北京四中2014屆高三數(shù)學總復習知識講解合情推理與演繹推(基礎(chǔ))

合情推理與演繹推理編稿：趙雷審稿：李霞【學習目標】理解合情推理的含義，能利用概括和類比進行推理，做出猜想。2.理解演繹推理的含義，掌握演繹推理的基本模式，能利用“三段論”進行簡單的推理.【要點梳理】要點一、推理的見解及分類推理的見解：依照一個或幾個已知事實(或假設(shè))得出一個判斷，這種思想方式叫做推理．從結(jié)構(gòu)上說，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(或假設(shè))叫做前提，一部分是由已知推出的判斷，叫做結(jié)論．要點講解：（1）任何推理都是由前提和結(jié)論兩部分組成，前提是推理所依照的命題，它告訴我們已知的知識是什么，推理的前提能夠是一個，也能夠是幾個．結(jié)論是依照前提推得的命題，它告訴我們推出的知識是什么．（2）推理也能夠看做是用連結(jié)詞將前提和結(jié)論邏輯的連結(jié)，常用的連結(jié)詞有：“由于，所以”“根據(jù)，可知”“若是，那么”等．2.推理的分類：合情推理推理演繹推理（1）合情推理：依照已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公義、定理等）、實驗和實踐的結(jié)果、個人的經(jīng)驗和直覺等，經(jīng)過觀察、解析、比較、聯(lián)想、概括、類比等推測出某些結(jié)果的推理過程。其中概括推理和類比推理是最常有的合情推理。概括推理是由特別到一般的推理；類比推理是由特別到特其他推理．合情推理的推理過程要點講解：由合情推理的過程能夠看出，合情推理的結(jié)論常常超越了前提所包括的范圍，帶有猜想的成分，所以推理所得的結(jié)論未必正確，但是，合情推理擁有猜想和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、研究和供應證明的思路和方向的作用．（2）演繹推理：從一般性的原理出發(fā)，依照嚴格的邏輯法規(guī)，推出某個特別情況下的結(jié)論的推理，叫做演繹推理.演繹推理是由一般到特其他推理．要點二、概括推理1.定義：由某類事物的部分對象擁有某些特點，推出該類事物的全部對象都擁有這些特點的推理，也許由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為概括推理（簡稱概括）。．概括推理的特點1）概括推理是由部分到整體、由個別到一般的推理；2）概括推理的前提是部分的、個其他事實，所以概括推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而結(jié)論假”的情況有可能發(fā)生的（如教科書所述的“費馬猜想”）；3）人們在進行概括推理的時候，總是先采集必然的事實資料，有了個別性的、特別性的事實作為前提，爾后才能進行概括推理，所以概括推理要在觀察和實驗的基礎(chǔ)進步行；4）概括推理能夠發(fā)現(xiàn)新事實、獲得新結(jié)論，是做出科學發(fā)現(xiàn)的重要手段．要點講解：概括推理的結(jié)論可真可假概括推理一般都是從觀察、實驗、解析特別情況開始，提出有規(guī)律性的猜想；一般地，概括的個別情況越多，就越擁有代表性，實行的一般性命題就越可靠.由于概括推理的前提是部分的、個其他事實，因此概括推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然的，而是或然的，所以概括推理所得的結(jié)論不用然是正確的.．運用概括推理時的一般步驟1）經(jīng)過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性（特例的共性或一般規(guī)律）；2）把這種相似性實行為一個明確表述的一般命題（猜想）；3）對所得出的一般性命題進行檢驗．在數(shù)學上，檢驗的標準是能否進行嚴格的證明．．完好概括法和不完好概括法1）完好概括法：經(jīng)過對某類事物中的每一個對象或每一子類的觀察，從中概括出關(guān)于此類事物的一般性結(jié)論的推理．由于完好概括法觀察了某類事物的全部情況，所以由正確的前提必然能獲得正確的結(jié)論，所以完好概括法能夠作為數(shù)學嚴格證明的工具，在數(shù)學解題中有著廣泛的應用．2）不完好概括法：經(jīng)過對某類事物的一部分對象或一部分子類的觀察，從中概括出關(guān)于該類事物的一般性結(jié)論的推理．由于不完好概括法是對某類事物中的某一部分對象進行觀察，所以，前提和結(jié)論之間未必有必然的聯(lián)系，由不完好概括法獲得的結(jié)論，結(jié)論不用然正確，結(jié)論的正確與否，還需要經(jīng)過嚴格的邏輯論證和實踐檢驗．在本書中，如無特別說叫，概括法都足指不完好概括法．要點三、類比推理．定義：類比推理（以下簡稱類比）是在兩類不相同的事物之間進行比較，找出若干相同或相似點此后，推測在其他方面也能夠存在相同或相似之處的一種推理模式．．類比推理的幾個特點1）類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性之中，推測正在研究中的事物的屬性，它以舊有認識作基礎(chǔ)，類比出新的結(jié)果；2）類比是從一種事物的特別屬性推測另一種事物的特別屬性；3）類比的結(jié)果是猜想性的，不用然可靠，但它卻擁有發(fā)現(xiàn)的功能．．運用類比推理的一般步驟（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性．（2）用一類事物的性質(zhì)推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）．（3）檢驗猜想.要點講解：（1）若是類比的兩類事物的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出的結(jié)論就越可靠．2）事物之間的各個性質(zhì)之間，其實不是孤立存在的，而是互相聯(lián)系的，互相限制的，若是兩個事物在性質(zhì)上相同或近似，那么它們在另一些性質(zhì)上也可能相同或近似．所以類比的結(jié)論可能是真的，類比也可能擁有必然性．3）類比的結(jié)論擁有有時性，即可能真，也可能假．要點四、演繹推理（1）定義：從一般性的原理出發(fā)，依照嚴格的邏輯法規(guī)，推出某個特別情況下的結(jié)論的推理，叫做演繹推理.言之，演繹推理是由一般到特其他推理．（2）一般模式：“三段論”是演繹推理的一般模式，常用的一種格式：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特別情況；③結(jié)論——依照一般原理，對特別情況作出的結(jié)論.要點講解：①若是一個推理規(guī)則能用符號表示為“若是ab，bc，則ac”，那么這種推理規(guī)則叫做三段論推理．

