2022-2023學(xué)年福建省廈門(mén)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省廈門(mén)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知橢圓，則該橢圓的離心率（

）A． B． C． D．C【分析】將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用即即可求解.【詳解】解：因?yàn)闄E圓的方程為，即，故，又，故.故選：C.2．已知向量，單位向量滿(mǎn)足，則，的夾角為（

）A． B． C． D．C【分析】將模平方后可求數(shù)量積，從而可求夾角的大小.【詳解】因?yàn)?，故，因此，故即，故即，故，而，故，故選：C.3．若圓與圓有3條公切線(xiàn)，則（

）A．3 B．3 C．5 D．3或3D【分析】根據(jù)公切線(xiàn)的條數(shù)可判斷兩圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)閮蓤A有3條公切線(xiàn),所以?xún)蓤A的位置關(guān)系為外切,則圓心距等于兩圓半徑之和,即,解得或,故選:D.4．若雙曲線(xiàn)：的一條漸近線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則的焦距為（

）A．8 B．10 C．12 D．16A【分析】由題得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，不妨設(shè)直線(xiàn)，解方程即得解.【詳解】由，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，不妨設(shè)直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則，解得，所以，所以.故該雙曲線(xiàn)的焦距為故選：A5．已知圓：，直線(xiàn)：，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)、，切點(diǎn)分別A、，當(dāng)最小時(shí)，直線(xiàn)的方程為（

）A． B． C． D．B【分析】由切線(xiàn)性質(zhì)得，A，，四點(diǎn)共圓，且，則，又，故當(dāng)直線(xiàn)時(shí)，最小，最小，即可由點(diǎn)斜式求得方程【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，由切線(xiàn)性質(zhì)得，，A，，四點(diǎn)共圓，且.所以，而，則當(dāng)直線(xiàn)時(shí)，最小，即最小，即最小，所以此時(shí)直線(xiàn)，即故選：B6．已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且斜率的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)在第二象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（

）．A． B． C． D．A【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，再由直線(xiàn)的斜率可得的正切值，進(jìn)而求出它的余弦值，在三角形中，由余弦定理可得，的關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程．【詳解】解：因?yàn)?，而，所以，可得，即，因?yàn)樵诘诙笙?，由雙曲線(xiàn)的定義可得，所以，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)，可得，又，解得或（舍去），在中，由余弦定理可得：，整理可得，又，所以，所以，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為；故選：A．7．以為直徑的圓有一內(nèi)接梯形，，梯形的周長(zhǎng)為10.若點(diǎn)，在以，為焦點(diǎn)的橢圓上，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．D【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)、橢圓的定義、橢圓離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示，依題意可知，梯形為等腰梯形，且有，不妨假設(shè)，則有，過(guò)作，垂足為，則有，因?yàn)樗裕虼擞?，代入化?jiǎn)得，解得，即，，又，得，離心率，故選：D關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用相似三角形的性質(zhì)，橢圓的定義是解題的關(guān)鍵.8．長(zhǎng)方體中，，，上底面的中心為，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上從移動(dòng)到時(shí)，點(diǎn)在平面上的射影的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)題意，證明平面，以，分別為軸，軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，由，可得：，化簡(jiǎn)可得射影的軌跡，求出軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，利用弧長(zhǎng)公式，即可求得答案.【詳解】易證明平面，則面面如圖所示，以，分別為軸，軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則有：，，，設(shè)，∴由，可得：，整理可得：，∴點(diǎn)在平面上的射影的軌跡是以為圓心，半徑為的圓弧，∵，∴∴是等邊三角形，即，∴圓弧的長(zhǎng)故選：B二、多選題9．已知直線(xiàn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則或C．若，則 D．若，則AC【分析】根據(jù)兩直線(xiàn)平行列出方程，求出或，經(jīng)檢驗(yàn)，不合要求；再根據(jù)兩直線(xiàn)垂直列出方程，求出.【詳解】令，解得：或．當(dāng)時(shí)，與重合；當(dāng)時(shí)，．A正確，B錯(cuò)誤．若，則，解得，C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC10．已知，，平面，則（

