2020高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2.1 綜合法與分析法講義 2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE13-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．理解綜合法、分析法的意義,掌握綜合法、分析法的思維特點(diǎn)．（重點(diǎn)、易混點(diǎn))2．會(huì)用綜合法、分析法解決問(wèn)題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))通過(guò)學(xué)習(xí)證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的兩種重要方法，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).一、綜合法1．直接證明（1）直接證明是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的真實(shí)性．(2）常用的直接證明方法有綜合法與分析法．2．綜合法（1)定義：綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法,也就是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的推理，最后達(dá)到待證結(jié)論．(2）符號(hào)表示：P0（已知）?P1?P2?…?Pn（結(jié)論)．二、分析法1．定義:分析法是一種從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的思維方法．也就是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步尋求結(jié)論成立的充分條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)．2．符號(hào)表示：B(結(jié)論）?B1?B2?…?Bn?A(已知）1．判斷（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）(1）綜合法是執(zhí)果索因的逆推證法． ()(2）分析法就是從結(jié)論推向已知． (）（3)綜合法的推理過(guò)程實(shí)際上是尋找它的必要條件的過(guò)程．分析法的推理過(guò)程實(shí)際上是尋求結(jié)論成立的充分條件的過(guò)程． （）[答案］（1）×(2)×(3）√2．已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證:eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,a）－1））eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，b）－1））eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,c）－1）)≥8.證明過(guò)程如下：∵a，b,c為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1,∴eq\f（1，a）－1＝eq\f（b＋c,a)〉0，eq\f（1,b）－1＝eq\f(a＋c，b)>0,eq\f(1，c)－1＝eq\f（a＋b,c)〉0，∴eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,a)－1)）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,b）－1)）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，c)－1)）＝eq\f(b＋c,a）·eq\f(a＋c，b）·eq\f(a＋b,c)≥eq\f（2\r（bc）·2\r(ac）·2\r(ab）,abc)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)，∴不等式成立．這種證法是__________（填綜合法、分析法)．［解析]本題從已知條件出發(fā),不斷地展開(kāi)思考，去探索結(jié)論，這種證法是綜合法．[答案]綜合法3。eq\r（6)－2eq\r(2)與eq\r(5)－eq\r(7）的大小關(guān)系是________．［解析］假設(shè)eq\r（6）－2eq\r(2）〉eq\r（5)－eq\r（7），由分析法可得，要證eq\r（6）－2eq\r（2）>eq\r(5）－eq\r(7)，只需證eq\r（6)＋eq\r(7)>eq\r（5）＋2eq\r(2)，即證13＋2eq\r(42)〉13＋4eq\r（10），即eq\r（42）〉2eq\r（10)。因?yàn)?2〉40，所以eq\r（6)－2eq\r(2）〉eq\r（5）－eq\r(7)成立．[答案］eq\r(6)－2eq\r(2）>eq\r(5）－eq\r（7）綜合法的應(yīng)用【例1】(1)在△ABC中,已知cosAcosB〉sinAsinB，則△ABC的形狀一定是__________．(2)已知方程(x2－mx＋2）(x2－nx＋2）＝0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，則|m－n｜＝__________.（3）下面的四個(gè)不等式：①a2＋b2＋3≥ab＋eq\r（3）(a＋b）；②a（1－a）≤eq\f（1，4）；③eq\f（b,a)＋eq\f(a，b)≥2；④(a2＋b2)·（c2＋d2）≥（ac＋bd)2。