2022-2023學年人教A版必修第一冊 3-3 冪函數(shù) 學案

3.3冪函數(shù)[新課程標準][新學法解讀]1.了解冪函數(shù)的概念，會求冪函數(shù)的解析式．2．通過具體實例，結合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))的圖象，理解它們的變化規(guī)律，了解冪函數(shù).以五個常見冪函數(shù)為載體，歸納冪函數(shù)的圖象與性質，發(fā)展學生的直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理素養(yǎng).[筆記教材]知識點一冪函數(shù)的概念一般地，________叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．答案：函數(shù)y＝xα知識點二冪函數(shù)的特征1．如圖，在同一坐標系內作出函數(shù)(1)y＝x；(2)y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖象．填寫下表：y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))y＝x－1定義域____________________________值域____________________________奇偶性____________________________單調性增在[0，＋∞)上______；在(－∞，0]上__________________在(0，＋∞)上______；在(－∞，0)上______答案：RRR[0，＋∞){x|x≠0}R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶奇非奇非偶奇增減增增減減2．根據(jù)上表，可以歸納一般冪函數(shù)的特征(1)所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點________；(2)當α>0時，冪函數(shù)的圖象通過______，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是________函數(shù)．特別地，當α>1時，冪函數(shù)的圖象________，當0<α<1時，冪函數(shù)的圖象________；(3)當________時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)；(4)冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內的圖象關于直線y＝x對稱；(5)在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點從下到上的順序，冪指數(shù)按從________到________的順序排列．答案：(1)(1,1)(2)原點增下凹上凸(3)α<0(5)小大[自我排查]1．下列函數(shù)是冪函數(shù)的是()①y＝eq\f(1,x2)；②y＝axm(a，m為非零常數(shù)，且a≠1)；③y＝xeq\s\up15(eq\f(1,3))＋x2；④y＝xπ；⑤y＝(x－1)3；⑥y＝2x2；⑦y＝x2＋1；⑧y＝1.A．①②③④B．①④C．②④⑤⑥D．②④⑦答案：B解析：根據(jù)冪函數(shù)的定義，形式上符合y＝xα(α∈R)的函數(shù)才是冪函數(shù)，于是y＝eq\f(1,x2)＝x－2，y＝xπ是冪函數(shù)，其余都不是．2．已知點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\r(3)))在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)是()A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．定義域內的減函數(shù)D．定義域內的增函數(shù)答案：A3．設a∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2)，3))，則使函數(shù)y＝xa的定義域是R，且為奇函數(shù)的所有a的值是()A．1,3 B．－1,1C．－1,3 D．－1,1,3答案：A冪函數(shù)的概念及解析式[典例1]下列函數(shù)：①y＝x3；②y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋3；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝5x－1.其中冪函數(shù)的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4答案：B解析：③⑦中系數(shù)不是1，②④中解析式為多項式，⑤中底數(shù)不是自變量本身，所以只有①⑥是冪函數(shù)，故選B.[巧歸納]求冪函數(shù)解析式的依據(jù)和常用方法判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為一個冪的形式，且需滿足：(1)指數(shù)為常數(shù)；(2)底數(shù)為自變量；(3)系數(shù)為1.求冪函數(shù)的解析式，多用待定系數(shù)法．[練習1]若冪函數(shù)y＝mxn(m，n∈R)的圖象經過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,4)))，則m＋n＝________.答案：eq\f(1,3)解析：∵冪函數(shù)y＝mxn(m，n∈R)，∴m＝1，∴8n＝eq\f(1,4)?23n＝2－2?n＝－eq\f(2,3)，∴m＋n＝eq\f(1,3)，故答案為eq\f(1,3).