第三章曲線凹凸性、拐點與函數(shù)圖形描繪

第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描第五 曲線的凹凸性、拐 中值 曲線的凹凸性與拐定導 函數(shù)圖形的描數(shù)-1第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描 曲線的凹凸性和 第章 問題:如何研究曲線的彎曲方向章 yf(oo 用

yf(yCBAoxyCBAox圖形上任意弧于所張弦的

圖形上任意弧于所張弦的上-2第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描定義1設fx)在(a,b內連續(xù)如果對(a,bx1,x2第 f

x1x2)

f(x1)f(x2) f(x)在(a,b內的圖形是上凹的(也稱為下凸的值 x f(x)f(x) f( 2) 數(shù) 數(shù) f(x)在(a,b內的圖形是上凸的(也稱為下凹的應 如果f(x)在[a,b內連續(xù),且在(a,b)內的圖形是上(上凸)的,那末稱fx)在[a,b]內的圖形是上凹(上凸)-3第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描yyyyfBAoabxyyyyBAoabx f(x)遞 y理

f(x)遞 y導 定理1如果f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內具有二階導的數(shù),若在(a,b)的用 (1)f(x)0,用(2)fx0

fx)在[a,b]上的圖形是上凹的fx)在[a,b]上的圖形是上凸的-4第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描例1判斷曲線yx3的凹凸性第 ∵y3x2 y6章 當x0 y值理 曲線在(,0]為上凸理 當x0時，y 曲線在[0,)為上凹的應 注意到,點(0,0)是曲線由上凸變上凹的分界點-5第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描定義 連續(xù)曲線yf(x)上凹凸的分界點稱為三章三章中注意:拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.中值 定 定理2如果f(x)在(x0,x0與

數(shù)導則點x0,f(x0)是拐點的必要條件 f(x0)數(shù) ∵f(x)二階可導 f(x)存在且連續(xù)應用又∵x0fx0是拐點則fx)fx)]在x0兩邊變號fx)在x0取得極值,由可導函數(shù)取得極值的條件f(x)-6第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描根據(jù)定理2可知:如果yfx)在x0處連續(xù),x0fx0為曲線的拐點,則fx00fx0三值 如果函數(shù)yf(x)在x0處連續(xù),在x0值定理某個去心鄰域內二階導數(shù)存在 與

的兩側f數(shù)應導異號,則(x0,f(x0))為曲線的在 x0的兩側f(x)同號, yf(x)的拐點.數(shù)應

yf(x)的拐點 則x0fx0-7第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描例2求曲線y3x44x31的拐點及凹、凸的區(qū)間 ∵D:(,)三 y12x312x2三

y36x(x3 令y應

得

0,

2.))(23拐拐f(00f((2323(0,23)0x用上凹區(qū)間為(,0],[23),上凸區(qū)間為[02(0,0211)3-8第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描第-9第五

曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的2例 求曲線yx(x 定義域為第章 y章

5x1

y

10x4 3(x

9(x定 x1,y不存在；x6,y定xx1565(650y2(6,6(1)3 -10第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描 661上凸區(qū)間

),上凹區(qū)間 ,),拐點為 ()3 55 第

若fx0不存在,點x0fx0也可能是連曲線yfx的拐點章3x 求曲線y3x中值

5 當x0時,y x3 y x3 與 x0是不可導點,y,y均不存在數(shù)應 但在(,0),y0,曲線在(,0]上是向上凹的應用在(0,)y0,曲線在[0,)上是向上凸的點(0,0)是曲線y -11第五

曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的設函數(shù)fx在x0的鄰域內三階可導,f(x0)0,而f(x0)0,那末(x0,f(x0))是曲線y f(第的拐點.中 求曲線ysinxcosx([0,2)的拐點中 ycosxsinx,ysinxcosx定 ycosxsinx與 令y0,得x3 744 44的22用 f(3)22用4

f(7)4

在[0,2內曲線有拐點-12

(34

(74第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描 確定常數(shù)a,b,c,使得函數(shù)yx3ax2bx有拐點(1,-1)，且在x=0處的切線斜率為第章 由于曲線有拐點(1,1),因章 (x3ax2bx 1abc 定 y (6x 62a定 導 x0處切線的斜率為零所導數(shù)應 應用

