2023版中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分大專題五綜合與實(shí)踐課件

滿分大專題五

綜合與實(shí)踐

針對(duì)中考22題培優(yōu)精講本節(jié)滿分大專題復(fù)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷審題的過程，找到輔助線添加方法的切入點(diǎn)，體驗(yàn)不同類型的輔助線添加方法，探索出適合自己的輔助線的添加方法.2.會(huì)根據(jù)題目條件添加適當(dāng)?shù)妮o助線，準(zhǔn)確找到幾何壓軸題的審題切入點(diǎn)，掌握解決問題的通性通法，提高分析問題、解決問題綜合能力.類型一

輔助線添加一、與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線1名師一點(diǎn)通2典例精講3滿分訓(xùn)練名師一點(diǎn)通

與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線典例精講

綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖，在?ABCD中，BE⊥AD，垂足為E，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接EF，BF，請(qǐng)直接寫出EF與BF的數(shù)量關(guān)系，并簡(jiǎn)要寫出證明思路．與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線有哪些？思路一：構(gòu)造中心對(duì)稱全等三角形.方法一，如答圖1，延長(zhǎng)BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.①證明△DFH≌△CFB，得到FH=FB；②根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得到FB=FE.一題多解方法二，類似的方法，輔助線構(gòu)造如示意圖1.思路二：根據(jù)平行線分線段成比例及中點(diǎn)構(gòu)造平行線.方法三，如答圖2，過點(diǎn)F作FH∥AD.①利用平行線分線段成比例易得H為BE的中點(diǎn)；②由FH∥AD，BE⊥AD推出FH垂直平分EB，得到FB=FE.思路三：遇中點(diǎn)想辦法構(gòu)造直角三角形（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）或等腰三角形.方法四，如答圖3，過點(diǎn)D作DH⊥BC，連接FH.①易證四邊形EBHD是矩形，所以ED=BH，∠EDH=∠BHD=90°；②在Rt△DHC中，根據(jù)F為DC的中點(diǎn)，得FH=FD，所以∠FDH=∠FHD；③易得∠EDF=∠BHF，易證△DEF≌△HBF，所以FE=FB.方法五，類似的方法，輔助線構(gòu)造如示意圖2.思路四：中點(diǎn)、平行線可以想到把中點(diǎn)分成的兩個(gè)三角形放到兩個(gè)全等三角形中（直角三角形）.方法六，如答圖4，過點(diǎn)F作FN⊥BC于N，延長(zhǎng)NF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.①易證△MFD≌△NFC，所以FM=

FN，易證四邊形MEBN是矩形，所以ME

=

NB；②易證△FME≌△FNB，所以FE=FB.滿分筆記滿分訓(xùn)練

綜合與實(shí)踐問題情境：如圖1，M是線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），分別以AM和BM為斜邊在AB同側(cè)構(gòu)造等腰直角三角形AMC和等腰直角三角形BMD，連接CD.取AB中點(diǎn)E，CD中點(diǎn)F，連接EF．猜想驗(yàn)證：（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合時(shí)，試判斷EF與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.猜想驗(yàn)證：（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合時(shí)，試判斷EF與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.延伸探究：（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E不重合時(shí)，問題（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由.思路一：倍長(zhǎng)中線構(gòu)造中心對(duì)稱全等，再利用雙中點(diǎn)構(gòu)造中位線求證.解：方法一，如答圖，連接CE，延長(zhǎng)CE至點(diǎn)G，使EG=

CE，則E是CG的中點(diǎn)，連接BG，GD.∵△ACM與△MDB是等腰直角三角形，∴BD=

MD，MC=

AC，∠BDM=∠MCA=90°.∴∠1

=∠A

=∠2=∠3

=

45°.∴∠CMD=

90°.∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE=

BE.類似的方法還有很多，輔助線構(gòu)造示意圖如下：方法二

方法三

方法四思路三：構(gòu)造等腰直角三角形，利用三線合一求解.點(diǎn)撥：方法六，如圖析2，延長(zhǎng)AC，BD相交于點(diǎn)G，連接EC，EG.思路四：構(gòu)造中位線.點(diǎn)撥：方法七，如圖析3-1，連接BC，取BC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.（3）若AB=2，線段EF的長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，請(qǐng)直接寫出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．類型一

