高數(shù)下-yaf高數(shù)課件

definite而定積分則完整地體現(xiàn)了積分思想—1基本要2第一節(jié)定積分的概念與性definite定積分問(wèn)題舉例*定積分的定*定積分的幾何意義和物理意義關(guān)于函數(shù)的可積性*定積分的性小結(jié)思考題作業(yè)3一、定積分問(wèn)題來(lái)的現(xiàn)舉兩例.求由連續(xù)曲線y

fx0及

y

(x)

0所圍成的曲邊梯形

A 4f(x)

h(常數(shù)時(shí)A

(b思想以直代曲 用矩形面積近似取代曲邊梯形面積 （五個(gè)小矩形 （十個(gè)小矩形 顯然,小矩形越多,矩形總面積越接近曲邊5采取下列四個(gè)步驟來(lái)求面積任意用分點(diǎn)

表ax0x1

的窄曲邊梯形的面把區(qū)間[a,b]分成n

y

(x)小區(qū)間xi1xi]長(zhǎng)度

xi取近在每個(gè)小區(qū)間xi1xi

Oa

xi

xn1 上任取一點(diǎn)

以xi1xi]

f

為高的小矩形面積近似代替Ai有Ai

f(i)xi,

6求和這些小矩形面積之和可作為曲邊梯n面積A的近似值nAi

f(i求極限為了得到A的精確值,分割無(wú)限加細(xì)即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度max{x1x2,xn趨近于零

0

取極限,極限值就是曲邊形的面積

nAlim

f(i

i7以不變以不變代22.求變速直線運(yùn)動(dòng)的路設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),已知速

vv(t 續(xù)函數(shù),且v(t)求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程把整段時(shí)間分割成若干小段每小段上速度看作不變求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限8分

T1

tn1

ti

ti

表示在時(shí)間區(qū)間[ti1,ti]內(nèi)走過(guò)的路程取近

v(i

(i

求

nsv(i)tii1

某時(shí)刻的速取極

max{t1,t2,,tnn

令路程的精

slimv(i

i19定積分的概念與性二、定積分的

上兩例共同點(diǎn)量具有可加性方法一樣

I;設(shè)函數(shù)f(x)在

a

x0

x1

x2

xn1

xn把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間,xx

,(i

i

,

一點(diǎn)i

xin

作乘積

(i)xi

Si

f(i

x2

n},如果不論對(duì)[a,b]怎樣的分法,也不論在小區(qū)間[xi1

xi]上點(diǎn)i怎樣的取法,只要當(dāng)時(shí),和S總趨于確定極限I,稱這個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上記積分上b

積分na

(x)dxIlimf(i積分下[a,b]積分區(qū)

被積被積分積函變表式

in注n

i

f(i)xi[ab]的分法及xi1

xi上i取法nIlimf(i)xi[ab]的分法及xi1

xi

ibbb上i取法bbb

a

(

a

(t)dt

a

定積分是一個(gè)數(shù),定積分?jǐn)?shù)值只依賴于被積函的結(jié)構(gòu)和上、下限,而與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)三、定積分的幾何意義和物理f(x)f(x)bafx)dx 曲邊梯形的面bafx)dxA曲邊梯形的面yf(x)的負(fù)aObxbaf(x)dxA1A21幾何意bafx)dx幾何意它是介于x軸、f(x)的圖形及兩x=axb之間的各部分面積的代數(shù)和x軸上方的面積取正號(hào);x軸下方的面取負(fù)號(hào)yf(x)aObx 例求 1x2

y 1x21 110

x2dx4

22當(dāng)v(t)

時(shí)

定積分av(t

表示以變bvv(t)作直線運(yùn)動(dòng)的物體從時(shí)刻ta到時(shí)btb所經(jīng)過(guò)四、關(guān)于函數(shù)的可積當(dāng)函數(shù)fx)在區(qū)間[a,b]上的定積分存在時(shí)稱fx)在區(qū)間[a,b]上可積.

記fR[a,

德國(guó)數(shù)學(xué)家定理

設(shè)fx)在[a,b]上連續(xù),則fx)在[a,b]定理

設(shè)fx)在[a,b]上有界且只有有限個(gè)則

x)在[a,b]上例用定義計(jì)算由拋物

yx2直

x和x軸所圍成的曲邊梯形面積

10[0,1]分成n等分分點(diǎn)為

i,n

小區(qū)間xi1xi

的長(zhǎng)

1,n

i取

xi

i

nf

2x

nnx2xn

yx2in

i2

i

i i1

nnnn

in3i

i n i2

n(n1)(2n i1

nnnn

in3i

n3 6116

121nnnn

0

n1x2dx1

lim11

121 0i

nn n6 nn對(duì)于任一確定的自然數(shù)

