信號與系統(tǒng)-chap第9章拉普拉斯變換

第9章 斯變 LAPLACE拉法國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，法國是天體力學(xué)的主要奠基人、天體演化學(xué)的創(chuàng)立者之一，他還是分析概率論的創(chuàng)始人，因拉斯變換，拉斯定理，拉程。

生于法國諾曼底的博蒙一個(gè)農(nóng)場主家庭青年時(shí)期就顯示出卓越的數(shù)學(xué)才能，曾任巴黎軍事學(xué)院等多個(gè)院校教授。曾任拿侖的老師，拿破侖 中任過 部長。年被選為法蘭西學(xué)院 年任該院院長 卒于巴黎雙邊 雙邊 雙邊 單邊 引言

ejt和ej

estzn 拉 斯變TheLaplace復(fù)指數(shù)信號es 如果LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)es產(chǎn)生的響應(yīng)是y(t)

H

H

h(t)estdtX(s)

x(t)estdtx(的雙邊拉氏變換

s若

s

X(j

x(t)e這就是x

由于X(sx(t)etejtdt[x(t)et]e F[x(t)et

x(t)

xt)

后滿

例1某因果信號

eatu(t)

，aee(sas X(s)

eatestdte(sa)tdt

X(s) a

sX(

(a

[]

（

軸） X(

顯然XX(s)sjX(a

x(t)

eatu(t)

u(t) u(t)s

Re[s]例2

x(t)

eatu(t)X

eatest

e(sa)t

00 00

sS平面上S的集合，稱為拉氏變換的收斂域。拉氏變換的收斂域ROC（RegionofConvergence）對拉氏變換是非常重

X(j)

X

s

如例ROC例

x(t)

etu(t)e2tu(t)etu(t)etu(t)s

Re[s]e2tu(t)

s

Re[s]X(s)

2s s s

s23s

N

(siX X

D(s)

(sii X的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)表示在S平面上表示一個(gè)X

。M于有理函數(shù)，零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)相等[例]：

H(s)

s[(s(s1)2(s2

二階）s

一階

一階s（一階）s

（一階

s

（一階0s0s處的零極點(diǎn)情況:拉氏變換的收斂TheRegionofConvergenceforLaplaceROC是S

時(shí)限信號的ROC是整個(gè)S平面(可能不包括右邊信號的ROC位于S若x

t0

t0，則xx(t)e0t

dt若

0 00

x(t)e0te(10 e(10

0

dt表明

若x(t

(,t0

ROC內(nèi)，10

dt

x(t)e0te(10 e(10

x(t)e0t

dt表明

雙邊信號的ROCS平行于j軸的帶形區(qū)域例

e

0t

x(t)

其它TX(s)T

eatestdtTe(sa)tdtT

e(sa)T sX 有極點(diǎn)s

e(sa)Tsa

jT

顯然X

s

例2

x(t)

ebtx(t)

ebtu(t)

ebtu(t)ebtu(t)

s

ebtu(t)

s

bb

0時(shí)，上述ROC有公共部分X(s)

b

Re[s]s s當(dāng)b

0時(shí)，上述ROC無公共部分，表明X(s)當(dāng)X(是有理函數(shù)且具有多個(gè)極點(diǎn)時(shí)，其

X(s)

s23s s

s

Re[s]

此時(shí)

是因果信號ROC：Re[s]

Re[s]

此時(shí)x(t)是雙邊信號9.3 斯反變TheInverseLaplace由X

x(t)estdt若s X(

j)

x(t)ete

F[x(t)et

X(

j)ejtdx(t)

X(

j)ete

X(s)estds

得ds

當(dāng)

時(shí)

jx(t)

X(s)estds2

X x(以被分解成復(fù)振幅為的復(fù)指數(shù)信號st線性組合。

12

X(s)ds

(s將X(根據(jù)X 的ROC，確定每一項(xiàng)的ROC 斯變

(t)

(n)(t)

微分特eatu(t)

s

u(t)tn

Re[s]1eatu(t)

n!

eatu(t)

s

Re[s]例

X(s)

(s

極點(diǎn)s212121

X(s)

(s

ROC:2

Re[s]X(s)

s1

s s

ROC:Re[s]1etu(t)1s

ROC:

e2tu(t)x(t)

e2tu(t)

etu(t)另外兩種ROC情形，結(jié)果部分分式分解法：更詳細(xì)討 2s39s2

8sX(s)

s22s(s2

4s4s3)