輔助線添加二、與角平分線有關(guān)的輔助線1名師一點(diǎn)通2典例精講3滿分訓(xùn)練名師一點(diǎn)通

與角平分線有關(guān)的輔助線構(gòu)造對(duì)稱全等構(gòu)造等腰三角形典例精講

如圖，在△AOB中，∠AOB=120°，OC是△AOB的角平分線，OA=7.5，OB=5，直接寫出線段OC的長(zhǎng)，并簡(jiǎn)要寫出解題思路.解：CO=3.思路如下：思路一：角平分線+平行線構(gòu)造等腰三角形.一題多解類似的方法還有很多，輔助線構(gòu)造示意圖如下：方法二方法三方法四方法五方法六思路二：面積法方法七，如答圖2，過點(diǎn)A作AE⊥BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C分別作CM⊥AO于點(diǎn)M，CN⊥BO于點(diǎn)N.滿分訓(xùn)練

1.如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C

=90°，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在底邊BC上，且∠FAE=∠DAE．（1）請(qǐng)直接寫出∠AEF的度數(shù).解：（1）∠AEF=90°.平行線、角分線和中點(diǎn)同時(shí)出現(xiàn)如何添加輔助線構(gòu)造基本圖形？（2）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C不是直角，點(diǎn)F在底邊BC或其延長(zhǎng)線上，如圖2、圖3，其他條件不變，你在（1）中得出的結(jié)論是否仍然成立？若都成立，請(qǐng)證明；若不都成立，請(qǐng)說明理由.如圖析，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H先證明△ADE≌△HCE，再證△AFH是等腰三角形，利用三線合一求得∠AEF=90°方法（一）平行線夾中點(diǎn)延長(zhǎng)構(gòu)造中心對(duì)稱全等平行線+角平分線→等腰必出現(xiàn)一題多解都成立.以圖2為例證明．證明：如答圖，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.∵AD∥BC，∴∠D=∠ECH，∠DAE=∠H.∵E為DC的中點(diǎn)，∴DE=EC.∴△ADE

≌△HCE（AAS）.∴AE=HE.∵∠FAE=∠DAE，∴∠FAE=∠H.∴FA=FH.∴EF⊥AE.∴∠AEF

=90°．易證△HDE≌△FCE，得EH=EF，但根據(jù)AE=AE，∠EAF=∠EAH不能證明△AEF≌△AEH.易錯(cuò)點(diǎn)撥如圖析2，過點(diǎn)EA作EH⊥AF如圖析3，在FA上截取AH=

AD，連接EH先證△AHE

≌△ADE，再證△HEF

≌△CEF，易求∠AEF=

90°方法（二）截長(zhǎng)補(bǔ)短2.如圖，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)E．（1）若∠A=60°，則CE與BC之間的數(shù)量關(guān)系為

.（2）若∠A=90°，猜想CE與BC之間的數(shù)量關(guān)系并證明.證明如下：如答圖1，過點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F．∵∠A=90°，AB=AC，∴△ABC為等腰直角三角形.∴∠ABC=∠ACB=45°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．（3）若∠A=∠D=90°，CD=2，求BE的長(zhǎng).如答圖2，延長(zhǎng)BA和CD，交點(diǎn)為G.∵BD平分∠ABC，BD⊥CG，∴∠G=∠BCG，GD=CD=2，CG=4.∵∠BAC=∠BDC=90°，∴∠G+∠GCA=90°，∠G+∠EBA=90°.∴∠GCA=∠EBA.又∵∠BAE=∠CAG=90°，AB=AC，∴△BAE≌△CAG，∴BE=CG=4.類型二

猜想與證明典例精講

一、從特殊圖形到一般圖形綜合與實(shí)踐——四邊形旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學(xué)“智慧”小組在課外活動(dòng)中研究了一個(gè)問題，請(qǐng)幫他們解答．任務(wù)一：如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，AD

=8，E，F(xiàn)

分別為AB，AD邊的中點(diǎn)，四邊形AEGF為矩形，連接CG．（1）請(qǐng)直接寫出DF與CG之間的數(shù)量關(guān)系：

．解：（1）（2）如圖2，當(dāng)矩形AEGF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)G落在邊AB上時(shí)，試猜想DF與CG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.方法一：把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，旋轉(zhuǎn)相似.關(guān)注特殊圖形與一般圖形的關(guān)系方法二：構(gòu)造直角三角形計(jì)算求解.一題多解方法一，如答圖1，連接AC.如圖1，四邊形ABCD和四邊形AEGF都是矩形，E，F(xiàn)分別為AB，AD邊的中點(diǎn)，AB=6，AD=8，∴DC=AB=6，BC=AD=8，GF=AE=AB

=3，EG=AF=AD=4，∠AFG=∠ADC=90°.

