2020高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2.2 反證法講義 2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2.2。2反證法學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)．（重點(diǎn)、易混點(diǎn))2．會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題．（重點(diǎn)、難點(diǎn)）通過(guò)反證法的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。反證法1．反證法的定義由證明p?q轉(zhuǎn)向證明:?q?r?…?t,t與假設(shè)矛盾，或與某個(gè)真命題矛盾，從而判定?q為假，推出q為真的方法,叫做反證法．2．常見(jiàn)的幾種矛盾(1）與假設(shè)矛盾；（2）與數(shù)學(xué)公理、定理、公式、定義或已被證明了的結(jié)論矛盾;（3）與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾（例如，導(dǎo)出0＝1,0≠0之類(lèi)的矛盾）．1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)（1)反證法屬于間接證明問(wèn)題的方法． ()（2)反證法的證明過(guò)程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理． （)（3)反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾． （）[答案］（1）√(2）×(3）√2．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°",假設(shè)正確的是（）A．假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都不大于60°B．假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都大于60°C．假設(shè)三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°D．假設(shè)三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°［解析］根據(jù)反證法的定義，假設(shè)是對(duì)原命題結(jié)論的否定，故假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都大于60°。[答案]B3．已知平面α∩平面β＝直線a，直線b?α，直線c?β，b∩a＝A，c∥a，求證：b與c是異面直線,若利用反證法證明,則應(yīng)假設(shè)__________．[解析]∵空間中兩直線的位置關(guān)系有3種：異面、平行、相交，∴應(yīng)假設(shè)b與c平行或相交．［答案］b與c平行或相交利用反證法證明否定性命題【例1】(1)用反證法證明：“若方程ax2＋bx＋c＝0，且a,b，c都是奇數(shù)，則方程沒(méi)有整數(shù)根”,正確的假設(shè)是方程存在實(shí)數(shù)根x0為(）A．整數(shù) B．奇數(shù)或偶數(shù)C．自然數(shù)或負(fù)整數(shù) D．正整數(shù)或負(fù)整數(shù)（2)已知三個(gè)正整數(shù)a，b，c成等比數(shù)列,但不成等差數(shù)列，求證：eq\r（a)，eq\r（b），eq\r(c）不成等差數(shù)列．[解析］（1）要證明的結(jié)論是“方程沒(méi)有整數(shù)根",故應(yīng)假設(shè)：方程存在實(shí)數(shù)根x0為整數(shù)，故選A.[答案]A(2）證明：假設(shè)eq\r(a)，eq\r（b)，eq\r（c)成等差數(shù)列，則eq\r（a)＋eq\r(c)＝2eq\r（b），即a＋c＋2eq\r(ac）＝4b。又a，b，c成等比數(shù)列，所以b2＝ac，即b＝eq\r(ac），所以a＋c＋2eq\r(ac）＝4eq\r（ac）,所以a＋c－2eq\r(ac）＝0，即（eq\r（a)－eq\r(c))2＝0，所以eq\r(a)＝eq\r（c),從而a＝b＝c，所以a，b,c可以成等差數(shù)列，這與已知中“a，b，c不成等差數(shù)列”相矛盾．原假設(shè)錯(cuò)誤，故eq\r(a），eq\r(b），eq\r（c)不成等差數(shù)列．1．用反證法證明否定性命題的適用類(lèi)型結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語(yǔ)的命題稱(chēng)為否定性命題,此類(lèi)問(wèn)題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法．2．反證法證明問(wèn)題的一般步驟1．設(shè)數(shù)列｛an｝是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和．求證：數(shù)列｛Sn｝不是等比數(shù)列．[證明］假設(shè)數(shù)列｛Sn}是等比數(shù)列,則Seq\o\al(2,2）＝S1S3，即aeq\o\al(2，1）（1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2）,因?yàn)閍1≠0,所以（1＋q）2＝1＋q＋q2，即q＝0，這與公比q≠0矛盾．所以數(shù)列｛Sn｝不是等比數(shù)列．利用反證法證明存在性命題【例2】已知a，b，c∈(0，1)，求證：(1－a)b，(1－b）c,（1－c）a不能都大于eq\f（1,4）.［思路探究］“不能都大于”的含義為“至少有一個(gè)小于或等于”其對(duì)立面為“全部大于”．[解]假設(shè)（1－a）b，（1－b）c,(1－c）a都大于eq\f（1,4）?！遖，b，c∈(0，1)，∴1－a>0，1－b〉0，1－c>0.∴eq\f(1－a＋b,2）≥eq\r(1－ab）>eq\r(\f（1,4）)＝eq\f(1，2）.同理eq\f（1－b＋c,2）〉eq\f(1,2),eq\f（1－c＋a,2）>eq\f(1,2）。