其中恒成立的有__________．[解析](1)∵cosAcosB>sinAsinB,∴cosAcosB－sinAsinB〉0，∴cos（A＋B）〉0，即cos(π－C)〉0，∴cosC<0，又0<C<π，∴eq\f（π,2)<C〈π，所以△ABC是鈍角三角形．（2）設(shè)方程的四個(gè)根分別為x1，x2，x3，x4,則由題意可知，x1＝eq\f(1，2）,x1x4＝x2x3＝2，∴x4＝4。設(shè)公比為q，則x4＝x1q3,∴4＝eq\f(1，2)·q3，∴q＝2，∴x2＝1，x3＝2，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，m＝x1＋x4＝eq\f(9,2），n＝x2＋x3＝3，∴|m－n|＝eq\f（3,2).（3）①a2＋b2＋3＝eq\f(a2，2)＋eq\f(3，2）＋eq\f（b2,2)＋eq\f（3，2）＋eq\f（a2,2）＋eq\f（b2，2)≥2eq\r(\f(a2,2）×\f(b2，2）)＋2eq\r（\f(a2,2）×\f(3，2））＋2eq\r（\f(b2，2)×\f（3,2）)＝ab＋eq\r(3)(a＋b）(當(dāng)且僅當(dāng)a2＝b2＝3時(shí),等號(hào)成立）．②a(1－a)＝－a2＋a＝－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(a－\f(1，2)))eq\s\up14(2)＋eq\f（1，4)≤eq\f（1,4).③當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)，不成立．④∵a2d2＋b2c2≥2abcd，∴(ac＋bd)2＝a2c2＋b2d2＋2abcd≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝（a2＋b2)（c2[答案］(1)鈍角三角形(2)eq\f(3,2)(3）①②④1．綜合法處理問(wèn)題的三個(gè)步驟2．用綜合法證明不等式時(shí)常用的結(jié)論（1）ab≤eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（a＋b,2））)eq\s\up14(2）≤eq\f(a2＋b2,2)(a，b∈R）;(2)a＋b≥2eq\r（ab)(a≥0，b≥0)．1．綜合法是(）A．執(zhí)果索因的逆推證法B．由因?qū)Ч捻樛谱C法C．因果分別互推的兩頭湊法D．原命題的證明方法［答案］B分析法的應(yīng)用【例2】設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，求證：eq\r(a2＋b2)≥eq\f（\r(2)，2）(a＋b)．[思路探究］待證不等式中含有根號(hào)，用平方法去根號(hào)是關(guān)鍵．［解]當(dāng)a＋b≤0時(shí)，∵eq\r（a2＋b2)≥0，∴eq\r(a2＋b2）≥eq\f（\r（2)，2）(a＋b)成立．當(dāng)a＋b〉0時(shí)，用分析法證明如下:要證eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r（2)，2）(a＋b)，只需證(eq\r(a2＋b2）)2≥eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（\r(2)，2）a＋b)）eq\s\up14（2)，即證a2＋b2≥eq\f(1,2)（a2＋b2＋2ab），即證a2＋b2≥2ab?！遖2＋b2≥2ab對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，∴eq\r（a2＋b2)≥eq\f(\r(2），2)（a＋b)成立．綜上所述，不等式成立．1．當(dāng)已知條件簡(jiǎn)單而證明的結(jié)論比較復(fù)雜時(shí),一般采用分析法，在敘述過(guò)程中“要證"“只需證”“即要證”這些詞語(yǔ)必不可少，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．2．逆向思考是用分析法證題的主題思想，通過(guò)反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件，正確把握轉(zhuǎn)化方向，使問(wèn)題順利獲解．2．已知a>0，eq\f（1,b)－eq\f（1，a)>1，求證:eq\r(1＋a）〉eq\f(1，\r（1－b））.[證明]由已知eq\f(1，b）－eq\f(1，a)〉1及a〉0可知0<b<1,要證eq\r(1＋a）>eq\f（1，\r（1－b）)，只需證eq\r(1＋a）·eq\r（1－b）〉1，只需證1＋a－b－ab〉1，只需證a－b－ab〉0，即eq\f(a－b，ab）〉1,即eq\f（1,b)－eq\f（1,a）>1，這是已知條件，所以原不等式得證．綜合法與分析法的綜合應(yīng)用［探究問(wèn)題］1．綜合法與分析法的推理過(guò)程是合情推理還是演繹推理？提示：綜合法與分析法的推理過(guò)程是演繹推理,它們的每一步推理都是嚴(yán)密的邏輯推理,從而得到的每一個(gè)結(jié)論都是正確的,不同于合情推理中的“猜想"．2．綜合法與分析法有什么區(qū)別？提示：綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步尋找的是必要條件，即由因?qū)Ч?；分析法是從待求結(jié)論出發(fā)，逐步尋找的是充分條件，即執(zhí)果索因．【例3】已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C為等差數(shù)列，且a，b，c分別為角A,B，C的對(duì)邊，求證：(a＋b）－1＋（b＋c）－1＝3(a＋b＋c）－1．