點(diǎn)撥：方法二，如圖析，過點(diǎn)F作FP⊥AD，利用勾股定理分別求出DF，CG的長(zhǎng)即可.（3）當(dāng)矩形AEGF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖3的位置時(shí)，（2）中DF與CG之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？請(qǐng)說明理由．觀察圖2與圖3發(fā)現(xiàn)，圖形位置發(fā)生變化，圖形不變，字母不變，所以方法不變.解：成立.理由如下，如答圖2，連接AC，AG.由（2）得AD=8，DC=6，AC=10，AF

=4，GF

=3，AG=5.∵△AGF∽△ACD，∴∠GAF=∠CAD.∴∠GAF

+∠FAC=∠CAD+∠FAC，即∠GAC=∠FAD.

任務(wù)二：“智慧”小組對(duì)圖形的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行了拓展研究，如圖4，在□ABCD中，∠B

=60°，AB=6，AD=

8，E，F(xiàn)分別為AB，AD邊的中點(diǎn)，四邊形AEGF為平行四邊形，連接CG．（4）“智慧”小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)DF與CG之間仍然存在著特定的數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)寫出這個(gè)特定的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.解：（4）如答圖3，延長(zhǎng)EG交CD于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CK⊥GH于點(diǎn)K，則∠CKH=90°.由題意可知四邊形ABCD與AEGF是平行四邊形，AB=6，AD=8，E，F(xiàn)分別為AB，AD邊的中點(diǎn)，∠B

=

60°.（5）如圖5，當(dāng)□AEGF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，其他條件不變時(shí)，“智慧”小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)DF與CG仍然存在著這一特定的數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)你直接寫出這個(gè)特定的數(shù)量關(guān)系.解：（5）.圖形發(fā)生變化，但變換與矩形變換類似，參照任務(wù)一中思路求解即可.特殊與一般的關(guān)系：如圖，借助特殊，探究一般，把共頂點(diǎn)的比例線段所在的四邊形轉(zhuǎn)化為相似三角形，分離基本圖形，方法前后一致.滿分訓(xùn)練

（原創(chuàng)）把正方形ABCD與正方形EFGH按如圖1方式擺放，直角頂點(diǎn)F在斜邊AC上，AC，EG的中點(diǎn)均為O，連接CG，BF，BO，顯然點(diǎn)B，G，O在同一條直線上．（1）判斷線段CG和BF的數(shù)量和位置關(guān)系．（直接寫出結(jié)論，不需要證明）.

解：（1）CG

=

BF，CG⊥BF.點(diǎn)撥：如圖析，根據(jù)SAS證明全等，8字角等證明CG⊥BF.

（2）將圖1中的正方形EFGH繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到圖2，此時(shí)（1）中的結(jié)論是否成立？說明理由.解：（2）成立，理由如下：如答圖1，連接HF，BD，延長(zhǎng)CG交BF于點(diǎn)M.∵四邊形ABCD，EFGH是正方形，點(diǎn)O是AC，EG的中點(diǎn)，∴AC⊥BD，BO=

DO=

AO=

CO，HF⊥GE，HO

=

FO

=GO=

EO.∴∠COB=∠BOA=90°.∴∠COB+∠BOG=∠GOF+∠BOG，即∠COG=∠BOF.∴△COG≌△BOF（SAS）.∴CG=BF，∠OCG=∠OBF.又∵∠CNO=∠BNM，∴∠BMN=∠COB=

90°.∴CG⊥BF.（3）如圖3，把題目條件改為菱形ABCD與菱形EFGH，其中∠ABC=∠EFG=2α，（1）中的數(shù)量關(guān)系仍然成立嗎？如果成立，請(qǐng)說明理由；如果不成立，請(qǐng)求出CG和BF之間的數(shù)量關(guān)系.典例精講

二、從特殊位置到一般位置1.

