2020高中數(shù)學(xué) 第2章 隨機變量及其分布 22 離散型隨機變量的方差學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。3。2離散型隨機變量的方差學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1。理解取有限個值的離散型隨機變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念．2．能計算簡單離散型隨機變量的方差,并能解決一些實際問題．（重點）3．掌握方差的性質(zhì)以及兩點分布、二項分布的方差的求法，會利用公式求它們的方差．(難點）1。通過離散型隨機變量的方差的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．借助方差解決實際問題，提高數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)。1．離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差（1）定義：設(shè)離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則（xi－E(X)）2描述了xi（i＝1，2,…,n）相對于均值E(X)的偏離程度，而D(X）＝eq\a\vs4\al（\i\su（i＝1，n，)xi－EX2pi）為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機變量X與其均值E(X）的平均偏離程度．稱D(X)為隨機變量X的方差，其算術(shù)平方根eq\r（DX)為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．(2)意義:隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則隨機變量偏離于均值的平均程度越?。伎?隨機變量的方差與樣本方差有什么關(guān)系？［提示］隨機變量的方差是總體的方差,它是一個常數(shù)，樣本的方差則是隨機變量，是隨樣本的變化而變化的．對于簡單隨機樣本，隨著樣本容量的增加,樣本的方差越來越接近于總體的方差．2．服從兩點分布與二項分布的隨機變量的方差(1)若X服從兩點分布，則D(X）＝p(1－p）；(2）若X～B(n，p），則D（X)＝np(1－p）．3．離散型隨機變量方差的線性運算性質(zhì)設(shè)a，b為常數(shù)，則D(aX＋b）＝a2D(X）．1．若隨機變量X服從兩點分布，且在一次試驗中事件A發(fā)生的概率P＝0。5，則E（X）和D（X)分別為（）A．0.25；0。5B．0.5；0。75C．0.5；0。25 D．1；0.75C[E(X）＝0.5,D(X)＝0.5×（1－0.5)＝0。25.］2．已知隨機變量ξ，D（ξ）＝eq\f（1，9)，則ξ的標(biāo)準(zhǔn)差為________．eq\f(1,3）［ξ的標(biāo)準(zhǔn)差eq\r(Dξ)＝eq\r(\f(1,9)）＝eq\f(1，3）.］3．已知隨機變量ξ的分布列如下表：ξ－101Peq\f(1,2)eq\f（1,3）eq\f(1，6)則ξ的均值為________，方差為________．－eq\f（1,3）eq\f(5,9）［均值E(ξ)＝(－1)×eq\f（1，2）＋0×eq\f（1，3）＋1×eq\f（1,6）＝－eq\f(1，3）；方差D（ξ）＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－1＋eq\f（1,3）))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0＋eq\f(1,3））)2×eq\f（1,3)＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋eq\f（1,3）))2×eq\f(1，6）＝eq\f（5，9).］求隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差【例1】已知X的分布列如下：X－101Peq\f(1，2)eq\f(1,4）a（1）求X2的分布列；(2）計算X的方差；（3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．［解］(1）由分布列的性質(zhì),知eq\f（1，2)＋eq\f（1,4)＋a＝1，故a＝eq\f（1，4),從而X2的分布列為X201Peq\f（1，4)eq\f(3，4）(2）法一：（直接法)由（1）知a＝eq\f(1，4)，所以X的均值E(X）＝(－1)×eq\f(1,2）＋0×eq\f（1,4）＋1×eq\f(1，4)＝－eq\f（1，4）。故X的方差D(X）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－1＋\f（1,4）））2×eq\f(1，2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f（1，4)))2×eq\f(1,4）＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1，4))）2×eq\f(1，4)＝eq\f（11，16）.