2011~2009年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題及詳細解析答案

2011年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題一、選擇題（本大題共有10小題，每題只有一個正確答案，將正確答案的序號填入題干后的括號里，多選、不選、錯選均不得分，每題5分，共50分）1.已知，則可化簡為（）A．B.C.D.2．如果復(fù)數(shù)的模為4，則實數(shù)a的值為（）2B.C.D.3.設(shè)A，B為兩個互不相同的集合，命題P：，命題q：或，則p是q的（）A.充分且必要條件B.充分非必要條件C.必要非充分條件D.非充分且非必要條件4.過橢圓的右焦點作傾斜角為弦AB，則為（）A.B.C.D.5.函數(shù)，則該函數(shù)為（）單調(diào)增加函數(shù)、奇函數(shù)B.單調(diào)遞減函數(shù)、偶函數(shù)C.單調(diào)增加函數(shù)、偶函數(shù)D.單調(diào)遞減函數(shù)、奇函數(shù)6.設(shè)有一立體的三視圖如下，則該立體體積為（A）223223122122正視圖側(cè)視圖俯視圖（圓和正方形）A.4+B.4+C.4+D.4+7．某程序框圖如右圖所示，現(xiàn)將輸出（值依次記為：若程序運行中輸出的一個數(shù)組是則數(shù)組中的（）A．64B．32C．16D．88.在平面區(qū)域上恒有，則動點所形成平面區(qū)域的面積為（）A.4B.8C.16D.329.已知函數(shù)在上有兩個零點，則m的取值范圍為（）A.BC.D.10.已知，則的解為（）A.或B.或C.或D.二、填空題（本大題共有7小題，將正確答案填入題干后的橫線上，每空7分，共49分）11.函數(shù)的最小正周期為__________。12.已知等差數(shù)列前15項的和=30，則=__________.13.向量，，，則的取值范圍為。14.直三棱柱，底面是正三角形，P，E分別為，上的動點（含端點）,D為BC邊上的中點，且。則直線的夾角為__。15．設(shè)為實數(shù)，則____________。16.馬路上有編號為1，2，3，…，2011的2011只路燈，為節(jié)約用電要求關(guān)閉其中的300只燈，但不能同時關(guān)閉相鄰兩只，也不能關(guān)閉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法共有_________種。（用組合數(shù)符號表示）17.設(shè)為整數(shù)，且，則__。三、解答題（本大題共3小題，每小題17分，共計51分）18.設(shè)，求在上的最大值和最小值。19.給定兩個數(shù)列，滿足，，。證明對于任意的自然數(shù)n，都存在自然數(shù)，使得。20.已知橢圓，過其左焦點作一條直線交橢圓于A，B兩點，D為右側(cè)一點，連AD、BD分別交橢圓左準(zhǔn)線于M,N。若以MN為直徑的圓恰好過，求a的值。2011年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽參考解答與評分標(biāo)準(zhǔn)1．解答：因為，所以=。正確答案為D。2．解答：由題意得。正確答案為C。3．解答：P是q的充分非必要條件。正確答案為B。4.解答：橢圓的右焦點為（1，0），則弦AB為代入橢圓方程得。正確答案為C。5.解答：由單調(diào)性和奇偶性定義知道函數(shù)為單調(diào)增加的奇函數(shù)。正確答案為A。6.解答：該幾何體是一個圓柱與一個長方體的組成，其中重疊了一部分（），所以該幾何體的體積為。正確答案為A。7.答案經(jīng)計算。正確答案為B。8.解答：平面區(qū)域的四個邊界點（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）滿足，即有,由此計算動點所形成平面區(qū)域的面積為4。正確答案為A。9.解答：問題等價于函數(shù)與直線在上有兩個交點，所以m的取值范圍為。正確答案為C。10.解答：不等式的左端看成的一次函數(shù)，由或。