綜合與實(shí)踐——探究圖形中角之間的等量關(guān)系及相關(guān)問題．問題情境：正方形ABCD中，點(diǎn)P是射線DB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE⊥射線AP于點(diǎn)E，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，連接CQ，設(shè)∠DAP=

α（0°<

α

<135°），∠QCE=β．初步探究：（1）如圖1，為探究α與β的關(guān)系，勤思小組的同學(xué)畫出了當(dāng)α滿足0°<

α

<45°時(shí)的情形，射線AP與邊CD交于點(diǎn)F.他們得出此時(shí)α與β的關(guān)系是β=2α.借助這一結(jié)論可得當(dāng)點(diǎn)Q恰好落在線段BC的延長(zhǎng)線上（如圖2）時(shí)，α

=

°，β

=

°.30

60圖形位置發(fā)生變化，字母不變，條件不變，方法不變.分離基本圖形，得到全等三角形和相似三角形．深入探究：（2）如圖3，敏學(xué)小組的同學(xué)畫出當(dāng)α滿足45°<α<90°時(shí)的圖形，AP與邊BC交于點(diǎn)G.試猜想此時(shí)α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.解：（2）β

=2（90°-

α）.理由如下：如答圖1，連接PC.∵點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，∴EP=

EQ.∵CE⊥AQ，∴CE垂直平分PQ.∴CP=CQ.∴∠QCE=∠PCE.∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB=CD=DA，∠BAD=90°，∠ABD=∠CBD=45°.∵BP=BP，∴△ABP≌△CBP（SAS）.∴∠BAP=∠BCP

=∠BAD-∠DAP=90°-

α，AP=CP.∵∠ABG=

∠CEG=

90°，∴∠BAP+∠AGB=

90°，∠GCE+∠CGE=

90°.∵∠AGB=∠CGE，∴∠BAP=∠GCE.∴∠BCP=∠GCE=90°-α.

∴∠QCE=∠PCE=

2∠GCE=

2（90°-α），即β=2（90°-α）.拓展延伸：（3）請(qǐng)你進(jìn)一步探究：①當(dāng)90°<

α<135°時(shí)，α與β之間的數(shù)量關(guān)系為

.解：①β=

2（α

-90°）點(diǎn)撥：當(dāng)90°<α

<135°時(shí)，α與β之間的數(shù)量關(guān)系為β

=2（α

-90°），證明思路與（2）類似.圖形位置發(fā)生變化，基本圖形未發(fā)生變化.②已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)α

=

β時(shí)，PQ的長(zhǎng)為

.點(diǎn)撥:當(dāng)0°<α

<45°時(shí)，β

=2α，不合題意.當(dāng)45°<

α

<90°時(shí)，β

=2（90°-α），∵α

=β，解得α

=β

=60°，計(jì)算即可.當(dāng)90°<α<135°時(shí)，β

=2（α

-

90°），∵α=β，∴α

=β

=180°，不合題意.解：②

借助特殊探究一般——思前想后；圖形位置在變方法不變——分離圖形.獨(dú)立思考：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，點(diǎn)E在CD邊上時(shí)，BP與CE之間的數(shù)量關(guān)系是

.問題情境：在綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)老師提出了一道思考題：如圖，在正方形ABCD中，P是射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為直角邊在AP邊的右側(cè)作等腰直角三角形APE，使得∠APE

=90°，AP=

PE，且點(diǎn)E恰好在射線CD上.

滿分訓(xùn)練

探索發(fā)現(xiàn)：（2）當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD外部時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)?jiān)趫D2與圖3中選擇一種情況進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

探索發(fā)現(xiàn)：（2）當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD外部時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)?jiān)趫D2與圖3中選擇一種情況進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

問題解決：（3）如圖4，在正方形ABCD中，AB

=

，當(dāng)P是對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，連接BE，若BE

=

，求△BPE的面積.