）A．點(diǎn)到平面的距離為 B．與所成角的正弦值為C．點(diǎn)到平面的距離為 D．與平面所成角的正弦值為CD【分析】根據(jù)點(diǎn)面距、線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角等知識(shí)求得正確答案.【詳解】因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)到平面的距離為，故A錯(cuò)誤，C正確；與所成角的余弦值為，正弦值為，B錯(cuò)誤.與平面所成角的正弦值為，D正確.故選：CD11．月光石不能頻繁遇水，因?yàn)槠渲饕煞质氢涒c硅酸鹽．一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合．若直線(xiàn)與半圓交于點(diǎn)A，與半橢圓交于點(diǎn)B，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的離心率是 B．線(xiàn)段AB長(zhǎng)度的取值范圍是C．面積的最大值是 D．的周長(zhǎng)存在最大值A(chǔ)BC【分析】由題意可求出半圓和橢圓的方程，即可求得橢圓離心率，判斷A；結(jié)合半圓的半徑以及橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，可確定線(xiàn)段AB長(zhǎng)度的取值范圍，判斷B；設(shè)坐標(biāo)，表示出面積，利用基本不等式求得其最大值，判斷C；表示出的周長(zhǎng)的表達(dá)式，結(jié)合t的取值范圍可判斷D.【詳解】由題意得半圓的方程為，設(shè)橢圓的方程為，所以，所以橢圓的方程為．A．橢圓的離心率是，所以該選項(xiàng)正確；B．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以線(xiàn)段AB長(zhǎng)度的取值范圍是，所以該選項(xiàng)正確；C．由題得面積，設(shè)，設(shè)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以該選項(xiàng)正確；D．的周長(zhǎng)，所以當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)最大，但是不能取零，所以的周長(zhǎng)沒(méi)有最大值，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：ABC.12．已知直線(xiàn)l：與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值為 B．若圓C關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，則C．若，則或 D．若A，B，C，O四點(diǎn)共圓，則ACD【分析】判斷出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合勾股定理、圓的對(duì)稱(chēng)性、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、四點(diǎn)共圓等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，圓，即①，圓心為，半徑為，由于，所以在圓內(nèi).，所以，此時(shí)，所以A選項(xiàng)正確.若圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)過(guò)兩點(diǎn)，斜率為，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.設(shè)，則，此時(shí)三角形是等腰直角三角形，到直線(xiàn)的距離為，即，解得或，所以C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，若四點(diǎn)共圓，設(shè)此圓為圓，圓的圓心為，的中點(diǎn)為，，所以的垂直平分線(xiàn)為，則②，圓的方程為，整理得③，直線(xiàn)是圓和圓的交線(xiàn)，由①-③并整理得，將代入上式得，④，由②④解得，所以直線(xiàn)即直線(xiàn)的斜率為，D選項(xiàng)正確.故選：ACD求解直線(xiàn)和圓位置關(guān)系有關(guān)題目，首先要注意的是圓和直線(xiàn)的位置，是相交、相切還是相離.可通過(guò)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離來(lái)判斷，也可以通過(guò)直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)來(lái)進(jìn)行判斷.三、填空題13．過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)在軸上的截距是______.【分析】求出所求直線(xiàn)的方程，化為斜截式，可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，所求直線(xiàn)的斜率為，故所求直線(xiàn)方程為，即.因此，該直線(xiàn)在軸上的截距是.故答案為.14．已知四面體棱長(zhǎng)均為，點(diǎn)，分別是、的中點(diǎn)，則___________.【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及定義計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)，分別是、的中點(diǎn)，所以，，，，所以.故15．直線(xiàn)與曲線(xiàn)恰有2個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.【分析】畫(huà)出直線(xiàn)與曲線(xiàn)的圖象，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】由曲線(xiàn)得，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，所以直線(xiàn)與曲線(xiàn)的圖象為當(dāng)直線(xiàn)與相切時(shí)，此時(shí)，得，解得，當(dāng)直線(xiàn)與平行時(shí)，，直線(xiàn)與曲線(xiàn)要恰有2個(gè)公共點(diǎn)，可得，故答案為.16．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為、，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，且，點(diǎn)M滿(mǎn)足，，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_______．2取另一三等分點(diǎn)N，則有，又M是PN中點(diǎn)，則有Q是OP中點(diǎn)，再由平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)平方和等于四邊的平方和，列出關(guān)于的方程，即可得答案；【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)M滿(mǎn)足，所以M是一個(gè)三等分點(diǎn)，取另一三等分點(diǎn)N，則有，又M是PN中點(diǎn)，則有Q是OP中點(diǎn)，因?yàn)椋?，則，由平行四邊形對(duì)角線(xiàn)平方和等于四邊的平方和，，，化簡(jiǎn)得．