高數(shù)下-yaf高數(shù)課件

definite而定積分則完整地體現(xiàn)了積分思想—1基本要2第一節(jié)定積分的概念與性definite定積分問題舉例*定積分的定*定積分的幾何意義和物理意義關于函數(shù)的可積性*定積分的性小結思考題作業(yè)3一、定積分問題來的現(xiàn)舉兩例.求由連續(xù)曲線y

fx0及

y

(x)

0所圍成的曲邊梯形

A 4f(x)

h(常數(shù)時A

(b思想以直代曲 用矩形面積近似取代曲邊梯形面積 （五個小矩形 （十個小矩形 顯然,小矩形越多,矩形總面積越接近曲邊5采取下列四個步驟來求面積任意用分點

表ax0x1

的窄曲邊梯形的面把區(qū)間[a,b]分成n

y

(x)小區(qū)間xi1xi]長度

xi取近在每個小區(qū)間xi1xi

Oa

xi

xn1 上任取一點

以xi1xi]

f

為高的小矩形面積近似代替Ai有Ai

f(i)xi,

6求和這些小矩形面積之和可作為曲邊梯n面積A的近似值nAi

f(i求極限為了得到A的精確值,分割無限加細即小區(qū)間的最大長度max{x1x2,xn趨近于零

0

取極限,極限值就是曲邊形的面積

nAlim

f(i

i7以不變以不變代22.求變速直線運動的路設某物體作直線運動,已知速

vv(t 續(xù)函數(shù),且v(t)求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程把整段時間分割成若干小段每小段上速度看作不變求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通過對時間的無限8分

T1

tn1

ti

ti

表示在時間區(qū)間[ti1,ti]內(nèi)走過的路程取近

v(i

(i

求

nsv(i)tii1

某時刻的速取極

max{t1,t2,,tnn

令路程的精

slimv(i

i19定積分的概念與性二、定積分的

上兩例共同點量具有可加性方法一樣

I;設函數(shù)f(x)在

a

x0

x1

x2

xn1

xn把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間,xx

,(i

i

,

一點i

xin

作乘積

(i)xi

Si

f(i

x2

n},如果不論對[a,b]怎樣的分法,也不論在小區(qū)間[xi1

xi]上點i怎樣的取法,只要當時,和S總趨于確定極限I,稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上記積分上b

積分na

(x)dxIlimf(i積分下[a,b]積分區(qū)

被積被積分積函變表式

in注n

i

f(i)xi[ab]的分法及xi1

xi上i取法nIlimf(i)xi[ab]的分法及xi1

xi

ibbb上i取法bbb

a

(

a

(t)dt

a

定積分是一個數(shù),定積分數(shù)值只依賴于被積函的結構和上、下限,而與積分變量的記號無關三、定積分的幾何意義和物理f(x)f(x)bafx)dx 曲邊梯形的面bafx)dxA曲邊梯形的面yf(x)的負aObxbaf(x)dxA1A21幾何意bafx)dx幾何意它是介于x軸、f(x)的圖形及兩x=axb之間的各部分面積的代數(shù)和x軸上方的面積取正號;x軸下方的面取負號yf(x)aObx 例求 1x2

y 1x21 110

x2dx4

22當v(t)

時

定積分av(t

表示以變bvv(t)作直線運動的物體從時刻ta到時btb所經(jīng)過四、關于函數(shù)的可積當函數(shù)fx)在區(qū)間[a,b]上的定積分存在時稱fx)在區(qū)間[a,b]上可積.

記fR[a,

德國數(shù)學家定理

設fx)在[a,b]上連續(xù),則fx)在[a,b]定理

設fx)在[a,b]上有界且只有有限個則

x)在[a,b]上例用定義計算由拋物

yx2直

x和x軸所圍成的曲邊梯形面積

10[0,1]分成n等分分點為

i,n

小區(qū)間xi1xi

的長

1,n

i取

xi

i

nf

2x

nnx2xn

yx2in

i2

i

i i1

nnnn

in3i

i n i2

n(n1)(2n i1

nnnn

in3i

n3 6116

121nnnn

0

n1x2dx1

lim11

121 0i

nn n6 nn對于任一確定的自然數(shù)

