高等數(shù)學(xué)中的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)

4雙曲余弦：y=（>）”函數(shù)：=x04雙曲余弦：y=（>）”函數(shù)：=x00000333一、其它常見初等函數(shù)（大家自己畫出圖象，并分析性質(zhì)）、取整函數(shù)：y[x](不超過x的最大整數(shù)稱為x的數(shù)部)（>）、符號(hào)函數(shù)：ysgnx=0(x=0)－1(x<0)、雙曲正弦：y=

鉤“函數(shù)：y=x

ax

(>、平移后的反比例函數(shù)y=

cx

（ad

）思考：什么條件下它反函數(shù)相同)、最大值和最小值定理：在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，在該區(qū)間上一定有最大值和最小。、有界性定理：在閉間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界。、零點(diǎn)定理：設(shè)數(shù)在閉區(qū)間[,]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)，即，那么在開區(qū)間(內(nèi)至少有一ξ，使得f()=0。、介值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,]連續(xù)，且f(a)≠f(b)，對(duì)于f(a)和f(b)之的任意一個(gè)數(shù)，在開區(qū)間(內(nèi)至少有一點(diǎn)，得f()=。例：求證方程X

4X

在（，）至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根。利用隱函數(shù)求導(dǎo)，可以得到過圓錐曲線上任意一點(diǎn)x，y）切線方程：00、過橢圓

yyy上意一點(diǎn)（xy）切線方程為：

；、過雙曲線

xyb

xy上任意一點(diǎn)（x，y）的切線方程為：

；、過拋物線y上意一點(diǎn)x，y）切線方程為：y如果函數(shù)f(x)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f(x)≠0，且Δx很小時(shí)，有0Δy≈f’)·x0也可寫為：f(x+x≈(xf’(x)·Δx00例1一個(gè)半徑為1厘的鐵球，在表面均勻地涂上一層厚度為厘米的銅，若銅的密度為克厘。問需要多質(zhì)量的銅？（0.13厘×8.9克厘=1.16克例2計(jì)算o′的近值。0.5076定理：如函數(shù)在閉區(qū)間[a,]連續(xù)，在開區(qū)間,內(nèi)導(dǎo)，那么在區(qū)(,b)內(nèi)至少有一ξ（a<<b,使得等式f(b)-f(a)=fˊξ)(b-a)立。例：求證：當(dāng)x>時(shí)<<x。1x

f)證明：設(shè)=ln(1+x)則在區(qū)間[0,x]上續(xù)，在區(qū)間0x）上可導(dǎo)，根據(jù)拉格郎日中f)f(x)-f(0)=

fˊξ)(x-0)0ξ<

x，因?yàn)?，ˊ(x)=

11x

，所以上式可寫為1ln=x1又因?yàn)?<ξ<，以：

<，即1

1x

<ln<x。、定義：若函數(shù)在區(qū)間[a,]上連續(xù)，如果對(duì)于區(qū)間[ab]內(nèi)任意兩點(diǎn)X，X，恒有1（1f(（2f(

)<，函數(shù)圖象是凹的，函數(shù)f(x)叫函數(shù)；2f)))>，函數(shù)圖象是凸的，函數(shù)f(x)叫函數(shù)。2、定理：若函數(shù)在區(qū)間[a,]上連續(xù)，在區(qū)a內(nèi)有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，那么（1若在區(qū)間(a,b)內(nèi)，二階導(dǎo)數(shù)f″(x)>0，則函數(shù)f(x)凹函數(shù)；（2若在區(qū)間(a,b)內(nèi)，二階導(dǎo)數(shù)f″(x)<0，則函數(shù)f(x)凸函數(shù)。向量的兩個(gè)向量和b的向積是一個(gè)向量，作a×b，它模為：∣a×∣∣∣?∣b∣?sin<ab>

a×bb它的方向垂直于ab構(gòu)的平面并和a、b構(gòu)右手系。如右圖所示。從圖中可以看出，ab的模在數(shù)值上等于以、b為邊的平行四邊形的面積。根據(jù)向量積的定義，可以得出下列結(jié)論：（1兩個(gè)相等向量的向量積等于零，即×=；（2兩個(gè)向量共線的充要條件是它們的向量積等于零。（3ii=j×j=k×k=0i×=k，j×k=i，×i=j；j×=–k×=–，i×–j。向量積滿足下列運(yùn)算規(guī)律：（1）反交換：×–×（2）結(jié)合律(a)×bk(×b)

（3）分配律×b+c×+a×；)×=×a+×向量積也可以用坐標(biāo)表示。設(shè)a=，y，)，b=(x，y，)，則：11122×（Y–YZ）i+（ZX–X）j+XY–XYk1211如果先作向量a、向量積，得到新的向量a，再把新向量a×b和向量c作量積，我們就得到一個(gè)形如a×b）實(shí)，這個(gè)實(shí)數(shù)就叫三個(gè)向量a、bc的混合或向數(shù)量。下面分兩種情況討論混合積的幾何意義。一．當(dāng)三個(gè)向量、、c不面時(shí)，混合積×）的絕對(duì)值等于以a、為棱的平行六面體的體積。如圖所示。abbSa二．當(dāng)三個(gè)向量a、、共時(shí)，混合積（a）等零。實(shí)際上×）c等零是三個(gè)向量、b、c共的充要條件。此外，可以證明，混合積的運(yùn)算具有下列性質(zhì)：（a×）（×）a（×）=–（×ac–c×）a=–×）根據(jù)上述性質(zhì)，三個(gè)向量a、c的合積可以簡(jiǎn)單地表示為a、c不必指明三個(gè)向量中是哪兩個(gè)作向量積。向量積也可以用坐標(biāo)表示。設(shè)a=，y