高中總復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)配人教A版-課后習(xí)題Word-高考大題專項(xiàng)練高考大題專項(xiàng)練2　高考中的三角函數(shù)與解三角形

高考大題專項(xiàng)練二高考中的三角函數(shù)與解三角形一、非選擇題1.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sinC.解:(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=b2因?yàn)?°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由題設(shè)及正弦定理得2sinA+sin(120°-C)=2sinC,即62+32cosC+12sin可得cos(C+60°)=-22由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=22故sinC=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60°=6+2.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sinA+3cosA=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且AD⊥AC,求△ABD的面積.解:(1)由已知可得tanA=-3,所以A=2π在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos2π即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由題設(shè)可得∠CAD=π2所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.故△ABD面積與△ACD面積的比值為12AB又△ABC的面積為12×4×2sin∠BAC=23所以△ABD的面積為3.3.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)證明:A=2B;(2)若△ABC的面積S=a24,求角A答案:(1)證明由正弦定理,得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB.于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)解由S=a24,得12absin故有sinBsinC=12sin2B=sinBcosB由sinB≠0,得sinC=cosB.又B,C∈(0,π),所以C=π2±B當(dāng)B+C=π2時(shí),A=π當(dāng)C-B=π2時(shí),A=π綜上,A=π2或A=π4.在△ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,△ABD的面積是△ADC面積的2倍.(1)求sinB(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的長(zhǎng)解:(1)S△ABD=12AB·ADsin∠BADS△ADC=12AC·ADsin∠CAD因?yàn)镾△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinB(2)因?yàn)镾△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.5.△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周長(zhǎng)的最大值.解:(1)由正弦定理和已知條件得BC2-AC2-AB2=AC·AB.①由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcosA.②由①②得cosA=-12因?yàn)?<A<π,所以A=2π(2)由正弦定理及(1)得ACsinB=AB從而AC=23sinB,AB=23sin(π-A-B)=3cosB-3sinB.故BC+AC+AB=3+3sinB+3cosB=3+23sinB+π又0<B<π3,所以當(dāng)B=π6時(shí),△ABC周長(zhǎng)取得最大值3+26.在平面四邊形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=22,求BC.解:(1)在△ABD中,由正弦定理得BDsin由題設(shè)知,5sin45所以sin∠ADB=25由題設(shè)知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=1-(2)由題設(shè)及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=25在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×22×25所以BC=5.7.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足cos2C-cos2A=2sinπ3+C(1)求角A的值;(2)若a=3,且b≥a,求2b-c的取值范圍.解:(1)因?yàn)閏os2C-cos2A=2sinπ3+C所以2sin2A-2sin2C=234化簡(jiǎn),得sinA=32所以A=π3或A=2(2)因?yàn)閎≥a,所以A=π3由正弦定理bsinB得b=2sinB,c=2sinC.故2b-c=4sinB-2sinC=4sinB-2sin2π3-B=3sinB-3cosB=2又因?yàn)閎≥a,所以π3≤B<2π3,即π6所以2b-c=23sinB-π6∈[3,23),即2b-c的取值范圍為[3,28.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知bsinA=acosB-(1)求角B的大小;(2)設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解:(1)在△ABC中,由正弦定理asin可得bsinA=asinB.又由bsinA=acosB-得asinB=acosB-即sinB=cosB-π6,可得tan又因?yàn)锽∈(0,π),所以B=π3(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3,有b2=a2+c2-2accosB