的符號(hào)分類討論即可【詳解】由題意得，“，使”是真命題，當(dāng)時(shí)，易得時(shí)命題成立；當(dāng)時(shí)，由拋物線開(kāi)口向下，命題不成立；當(dāng)時(shí)，則命題等價(jià)于，即或故答案為：或16.為的導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上存在，（），滿足，則稱為區(qū)間上的“對(duì)視數(shù)”，函數(shù)為區(qū)間上的“對(duì)視函數(shù)”．下列結(jié)論正確的有____（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①函數(shù)在任意區(qū)間上都不可能是“對(duì)視函數(shù)”；②函數(shù)是上的“對(duì)視函數(shù)”；③函數(shù)是上的“對(duì)視函數(shù)”；④若函數(shù)為上的“對(duì)視函數(shù)”，則在上單調(diào)．【答案】①③【解析】【分析】由“對(duì)視函數(shù)”的定義可知在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，據(jù)此可判斷①②③④.【詳解】對(duì)于①，，設(shè)，，設(shè)，，，，當(dāng)時(shí)，，所以，又，，，而當(dāng)時(shí)，，，所以圖像恒在直線上方，所以，即在R上單調(diào)遞增，所以不存在，使得，即函數(shù)在任意區(qū)間上都不可能是“對(duì)視函數(shù)”，①正確；對(duì)于②，，，令，得，只有一個(gè)根，所以函數(shù)不是上的“對(duì)視函數(shù)”，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，，，令，解得，，而，所以函數(shù)是上的“對(duì)視函數(shù)”,③正確；對(duì)于④，若函數(shù)為上的“對(duì)視函數(shù)”，則在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以在上不單調(diào)，④錯(cuò)誤.故答案為：①③三、解答題：本大題共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知函數(shù)的值域?yàn)榧螦，函數(shù)的定義域?yàn)榧螧．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）設(shè)命題，命題，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的值域和的定義域，求交集即可；（2）根據(jù)p是q的充分不必要條件，可得?，從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，由題意，解得或，所以或，又函數(shù)的值域?yàn)榧螦，故所以.【小問(wèn)2詳解】由題意，即，解得：或，所以或，由題意可知?，又所以或，解得或故實(shí)數(shù)a的取值范圍.18.已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得等比數(shù)列的公比，從而求得.（2）結(jié)合分組求和法、錯(cuò)位相減求和法求得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，則，，解得或（舍去），所以.【小問(wèn)2詳解】若，則，所以，，所以，設(shè)，，兩式相減得，所以.所以.19.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，探究函數(shù)的圖象與拋物線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）對(duì)二次函數(shù)零點(diǎn)分布情況分類討論即可求解；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象與軸有幾個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求得極大值與極小值，即可判斷.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，∴．①若，?dāng)時(shí)，,當(dāng)或時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；②若，恒有．即在定義域上單調(diào)遞增；③若，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)或時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，令,則原題意等價(jià)于圖象與軸有幾個(gè)公共點(diǎn)．因?yàn)?所以由，解得或；由，解得．∴在時(shí)取得極大值,在時(shí)取得極小值,依題意有:①當(dāng)，解得，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與拋物線有3個(gè)不同的公共點(diǎn)；②當(dāng)或，即或時(shí)，函數(shù)的圖象與拋物線有2個(gè)不同的公共點(diǎn)；③當(dāng)或，即或時(shí)，函數(shù)的圖象與拋物線有1個(gè)不同的公共點(diǎn)．綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與拋物線有3個(gè)不同的公共點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的圖象與拋物線有2個(gè)不同的公共點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的圖象與拋物線有1個(gè)不同的公共點(diǎn)．20.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的對(duì)稱中心及在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角中，A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，，D為邊BC上一點(diǎn)，且，求AD的值．【答案】（1）對(duì)稱中心為；單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）【解析】【分析】（1）先由二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)整體代入法即可求得對(duì)稱中心和單調(diào)區(qū)間；（2）由正弦定理和余弦定理即可求解.【小問(wèn)1詳解】函數(shù).由，，解得，．故對(duì)稱中心為．由，，解得，令，有，令，有，又所以所求的單調(diào)遞增區(qū)間為，.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，即又在銳角中，所以，在中，由正弦定理可得：，所以，解得，又由余弦定理得，解得或2，當(dāng)BC=2時(shí)，，此時(shí)為鈍角三角形，與題設(shè)矛盾，所以，又，所以，在中，由余弦定理可得，故的值為.21.已知函數(shù)，，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，有，求證：對(duì)，有；（3）若，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線的點(diǎn)斜式方程即可求出切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求出，根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)求出，即可求解；(3)根據(jù)題意可得，設(shè)，則，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得，令()，再次利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，求出即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)即為點(diǎn)，，故切線方程為，即；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，故，所以成立；【小問(wèn)3詳解】由題意得：，又因?yàn)?，所以，又，即，即，所以①設(shè)，則①式變形為，所以單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，有，故．即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】破解含雙參不等式證明題的3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（1）轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式.（2）巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值.（3）回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］22.平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）寫(xiě)出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）曲線與交于M，N兩點(diǎn)，求與直線MN平行且過(guò)原點(diǎn)的直線l的極坐標(biāo)方程及的值．【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）求曲線的普通方程只需把平方即可，求曲線的方程只需極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式化簡(jiǎn)即可.（2）兩圓方程聯(lián)立即可求相交弦方程，即直線MN的方程，再根據(jù)平行求出直線l的方程，進(jìn)而可求直線l的極坐標(biāo)方程，再利用圓的弦長(zhǎng)與圓心到直線的距離，半徑之間的關(guān)系即可求出的值．【小問(wèn)1詳解】由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），可得，即曲線普通方程為；曲線的極坐標(biāo)方程為.故曲線的直角坐標(biāo)方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）得即直線的方程為，則與直線平行且過(guò)原點(diǎn)的直線的方程為，其傾斜角為所以直線的極坐標(biāo)