簡②三段論推理包括了三個命題，第一個命題稱為大前提，它供應了一個一般性的原理；第二個命題稱為小前提，它指出了一個特別對象，兩者結(jié)合起來，揭穿了一般原理與特別對象的內(nèi)在聯(lián)系，從而獲得第三個命題——結(jié)論．（3）用會集的見解理解“三段論”若會集M的全部元素都擁有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中全部元素都擁有性質(zhì)P.要點講解：演繹推理的結(jié)論必然正確演繹推理是一個必然性的推理，所以只要大前提、小前提及推理形式正確，那么結(jié)論必然是正確的，它是完好可靠的推理。要點五、合情推理與演繹推理的差異與聯(lián)系1）從推理模式看：①概括推理是由特別到一般的推理．②類比推理是由特別到特其他推理．③演繹推理是由一般到特其他推理．2）從推理的結(jié)論看：①合情推理所得的結(jié)論不用然正確，有待證明。②演繹推理所得的結(jié)論必然正確。3）整體來說，從推理的形式和推理的正確性上講，兩者有差異；從兩者在認識事物的過程中所發(fā)揮的作用的角度考慮，它們又是親密聯(lián)系，相輔相成的。合情推理的結(jié)論需要演繹推理的考據(jù)，而演繹推理的內(nèi)容一般是經(jīng)過合情推理獲得的；演繹推理能夠考據(jù)合情推理的正確性，合情推理能夠為演繹推理供應方向和思路.要點講解：注意：在數(shù)學中，證明命題的正確性，都是用演繹推理，合情推理不能夠用作證明．【典型例題】種類一、概括推理例1．用推理的形式表示等差數(shù)列1，3，5，，（2n－1），的前n項和Sn的概括過程.【思路點撥】依題意，Sn表示數(shù)列2n1的前n項和，即S1+3+5++2n－1.n=（）為此，我們先依照該公式，算出數(shù)列的前幾項，經(jīng)過觀察進一步概括得出Sn與n的對應關(guān)系式.【解析】同等差數(shù)列1，3，5，，（2n－1），的前1，2，3，4，5，6項的和分別進行計算：S1112；S213422；S3135932；S413571642；S5135792552；S613579113662；觀察可得，前n項和等于序號的平方，由此可猜想Snn2.【總結(jié)升華】①本題是由部分到整體的推理，先把部分的情況都寫出來，爾后搜尋規(guī)律，概括出整體的情況，是典型的概括推理.②概括常常從觀察開始，觀察、實驗、對有限的資料作概括整理，提出帶有規(guī)律性的猜想，是數(shù)學研究的基本方法之一.③概括猜想是一種重要的思想方法，但結(jié)果的正確性還需進一步證明.在概括猜想數(shù)列的前n項和公式時，要認真觀察數(shù)列中各項數(shù)字間的規(guī)律，解析每一項與對應的項數(shù)之間的關(guān)系.④誠然由概括推理所獲得的結(jié)論未必是正確的，但它所擁有的由特別到一般，由詳盡到抽象的認知功能，關(guān)于數(shù)學的發(fā)現(xiàn)倒是十分適用的.貫穿交融：【變式1】在數(shù)列{an}中，a1=1，且an12an(nN*)，計算a2，a3，a4，并猜想an的表達式.2an【答案】a22，a32，a42，猜想：an2.345n1【變式2】已知正項數(shù)列{an}滿足S1a1．求出a1，a2，a3，a4，并推測an．n2nan【答案】令n=1，則S11a11，即a11a11，∴a121。又a1＞0，2a122a1∴a1=1。令n=2，則S1a1，即aa21a1，∴111，222a122a22a2222∴2222a22a2=210，即(a+1)。∵a＞0，∴a221。令n=3，則S31a31，∴a1a2a31a31，即21a31。2a322a322a3∴22a322a31，即(a32)3＞0，3，∵a∴a332。當n=4，則S1a1，∴a1a2a3a411，即311，424a442a442a422∴a4223a41，即(a43)24?！遖4＞0，∴a423?！郺1110，a22121，a332，a42343。概括可得annn1（n∈N*）。例2．觀察以下由火柴桿拼成的一列圖形中，第n個圖形由n個正方形組成：想第