故答案為.本題考查雙曲線(xiàn)的離心率求解，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意平面幾何知識(shí)的運(yùn)用.四、解答題17．已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線(xiàn)相切，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與圓A相交于兩點(diǎn).(1)求圓A的方程；(2)當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)的方程.(1)(2)或【分析】（1）求出圓心到直線(xiàn)的距離即為圓半徑，從而得圓方程；（2）由弦長(zhǎng)求得弦心距，設(shè)出直線(xiàn)方程，由圓心到直線(xiàn)的距離得參數(shù)值，從而得直線(xiàn)方程，注意檢驗(yàn)斜率不存在的直線(xiàn)是否符合要求．【詳解】（1），所以圓方程為；（2）由題意圓心到直線(xiàn)的距離為，顯然直線(xiàn)滿(mǎn)足題意，在直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，即，，，直線(xiàn)方程為，即，所以直線(xiàn)方程為或．18．如圖，在四棱錐中，，，，和均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形(1)求證：平面平面；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，利用勾股定理證明，從而可證得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）先求出，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為，，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以，且，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）解：因?yàn)椋瑸榈冗吶切?，所以，又因?yàn)?，所以，，在中，由正弦定理，得，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以，，為，，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則平面的一個(gè)法向量為，依題意，所以，故直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.19．已知點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)：上(1)求的最小值，并求出此時(shí)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)直線(xiàn)與交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），若原點(diǎn)在以為直徑的圓的外部，求直線(xiàn)的斜率的取值范圍.(1)，(2)【分析】（1）設(shè)，則有，計(jì)算，計(jì)算得到答案.（2）設(shè)：，聯(lián)立方程得到方程組，消去利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，將題目轉(zhuǎn)化為，利用向量的運(yùn)算法則計(jì)算得到答案.【詳解】（1）設(shè)，則有，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）由題知直線(xiàn)的斜率存在，故可設(shè)：，，，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立得，，則，解得且，，，依題意得，解得所以20．如圖，圓柱的軸截面為正方形，點(diǎn)在底面圓周上，且為上的一點(diǎn)，且為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)（不與重合）(1)若，設(shè)平面面，求證：；(2)當(dāng)平面與平面夾角為，試確定點(diǎn)的位置.(1)證明見(jiàn)解析；(2)為中點(diǎn).【分析】（1）由線(xiàn)面垂直、圓的性質(zhì)有、，再由線(xiàn)面垂直的判定及性質(zhì)得，進(jìn)而有面，最后由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)、射影定理及線(xiàn)面平行的判定和性質(zhì)證結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系求的坐標(biāo)，設(shè)，可得，再分別求出面、面的法向量，結(jié)合已知面面角的大小求參數(shù)，即可確定點(diǎn)的位置.【詳解】（1）由題知面面，則，由為底面圓的直徑，則，由，面，面，又∵面，∴，又，面，面，又∵面，故.由，在中，由射影定理：，故面面,∴面，又面面，面，∴.（2）由（1）知，以為原點(diǎn)為軸正方向，過(guò)的母線(xiàn)為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，設(shè)，，設(shè)面的法向量為，則，令，則，又平面的一個(gè)法向量設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得或，其中時(shí)重合，不合題意，故當(dāng)平面與平面夾角為時(shí)，此時(shí)為中點(diǎn).21．在平面直角坐標(biāo)系中，的周長(zhǎng)為12，，邊的中點(diǎn)分別為和，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，記，求的最大值.(1)(2)【分析】（1）由題意可得，結(jié)合橢圓的定義，分析即得解；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為：，與橢圓聯(lián)立，分別表示的面積，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，令，再配方法求最值即得解.【詳解】（1）依題意有：，且，∴，故點(diǎn)的軌跡是以和為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，考慮到三個(gè)中點(diǎn)不可共線(xiàn)，故點(diǎn)不落在上，綜上，所求軌跡方程.（2）設(shè)，，顯然直線(xiàn)不與軸重合，不妨設(shè)直線(xiàn)的方程為：,與橢圓方程聯(lián)立整理得：，，，,，,∴,令，則,∵，∴，當(dāng)，即時(shí)，∴,∴當(dāng)直線(xiàn)軸時(shí)，∴.22．已知橢圓：的焦距為，且過(guò)點(diǎn).斜率為的直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，直線(xiàn)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線(xiàn)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.若，和點(diǎn)共線(xiàn)，求.(1)(2)【分析】（1）解法1：根據(jù)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，求和，再結(jié)合橢圓的定義