正確答案為C。11.解答：最小正周期為4。12.解答：由，而。13.解答：=，其最大值為3，最小值為1，取值范圍為[1，3]。14.解答：因為平面ABC⊥平面，AD⊥BC，所以AD⊥平面，所以AD⊥PE，又PE⊥PD，PE⊥平面APD，所以PE⊥PD。即夾角為。15.解答：16.解答：問題等價于在1711只路燈中插入300只暗燈，所以共有種關(guān)燈方法。17.解答：將代入得到，因為都是整數(shù)，所以前兩個方程組無解；后兩個方程組解得。所以3或57。18.解答：當(dāng)當(dāng)由此可知。當(dāng)；當(dāng)；當(dāng)。19.解答：由已知得到：為等比數(shù)列，首項為2，公比為2，所以。又由已知，由，所以取即可。20.解答：。設(shè)，由得設(shè)。由M、A、D共線。又，得=整理得。2010年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試卷說明：本試卷分為A卷和B卷：A卷由本試卷的22題組成，即10道選擇題，7道填空題、3道解答題和2道附加題；B卷由本試卷的前20題組成，即10道選擇題，7道填空題和3道解答題。一、選擇題（本大題共有10小題，每題只有一個正確答案，將正確答案的序號填入題干后的括號里，多選、不選、錯選均不得分，每題5分，共50分）1．化簡三角有理式的值為 （）A．1 B． C．D．1+2．若，則是的 （） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．集合P={}，則集合為 （） A． B． C． D．4．設(shè),為兩個相互垂直的單位向量。已知=，=，=r+k.若△PQR為等邊三角形，則k，r的取值為 （） A．B．C．D．5．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=BB1，則CA1與C1B所成的角的大小是（）A．60°B．75°C．90°D．105°6．設(shè)，分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列，且，則以下結(jié)論正確的是 （） A． B． C． D．7．若的二項式展開式中系數(shù)最大的項為 （） A．第8項 B．第9項 C．第8項和第9項 D．第11項8．設(shè)，，則下述關(guān)系式正確的是 （） A． B． C． D．9．下面為某一立體的三視圖，則該立體的體積為 （）正視圖：半徑為1的半圓以及高為1的矩形側(cè)視圖：半徑為1的正視圖：半徑為1的半圓以及高為1的矩形側(cè)視圖：半徑為1的圓以及高為1的矩形俯視圖：半徑為1的圓 A． B． C． D．10．設(shè)有算法如下：如果輸入A=144,B=39,則輸出的結(jié)果是 （）A．144B．3C．0D．12二、填空題（本大題共有7小題，將正確答案填入題干后的橫線上，每空7分，共49分）11．滿足方程所有實數(shù)解為。12．函數(shù)的最小正周期為．13．設(shè)P是圓上一動點，A點坐標(biāo)為。當(dāng)P在圓上運動時，線段PA的中點M的軌跡方程為.14．設(shè)銳角三角形ABC的邊BC上有一點D，使得AD把△ABC分成兩個等腰三角形，試求△ABC的最小內(nèi)角的取值范圍為.15．設(shè)z是虛數(shù)，，且，則z的實部取值范圍為.16．設(shè)。如果對任何，都有，則k的最小值為.17．設(shè)，。當(dāng)函數(shù)的零點多于1個時，在以其最小零點與最大零點為端點的閉區(qū)間上的最大值為.三、解答題（本大題共有3小題，每題17分，共51分）18．設(shè)數(shù)列，問：（1）這個數(shù)列第2010項的值是多少；（2）在這個數(shù)列中，第2010個值為1的項的序號是多少.19．設(shè)有紅、黑、白三種顏色的球各10個。現(xiàn)將它們?nèi)糠湃爰?、乙兩個袋子中，要求每個袋子里三種顏色球都有，且甲乙兩個袋子中三種顏色球數(shù)之積相等。問共有多少種放法。20．已知橢圓，以（0，1）為直角頂點，邊AB、BC與橢圓交于兩點B、C。若△ABC面積的最大值為，求的值。