法二：（公式法）由(1)知a＝eq\f(1,4)，所以X的均值E（X)＝(－1）×eq\f（1，2）＋0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4)，X2的均值E（X2)＝0×eq\f（1，4）＋1×eq\f(3，4）＝eq\f（3，4)，所以X的方差D（X）＝E(X2)－［E（X)］2＝eq\f（11,16）。(3）因為Y＝4X＋3，所以E（Y）＝4E(X）＋3＝2，D（Y)＝42D（X）＝11。方差的計算需要一定的運算能力,公式的記憶不能出錯！在隨機變量X2的均值比較好計算的情況下，運用關(guān)系式D(X)＝E(X2)－[E(X）]2不失為一種比較實用的方法．另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(aX＋b)＝a2D(X）．1．已知η的分布列為：η010205060Peq\f(1,3)eq\f（2，5)eq\f(1,15)eq\f(2，15)eq\f（1,15)（1)求η的方差及標(biāo)準(zhǔn)差;(2)設(shè)Y＝2η－E（η)，求D（Y)．[解](1）∵E（η）＝0×eq\f(1,3）＋10×eq\f（2,5)＋20×eq\f(1,15）＋50×eq\f(2，15）＋60×eq\f（1，15)＝16，D（η）＝（0－16）2×eq\f（1,3)＋（10－16）2×eq\f(2，5）＋（20－16）2×eq\f(1,15)＋（50－16)2×eq\f(2，15）＋（60－16)2×eq\f(1，15)＝384，∴eq\r(Dη)＝8eq\r(6).（2)∵Y＝2η－E（η),∴D(Y）＝D（2η－E（η））＝22D（η)＝4×384＝1536。兩點分布與二項分布的方差【例2】設(shè)X的分布列為P（X＝k)＝Ceq\o\al（k,5）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，3）））keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3）））5－k（k＝0，1,2,3,4，5），則D（3X）＝（）A．10 B．30C．15 D．5A[由P(X＝k)＝Ceq\o\al（k，5)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,3)））keq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（2,3））)5－k(k＝0，1，2,3,4,5)可知隨機變量服從二項分布X～Beq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（5，\f（1,3)）),所以D（X)＝5×eq\f（1,3)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(1，3)）)＝eq\f（10,9），D(3X）＝9D(X)＝10。]1．(變換條件、改變問法）本例題改為隨機變量X服從二項分布B（n,p），且E(3X＋2)＝9。2,D（3X＋2）＝12.96，求二項分布的參數(shù)n，p的值．[解]由E(3X＋2)＝9.2，D（3X＋2)＝12.96及X～B（n,p)知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（E3X＋2＝3EX＋2,,D3X＋2＝9DX,）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（3np＋2＝9.2，,9np1－p＝12。96,))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（n＝6，，p＝0。4，）)所以二項分布的參數(shù)n＝6，p＝0。4.2．（改變問法)本例題條件不變，求E（3X＋2)．[解］由例題可知X～Beq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（5,\f(1,3)）)，所以E（X)＝5×eq\f(1,3)＝eq\f（5,3）.故E（3X＋2)＝3E（X）＋2＝7.求離散型隨機變量的均值與方差的關(guān)注點1．寫出離散型隨機變量的分布列．2．正確應(yīng)用均值與方差的公式進行計算．3．對于二項分布，關(guān)鍵是通過題設(shè)環(huán)境確定隨機變量服從二項分布，然后直接應(yīng)用公式計算．均值、方差的實際應(yīng)用［探究問題］1．A，B兩臺機床同時加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時,出次品的概率如下表：A機床次品數(shù)X10123P0.70。20。060。04B機床次品數(shù)X20123P0。80.060。040.10由E(X1）和E(X2)的值能比較兩臺機床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎？為什么?[提示］不能．因為E（X1)＝0×0.7＋1×0。2＋2×0.06＋3×0。04＝0。44.E（X2)＝0×0。8＋1×0。06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44。所以，不能由E(X1)和E(X2)的值比較兩臺機床的產(chǎn)品質(zhì)量．