三式相加得eq\f（1－a＋b，2）＋eq\f（1－b＋c,2）＋eq\f(1－c＋a，2)>eq\f（3，2)，即eq\f(3,2）>eq\f(3，2)，矛盾．所以(1－a)b，(1－b)c，（1－c)a不能都大于eq\f(1，4）.應(yīng)用反證法常見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞"當(dāng)命題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語(yǔ)時(shí)，直接證明不易入手且討論較復(fù)雜．這時(shí)，可用反證法證明，證明時(shí)常見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如下：2．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求證：a,b，c,d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．[證明］假設(shè)a,b，c,d都是非負(fù)數(shù)，因?yàn)閍＋b＝c＋d＝1，所以（a＋b)（c＋d）＝1．又（a＋b)（c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，這與已知ac＋bd>1矛盾,所以a，b,c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)。利用反證法證明唯一性命題[探究問(wèn)題]反證法解題的實(shí)質(zhì)是什么？提示：否定結(jié)論、導(dǎo)出矛盾，從而證明原結(jié)論正確．【例3】已知直線m與直線a和b分別交于A，B兩點(diǎn)，且a∥b。求證：過(guò)a，b，m有且只有一個(gè)平面．［思路探究]“有且只有"表示“存在且唯一",因此在證明時(shí)，要分別從存在性和唯一性兩方面來(lái)考慮．［解]因?yàn)閍∥b，所以過(guò)a，b有一個(gè)平面α.又因?yàn)閙∩a＝A，m∩b＝B,所以A∈a，B∈b,所以A∈α，B∈α.又因?yàn)锳∈m，B∈m，所以m?α，即過(guò)a，b，m有一個(gè)平面α，如圖．假設(shè)過(guò)a，b,m還有一個(gè)平面β異于平面α，則a?α，b?α，a?β，b?β，這與a∥b,過(guò)a，b有且只有一個(gè)平面矛盾．因此，過(guò)a，b，m有且只有一個(gè)平面．用反證法證明唯一性命題的一般思路證明“有且只有一個(gè)”的問(wèn)題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性．當(dāng)證明結(jié)論以“有且只有”“只有一個(gè)”“唯一存在"等形式出現(xiàn)的命題時(shí),可先證“存在性”,由于假設(shè)“唯一性”結(jié)論不成立易導(dǎo)出矛盾，因此可用反證法證其唯一性．3．若函數(shù)f（x)在區(qū)間[a，b］上的圖象連續(xù)，且f(a)<0,f(b）>0,且f(x)在［a,b］上單調(diào)遞增，求證：f（x)在（a，b)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．[證明］由于f(x）在[a，b]上的圖象連續(xù),且f(a)〈0，f(b）>0，即f(a）·f(b)<0，所以f（x)在(a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為m，則f(m)＝0.假設(shè)f(x）在（a，b)內(nèi)還存在另一個(gè)零點(diǎn)n，即f(n）＝0,則n≠m。若n〉m，則f（n)〉f（m），即0>0，矛盾;若n〈m，則f（n)<f（m)，即0<0，矛盾．因此假設(shè)不正確，即f（x）在(a，b)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。1．“自然數(shù)a，b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)"的否定正確的為()A．a(chǎn),b,c都是奇數(shù)B．a(chǎn)，b,c都是偶數(shù)C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)D．a(chǎn)，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)[解析］自然數(shù)a,b，c的奇偶性共有四種情形:(1)3個(gè)都是奇數(shù);（2)2個(gè)奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)；（3）1個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)；(4)3個(gè)都是偶數(shù)，所以否定正確的是a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)．[答案］D2．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，反設(shè)正確的是()A．三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)鈍角B．三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)鈍角C．三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角D．三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角或至少有兩個(gè)鈍角[解析］“至多有一個(gè)”即要么一個(gè)都沒(méi)有，要么有一個(gè),故反設(shè)為“至少有兩個(gè)”．［答案]B3．“x＝0且y＝0”的否定形式為_(kāi)_______．[解析］“p且q”的否定形式為“?p或?q”．［答案］x≠0或y≠04．用反證法證明命題“若x2－(a＋b）x＋ab≠0，則x≠a且x≠b”時(shí),應(yīng)假設(shè)________．［解析]“x≠a且x≠b"形式的否定為“x＝a或x＝b”．[答案]x＝a或x＝b5．若a，b,c互不相等,證明：三個(gè)方程ax2＋2bx＋c＝0,bx2＋2cx＋a＝0，