2ss24s2s(s2

4s3)s24s32s1s24s2(t)(t)2s1

2s1

2s1s24s3因此下面僅討論有理真分式①X(s)極點(diǎn)為單極點(diǎn)，無X(s)

A(s)B(s)

1s

s

s則(ss)X(s) iK i1si1

s

s所 Ki

(ssi)X(s)i或i由 estu(t)

Kilim(ssi1

B(s)

s sKiKii

K isi特例：X(ssiX(s)

A(s)B(s)

1s

sj

A(s

A(sK

B(s

B(s B'(s)和A(s) A(s)

A(s)

因 K 極點(diǎn)共軛，系數(shù) s sX(s)

(s)

(s)

Kr (ss

(s

)r

KnsKns r(ss)rX(s) (ss)K (ss)2 (ss)3 (s(s

(s

)r

(s) [(s

)rX(s)]

tnes1tu(t)rr

ds[(ss1 d

X

(s

)n1 n!

1

[(s

X

12

d

[(s

X

rr d

(i1)!

X

u(t)s

tnu(t)

n!

X

x(t)estdt

X(ss01

tneatu(t)n! (s 兩邊對參數(shù)a求a

eatu(t)teatu(t)t2eatu(t)

s(s(s即1t2eatu(t) (s[例]：求下列因果信號的逆變①X(s) (s

X(s)

s35s29ss23s③x(s)s③s(s

④X(s)

[(s解

x(s)(s1)(s

s1k1(s1)X

s1

sss

k2(s2)X

s2

sss1x(s)

2s1

s

x(t)

3e2ts35s29s X(s)

s23s

s2

s1

sx(t)(t)2(t)(2ete2t③x(s)s ③s(s

(s

(s

k4s1 ss sss

1d

s

k1

s13

k2ds

)s1

2ds2

)s12 x(t)[et(3t22t2)2 s

kejcosjsinejejcosjsinejecossin2eje2[(s1)2 s12 s12kA(s1) s1

1 B(s 2(s x(t)1jete2jtu(t)

jete2jtu(t)et(cos2tsin （略

由零極點(diǎn)圖對傅里葉變換幾何求GeometricEvaluationoftheFourierTransformfromthePole-ZeroPlot

X

的特征。當(dāng)ROC包括s

代入X

X

X(

一. 斯變換的幾何求11

X(s)

s零

要求

( ，

1 1

矢量

a

角即

0aaX(s)

s

極點(diǎn)X(s1) 11

1作矢量（稱為極點(diǎn)矢量）

(s1

X MX M

Xs

i

D(s)s1

sii

is1iX(s1)M

X(s)M s1i

i iX(s1

s1i

i 即：從所有零點(diǎn)向

向作極點(diǎn)矢量1 (1 1當(dāng)1 上的點(diǎn)時(shí)，即為傅里葉變換的幾求值?？疾樵? 的(j特二、由系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)分布決定頻域特一階系CC效為一個(gè)儲能元件）系統(tǒng)函數(shù)（電壓比或電流比）僅一個(gè)極點(diǎn)，且位于實(shí)軸上Kss ss[例研究圖所示RC高通N110 H(s)V2

R s 它有一個(gè)零點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，而極點(diǎn)位于

Hs11N以矢量因子Nej1，Mej1表11N

sH(j)

Me

V

ej(其

N1

() H(j)

N NMe

V

現(xiàn)在分析當(dāng)從0沿虛軸向

H

j如何隨之改變當(dāng)0N M

V2N1

(0)

1N11

1 12M V2N1 2

22

)

M11當(dāng) 1

()

V2N1 M1N11001121V 121 1

1截止頻率位于 處由同一類型儲能元件構(gòu)成的二階系統(tǒng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)（電壓比或電流比）Kss

z2p2也可出 K

s

K等形式spsp

sps 2別構(gòu)成低通、高通、帶通、帶阻等濾波特性22 |H(j)| 2

|Hj0|022221222222212222212

|H(j)|K

|H(j)|

|Hj0|0帶

p2

|H(j)|K

|H(j)|

|H(j0)

p2

2

|H(j)|1s21

2

|H

j0)|K

|H

j)|

|H(

|0s

p2

2

2

p2

H(0 )|0含有電容、電感兩類儲能元件的二階系統(tǒng)可以具有諧振性，在無線電技術(shù)中，常利用它們的這一性能構(gòu)成帶通RL帶阻濾波網(wǎng)絡(luò)RL ZsV2s

