262二次函的圖象與性質

二次函數y=ax2的圖象和性質知識回顧一次函數的圖象是

；反比例函數的圖象是

；

問題1：二次函數y=x2的圖象是什么呢？一條直線雙曲線

函數圖象畫法列表描點連線

描點法問題2：如何畫二次函數y=x2的圖象呢？00.2512.2540.2512.254-0.50.511.52-1-1.5-2

0x…

…y＝x2……二次函數y=x2的圖象形如物體拋射時所經過的路線叫做拋物線對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點關于y軸對稱試一試畫函數y＝-x2的圖象練習：二次函數y=ax2的圖象形如物體拋射時所經過的路線，我們把它叫做拋物線。這條拋物線關于y軸對稱，y軸就是它的對稱軸。對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點圖象在橫軸的上方，開口向上，(-2,4)(-1,1)(2,4)(1,1)當x<0時，函數值y隨x的增大而減?。寒攛>0時，函數值y隨x的增大而增大。當x=0時,函數取得最小值，y=0。(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)圖象在橫軸的下方，開口向下，當x<0時，函數值y隨x的增大而增大：當x>0

時，函數值y隨x的增大而減小。當x=0時,函數取得最大值，y=0。

y＝ax2

a>0

a<0

開口方向

對稱軸

頂點坐標

增減性

最值

函數圖象向上向下y軸（直線x＝0）y軸（直線x＝0）（0，0）（0，0）當x＝0時，y最小值為0當x＝0時，y最大值為0二次函數y=ax2的性質議一議在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大；在對稱軸的左側，y隨x的增大而減小。在對稱軸的右側，y隨x的增大而減?。辉趯ΨQ軸的左側，y隨x的增大而增大。1、根據左邊已畫好的函數圖象填空：（1）拋物線y=2x2的開口方向

,對稱軸是

，頂點坐標

；

在

側，y隨著x的增大而增大；在

側，y隨著x的增大而減小，當x=

時，函數y的值最小，是

。（2）拋物線的開口方向

，對稱軸是

，頂點是

；

當x>0時，y隨著x的增大而

；當x<0時，y隨著x的增大而

；當x=0時，函數y的值最大，是

.向上y軸（0，0）對稱軸的右對稱軸的左00向下y軸增大減小0（0，0）練一練2、已知二次函數y=ax2（a≠0）的圖像經過點（-2，-8）。（1）求a的值，并寫出這個二次函數的解析式；（2）判斷點（-1，-4）是否在此拋物線上；（3）點和在此拋物線上，試比較m和n的大小。解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得

-8=a(-2)2,解出a=-2,

所求函數解析式為y=-2x2.

（3）因為點和在拋物線y=-2x2上所以當時，

當時，因此m<n（2）因為，所以點（-1，-4）不在此拋物線上。(-2,-8)y=-2x2

因為<1所以m>n在對稱軸的右邊y隨x的增大而減小通過本節(jié)的學習你有哪些收獲呢？駛向勝利的彼岸課堂小結在同一直角坐標系中，畫出下列函數的圖象：（1）

y＝3x2；（2）

y＝﹣x2．課堂作業(yè):二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質xy怎樣直接作出函數y=3x2-6x+5的圖象?函數y=ax2+bx+c的圖象我們知道,作出二次函數y=3x2的圖象,通過平移拋物線y=3x2可以得到二次函數y=3x2-6x+5的圖象.

1.配方:提取二次項系數配方:加上再減去一次項系數絕對值一半的平方整理:前三項化為平方形式,后兩項合并同類項化簡:去掉中括號老師提示:配方后的表達式通常稱為配方式或頂點式直接畫函數y=ax2+bx+c的圖象4.畫對稱軸,描點,連線:作出二次函數y=3(x-1)2+2的圖象．2.根據配方式(頂點式)確定開口方向,對稱軸,頂點坐標.x…-2-101234…

……3.列表:根據對稱性,選取適當值列表計算.…29145251429…∵a=3>0,∴開口向上;對稱軸:直線x=1;頂點坐標:(1,2).學了就用,別客氣?作出函數y=2x2-12x+13的圖象.X=1●(1,2)X=3●(3,-5)例.求次函數y=ax2+bx+c的對稱軸和頂點坐標．

函數y=ax2+bx+c的頂點式一般地,對于二次函數y=ax2+bx+c,我們可以利用配方法推導出它的對稱軸和頂點坐標.1.配方:提取二次項系數配方:加上再減去一次項系數絕對值一半的平方整理:前三項化為平方形式,后兩項合并同類項化簡:去掉中括號老師提示:這個結果通常稱為求頂點坐標公式.頂點坐標公式?因此,二次函數y=ax2+bx+c的圖象是一條拋物線.根據公式確定下列二次函數圖象的對稱軸和頂點坐標：例：指出拋物線:的開口方向，求出它的對稱軸、頂點坐標、與y軸的交點坐標、與x軸的交點坐標。并畫出草圖。

