中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)-常用輔助線旋轉(zhuǎn)

答案：見(jiàn)解析答案：見(jiàn)解析解析：答案：見(jiàn)解析答案：見(jiàn)解析解析：223.輔助線之—旋轉(zhuǎn)1.如圖，以正方形的邊AB為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形ABE,ZAEB=90。,AC、BD交于O.已知AE、BE的長(zhǎng)分別為3cm、5cm，求三角形AOBE的面積.解析：解析：顯然ZBOA二ZBEA二90。,所以ZOBA+ZOAB二ZEBA+ZEAB二90。,所以ZOBA-ZEBA=ZEAB-ZOAB,所以ZOBE=ZOAE,則逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)AOEA，旋轉(zhuǎn)90。，則OA與OB重合,E落在BE上的E處，且ZBOEr=ZAOE,OE'二OE,BE'=EA=4,因?yàn)閆BOE'+ZE'OA=90。,所以ZOAE+ZAOE'=90。,所以AOEE'是等腰直角三角形.且EE'=5-3=2，1作OF丄BE，所以O(shè)F=-EE'=1.2所以S所以SAOEB1=—x1x5=2.5cm-2.如圖所示，在四邊形ABCD中，ZADC二ZABC二90。,AD二CD,DP丄AB于P，若四邊形ABCD的面積是16，求DP的長(zhǎng).解析：AD=DC???把DAP繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,使DC與AD重合,??則ZPDE=ZADC=90。,△ZDPB二90。,?四邊形DPBE為矩形.DP旋轉(zhuǎn)至DE，則DP=DE，???矩形DPBE為正方形，且S=S=16，正方形DPBE四邊形ABCD'???DP二4.3.如圖，正方形ABCD中，上FAD=ZFAE.求證：BE+DF=AE.???四邊形ABCD是正方形，???AB=AD.將ADF繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至abm，使AD與AB重合.則BM=DF，且ZDAF二ZBAM，ZM=ZAFD.△△???DCAB，?：ZAFD=ZFAB.???ZbAf二ZEAF+ZBAE，且ZEAF=ZDAF二ZBAM,???ZBAF=ZBAM+ZBAE=ZEAM=ZAFD=ZM.故AE二EM二BE+BM二BE+DF.4.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)F在線段CD上運(yùn)動(dòng)，AE平分ZBAF交BC邊于點(diǎn)E?求證:AF二DF+BE.答案：見(jiàn)解析答案：見(jiàn)解析解析：???四邊形ABCD是正方形，???AB二AD.將ADF繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ABM，使AD與AB重合.則BM=DF，且Z3=Z4，ZM二ZAFD.△△???AE平分ZBAF，?:Z1=Z2，???Z3+Z2=Z4+Z1,即ZEAD=ZMAE.vAD〃BC，?:ZMEA=ZEAD,:.ZMEA=ZMAE,:.AM二ME.即AM二BM+BE.:.AF=DF+BE，得證.5.E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，且ZEAF二45。，AH丄EF,H為垂足，求證：AH二AB.答案：見(jiàn)解析解析：???四邊形繞ABCD為正方形，???AD二AB.將ADF繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ABG.則Z1二Z2，AF=AG.△△Z3+Z4二45。，?：Z1+Z5二45。..??Z2+Z5二45。，即ZEAG=ZEAF.AE=AE，?:AGE=AFE(SAS).根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)高相等(利用三角形全等可證得)，可得AB二AH.△△6.如圖所示，在正方形ABCD中，AB=J3，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且ZBAE二30。，ZDAF二15。，求求AAEF的面積.求求AAEF的面積.答案：見(jiàn)解析解析：答案：見(jiàn)解析解析：如圖所示，將AADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABG，則G、B、E共線.上BAG=ZDAF=15。,AG=AF.而ZGAE=15。+30。=45。，且ZFAE=90。-15。-30。=45。,故ZGAE=ZFAE，丁AE=AEAGAE=FAE.由此可得EF=EG，ZAEF=ZAEG=90?！?0。=60。，△.??ZFEC=180。—60?！?0。=60。，.?.ZEFC=90。—60。=30。.在RtAABE中，AB=\3，ZBAE=30。，故BE=1，CE=、込—1.在RtAEFC中，ZEFC=30。，則EF=2&3—1)=EG.故SAAEF=S=EGxAB=^x2(J3-1)x<3=3-J3故SAAEFAAEG22?7.