積分1x2dx10

i

f(i

1166

121nnnn1當n取不同值時,1

x2dx

近似值精度不同n取n取得越大,近似程度越好討論定積分的近似計算問題b設fxC[a,b],

fx)dx存在

n等分用分點a

x0,x1,x2,,xn[a,b]分成n個長度相等的小區(qū)間

每個小區(qū)x

ban

取

xi1bf(

f(

f(

)b 0i

i

i nlimn

i

f(xi1

對任一確定的自然數(shù)bab

(x)dx

ba

nni

f(xi1取

xi1

x

ba記f記fxi(i0,1,2,,bab

(x)dx

ba i

f(

i1baf(b

bn

a(y

y1

yn10ixi0

baf(b

bn

a(

yn1y1矩形法幾何意

yf(x) 五、定積分的性對定積分的補充

abbb

(x)dxa

a

(x)dx

f(說說在下面的性質(zhì)中,假定定積分都存在bbbbb性質(zhì)1abb

f(x)g(

f(

g(

f(x)g(nlim

f(i)

g(i

i lim

f(i

g(i

i

ibb

f(

ag(b(此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況b性質(zhì)

bbb

(

k

f(bnb

(k為常數(shù)

(

lim

(inlimk

f(i

i

n

f(ibkb

if(

i性質(zhì)1和性質(zhì)2稱為線性性質(zhì)b性質(zhì)b

假設

cbab

(

ca

(

f(補充

a,b,c

的相對位置如何,上式總成立例若c

b af(x)dxaf(x)dx

f(c則

f(

c

f(x)dxbf(b

f(x)dx f((定積分對于積分區(qū)間具有可加性b性質(zhì)b

a1

adx

bb性質(zhì)b

如果在區(qū)間[a,b]b

f(x)afx)dx

(a證

(x)

f(i)

i1,2,,xi

i

f(i)xibmax{x1,x2,,xnbnlim

f(i)xi

f(x)dx

i例比較積分

2exdx和

的大小0解0

(x)

ex

x[2,f(x)

(ex

x)dx0exdx

02 202exdx0

20性質(zhì)5如果在性質(zhì)5如果在區(qū)間[a,b]上fxb則af(x)dx(a性質(zhì)5的推論b如果在區(qū)間[a,b]b

f(x)

g(b則b

f(

g(

(a證fxgx)b

g(x)

f(x)a[g(x)b

f(x)]dxbag(x)dxaf(x)dx af

g(

性質(zhì)5如果在區(qū)間[a,b]上b

(x)性質(zhì)5的推論b

則afx)dxb

(a由推論baf(由推論b

a|f(x)|

(ab) |ab

(x)

af(x)dxbbb

f(x)

f(

a

f(x)|說明

fx|在[a,b]上的可積性是顯然的性質(zhì)

設M和

分別是函

fx)在[a,b]上最大值及最小值b則m(baafx)dx

M(ba)bbmfxbbbb

mdx

f(x)dx

bm(ba)b

f(x)dx

M(ba)(此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍

m(ba)

f(x)dxM(ba)例估計積分

b3b

dx的值x解fx

13sin31

x[0,0

x

43

sin3 1

3

1

dx dx

1dx

3sin3 bb

m(ba)

f(x)dxM(ba)例估計積

2sinxx4

dx的值解fx

sinxf(x)

xcosxsinxcosx(x

x)x2 x

x,f(x)C4,2

x)在42

2)(Mf)(4

2

mf 2)( )(

ba4 sin

2 dx 性質(zhì)7(定積分中值定理）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)[a,b]上則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一點使下式成立b

積分中值公a

(x)dxb

(ab1證m(bab1

f(x)dx

M(ba)m

ba

f(x)dxb1由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理:在[a,b]b1至少存在一點b

f()

ba

f(

f(x)dx

(a

性質(zhì)7(定積分中值定理如果函數(shù)

(x)在閉區(qū)[a,b]上則在積分區(qū)間[a,b]至少存在一點b使下式成立b

f(x)dx

(a

定理用如何去掉積分號來表示積分值注無論從幾何上還是從物理上都容易理b1f()就是b1

(x)在區(qū)間[a,b]上的平均值f()

ba

f(

(a

平均值公求連續(xù)變量的平均值要用例求電動勢E

E0sin

在一個周期上平均值(設

解周期

2E 2

E0

t

sin 0

定積分幾何意bab

(x)dx

f()(ba)

(a

積分中值公式的幾何解在區(qū)間[a,b]上至少存在一點yf()

yf(x)

使得以區(qū)間[a,b]為底邊,以曲y

(x)為曲邊的曲邊梯? ?

面積等于同一底邊而高為 的一個矩形的面積

baf(x)dxf()(ba)(a

limnasin

(a為常數(shù) 證由積分中值定理nan

x

xdx

sinnn

limna

xdx

sinn

a

n六、小定積分的實質(zhì):特殊和式的極限定積分的思想和方法思想以直代曲、以勻代變方法四步曲:分割求和取極限定積分的(注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應用典型問估計積分值不計算定積分比較積分大小思考題1

lim4sinnx

xdx 證當x0, 4

1n|sinnx

x

4

2n 0 4sinnx0

xdx

2

(n)定即得lim4sinnx定

xdx 2思考題2用定