(3x22ax

b a3;b1;c-13第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描 函數(shù)圖形的描三 定義3當曲線yf(x)上的一動點P沿著曲三中移向無窮點時,如果點P到某定直線L中于零,那么直線L就稱為曲線yfx)的一條漸近線定與 (1)鉛直漸近 (垂直于x軸的漸近線與導0 如果limf(x)或limf(x),那么xx就0 x x 應用yfx)的一條鉛直漸近線-14第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描章

y(x2)(x3)1 1x2x2x值理定 理 x3(x2)(x導數(shù)的有鉛直漸近線兩條:應 x x-15第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描水平漸近線(平行于x軸的漸近線第如 limf(x)b limf(x)b(b為常數(shù) 章yb就 yf(x)的一條水平漸近線中定值例 yarctan定與 limarctanx與導 應 limarctanx應用 有水平漸近線兩條:

y2

y2-16第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描首先注意到:yaxb是yfx)在xx第時的一條斜漸近線,則必有l(wèi)imfx(axb (x)事實上,設直線yax 中

yf(值的傾角為C定C 導yfx)的一條斜漸近線導 在曲線上取動點M 應用直線的垂線,垂足為點N

yax lim|MN|-17第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描過點M作x的垂線, 直線的交點為P,C第 |PM||MN |cos值中 lim|MN|值

yf(M x與導數(shù)

lim|PM|

yax 應的如果點Mx,fx)),Px,ax應

lim|f(x)(axb)|-18第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描即lim[f(x)(axb)]即 如果直線yaxb是曲線yf(x)三第xx時的一條斜漸近線,三 中中 (x)

f(x)a,

lim[f(x)ax](x) lim[f(x)(axb)] 與導 lim

f(

a

b] 的應用

lim[f(x)ab]

limf(x)

-19第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描將求出的a代入limfx(axb0lim(f(x)ax) 反之,如果limf(x) lim(f(x)ax)b章 章

lim[f(x)(axb)] 定值所以yaxb是yfx)的漸近線定 注意 與 f( (1) 應 (2)

xf(x)

a存在但limfxax不存在可以斷定yfx不存在斜漸近線-20第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描 求f(x)2(x2)(x3)的漸近線 解D:(,1)解第 ∵limf(x) limf(x) x1是曲線的鉛直漸近線定 又∵limf(x)lim2(x2)(x3)定

x(x與 的

2(x2)(x3)(x1)

2應

2(x2)(x3)2x(x1)xy2x4是曲線的一條斜漸近線-21第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描fx2x2x3) x-22第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描三第(1確定函數(shù)yfx)的定義域,三

fx)中定

f(理(2)求出方程f(x)0和f(x) 導域內的全部實根,導的的應 (3)確定在這些部分區(qū)間內f(x)和f(x)的符號-23第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描三 (5)描出與方程f(x)0和f(x)0的根對應三章中定值討論的結果畫出函數(shù)的圖形定理 例8作函數(shù)f(x)導數(shù)

4(x

2的圖形 D:x 非奇非偶函數(shù),且無周期性 4(x2)

8(x3) f(x) f(x) 令f(x)0,得駐點x2,令f(x) 得點x-24第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描limfx)lim[4(x1)2]2,得水平漸近線y 第limf(x)lim[4(x1)2] 得鉛直漸近線x三 章中極值)拐極值)拐3,9(f(0f(0f(x-25第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描補充點y6B1Cy6B1C 12xA三

C

A B-26第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描 作函數(shù)(x)

三 D:三章

W:0(x)

偶函數(shù) 圖形關于y軸對稱(x(x1)(xx理 (x)理

2

(x)

2數(shù) 令(x)數(shù)的 令(x)用∵lim(x)

得駐點x得特殊點x1,x 0,得水平漸近線y-27第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描xx01(0 ( (

0拐

極 1 2o-28

拐,1, 第五 曲線的凹凸性、拐點與函數(shù)圖形的描 作函數(shù)f(x)x3x2x1的圖形三 D