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AB、AD上各存一點(diǎn)P、Q，若AAPQ的周長(zhǎng)為2，求ZpCQ的度數(shù).解析：解析：解析：把ACDQ繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90。到ACBF的位置，CQ=CF.???AQ+AP+QP=2,又AQ+QD+AP+PB=2，?:QD+BP=QP又DQ=BF，.:PQ=BP+BF=PF..??AQCP空AFCP:.ZQCP=ZFCP.又:ZQCF=90。，?：ZPCQ=45。.8.如圖：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB上，且ZECP=45。.則PE的長(zhǎng)是多少cm.PEC的面積是多少cm2.答案：5；15求PE的長(zhǎng)：???四邊形ABCD為正方形，???BC=DC.將EDC繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至BCM處，使DC與BC重合，則EC=CM，Z1=Z2.MB=ED=—AD=3.???Z1+Z3=90。-45。=45。，.?.Z2+Z3=45。，則ZPCM=ZPCE,???PC=PC，???PCM二PCE，?PM=PE.設(shè)PB=x，則PM=x+3=PE,AP=AB-BP=6-x.△△???在RtAPE中，有AP2+AE2=PE2.(6—x)2+32=(x+3)2，解得x=2.△?PE=x+3=5.求PEC的面積：?.?PEC二PCE,△??.S=S=1BC-PM=-BC-(bp+BM)=1x6x(2+3)=15PECPCM2229.如圖，在直角梯形ABCD中，AD〃BC(BC>AD)，ZB=90。，AB=BC=12，E是AB上一點(diǎn)，且ZDCE=45。，BE=4，求DE的長(zhǎng).解析：過(guò)C作CG丄AD，交AD延長(zhǎng)線于G.???四邊形ABCD是正方形，???BC=CG.將BEC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，至CGF，使BC與CG重合.則有Z1=Z2，CE=CF，GF=BE=4.A△?ZECD=45°,.??Z1+Z3=90°-45°=45°..??Z2+Z3=45°.?.?CD=CD,.??CED蘭CFD.故DE=DF.設(shè)DG=x，則DF=x+4=DE，AD=AG—DG=12—x，△△在RtAED中，AE2+AD2=ED2.即82+(12—x)2=(x+4)2.A解這個(gè)方程，得：x=6..??DE=x+4=10.10.如圖，在AABC中，ZACB=90°，AC=BC，P是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PB=1PC=2,PA=3，求ZBPC的度數(shù)．解析：解析：解析：解析：△△△△如圖，將AAPC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使CA與CB重合，即AAPC竺ABEC,PC=CE,Z1=Z2,???Z2+ZPCB二90。,???Z1+ZPCB二90。.???APCE為等腰直角三角形，???ZCPE二45。，PE2=PC2+CE2=8.又PB2二1，BE2二9,???PE2+PB2=BE2則ZBPE二90。.???ZBPC二ZCPE+ZBPE二45。+90。=135。.11.如圖，P是等邊AABC內(nèi)一點(diǎn)，若AP二3，PB=4，PC二5，求ZAPB的度數(shù).解析：CC如圖，將ABPC沿點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，則BP'=BP，連接P'P，AP'.?ZP'BP二60。，BP'=BP=4，?BPP為等邊三角形，??.pp=4,ZPPPB=60。.???AP2+PP2二APS,???ZAPPp=90。,???ZAPB=ZPPB+ZAPP'=150。12.P為等邊AABC內(nèi)一點(diǎn)，ZAPB=113。,ZAPC=123。，求證：以AP、BP、CP為邊可以構(gòu)成一個(gè)三角形，并確定所構(gòu)成的三角形的各內(nèi)角的度數(shù).答案：見(jiàn)解析解析：P要判斷AP、BP、CP三條線段可以構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊，常采用判定其中任意兩條線段之和大于第三條線段的辦法，然而求所構(gòu)成的三角形各內(nèi)角的度數(shù)時(shí)又會(huì)束手無(wú)策如果以C為中心，將AAPC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，則A點(diǎn)變到B點(diǎn)，線段CA變到CB，P點(diǎn)變到化點(diǎn)，此時(shí)，CP=CP，并且ZPCP二60，ZBPC二ZAPC二123.APCP為等邊三角形，所以PP=CP，ZCPP=ZCPP二60.這時(shí)，ABPP就是以BP、AP（二BP）、CP（二PP）為三邊構(gòu)成的三角形.易知ZBPP=ZBPC-ZCPPZAPC-60二123-60二63而ZBPC=360-113-123=124所以ZBPP=ZBPC-ZCPP=124-60=64因此ZPBP=180-63-64=5313.