經(jīng)過觀察能夠發(fā)現(xiàn)：第4【解析】第一個圖形有n個圖形有3n＋1根．

個圖形中，火柴桿有4根，第2個圖形有

根；第n個圖形中，火柴桿有7根，第3個圖形有10根，第4個圖形有

根．13根猜【總結(jié)升華】幾何問題應先抽取出其中的數(shù)據(jù)，再觀察這組數(shù)據(jù)的外在或內(nèi)在規(guī)律。本題中的前四個數(shù)的規(guī)律是成等差數(shù)列，故可概括。貫穿交融：【高清課堂：401470例題1】【變式1】依照給出的數(shù)塔猜想123456×9+7等于1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=11111【答案】1111111。依照數(shù)塔中的位數(shù)規(guī)律可得?！咀兪?】平面內(nèi)的１條直線把平面分成2部分，2條訂交直線把平面分成4部分，3條訂交但不共點的直線把平面分成7部分，則n條互相訂交而無三條共點的直線，可把平面分成多少部分？【答案】一條直線能夠把平面分成兩部分，兩條直線最多能夠把平面分成4部分，三條直線最多能夠把平面分成7部分，四條直線最多能夠把平面分成11部分，能夠發(fā)現(xiàn)，兩條直線時多了2部分，三條直線比原來多了3部分，四條直線時比原來多了4部分，，n條時比原來多了n部分．由于n=1，a1=1+1，n=2，a2=a1+2，n=3，a=a+3，32n=4，a4=a3+4，n=n，an=an-1+n，以上式子相加整理得，an=1+1+2+3++n=1+n(n1)=n2n222【高清課堂：401470例題1】【變式3】依照圖中5個圖形及相應點的個數(shù)的變化規(guī)律,試猜想第n個圖中有個點.()A.n21B.n2nC.n+1D.n2n1【答案】D第(2)個圖形,中間有1個點,其他的點指向兩個方向,每個方向一個點,共有2(21)1個點;第(3)個圖形,中間有1個點,其他的點指向三個方向,每個方向兩個點,共有3(31)1個點;第(4)個圖形,中間有1個點,其他的點指向四個方向,每個方向三個點,共有4(41)1個點;第(5)個圖形,中間有1個點,其他的點指向五個方向,每個方向四個點,共有5(51)1個點;由上面的變化規(guī)律

,可猜想,第

n個圖形中心有

1個點,其他的點指向

n個方向

,每個方向

n-1

個點,共有

n(n-1)