1 I1s

GsCG2C1

(sp1)(sp2

G

220 220101

d

Z(j)1

1

(j

)(jp M

× 分析三個(gè)矢量大小的變幅頻特性和相頻特性曲線如下圖所示例3H(s)

sas

H(j任何時(shí)候都等于1，所a|H(j)

H

1)

二階全通系 三階全通系

CCRLR2Z

2 21VSZ1Z

2Z1Z2Z1ZZ1ZV22'Vs

sHs

Z2Z1

R

V1s

Z2

RZ1

R

sL例4于 j如：Butterworth、ChebyshevCauer濾波器非最小相移函 最小相移函 全通函(sz)(sz

(sz)(sz

(sz)(szHa(s)

Hb(s)

Hc(s) (sp)(sp

(sp)(sp

(sz)(sz p10p1z1顯 Hap10p1z1

z10

1z1

0 zz

拉氏變換的性PropertiesoftheLaplace線性（Linearity

X2(s),

ROC:則1tbx2

aX1(s)bX2

(t)

tetut

x2

etutX1(s)

s1

s2s1

ROC:X(s)

1

ROC: s1而x1(tx2(tt

當(dāng) X(s)在時(shí)移性質(zhì)（Time若x(t)

X

ROC:

t0)

X(s)est0

S域平移（Shiftinginthe 若x(t

X

ROC

X

ROC:表明X

的ROC是將X

0一個(gè)Re[s0

例.

etut,X(s)

s1

x(t)

e3tutX(s

2)

s顯 ROC: x(t)

X

ROC: x(at)a

ROC:etu(t)

s1

ROC:e2tu(t)

ROC:2s/21 s特 x(t)

X

若x(t

X

ROCRx(t)

X(s

ROC:x(t)

X

x

x(t)

x(t) X(s)

X(s)

X(s)

X(s)若X(s0則X(sX

) 如果x是實(shí)信號， (

s

一定X

00卷積性質(zhì):（Convolution若x1(t

x2(t)

X2

ROCR2x1(t)x2(t)

X1(s)X2(s)

ROC:包括 例 X

1(s)2(s)

s1 s

ROC:R1ROC:R2

顯然有:

X1(s)X

(s)

s1s

2

s1

s

設(shè)X3(s

s2s

ROC:R3

仍有

X1(s)X3(s)

s2

原因是X1(s)與X2(s)相乘時(shí)，發(fā)生了零極點(diǎn)時(shí)域微分:（Differentiationin 若x(t

X

則

sX

ROC包括Ru(t)s

Re[s](t)

S域微分:（Differentiationinthe x(t)

X

ROC:則tx(t)

dX(s)

ROC:例.X(s

(s

ROC:

求 d (sa)2 s x(t)teatu(t)時(shí)域積分:（Integrationinthe 若x(t

X

t x(t

1X(s)sROC包括

(Re[s]

(t)

x(t)u(t)t x()d1X(s)t

ROC:包 (Re[s]tt

X(j)

初值與終值定理（TheInitial-andFinal-Value如 x(因果信號，且 t含奇異函數(shù)則

x(0

limsX

t0

x(t)

且 t含奇異函數(shù)x(t)

x(t)u(t)將x(t在

x(t)

t2 (n)

tn x(0)

(0)t

(02

(0 n!

u(t) X(s)

1x(0)

x(0)

x(n)(0) s2

n0

x(n)(0

sn1limsX(s)

x(0如 x(因果信號，且 t含奇異函數(shù)(s)t

x(t)

s0

x(t)是因果信號，且在t0奇異函數(shù)

dx(t)

estdt

estdx(t)x(t)est

s s

x(t)estdtx(t)limestx(t)x(t)estx(0

est

x(0)

sX(s)當(dāng)s0

est

limx(t)t

x(0t

x(t)

limsX(s)s0[例]：求原函數(shù)的初值和終 X(s) X(s)

(s s1

X(s) X(s)

(s2

X(s)

s1s(ss2(s解

(sx(0)limsX(s)

s(s

x()limsX(s)

s(s2)(s

x(0)limsX(s)

s(s

x(∞)不存

s(s1)(s x(0)limsX(s)

s1

x()limsX(s)1/

s

x(0)limsX(s)

s1

x(∞)

s(s x(0)limsX(s)

s(s

x(∞)

s

1)(s常用拉氏變換SomeLaplaceTransformP499表記住下列基本信號的變換對和基本性基本性質(zhì)：時(shí)域微分性質(zhì)、S域微分性用拉氏變換分析與表征LTI系ysisandCharacterizedofLTISystemsUsingtheLaplaceTransformY(s)其中H

ht)氏變換，稱為系統(tǒng)函數(shù)或如果Y(s)的ROC

軸，則X

和H

js

j代入，即Y(j)