如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=1，PD=2，PC=3.求ZAPD的度數(shù).解析：???四邊形ABCD為正方形，???AD=DC.將APDA繞著D點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到AMDC的位置（如圖），連接PM.則PD=DM=2,ZPDM=90。?APDM是等腰直角三角形.???PM=2邁，ZPMD=45。?/PM2=8，MC2=PA2=1，PC2=9:.PM2+MC2=PC2?APMC為直角三角形.：?ZPMC=90。,:ZAPD=ZDMC=ZPMD+ZPMC=135。.13.13.如圖所示，P是等邊AABC中的一點(diǎn)，PA=2,PB=2爲(wèi),PC=4，試求AABC的邊長(zhǎng).13.13.如圖所示，P是等邊AABC中的一點(diǎn)，PA=2,PB=2爲(wèi),PC=4，試求AABC的邊長(zhǎng).BA答案：2釣解析：由于有等邊三角形，故可考慮將APBA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60。，使PA、pb、PC出現(xiàn)在一個(gè)三角形中，從而構(gòu)造出一個(gè)直角三角形.解：將APBA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，則BA與BC重合，A點(diǎn)轉(zhuǎn)至C點(diǎn)，P點(diǎn)轉(zhuǎn)至P點(diǎn)，連接PP，如圖所示，有PC=PA=2，PB=PB=2^3，ZPBP=60。.11111故APBP為等邊三角形，PP=BP=2込，11在APCP中，PC2=42=22+(2(3)2=PC2+PP2，1111故"PC=90。，PC=—PC，1將A將AAPB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到Acqb.連接PQ，因?yàn)?BQ=90。,PB=QB=2a,所以ZPQB=ZQPB=45°，PQ二2邁a.在APQC中，PC二3a，CQ=a，PQ二2邁a，則PC2二CQ2+PQ2，所以ZPQC=90°，故ZAPB=ZCQB=90°+45°=135°.從而有ZCPP=30。，故ZBPC=ZBPP+ZPPC=60。+30。=90。.所以，在RtAPBC中，BC2=PB2+PC2=42+(2p'3)2=28，BC=2和7.14.如圖所示，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若PA二a,PB二2a,PC=3a（a>0）.求：（1）ZAPB的度數(shù)；（2）正方形的邊長(zhǎng).答案：(1)135°；(2)AB=\；5+2邁a解析：1515.在AABC中，AB=AC,P是AABC內(nèi)任意一點(diǎn)，已知ZAPC〉ZAPB，求證：PB>PC.1515.在AABC中，AB=AC,P是AABC內(nèi)任意一點(diǎn)，已知ZAPC〉ZAPB，求證：PB>PC.解析：解析：解析：解析：答案：見(jiàn)解析解析：因?yàn)锳B=AC，所以可將AABP繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AACD的位置，連結(jié)PD、AD、CD，則AP=AD，PB=DC，ZADC=ZAPB因?yàn)閆APC>ZAPB，所以ZAPC>ZADC由AD=AP，可得ZAPD=ZADP，則ZDPC>ZPDC.DC>PC，即PB>PC.16.如圖，P是等邊AABC外的一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5，求ZAPB的度數(shù).答案：30解析：解析：解析：解析：???AB二AC,???將APC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至ABM，使AC與AB重合，則AM二AP二3,ZPAB二60。,△△BM二PC二5,ZBAM二ZPAC二ZPAB+ZBAC二120。.???ZPAM=ZBAM-ZPAB=120。-60。=60。,?APM為等邊三角形，則PM=AM=3,ZAPM=ZPAM=60°,A在PMB中，?.?BM2=PM2+PB2,???MPB為直角三角形，即ZBPM二90°.???ZbPA二ZBPM-ZAPM二90°-60°二30°.△17.如圖，正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)P，ZPAD=ZPDA二15°，連結(jié)PB、PC，請(qǐng)問(wèn)：APBC是等邊三角形嗎？為什么？答案：見(jiàn)解析DPP'BCDPP'BC將AAPD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得ADP'C,再作ADP'C關(guān)于DC的軸對(duì)稱(chēng)圖形ADQC，得APD=CQD=CPD.所以PD=QD,ZQDC=ZDCQ=ZPAD=PDA=15。,ZPDQ=90。-15。-15。=60。,???APDQ為等邊三角形，即ZPQD=60。.又???ZDQC=ZAPD=180。-15。-15。=150。，???ZPQC=360。-60。-150。=150。=ZDQC.ZPAD=PDA=15。,???AP=PD，則有DQ=QC.PQ=QD.???PQ=CQ，?:ZPCQ=ZQCP=15。..??ZPCD=30。，?：ZPCB=ZDCB-ZPCD=90。-30。=60。.同理可得ZPBC=60。.???APBC為等邊三角形.18.ABC中，ZC=90。，四邊形CDEF是ABC的內(nèi)接正方形，AE=30cm，BE=24cm，求S+SADE的值.A.△△