1n2

n1個點.種類二：類比推理例3.已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的1，把這個結(jié)論實行到空間正周圍體，近似的結(jié)論是______.3【思路點撥】從方法的類比下手?！窘馕觥吭瓎栴}的解法為等面積法，即S1ah31arr1h，類比問題的解法應為等體積法，223V1Sh41Srr1h即正周圍體的內(nèi)切球的半徑是高的14334【總結(jié)升華】類比推理不但要注意形式的類比，還要注意方法的類比，本題的類比推理為：平面向空間類比，低維向高維類比。貫穿交融：【變式】在RtABC中，若C90，則cos2Acos2B1，請在立體幾何中，給出近似的周圍體性質(zhì).【答案】考慮到平面中的圖形是直角三角形，所以我們在空間采用有3個面兩兩垂直的周圍體PA'B'C'，且三個面與面A'B'C'所成的二面角分別是，，，類比直角三角形的性質(zhì)猜想周圍體的性質(zhì).以下列圖，在RtABC中，cos2Acos2B(b)2(a)2a2b21.于是把結(jié)論類比到周圍體ccc2PA'B'C'中，若三個側(cè)面PA'B'、PB'C'、PC'A'兩兩互相垂直且分別與底面所成的角為，，，則cos2cos2cos21.例4．設(shè)f(x)12x，利用課本中推導等差數(shù)列前n項和的公式的方法，可求得2f(5)f(4)Lf(0)Lf(5)f(6)的值為。【思路點撥】）本題明確要求應按課文推導等差數(shù)列前n項和的方法——倒序相加法來解題，所以可依此類比實驗?！窘馕觥吭O(shè)S12f(5)f(4)Lf(0)Lf(5)f(6)，①則S12f(6)f(5)Lf(1)Lf(4)f(5)，②易證明f(t)f(t1)f(0)f(1)。①+②得2S1212[f(0)f(1)]12(21)1262，2得S1232，即f(5)f(4)Lf(0)Lf(5)f(6)32?！究偨Y(jié)升華】本種類題解題的要點在于，在解題方法（或公式）中，獲得使用方法（或公式）的啟示，或推導方法（或公式）的手段，從而指導解決新問題。貫穿交融：【變式】經(jīng)過計算可得以低等式：22－12=2×1+1，32－22=2×2+142－32=2×3+1，(n+1)

2－n2=2×n+1。將以上各等式兩邊分別相加得：

(n+1)

2－12=2(1+2+

+n)+n，即123Ln(n1)n。21+2+3++n的值。（1）類比上述求法，請你求出2222（2）依照上述結(jié)論試求12+32+52++992的值?！敬鸢浮浚?）∵23－13=3×1+3×1+1，233－23=3×2+3×2+1，43－33=32×3+3×3+1，(n+1)3－n3=3×n2+3×n+1。將以上各式兩邊分別相加得(n+1)33=3(12+222+n)+n，－1++n)+3(1+2+∴1222Ln21(n1)31n3(1n)n1n(n1)(2n1)。3262）12+32+52++992=12+22+32++1002―(22+42+62++1002)=12+22+32++1002―4(12+22+32++502)=1×100×101×－2014×1×50×51×101=166650。66種類三：演繹推理例5.用三段論的形式寫出以下演繹推理．1）菱形的對角線互相垂直，正方形是菱形，所以正方形的對角線互相垂直．（2）若兩個角是對頂角，則此兩角相等，所以若∠1和∠2不相等，則∠1和∠2不是對頂角．g（3）0.332是有理數(shù)．【解析】（1）菱形的對角線互相垂直（大前提）正方形是菱形（小前提）正方形的對角線互相垂直（結(jié)論）（2）兩個角是對頂角則兩角相等（大前提）∠1和∠2不相等（小前提）∠1和∠2不是對頂角（結(jié)論）（3）全部的循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)（大前提）g0.332是循環(huán)小數(shù)（小前提）g0.332是有理數(shù)（結(jié)論）【總結(jié)升華】在三段論中，“大前提”供應了一般的原理，“小前提”指出了一個特其他情況，“結(jié)論”在大前提和小前提的基礎(chǔ)上，說明一般原理和特別情況間的聯(lián)系．我們早已能自覺地使用三段論來進行推理，學習了三段論后我們要主動地理解和掌握這一推理方法．貫穿交融：【變式】把以下演繹推理寫成三段論的形式．在一個標準大氣壓下，水的沸點是100℃，所以在一個標準大氣壓下把水加熱到100℃時，水會沸騰．【答案】大前提：在一個標準大氣壓下，水的沸點是100℃；小前提：在一個標準大氣壓下把水加熱到100℃；結(jié)論：水會沸騰．例6.已知：在空間四邊形ABCD中，E、F分別為AB、AD的中點，用三