［思路探究]先求出角B,然后利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系解決．［解］法一：(分析法）要證(a＋b）－1＋（b＋c)－1＝3(a＋b＋c）－1，即證eq\f（1,a＋b）＋eq\f（1，b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c），只需證eq\f(a＋b＋c,a＋b）＋eq\f（a＋b＋c，b＋c）＝3，化簡(jiǎn)，得eq\f（c，a＋b）＋eq\f（a，b＋c）＝1，即c（b＋c)＋(a＋b）a＝（a＋b)（b＋c)，所以只需證c2＋a2＝b2＋ac.因?yàn)椤鰽BC的三個(gè)內(nèi)角A,B，C成等差數(shù)列，所以B＝60°，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2，2ac)＝eq\f(1,2），即a2＋c2－b2＝ac成立．∴(a＋b）－1＋(b＋c）－1＝3(a＋b＋c）－1成立．法二：(綜合法）因?yàn)椤鰽BC的三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B＝60°。由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°。所以c2＋a2＝ac＋b2，兩邊加ab＋bc，得c（b＋c)＋a(a＋b)＝（a＋b)(b＋c)，兩邊同時(shí)除以(a＋b）(b＋c），得eq\f（c，a＋b）＋eq\f(a,b＋c)＝1,所以eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（c,a＋b）＋1）)＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a，b＋c)＋1））＝3，即eq\f（1，a＋b）＋eq\f(1,b＋c）＝eq\f(3,a＋b＋c），所以(a＋b)－1＋(b＋c）－1＝3（a＋b＋c）－1．綜合法由因?qū)Ч?，分析法?zhí)果索因,因此在實(shí)際解題時(shí)，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)使用，即先利用分析法尋找解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過(guò)程.3．設(shè)x≥1，y≥1，證明：x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f（1，x）＋eq\f（1，y）＋xy。［證明]因?yàn)閤≥1，y≥1，所以要證明x＋y＋eq\f（1,xy)≤eq\f（1,x)＋eq\f(1,y）＋xy，只需證明xy（x＋y）＋1≤y＋x＋（xy）2。將上式中的右式減左式，得[y＋x＋（xy）2]－[xy（x＋y）＋1］＝［(xy）2－1]－［xy（x＋y）－（x＋y）]＝(xy＋1)（xy－1)－(x＋y）（xy－1)＝（xy－1)（xy－x－y＋1）＝(xy－1）（x－1)（y－1）．因?yàn)閤≥1,y≥1,所以(xy－1）(x－1)(y－1)≥0，從而可得不等式x＋y＋eq\f（1,xy）≤eq\f(1，x）＋eq\f(1,y）＋xy成立.1．下面敘述正確的是()A．綜合法、分析法是直接證明的方法B．綜合法是直接證法,分析法是間接證法C．綜合法、分析法所用語(yǔ)氣都是肯定的D．綜合法、分析法所用語(yǔ)氣都是假定的[解析]直接證明包括綜合法和分析法．［答案］A2．欲證不等式eq\r（3)－eq\r(5）＜eq\r（6)－eq\r(8)成立，只需證()A．（eq\r（3)－eq\r（5）)2＜（eq\r（6)－eq\r(8)）2B．（eq\r(3)－eq\r(6））2＜(eq\r(5）－eq\r(8）)2C．(eq\r（3）＋eq\r（8））2＜(eq\r(6)＋eq\r（5))2D．（eq\r(3）－eq\r(5）－eq\r(6）)2＜(－eq\r(8）)2[解析]要證eq\r(3)－eq\r（5)＜eq\r（6）－eq\r(8）成立，只需證eq\r（3)＋eq\r(8）＜eq\r(6）＋eq\r（5)成立，只需證（eq\r(3)＋eq\r(8)）2＜（eq\r(6)＋eq\r（5）)2成立．［答案]C3．將下面用分析法證明eq\f（a2＋b2,2）≥ab的步驟補(bǔ)充完整:要證eq\f(a2＋b2，2）≥ab,只需證a2＋b2≥2ab,也就是證__________________，即證__________．由于__________顯然成立，因此原不等式成立．[解析]用分析法證明eq\f（a2＋b2,2)≥ab的步驟為：要證eq\f（a2＋b2,2）≥ab成立，只需證a2＋b2≥2ab,也就是證a2＋b2－2ab≥0,即證（a－b)2≥0.由于（a－b)2≥0顯然成立，所以原不等式成立．[答案]a2＋b2－2ab≥0（a－b)2≥0(a－b)2≥04．設(shè)a＞0,b＞0,c＞0，若a＋b＋c＝1，則eq\f（1，a)＋eq\f（1，b）＋eq\f（1，c)的最小值為_(kāi)_______．［解析]因?yàn)閍＋b＋c＝1，且a＞0,b＞0，c＞0，所以eq\f(1，a）＋eq\f(1,b）＋eq\f（1，c)＝eq\f(a＋b＋c，a)＋eq\f（a＋b＋c,b）＋eq\f(a＋b＋c,c）＝3＋eq\f(b，a)＋eq\f(a,b）＋eq\f（c，b)＋eq\f（b，c）＋eq\f（a，c）＋eq\f（c，a）≥3＋2eq\r（\f(b,a）·\f(a,b)）＋2eq\r（\f（c,b）·\f(b,c)）＋2eq\r（\f(c，a)·\f(a,c))＝3＋6＝9。當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立．[答案