解析：如圖，???四邊形EFCD是正方形，解析：如圖，???四邊形EFCD是正方形，???EF=ED,將BEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至GED，使EF與ED重合.則有BEF=GED.?.?上FED=90°，?:ZBEF+ZAED=90°.人△△△?.?ZBEF=ZGED，?:ZGED+ZAED=90°.故S+S=S+S=S=1GE-EA=1BE-EA=27.ADEBEFADEGEDAEG22ABAB二1，AD=319.梯形ABCD中，ADBC，ZB=90°BC=5，DE丄DC且DE=DC，求AE的長(zhǎng)和ADE面積.〃解析：答案：見(jiàn)解析答案：見(jiàn)解析解析：答案：見(jiàn)解析答案：見(jiàn)解析解析：答案：答案：6或4解析：???DE=DC,???將ADE繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，至FDC處，使DE與DC重合.則DC=DE,DF=AD=3,AE=FC,△△延長(zhǎng)FD交BC于點(diǎn)G,??旋轉(zhuǎn)角是90°,?上FDA=90。,???adBG,?ZFGB=90°,???四邊形ABGD是矩形，BG=AD=3,?.?BC=5,?GC=BC-BG=5-3=2,DG=AB=1,在RtFGC中，根據(jù)勾股定理有FG2+GC2=FC2,即（3+1）2+22=FC2,解得FC=2厲.△S=S=S-S=1FG-GC-1DG-GC=3.ADEFDCFGCDGC22?△△△△20.在梯形ABCD中，ADBC,ZD=90°,BC=CD=12,ZABE=45°,若AE=10,求CE的長(zhǎng)。?.?ADBC,ZD=90。，.??ZC=90。,過(guò)點(diǎn)B作BM丄DA,交DA延長(zhǎng)線與點(diǎn)M，故四邊形DMBC是矩形，?.?BC=DC=12,???矩形DMBC是正方形，則BM=DC=BC=12,將BCE繞B點(diǎn)順時(shí)針90°，至BMN處，貝yBCE竺BMN，.??ZMBN=ZEBC,△AAA?.?ZABE=45°，?ZEBC+ZABM=45°，?ZMBN+ZABM=45°=ZABE,?.?BE=BN，.??ABE竺ABN，?AN=AE=10，設(shè)EC=x，則MN=x，AM=AN-MN=10-x，△A.??DA二DM-AM二12-(10-x)二2+x,???DE=DC-EC=12-x,.??在RtADE中，(x+2)2+(12—x)2=102，解得x=6或x=4，即EC的長(zhǎng)為6或4.△21.如圖，P等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且ZAPC=117°，ZBPC=130°，求以AP、BP、CP為邊的三角形各內(nèi)角的度數(shù)。ABCCPBCCPB答案：見(jiàn)解析答案：見(jiàn)解析解析：要判斷AP、BP、CP三條線段可以構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊，常采用判定其中任意兩條線段之和大于第三條線段的辦法，然而求所構(gòu)成的三角形各內(nèi)角的度數(shù)時(shí)又會(huì)束手無(wú)策如果以C為中心，將AAPC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，則A點(diǎn)變到B點(diǎn)，線段CA變到CB，P點(diǎn)變到D點(diǎn)，此時(shí)，CP二CD，并且ZPCD二60。，ZBDC二ZAPC二117。.APCD為等邊三角形，所以PD=CP，ZCPD=ZCDP=60。.這時(shí)，ABPD就是以BP、AP(=BD)、CP(=PD)為三邊構(gòu)成的三角形.易知ZBDP二ZBDC-ZCDP二ZAPC-60。二117?！?0。二57。而ZBPC=360。-117。-130。=113。所以ZBPD二ZBPC-ZCPD二130。-60。二70。因此ZPBD二180?！?7。—70。=53。22.如圖，AABC中，AB=AC，ABAC=90。，D是BC中點(diǎn)，ED丄FD，ED與AB交于E，F(xiàn)D與AC交于F.求證：BE=AF，AE=CF.

連結(jié)AD．連結(jié)AD．???AB二AC,ABAC=90。，.?.ZB二ZC二Z45。???D是BC中點(diǎn)，???ZBAD=45。且AD丄BC???ED丄DF,???ZEDA+ZADF=90。???ZADE+ZEDB=90。,ZBDE=ZADF在ABDE與AADF中，AD=BD,ZDAF=ZB=45。,ZBDE=ZADF.??ABDE空AADF???BE=AF.