類型三

圖形的平移典例精講

綜合與實(shí)踐問題情境：如圖1，□ABCD中，∠A

=60°，AB⊥

BD，AB

=1.操作發(fā)現(xiàn)：（1）如圖2，將圖1中的△ABD沿著射線BD的方向平移得到△A'B'D'，點(diǎn)A，B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A'，B'，D'，連接A'B，CD'.菱形

①當(dāng)△ABD沿著射線BD的方向平移

個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，四邊形A'BCD'的形狀是

.②當(dāng)△ABD沿著射線BD的方向平移

個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，四邊形A'BCD'的形狀是矩形.（2）如圖3，將圖1中的△ABD沿著射線BC的方向平移得到△A″B″D″，點(diǎn)A，B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A″，B″，D″，連接A″B，CD″.在平移的過程中，四邊形A″BCD″能否成為菱形？若能，求出平移的距離；若不能，說明理由.拓展延伸：（3）請(qǐng)你參照以上操作，將圖1中的△ABD在同一平面內(nèi)進(jìn)行兩次平移，得到△A?B?D?，點(diǎn)A，B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A?，B?，D?，連接A?B，CD?，使得四邊形A?BCD?為正方形.在圖4中畫出平移后構(gòu)造出的新圖形，標(biāo)明字母，說明平移及構(gòu)圖方法，不必證明.連接A?B，D?C，此時(shí)四邊形A?BCD?為正方形.1.（2022百校一）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了一個(gè)問題.如圖1，在正方形ABCD中，AB=2，分別以AB，CD為邊在正方形ABCD內(nèi)部作等邊三角形ABE

與等邊三角形CDF，線段AE與DF交于點(diǎn)G，線段BE與CF交于點(diǎn)H.猜想GE與GF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.滿分訓(xùn)練

數(shù)學(xué)思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問題.解：（1）GE

=

GF.證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=

CD，∠BAD=∠CDA=90°.∵△ABE與△CDF都是等邊三角形，∴∠BAE=∠CDF=60°.∵∠BAE+∠GAD=90°，∠CDF+∠GDA=90°，∴∠GAD=∠GDA=30°.∴AG=

DG.∵△ABE與△CDF都是等邊三角形，∴AB=

AE，DC=

DF.∴AE=

DF.∴AE-

AG=

DF-

DG.∴GE=

GF.深入探究：（2）試判斷四邊形EGFH的形狀，并加以證明.解：（2）四邊形EGFH是菱形.證明：∵△ABE與△CDF都是等邊三角形，∴∠E

=∠F

=60°.由（1）知∠GAD=∠GDA=30°.∴∠AGF=∠GAD+∠GDA=60°.∴∠E

=∠AGF，∠AGF=∠F.∴FG∥HE，GE∥FH.∴四邊形EGFH是平行四邊形.由（1）得，GE=

GF，∴四邊形EGFH是菱形.問題拓展：（3）將△CDF從圖1的位置開始沿射線CD的方向平移得到△C'D'F'，連接AF'，EC'.當(dāng)四邊形AF'C'E是矩形時(shí)，得到圖2.請(qǐng)直接寫出平移的距離.解：（3）2.如圖1，△ABC

≌

△DEF，且點(diǎn)B，E重合，點(diǎn)C，F(xiàn)重合，∠A=90°，AB=3，AC=4.（1）如圖2，將△DEF沿射線CB方向平移，連接AE，AF，當(dāng)AE∥DF時(shí)，AE和AC有什么數(shù)量關(guān)系？判斷四邊形AEDF的形狀，說明理由，并求出△DEF的平移距離.（2）如圖3，將△DEF沿射線CB方向平移，當(dāng)點(diǎn)D落在射線AB上時(shí)，DB和DE有什么數(shù)量關(guān)系？說明理由并求出△DEF的平移距離.（3）如圖4，將△DEF沿射線BC方向平移，過點(diǎn)D作DG∥AB交射線BC于點(diǎn)G，連接AG，判斷四邊形ABDG的形狀，并說明理由.解：（3）四邊形ABDG是平行四邊形.理由如下：∵DG∥AB，∴∠DGB

=∠ABG.∵∠ABG=∠DEG，∴∠DGB=∠DEG.∴DG=

DE.∵DE=

AB，∴DG=

AB.∴四邊形ABDG是平行四邊形.（4）在（3）的條件下，當(dāng)四邊形ABDG為矩形時(shí)，直接寫出△DEF平移的距離.解：（4）類型四

圖形的對(duì)稱典例精講

1.