冪函數(shù)的圖象及性質的應用[典例2]下圖為兩冪函數(shù)y＝xα和y＝xβ的圖象，其中α，β∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，2，3))，則不可能的是()答案：B解析：當α，β∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，2，3))時，冪函數(shù)y＝xα和y＝xβ的圖象列舉如下：則不可能的是B.故選B.[巧歸納]解決冪函數(shù)圖象問題應把握的兩個原則(1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關結論為：①在(0,1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低)；②在(1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠離x軸(簡記為指大圖高)．(2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)α與0,1的大小關系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內的圖象(類似于y＝x－1或y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))或y＝x3)來判斷．[練習2](多選題)已知冪函數(shù)f(x)＝xn，n∈{－2，－3,2,3}的圖象關于原點對稱，則下列選項正確的是()A．f(－3)＜f(3) B．f(－1)＝－f(1)C．f(－5)＋f(5)＝0 D．f(0)＝0答案：ABC解析：∵冪函數(shù)f(x)＝xn的圖象關于原點對稱，故函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則n＝－3或3.當n＝3時，函數(shù)f(x)在R上單調遞增，則f(－3)＜f(3)，f(－1)＝－f(1)，f(－5)＋f(5)＝0，f(0)＝0；當n＝－3時，函數(shù)f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調遞減，則f(－3)＜f(3)，f(－1)＝－f(1)，f(－5)＋f(5)＝0，f(0)不存在．故答案選ABC.應用冪函數(shù)的性質比較冪的大小[典例3]比較下列各組數(shù)的大?。篬巧歸納]比較冪值大小的方法(1)若指數(shù)相同，底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)．(2)若指數(shù)不同，底數(shù)相同，則考慮冪函數(shù)圖象的排列規(guī)律．(3)若指數(shù)與底數(shù)都不同，則考慮中間數(shù)法．[練習3]把下列各數(shù)按由小到大的順序排列：解：由于數(shù)比較多，可考慮先分類，再比較．1．下列函數(shù)中，定義域為(－∞，＋∞)的函數(shù)是()答案：C解析：A項定義域為[0，＋∞)；B，D項定義域為{x|x≠0}．2．(多選題)在下列四個圖象中，可能為冪函數(shù)y＝m2xm＋2的圖象的有()答案：BC解析：y＝m2xm＋2為冪函數(shù)，則m＝±1，所以冪函數(shù)為y＝x3或y＝x，觀察圖象可得BC正確．3．已知冪函數(shù)y＝(m2－3m－3)xm的圖象不過原點，則實數(shù)m＝________.答案：－1解析：因為冪函數(shù)y＝(m2－3m－3)xm的圖象不過原點，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m－3＝1，,m<0，))解得m＝－1.4．若(a＋1)eq\s\up15(eq\f(1,2))＜(3－2a)eq\s\up15(eq\f(1,2))，則a的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))解析：由y＝xeq\f(1,2)的單調性及定義域，知0≤a＋1＜3－2a，解得－1≤a＜eq\f(2,3).5．比較大?。?1)1.5eq\s\up15(eq\f(1,2))，1.7eq\s\up15(eq\f(1,2))；(2)(－1.2)3，(－1.25)3；(3)5.25－1，5.26－1，5.26－2.解：(1)∵y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))在[0，＋∞)上是增函數(shù)，1.5＜1.7，∴1.5eq\s\up15(eq\f(1,2))＜1.7eq\s\up15(eq\f(1,2)).(2)∵y＝x3在R上是增函數(shù)，－1.2＞－1.25，∴(－1.2)3＞(－1.25)3.(3)∵y＝x－1在(0，＋∞)上是減函數(shù)，5.25＜5.26，∴5.25－1＞5.26－1；由冪函數(shù)圖象的排列規(guī)律，知5.26－1＞5.26－2.綜上，5.25－1＞5.26－1＞5.26－2.課后自讀方案[誤區(qū)警示]忽視冪函數(shù)的解析式和性質而致誤[示例]已知冪函數(shù)y＝xeq\s\up15(m2－2m－3)(m∈N)的圖象與坐標軸不相交，且關于y軸對稱，則m＝________.[答案]1,3[解析]由冪函數(shù)y＝xeq\s\up15(m2－2m－3)(m∈N)的圖象與坐標軸不相交，得eq\a\vs4\al(m2－2m－3≤0)①，由于m∈N，解得m＝0,1,2,3.當m＝0時，m2－2m－3＝－3；當m＝1時，m2－2m－3＝－4；當m＝2時，m2－2m－3＝－3；當m＝3時，m2－2m－3＝0.其中，當eq\a\vs4\al(m＝0，2)②時，函數(shù)y＝x－3的圖象不關于y軸對稱；當m＝1,3時，函數(shù)y＝x－4，y＝x0(x≠0)的圖象關于y軸對稱，所以m＝1,3.[常見誤區(qū)]錯解錯因剖析1忽視①處“＝”就會漏解，此時冪函數(shù)y＝x0(x≠0)的圖象與坐標軸不相交0,1,2,3忽