對于y=ax2+bx+c我們可以確定它的開口方向，求出它的對稱軸、頂點坐標、與y軸的交點坐標、與x軸的交點坐標（有交點時），這樣就可以畫出它的大致圖象。練習:1.拋物線y=x2-bx+3的對稱軸是x=2,求b的值.2.已知二次函數y=-x2+2x+c的最大值是4,求c的值.例4：若拋物線y=x2-4x+c的頂點在x軸上，求c的值。變化：拋物線y=x2-4x+c的頂點在y=x+1上，求c的值。解題時可以考慮多種方法練習：已知拋物線y=-3x2-2x+m的頂點在直線上，求m的值例5：拋物線y=2x2+bx的對稱軸在y軸的右側。求b的取值范圍。例6

已知二次函數(1)當m取何值時,函數圖象關于y軸對稱;(2)當m取何值時,函數圖象與y軸交點縱坐標是1;(3)當m取何值時,函數最小值是-2.例7

已知拋物線和(1)求證:不論m取何值,拋物線y1的頂點總在y2拋物線上;(2)當拋物線經過原點時,求y1的解析式,在同一坐標系中作出兩個圖象;練習

指出下列拋物線的開口方向、求出它的對稱軸、頂點坐標、與y軸的交點坐標、與x軸的交點坐標。并畫出草圖。

B1.拋物線y=2x2+8x-11的頂點在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.不論k取任何實數，拋物線y=a(x+k)2+k(a≠0)的頂點都在A.直線y=x上B.直線y=-x上C.x軸上D.y軸上3.若二次函數y=ax2+4x+a-1的最小值是2,則a的值是

4B.-1C.3D.4或-14.若二次函數y=ax2+bx+c的圖象如下,與x軸的一個交點為(1,0),則下列各式中不成立的是()A.b2-4ac>0B.abc>0C.a+b+c=0D.a-b+c<01CAxyo-1B()（）

5.若把拋物線y=x2+bx+c向左平移2個單位,再向上平移3個單位,得拋物線y=x2-2x+1,則A.b=2B.b=-6,c=6C.b=-8D.b=-8,c=186.若一次函數y=ax+b的圖象經過第二、三、四象限，則二次函數y=ax2+bx-3的大致圖象是()()BxyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3C7.在同一直角坐標系中,二次函數y=ax2+bx+c與一次函數y=ax+c的大致圖象可能是（）CxyoxyoxyoxyoABCD請你總結函數函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質想一想,函數y=ax2+bx+c和y=ax2的圖象之間的關系是什么？二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質１.頂點坐標與對稱軸２.位置與開口方向３.增減性與最值拋物線頂點坐標對稱軸位置開口方向增減性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符號確定由a,b和c的符號確定向上向下在對稱軸的左側,y隨著x的增大而減小.在對稱軸的右側,y隨著x的增大而增大.

在對稱軸的左側,y隨著x的增大而增大.在對稱軸的右側,y隨著x的增大而減小.

根據圖形填表：獨立作業(yè)1.確定下列二次函數的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

謝謝大家，再會!作業(yè)結束寄語探索是數學的生命線.再見求二次函數的表達式1.會用待定系數法確定二次函數的表達式.2.會求簡單的實際問題中的二次函數表達式.二次函數表達式有哪幾種表達方式？

一般式：y=ax2+bx+c

頂點式：y=a(x-h)2+k如何求二次函數的表達式？已知二次函數圖象上三個點的坐標，可用待定系數法求其表達式.

交點式：y=a(x-x1)(x-x2)解析：設所求的二次函數為y=ax2+bx+c，由條件得：a-b+c=10，a+b+c=4，4a+2b+c=7，解方程組得：因此，所求二次函數的表達式是a=2,b=-3,c=5.y=2x2-3x+5.【例1】已知一個二次函數的圖象過（－1，10），（1，4），（2，7）三點，求這個函數的表達式.【例題】【例2】已知拋物線的頂點為(-1，-3),與y軸交點為(0，-5),求拋物線的表達式.yox解析：設所求的二次函數為y=a(x＋1)2-3,由點(0,-5)在拋物線上得：a-3=-5,得a=-2，故所求的拋物線表達式為y=－2(x＋1)2-3.-1-3【規(guī)律方法】1.求二次函數y=ax2+bx+c的表達式，關鍵是求出待定系數a,b,c的值，由已知條件（如二次函數圖象上三個點的坐標）列出關于a,b,c的方程組，并求出a,b,c，就可以寫出二次函數的解析式.2.當給出的坐標或點中有頂點，可設頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,將h,k換為頂點坐標，再將另一點的坐標代入即可求出a的值.（西安·中考）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三點.求該拋物線的表達式.【解析】設該拋物線的表達式為y=ax2+bx+c,根據題意，得解之得∴所求拋物線的表達式為AyxOCB【跟蹤訓練】1．（衢州·中考）下列四個函數圖象中，當x＞0時，y隨x的增大而增大的是()C2.（莆田·中考）某同學用描點法畫y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象時，列出如下表格:經檢查，發(fā)現只有一處數據計算錯誤，請你