高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明14數(shù)學(xué)歸納法從結(jié)果入手,求解計(jì)數(shù)問題素材北師大版2-2

1.4從果手求計(jì)問某些有關(guān)計(jì)數(shù)的應(yīng)用問題在清事件的基礎(chǔ)上“從結(jié)果入手構(gòu)建一一對(duì)應(yīng)”設(shè)計(jì)解法，?？珊?jiǎn)化求解．一“序定排問，結(jié)入，建合”解例16個(gè)矮不等的同學(xué)站成兩行三列，如果每一列前面的同學(xué)比其身后的同學(xué)矮，則不同的站法有多少種？分析從果入手理組合的義，每一列前面的同學(xué)比其身后的同學(xué)矮序確定的排列問題為其組合，分步完成有CC種同站法．二“位題從果手先后”歸合和殊排列題化解例27個(gè)人站成一排，要調(diào)換中3個(gè)的位置，其余個(gè)人的位置不動(dòng)，不同的調(diào)換方法有多少種？分析從果入手理3人位的意義，設(shè)計(jì)先選后排，注3個(gè)同的元素不在原來位置的問題系特殊的有限制條件的排列豎圖列舉法完成人人都換位置只有2種分步有C

70種三“同素堆題從果手隔法堆構(gòu)組數(shù)”解例3某教委準(zhǔn)備在當(dāng)?shù)氐?所重中學(xué)中選派12名優(yōu)青年教師參加在職培訓(xùn)，每所學(xué)校至少一個(gè)名額，求名額不同的分配方案的種數(shù)．分析從果入手理相同元的分堆問題，設(shè)計(jì)“隔板法分堆”一分配方法和一個(gè)組合建立一一對(duì)應(yīng)，實(shí)際問題化歸組合數(shù)求解．弄清事件，其實(shí)質(zhì)為12個(gè)相同的元素分成堆一堆至少一個(gè)元“板法分堆”即就是12個(gè)同元素構(gòu)成的11個(gè)空中插入個(gè)板，其方法有種．四“短路題從果手構(gòu)組數(shù)求例如１城市中之有整體的道路方格），則從一個(gè)頂點(diǎn)到頂點(diǎn)的短路線有多少條？分析：弄清事件，從結(jié)果入手，理解最短路線就是只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中路線前進(jìn)，不同的設(shè)計(jì)將會(huì)產(chǎn)生不同的解法．解法1：由加法原理進(jìn)行分類討處理．如圖，設(shè)路口為，B，，，．由經(jīng)個(gè)1

路口到N的方有5種經(jīng)個(gè)路口到N的方案有4種M經(jīng)三個(gè)路口到N方案有3種由M經(jīng)個(gè)路口到N的案有種；M經(jīng)個(gè)路口到N的方案有１種，由加法原理共有5+4+3+2+1=15種；解法2：若從結(jié)果看，構(gòu)建一一應(yīng)使問題簡(jiǎn)單化．最短路線就是只能向東或向北兩個(gè)方向走步需定橫走4步縱走2步的題實(shí)質(zhì)為一種走法對(duì)應(yīng)著從6個(gè)元中取出4個(gè)素的一個(gè)組合，其組數(shù)為

種評(píng)注：1）試比較兩種方法，回味設(shè)計(jì)一一對(duì)應(yīng)的做法在求解排列組合應(yīng)用問題中的簡(jiǎn)化作用．（）例推廣，一般地，某城市由條西方向的街道和m條南北方向的街道組成如圖2A處走到B處所走的路程最短，有多少種不同的走法類解法2有C

種）五“結(jié)入，計(jì)入?！被庥妙}例5某樓房從2樓到3樓共10級(jí)，樓可以一步上一級(jí)，也可一步上級(jí)若規(guī)定從2樓3樓8步完，求樓的方法；分析：從結(jié)果入手，設(shè)計(jì)“插入法模型”，構(gòu)建組合數(shù)求解．解法1：由于1的數(shù)為，可以肯定一個(gè)臺(tái)階6次，步2個(gè)階2次選定一步兩級(jí)或一步一級(jí)，則有

方法；解法2：理解題意，設(shè)計(jì)做法，結(jié)果入手，問題就是六個(gè)1和二2，不同的組合方案就構(gòu)成了不同的走法，分類完成，兩個(gè)2相鄰，先排6個(gè)構(gòu)個(gè)空插入兩個(gè)2，有

種；兩個(gè)2相先6個(gè)1構(gòu)空位插入兩個(gè)有C

種∴有

28種．評(píng)注試比較兩種方法回味設(shè)計(jì)一一對(duì)應(yīng)的做法在求解排列組合應(yīng)用問題中的簡(jiǎn)化作用．六從果手設(shè)“鄰置整分，建列組數(shù)”化解色題例6如圖3，某個(gè)城市在中心廣建造一個(gè)花圃，花圃地區(qū)分為6個(gè)區(qū)，現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花部栽種一且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花不同的栽種方法共有多少種？分析：如何栽種？可重復(fù)的排列問題如何分類？從結(jié)果入手分步2

中再整體分類．先涂1號(hào)域，然后整體思考5，行分類，52，不同色；5