哈工大 大學(xué)物理2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(習(xí)題課)課件

剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)學(xué)習(xí)要求：1.掌握描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移、角速度、角加速度等物理量及角量和線量的關(guān)系.能借助于直角坐標(biāo)系熟練應(yīng)用勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式。2.理解力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義。掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律并能結(jié)合牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體與質(zhì)點(diǎn)組合系統(tǒng)的有關(guān)問題。3.會(huì)計(jì)算力矩的功，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和剛體的重力勢(shì)能。能在含有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)及重力場(chǎng)的剛體問題中正確地應(yīng)用機(jī)械能守恒定律。

4.熟練計(jì)算剛體對(duì)固定軸的角動(dòng)量，掌握角動(dòng)量定理，并能對(duì)含有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在內(nèi)的系統(tǒng)正確應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律。1重點(diǎn)：1.

理解和掌握有關(guān)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的基本概念——力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、角動(dòng)量等。2.

理解和掌握有關(guān)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本規(guī)律，特別是轉(zhuǎn)動(dòng)定律和角動(dòng)量守恒定律及其應(yīng)用。難點(diǎn)：角動(dòng)量定理，轉(zhuǎn)動(dòng)定律，角動(dòng)量守恒定律在綜合性力學(xué)問題中的應(yīng)用。2

1.描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式角位置角運(yùn)動(dòng)方程

=

(t)角位移角速度角加速度角量與線量的關(guān)系基本概念和規(guī)律：3

3.剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律4.力矩的功轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理機(jī)械能守恒定律:只有重力做功時(shí)55.角動(dòng)量和沖量矩剛體的角動(dòng)量恒力矩的沖量變力矩的沖量6.角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律:當(dāng)合外力矩為零或遠(yuǎn)小于內(nèi)力矩時(shí)6