（2021山西第22題·13分）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出了一個(gè)問題:如圖1，在□ABCD中，BE⊥AD，垂足為E，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接EF，BF，試猜想EF與BF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問題.2021/第22題實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將□ABCD沿著BF（F為CD的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖2，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，連接DC'并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，請(qǐng)判斷AG與BG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.圖形折疊，能得到哪些結(jié)論？要證明線段長(zhǎng)度相等，有幾種方法？分析思路一：先證明四邊形DGBF是平行四邊形，再證明G為AB的中點(diǎn).方法一：如圖析1.圖析1分析方法二：如圖析2，連接CC'交FB于點(diǎn)N.分析思路二：構(gòu)造全等，證明AG=

BG.方法三：如圖析3，在DG上截取DM

=

C'G，連接AM.問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將□ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，如圖3，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，使A'B⊥CD于點(diǎn)H，折痕交AD于點(diǎn)M，連接A'M，交CD于點(diǎn)N.該小組提出了一個(gè)問題:若此□ABCD的面積為20，AB=5，BC=

，求圖中陰影部分（四邊形BHNM）的面積.請(qǐng)你思考此問題，直接寫出結(jié)果.解：（3）綜合與實(shí)踐問題情境：如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=

CF，將矩形ABCD紙片分別沿BE，DF折疊，點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A'，C'.操作探究：（1）如圖1，當(dāng)四邊形EBFD是菱形時(shí)，求AE的長(zhǎng).滿分訓(xùn)練

解：（1）∵四邊形EBFD是菱形，∴EB=

BF=

FD=

DE.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A

=90°.由折疊可得AE=

A'E，設(shè)AE=

A'E=x，則BE=

DE=8-

x.∵在Rt△ABE中，∠A

=90°，∴AB2+AE2

=

BE2.∴62+

x2=（8-

x）2，解得x=

.（2）如圖2，若點(diǎn)A'，C'均落在對(duì)角線BD上，點(diǎn)G，H分別是AD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，GC

=

GH，當(dāng)GH經(jīng)過點(diǎn)A'時(shí)，求CH的長(zhǎng).拓展探究：（3）如圖3，連接A'C'，當(dāng)A'C'∥AB時(shí)，AE的長(zhǎng)為

.一題多解（4）在（3）的基礎(chǔ)上，直接寫出線段A'C'的長(zhǎng)度.解：（4）一題多解類型五

圖形的旋轉(zhuǎn)典例精講

1.

（2022山西第22題·13分）綜合與實(shí)踐問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8.直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點(diǎn)D放在Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點(diǎn)M，N.2022/第22題猜想證明：（1）如圖1，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由.由點(diǎn)M和點(diǎn)D分別是AB，BC的中點(diǎn)能得到什么結(jié)論？判定四邊形AMDN是矩形的方法有哪些？分析

要證四邊形AMDN是矩形，已知兩個(gè)角是直角，只要證明第三個(gè)角是直角即可.思路一：利用中位線，證明∠AMD

=90°.分析

思路二：利用相似，證明∠AMD

=90°.分析

思路三：利用等腰三角形三線合一，證明∠AMD=90°.方法四：如圖析，連接AD.解：四邊形AMDN為矩形.理由如下：∵點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴MD∥AC.∴∠AMD+∠A

=180°.∵∠A

=90°，∴∠AMD=90°.∵∠EDF=90°，∴∠A

=∠AMD=∠MDN=90°.∴四邊形AMDN為矩形

.問題解決：（2）如圖2，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠B=∠MDB時(shí)，求線段CN的長(zhǎng).一題多解（3）如圖3，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AM

=

AN時(shí)，直接寫出線段AN的長(zhǎng).解：（3）1.