四、附加題：（本大題共有2小題，每題25分，共50分。）21．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB上的點。記。證明：。22．（1）設(shè)，平面上的點如其坐標(biāo)都是整數(shù)，則稱之為格點。今有曲線過格點（n，m），記對應(yīng)的曲線段上的格點數(shù)為N。證明：。（2）進而設(shè)a是一個正整數(shù)，證明：。（注表示不超過x的最大整數(shù)）參考答案1．解答為A。。也可以用特殊值法2．解答為B。p成立，所以p成立，推不出q一定成立。3．解答：D。畫數(shù)軸，由絕對值的幾何意義可得，。4．解答．C．，即。5．解答：C。建立空間直角坐標(biāo)系，以所在的直線為軸，在平面上垂直于的直線為軸，所在的直線為軸。則，。6．解答：A。。7．解答：D．，r=10，第11項最大。8．解答：D。函數(shù)為偶函數(shù)，在（0，）上，為減函數(shù)，而，，所以。9．解答：C．根據(jù)題意，該立體圖為圓柱和一個1/4的球的組合體。10．解答B(yǎng)（1）A=144，B=39，C=27：（2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，C=3：（4）A=12，B=3，C=0。所以A=3。二、填空題（本大題共有7小題，將正確答案填入題干后的橫線上，每空7分，共49分）11．。解答變形得，解得。12．．解答。13．.解答設(shè)M的坐標(biāo)為，因為P點在圓上，所以所以P點軌跡為。14．30<x<45或22.5<x<30.解答如圖，（1）AD=AC=BD；（2）DC=AC，AD=BD。ACACDB（1）ACACDB（2）在（1）中，設(shè)最小的角為x，則2x<90,得x<45,又x+180-4x<90,得x>30,所以30<x<45；在（2）中，設(shè)最小的角為x，則3x<90,得x<30,又180-4x<90,得x>22.5,所以22.5<x<3015．.解答設(shè)當(dāng)，無解；當(dāng)。16．.解答分子，所以k的最小值為。17．0或q.解答因為函數(shù)為偶函數(shù)，由對稱性以與圖象知道，在以其最小零點與最大零點為端點的閉區(qū)間上的最大值0或q。三、解答題（本大題共有3小題，每題17分，共51分）18．解（1）將數(shù)列分組：因為1+2+3+…+62=1953；1+2+3+…+63=2016，所以數(shù)列的第2010項屬于第63組倒數(shù)第7個數(shù)，即為。---------10分（2）由以上分組可以知道，每個奇數(shù)組中出現(xiàn)一個1，所以第2010個1出現(xiàn)在第4019組，而第4019組中的1位于該組第2010位，所以第2010個值為1的項的序號為（1+2+3+…+4018）+2010=809428。------------17分19．解：設(shè)甲袋中的紅、黑、白三種顏色的球數(shù)為，則有，且（*1）-----------------5分即有。（*2）于是有。因此中必有一個取5。不妨設(shè)，代入（*1）式，得到。----------------10分此時，y可取1，2，…，8，9（相應(yīng)地z取9，8，…，2，1），共9種放法。同理可得y=5或者z=5時，也各有9種放法，但有時二種放法重復(fù)。因此可得共有9×3－2=25種放法。---------------------17分20．解：不妨設(shè)的方程，則的方程為。由得：由得：從而有--------5分于是。令，有---------10分因為時等號成立。因此當(dāng)-------------14分令---------17分四、附加題：（本大題共有2小題，每題25分，共50分。）21．證明由---------5分。----------10分所以，=。----20分因此，等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)，D與C重合，或E與A重合，或F與B重合。-----25分22．證明（1）考慮區(qū)域且該區(qū)域上的格點為nm個。又該區(qū)域由區(qū)域E