積分1x2dx10

i

f(i

1166

121nnnn1當(dāng)n取不同值時(shí),1

x2dx

近似值精度不同n取n取得越大,近似程度越好討論定積分的近似計(jì)算問(wèn)題b設(shè)fxC[a,b],

fx)dx存在

n等分用分點(diǎn)a

x0,x1,x2,,xn[a,b]分成n個(gè)長(zhǎng)度相等的小區(qū)間

每個(gè)小區(qū)x

ban

取

xi1bf(

f(

f(

)b 0i

i

i nlimn

i

f(xi1

對(duì)任一確定的自然數(shù)bab

(x)dx

ba

nni

f(xi1取

xi1

x

ba記f記fxi(i0,1,2,,bab

(x)dx

ba i

f(

i1baf(b

bn

a(y

y1

yn10ixi0

baf(b

bn

a(

yn1y1矩形法幾何意

yf(x) 五、定積分的性對(duì)定積分的補(bǔ)充

abbb

(x)dxa

a

(x)dx

f(說(shuō)說(shuō)在下面的性質(zhì)中,假定定積分都存在bbbbb性質(zhì)1abb

f(x)g(

f(

g(

f(x)g(nlim

f(i)

g(i

i lim

f(i

g(i

i

ibb

f(

ag(b(此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和的情況b性質(zhì)

bbb

(

k

f(bnb

(k為常數(shù)

(

lim

(inlimk

f(i

i

n

f(ibkb

if(

i性質(zhì)1和性質(zhì)2稱為線性性質(zhì)b性質(zhì)b

假設(shè)

cbab

(

ca

(

f(補(bǔ)充

a,b,c

的相對(duì)位置如何,上式總成立例若c

b af(x)dxaf(x)dx

f(c則

f(

c

f(x)dxbf(b

f(x)dx f((定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性b性質(zhì)b

a1

adx

bb性質(zhì)b

如果在區(qū)間[a,b]b

f(x)afx)dx

(a證

(x)

f(i)

i1,2,,xi

i

f(i)xibmax{x1,x2,,xnbnlim

f(i)xi

f(x)dx

i例比較積分

2exdx和

的大小0解0

(x)

ex

x[2,f(x)

(ex

x)dx0exdx

02 202exdx0

20性質(zhì)5如果在性質(zhì)5如果在區(qū)間[a,b]上fxb則af(x)dx(a性質(zhì)5的推論b如果在區(qū)間[a,b]b

f(x)

g(b則b

f(

g(

(a證fxgx)b

g(x)

f(x)a[g(x)b

f(x)]dxbag(x)dxaf(x)dx af

g(

性質(zhì)5如果在區(qū)間[a,b]上b

(x)性質(zhì)5的推論b

則afx)dxb

(a由推論baf(由推論b

a|f(x)|

(ab) |ab

(x)

af(x)dxbbb

f(x)

f(

a

f(x)|說(shuō)明

fx|在[a,b]上的可積性是顯然的性質(zhì)

設(shè)M和

分別是函

fx)在[a,b]上最大值及最小值b則m(baafx)dx

M(ba)bbmfxbbbb

mdx

f(x)dx

bm(ba)b

f(x)dx

M(ba)(此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍

m(ba)

f(x)dxM(ba)例估計(jì)積分

b3b

dx的值x解fx

13sin31

x[0,0

x

43

sin3 1

3

1

dx dx

1dx

3sin3 bb

m(ba)

f(x)dxM(ba)例估計(jì)積

2sinxx4

dx的值解fx

sinxf(x)

xcosxsinxcosx(x

x)x2 x

x,f(x)C4,2

x)在42

2)(Mf)(4

2

mf 2)( )(

ba4 sin

2 dx 性質(zhì)7(定積分中值定理）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)[a,b]上則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一點(diǎn)使下式成立b

積分中值公a

(x)dxb

(ab1證m(bab1

f(x)dx

M(ba)m

ba

f(x)dxb1由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理:在[a,b]b1至少存在一點(diǎn)b

f()

ba

f(

f(x)dx

(a

性質(zhì)7(定積分中值定理如果函數(shù)

(x)在閉區(qū)[a,b]上則在積分區(qū)間[a,b]至少存在一點(diǎn)b使下式成立b

f(x)dx

(a

定理用如何去掉積分號(hào)來(lái)表示積分值注無(wú)論從幾何上還是從物理上都容易理b1f()就是b1

(x)在區(qū)間[a,b]上的平均值f()

ba

f(

(a

平均值公求連續(xù)變量的平均值要用例求電動(dòng)勢(shì)E

E0sin

在一個(gè)周期上平均值(設(shè)

解周期

2E 2

E0

t

sin 0

定積分幾何意bab

(x)dx

f()(ba)

(a

積分中值公式的幾何解在區(qū)間[a,b]上至少存在一點(diǎn)yf()

yf(x)

使得以區(qū)間[a,b]為底邊,以曲y

(x)為曲邊的曲邊梯? ?

面積等于同一底邊而高為 的一個(gè)矩形的面積

baf(x)dxf()(ba)(a

limnasin

(a為常數(shù) 證由積分中值定理nan

x

xdx

sinnn

limna

xdx

sinn

a

n六、小定積分的實(shí)質(zhì):特殊和式的極限定積分的思想和方法思想以直代曲、以勻代變方法四步曲:分割求和取極限定積分的(注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用典型問(wèn)估計(jì)積分值不計(jì)算定積分比較積分大小思考題1

lim4sinnx

xdx 證當(dāng)x0, 4

1n|sinnx

x

4

2n 0 4sinnx0

xdx

2

(n)定即得lim4sinnx定

xdx 2思考題2用定