以圖形旋轉(zhuǎn)為主線的探究題中，審題的關(guān)鍵點(diǎn)是“抓聯(lián)系，找出不變結(jié)論；抓瞬間，發(fā)現(xiàn)特殊位置的結(jié)論”.具體可歸納為以下過程：2.求解有關(guān)三角形的線段長(zhǎng)度時(shí)，如果三角形具備唯一性（三角形中已知條件滿足判定三角形全等的條件），則此三角形可求解.此時(shí)我們可以綜合運(yùn)用勾股定理、銳角三角函數(shù)、相似三角形等性質(zhì)進(jìn)行求解.滿分筆記（2022濰坊）綜合與實(shí)踐情境再現(xiàn)：（1）甲、乙兩個(gè)含45°角的直角三角尺按如圖1方式放置，甲的直角頂點(diǎn)放在乙斜邊上高的垂足O處.將甲繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角到圖2位置.小瑩用作圖軟件按圖2作出示意圖，并連接AG，BH，如圖3所示，AB交HO于點(diǎn)E，AC交OG于點(diǎn)F，通過證明△OBE≌△OAF，可得OE=

OF.請(qǐng)你證明：AG=

BH．滿分訓(xùn)練

解：（1）證明：已知△OBE

≌△OAF，∴BE

=

AF，OE=

OF，∠BEO=∠AFO.∴∠BEH=∠AFG.∵OH=

OG，∴OH-

OE=OG-

OF，即EH=FG.∴△BHE≌△AGF（SAS）.∴BH=

AG.

解：（2）DG⊥BH.證明如下，由（1）知△BHE≌△AGF，∴∠BHE=∠AGF.∵∠HOG=90°，∴∠AGF+∠GPO=90°.∴∠BHE+∠GPO=90°.∵∠GPO=∠HPD，∴∠BHE+∠HPD=90°.∴∠HDP=90°.∴DG⊥BH.

（2）遷移應(yīng)用：如圖4，延長(zhǎng)GA分別交HO，HB所在直線于點(diǎn)P，D，猜想并證明DG與BH的位置關(guān)系．（3）拓展延伸：如圖5，小亮將圖2中的甲、乙兩個(gè)含45°角的直角三角尺換成含30°角的直角三角尺，按圖5作出示意圖，并連接HB，AG，如圖6所示，其他條件不變，請(qǐng)你猜想并證明AG與BH的數(shù)量關(guān)系．（4）如圖6，若Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=10.當(dāng)OA平分∠HOG時(shí)，請(qǐng)直接寫出兩塊三角板的重疊面積.類型六

圖形變換綜合典例精講

綜合與實(shí)踐——旋轉(zhuǎn)+平移問題情境：在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“菱形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖1，將一張菱形紙片ABCD（∠BAD>90°）沿對(duì)角線AC剪開，得到△ABC和△ACD．操作發(fā)現(xiàn)：（1）將圖1中的△ACD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠α，使∠α

=∠BAC，得到如圖2所示的△AC'D，分別延長(zhǎng)BC和DC'交于點(diǎn)E，則四邊形ACEC'的形狀是

.菱形（2）創(chuàng)新小組將圖1中的△ACD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠α，使∠α

=2∠BAC，得到如圖3所示的△AC'D，連接DB，C'C，得到四邊形BCC'D，發(fā)現(xiàn)它是矩形.請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論.∠BAC與∠C'AC有什么特殊的關(guān)系？要判定四邊形BCC'D是矩形有哪些方法？分析

要證四邊形DBCC'是矩形，聯(lián)想矩形的三種判定方法.思路一：三個(gè)角是90°的四邊形是矩形.分析

思路二：一個(gè)角是90°的平行四邊形是矩形.如圖析1，過點(diǎn)A作AE⊥C'C.分析

思路三：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.如圖析2，連接DC，BC'.證明：如答圖1，過點(diǎn)A作AE⊥

CC'于點(diǎn)E.由旋轉(zhuǎn)得AC'

=

AC，∴∠CAE=∠C'AE=

∠α

=∠BAC.∵在圖1中，四邊形ABCD是菱形，∴BA=

BC.∴∠BCA=∠BAC.∴∠CAE=∠BCA.∴AE∥BC.同理，AE∥DC'.∴BC∥DC'.又∵BC=

DC'，∴四邊形BCC'D是平行四邊形.又∵AE∥BC，∠CEA=90°，∴∠BCC'=180°-∠CEA=90°.∴平行四邊形BCC'D是矩形.實(shí)踐探究：（3）縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，量得圖3中BC=13cm，AC

=10cm，然后提出一個(gè)問題：將△AC'D沿著射線DB方向平移acm，得到△A'C"D'，連接BD'，CC"，使四邊形BCC"D'恰好為正方形，求a的