7.質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)和剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物理量對(duì)比質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)位移x速度加速度功角位移角速度角加速度質(zhì)量m轉(zhuǎn)動(dòng)慣量功動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能動(dòng)量角動(dòng)量功率角功率7一人造地球衛(wèi)星到地球中心的最大距離和最小距離分別是設(shè)衛(wèi)星對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量分別是，動(dòng)能分別是，則有BA（１）（２）（３）（４）（５）答：（5）一長(zhǎng)為、質(zhì)量可以忽略的直桿，兩端分別固定有質(zhì)量為2m和m的小球，桿可繞通過其中心O且與桿垂直的水平光滑固定軸在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，開始桿與水平方向成某一角度θ，處于靜止?fàn)顟B(tài)，釋放后，桿繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。則當(dāng)桿轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)，該系統(tǒng)所受到的合外力矩的大小M=________,此時(shí)該系統(tǒng)角加速度的大小______。8如圖，長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞通過桿的端點(diǎn)O并與桿垂直的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。桿的另一端連接一個(gè)質(zhì)量為m的小球。桿從水平位置由靜止開始自由下擺，忽略軸處的摩擦，當(dāng)桿轉(zhuǎn)到與豎直方向成θ角時(shí)，小球與桿的角速度為Oθ注意角速度定義10力矩的計(jì)算一般情況下，剛體對(duì)某轉(zhuǎn)軸的力矩可以用公式M=Frsinφ計(jì)算，有時(shí)剛體上各點(diǎn)所受的力大小不等、或者方向不同、或者力臂不同，則需要用積分方法計(jì)算。例、唱機(jī)的轉(zhuǎn)盤繞著通過盤心的固定豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，唱片放上去后將受轉(zhuǎn)盤的摩擦力作用而隨盤轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)唱片可以看成半徑為R的均勻圓盤，質(zhì)量為m，唱片與轉(zhuǎn)盤之間的摩擦系數(shù)為μ，轉(zhuǎn)盤原來(lái)以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，唱片放上去時(shí)受到的摩擦力矩為多大？唱片達(dá)到角速度ω需要多長(zhǎng)時(shí)間？在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)盤保持角速度不變，則驅(qū)動(dòng)力做功多少？摩擦力矩做了多少功？唱片獲得了多大動(dòng)能？12面元質(zhì)量為：此面元受到轉(zhuǎn)盤的摩擦力為：摩擦力矩：所以，整個(gè)唱片所受的摩擦力矩為：14解法二、把唱片分成許多同心圓環(huán)，任取半徑r---r+dr的圓環(huán)作為面元，其上各點(diǎn)所受的摩擦力沿著圓環(huán)的切線方向。如圖。對(duì)轉(zhuǎn)軸的力臂都相同。因此圓環(huán)所受的摩擦力矩為：其中代入得到：所以整個(gè)唱片受到的摩擦力矩為：drrdfdfdf15根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律可知，唱片在此摩擦力矩作用下做勻加速運(yùn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為：其中，唱片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：代入可以得到：所以，唱片的角速度從零增加到ω所需要的時(shí)間為：16在這段時(shí)間內(nèi)，摩擦力矩做功：唱片獲得的動(dòng)能：所以唱機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩做功為：17轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用這類問題多見于含有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體和可視為質(zhì)點(diǎn)的物體組成的系統(tǒng)的力學(xué)問題。處理這類問題的方法和處理質(zhì)點(diǎn)力學(xué)問題相同，即先選取研究對(duì)象，分析各隔離體所受的力或者力矩，畫出示力圖，判斷各隔離體的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律或者轉(zhuǎn)動(dòng)定律分別列出運(yùn)動(dòng)方程，還要加上運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間的聯(lián)系，比如線量與角量之間的關(guān)系。例、電風(fēng)扇的功率恒定為P，風(fēng)葉轉(zhuǎn)子的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，設(shè)風(fēng)葉受到空氣的阻力矩與風(fēng)葉的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω成正比（比例系數(shù)為k）。求：（1）電扇通電后t秒時(shí)的角速度；（2）電扇穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)速；（3）若在電扇穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)后斷開電源，則風(fēng)扇還能繼續(xù)轉(zhuǎn)過多少角度？18分離變量后積分：積分得到：（2）當(dāng)t趨于無(wú)窮時(shí)，電扇達(dá)到穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速：（3）電源斷開，只有受到阻力矩作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得到：20分離變量后積分：由此得到：則電扇轉(zhuǎn)過的角度為：21例、質(zhì)量為M，半徑為R的轉(zhuǎn)臺(tái)，可以繞通過中心的豎直軸無(wú)摩擦的轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為m的人，站在離中心r處（r<R），開始時(shí)，人和臺(tái)處于靜止?fàn)顟B(tài)，如果這個(gè)人沿著半徑為r的圓周勻速走一圈，設(shè)他相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)的運(yùn)動(dòng)速度為u，如圖。求轉(zhuǎn)臺(tái)的旋轉(zhuǎn)角速度和相對(duì)地面轉(zhuǎn)過的角度。Rrωu分析：以人和轉(zhuǎn)臺(tái)為系統(tǒng)，該系統(tǒng)沒有受到外力矩的作用，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律時(shí)，其中的角速度和速度都是相對(duì)慣性系（地面）而言的。因此人在轉(zhuǎn)臺(tái)上走動(dòng)時(shí)，必須考慮人相對(duì)于地面的速度。23解：對(duì)于人和轉(zhuǎn)臺(tái)的系統(tǒng)，當(dāng)人走動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)沒有受到對(duì)豎直軸的外力矩，系統(tǒng)對(duì)該軸的角動(dòng)量守恒。設(shè)人相對(duì)于地面的速度為v，轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)于地面的轉(zhuǎn)速為ω，于是有：而：代入得：24角動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律的綜合應(yīng)用角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律適用的條件不同，在應(yīng)用時(shí)必須根據(jù)條件而有所選擇。例、長(zhǎng)為質(zhì)量為m1的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞通過O點(diǎn)垂直于紙面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，令桿自水平位置靜止擺下，在鉛直位置處與質(zhì)量為m2的物體發(fā)生完全非彈性碰撞，如圖，碰后物體沿摩擦系數(shù)為μ的水平面滑動(dòng)，求此物體滑過的距離以及桿上升的角度。26分析：可以分成三個(gè)過程。（1）桿從水平位置擺到豎直位置，只有重力做功，所以機(jī)械能守恒；（2）桿與物體發(fā)生碰撞。把桿和物體作為一個(gè)系統(tǒng)，沒有受到外力矩的作用，所以系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。系統(tǒng)的動(dòng)量不守恒。（桿受到軸力的外力作用）；（3）物體和桿分別運(yùn)動(dòng)。物體滑動(dòng)，摩擦力做功，可以由功能原理求距離，桿上升過程，機(jī)械能守恒。m1m2解：桿自水平位置擺到鉛直位置時(shí)，設(shè)桿在鉛直位置時(shí)角速度為ω，并以地面為勢(shì)能的零點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律可以得到：由此二式可以得到：27桿與物體發(fā)生完全非彈性碰撞時(shí)，他們將擁有共同的速度v，由于系統(tǒng)沒有受到外力矩的作用，所以角動(dòng)量守恒，設(shè)碰撞后的角速度為ω’，有：解以上兩式，并且代入ω的值，得到：28分析：對(duì)于環(huán)和桿所組成的系統(tǒng)，僅受到重力和軸力的作用，所以系統(tǒng)對(duì)A點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。而且這些外力不做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。由這兩個(gè)定律就可以求出桿的旋轉(zhuǎn)角速度和環(huán)的運(yùn)動(dòng)速度。例.質(zhì)量為m的小圓環(huán)套在一長(zhǎng)為

質(zhì)量為M的光滑均勻桿AB上,桿可以繞過其A端的固定軸在水平面上自由旋轉(zhuǎn)。開始時(shí)桿旋轉(zhuǎn)的角速度為ω0而小環(huán)位于A處，當(dāng)小環(huán)受到一微