2．在探究1中，試想利用什么指標(biāo)可以比較A,B兩臺機床加工質(zhì)量？[提示]利用樣本的方差．方差越小，加工的質(zhì)量越穩(wěn)定．【例3】甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10，9，8,7環(huán)的概率分別為0。5,3a，a，0。1，乙射中10,9，8環(huán)的概率分別為0。3，0。3，0.2.(1)求ξ，η的分布列；（2）求ξ，η的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)．[思路點撥］（1)由分布列的性質(zhì)先求出a和乙射中7環(huán)的概率,再列出ξ，η的分布列．(2)要比較甲、乙兩射手的射擊水平,需先比較兩射手擊中環(huán)數(shù)的均值，然后再看其方差值．［解](1)由題意得：0.5＋3a＋a＋0。1＝1，解得a因為乙射中10,9，8環(huán)的概率分別為0。3，0.3，0.2，所以乙射中7環(huán)的概率為1－(0。3＋0。3＋0。2）＝0.2。所以ξ，η的分布列分別為(2）由（1）得：E（ξ)＝10×0。5＋9×0.3＋8×0。1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ）＝(10－9。2）2×0.5＋（9－9.2）2×0。3＋（8－9。2)2×0。1＋（7－9.2)2×0。1＝0.96；D（η）＝(10－8.7）2×0。3＋（9－8。7)2×0。3＋(8－8.7）2×0。2＋（7－8。7）2×0。2＝1.21。由于E(ξ）>E（η），D(ξ)<D（η),說明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高,且成績比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術(shù)好．利用均值和方差的意義分析解決實際問題的步驟1．比較均值．離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平,因此，在實際決策問題中，需先計算均值，看一下誰的平均水平高．2．在均值相等的情況下計算方差．方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度．通過計算方差，分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定．3．下結(jié)論．依據(jù)方差的幾何意義做出結(jié)論．2．有甲、乙兩名學(xué)生,經(jīng)統(tǒng)計，他們在解答同一份數(shù)學(xué)試卷時，各自的成績在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲：分數(shù)X8090100概率P0。20.60.2乙：分數(shù)Y8090100概率P0。40.20.4試分析兩名學(xué)生的成績水平．［解]因為E(X）＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D(X）＝（80－90)2×0.2＋（90－90）2×0.6＋（100－90）2×0。2＝40，E(Y)＝80×0.4＋90×0。2＋100×0。4＝90，D（Y)＝（80－90）2×0。4＋(90－90）2×0.2＋(100－90）2×0.4＝80，即E（X）＝E(Y），D（X）〈D（Y)，所以甲生與乙生的成績均值一樣，甲的方差較小，因此甲生的學(xué)習(xí)成績較穩(wěn)定．對隨機變量X的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的五點說明（1)隨機變量X的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義是相同的．（2)隨機變量X的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量X的取值的穩(wěn)定性和波動、集中與離散程度．(3）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應(yīng)用更為廣泛．(4）D（X)越小，隨機變量X的取值越穩(wěn)定，波動越?。?5)方差也可以用公式D(X）＝E(X2）－(E（X））2計算(可由D（X)＝eq\i\su（i＝1,n，）（xi－E(X))2pi展開得到)。1．判斷（正確的打“√"，錯誤的打“×”)（1)離散型隨機變量ξ的期望E（ξ）反映了ξ取值的概率的平均值．()(2)離散型隨機變量ξ的方差D(ξ）反映了ξ取值的平均水平．()(3）離散型隨機變量ξ的方差D（ξ)反映了ξ取值的波動水平．（)（4)離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩(wěn)定．（）［答案]（1)×(2）×（3)√（4)×2．已知X的分布列為X－101P0.50。30。2則D（X）等于(）A．0。7 B．0。61C．－0.3 D．0B[E（X)＝－1×0.5＋0×0。3＋1×0。2＝－0.3，D(X）＝0。5×(－1＋0。3)2＋0.3×(0＋0.3）2＋0.2×(1＋0。3）2＝0.61.］3．有兩臺自動包裝機甲與乙，包裝質(zhì)量分別為隨機變量X1，X2，已知