X(j)H

這就是LTI系統(tǒng)的傅里葉分析H

H 統(tǒng)。系統(tǒng)的許多重要特性在H(s)及其ROC二.用系統(tǒng)函數(shù)分析LTI

h(t)

dt。數(shù)）。因此H 必存在。意味著H

j軸如果t

t

系統(tǒng)是因果的

H( H(的ROC必是最左 例 若

H(s)

s1,

Re[s]H

t1)u(1因果的由于ROC包括

H(s)

es1,

Re[s]H

e(t

某系統(tǒng)

etu(t)e2tu(t)H(s)

2s

ROC:Re[s]s1 s

s23sROC包括j

系統(tǒng)也是穩(wěn)定H 穩(wěn)定的。否則，系統(tǒng)一定是反因果的。然包括j例設(shè)某LTI系統(tǒng)是因果的；若x(t)=1則由條件3

x(t)

y(t)

H(0)e0t結(jié)合條件2

H(s)

(s2)(s由條件4和初值定

q(s) x1)h(t)e3tx

h(t)dt3)t·h(t)√4)H(t)的導(dǎo)數(shù)的 x5)h(t)X6)H(s)無 s

H(s)五.Butterworth濾波器模平方函數(shù)給出。對NButterworth低通濾波B(j)

1

/

2

由于

j)

j)B

B

j)

將

)數(shù)拓展到整個(gè)S平面有B(s)B(s)1

1

/

)2

(1)2N(j)

e s

2k1

(kI 2N B(s)B(s)

2N個(gè)極點(diǎn)等間隔均勻分布在半徑為c的圓周上

極點(diǎn)分布總是關(guān)于原點(diǎn)對稱的。sk和-sk

B據(jù)此，確定出B( 后，也就可以綜合出一Butterworth系統(tǒng)函數(shù)的代數(shù)屬性與方框圖表SystemFunctionAlgebraandBlockDiagramH(s)

H1(s)H2ROC包括并聯(lián)：H(s

H1(s)

H2ROC

包括 X1(s)

X(s)G(s)YY(s)X1(s)H1(s)[X(s)G(s)YH(s)

Y(s)

H1(s)

ROC

包括 X(s) 1G(s)H1(s) 1s1s1s1s sY

Y(s)H(s)

s由Y(s)=H(s)X(s) (s2)YsY(s)X(s)2Y

sY(s) Y1s-1s如果分子為H(s)

s24s由Y(s)=H(s)X(s)1s1ss2Y(s)X(s)4sY(s)3Y(1s1s

s2Y(s)--

sY Y如果H(s)比較復(fù)雜，如分子為s+1或 dk

y(t)

dkx(t)akk

dtk

k

dtk 對其進(jìn)行拉氏變換有：askY

bskX(s)Y(s)

kbbkk

kH(s)

X(s)

k aakkk

H 將H(的分子和分母多項(xiàng)式因式分 N2b

s2

s

0k(skH(s)

Nk k1 Q s2Qk

1k

0k

N2Qk

kN

s2

sH(s)

N a

(s)

Hk(s)

0ks2 s k

0k將H

開為部分分式(假

H(s)

NkN

s s

N H(s)

N 0k

k

s2

s

k

s 0k 單邊 斯變TheUnilateralLaplace單邊拉氏變換對分析LCCDE描述的增量線

(s)

x(t)estdt如果xx(t)

1

t2

x(t)

ea(t

X(s)

sa

(s)

ea(t1)estea

e(sa)tdt

s

ea

Re[s]

同，是因

作X，而 沒有任(作用所致。因此，單 (s)

s2s由于其ROC為(s)

s2

s

e2tu(t)同（線性、時(shí)域尺度變換、共軛、S域平移、S時(shí)域微分（Differentiationinthe 若x(t)

(s)

s(s)

x(0

dx(t)estdt

x(t)est

s(s)x(00s(s)x(00

dt2

s(s)sx(0)

(0例.某LTId2dt2

3

2y(t)

x(t)

2u(t),y(0

y(0

求零狀態(tài)響應(yīng),零輸入響應(yīng),自由響應(yīng)和強(qiáng)迫s2Y(s)sy(0)

y(0

y(0)]2Y(s)

X(s)s2