【班海精品課件】冀教版（新）八下-22.4 矩形 第一課時(shí)

22.4矩形第1課時(shí)一鍵發(fā)布配套作業(yè)&AI智能精細(xì)批改（任務(wù)-發(fā)布任務(wù)-選擇章節(jié)）目錄課前導(dǎo)入新課精講學(xué)以致用課堂小結(jié)課前導(dǎo)入情景導(dǎo)入兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.ABCD四邊形ABCD如果AB∥CDAD∥BCBD?ABCDAC平行四邊形的性質(zhì)：邊平行四邊形的對(duì)邊平行；平行四邊形的對(duì)邊相等；角平行四邊形的對(duì)角相等；平行四邊形的鄰角互補(bǔ)；對(duì)角線平行四邊形的對(duì)角線互相平分；班?！蠋熤腔劢虒W(xué)好幫手班海，老師們都在免費(fèi)用的數(shù)學(xué)作業(yè)精細(xì)批改微信小程序！感謝您下載使用【班海】教學(xué)資源！為什么他們都在用班海？一鍵發(fā)布作業(yè)，系統(tǒng)自動(dòng)精細(xì)批改（錯(cuò)在哪？為何錯(cuò)？怎么改？），從此告別批改作業(yè)難幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，培養(yǎng)規(guī)范答題好習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)解題能力快速查看作業(yè)批改詳情，全班學(xué)習(xí)情況盡在掌握多個(gè)班級(jí)可自由切換管理，學(xué)生再多也能輕松當(dāng)老師無(wú)需下載，不占內(nèi)存，操作便捷，永久免費(fèi)！掃碼一鍵發(fā)布數(shù)學(xué)作業(yè)AI智能精細(xì)批改(任務(wù)-發(fā)布任務(wù)-選擇題目)情景導(dǎo)入我們已經(jīng)知道平行四邊形是特殊的四邊形，因此平行四邊形除具有四邊形的性質(zhì)外，還有它的特殊性質(zhì)，同樣對(duì)于平行四邊形來(lái)說(shuō)有特殊情況即特殊的平行四邊形，也，這堂課我們就來(lái)研究一種恃殊的平行四邊形——矩形.一個(gè)角是直角兩組對(duì)邊分別平行平行四邊形矩形新課精講探索新知知識(shí)點(diǎn)矩形及其對(duì)稱(chēng)性1.如圖，剪出一個(gè)矩形紙片ABCD，點(diǎn)O是這個(gè)矩形的中心.請(qǐng)你用折疊的方法，驗(yàn)證它是軸對(duì)稱(chēng)圖形.

矩形有幾條對(duì)稱(chēng)軸.它們都經(jīng)過(guò)矩形的中心嗎？1探索新知2.四邊形具有不穩(wěn)定性，即當(dāng)一個(gè)四邊形的四條邊長(zhǎng)

保持不變時(shí)，它的形狀卻是可以改變的.如圖，使

一個(gè)平行四邊形保持四條邊長(zhǎng)不變，而將一個(gè)內(nèi)角α由鈍角先變成直角，再變成銳角.探索新知在這個(gè)過(guò)程中：(1)這個(gè)四邊形總是平行四邊形嗎？(2)當(dāng)α=90°時(shí)，其余三個(gè)內(nèi)角各是多少度的角？(3)當(dāng)α=90°時(shí)，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)有什么關(guān)系？探索新知?dú)w納矩形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形.探索新知例1如圖，直線EF過(guò)矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O，分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，若AB＝3，BC＝4，那么陰影部分的面積為_(kāi)_______．導(dǎo)引：由題意易得到△OEB≌△OFD，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何圖形的面積進(jìn)行計(jì)算．3探索新知方法一：∵四邊形ABCD是矩形，∴由矩形中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知S△EBO＝S△FDO，∴陰影部分的面積為矩形面積的.∴S陰影部分＝S△ABO＝×3×4＝3.方法二：在矩形ABCD中，OB＝OD，∠EBO＝∠FDO.在△OEB與△OFD中，∴△OEB≌△OFD.∴S陰影部分＝S△ABO＝

S矩形ABCD＝×3×4＝3.探索新知總

結(jié)

矩形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何圖形的面積求解．體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．典題精講下列說(shuō)法不正確的是(

)A．矩形是平行四邊形B．矩形不一定是平行四邊形C．有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形D．矩形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形1B典題精講在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，連接AC，BD，當(dāng)?ABCD的面積最大時(shí)，下列結(jié)論正確的有(

)①AC＝5；②∠BAD＋∠BCD＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④2B探索新知2知識(shí)點(diǎn)矩形的邊角性質(zhì)因?yàn)榫匦问瞧叫兴倪呅危运哂衅叫兴倪呅蔚乃行再|(zhì).由于它有一個(gè)角為直角，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質(zhì)呢？思考探索新知(1)取一張矩形的紙片，分別沿它的兩組對(duì)邊的中點(diǎn)所在

的直線折疊，你發(fā)現(xiàn)矩形是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如果是，它

有幾條對(duì)稱(chēng)軸？(2)利用矩形的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，由矩形的一個(gè)角是直角，你

發(fā)現(xiàn)矩形的另外三個(gè)角有什么性質(zhì)？證明你的結(jié)論．探索新知?dú)w納矩形的四個(gè)角都是直角.探索新知例2如圖所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，

∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAO和∠EAO的度數(shù)．由∠DAE與∠BAE之和為矩形的一個(gè)內(nèi)角及兩角之比即可求出∠DAE和∠BAE的度數(shù)，從而得出∠ABE的度數(shù)，由矩形的性質(zhì)易得∠BAO＝∠ABE，即可求出∠BAO的度數(shù)，再由∠EAO＝∠BAO－∠BAE可得∠EAO的度數(shù)．導(dǎo)引：探索新知∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝

AC，BO＝

BD，AC＝BD.∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.∵AE⊥BD，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°.∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.解：探索新知總

結(jié)

矩形的每條對(duì)角線把矩形分成兩個(gè)直角三角形，矩形的兩條對(duì)角線將矩形分成四個(gè)等腰三角形，因此有關(guān)矩形的計(jì)算問(wèn)題經(jīng)常通過(guò)轉(zhuǎn)化到直角三角形和等腰三角形中來(lái)解決．典題精講1已知：如圖，E為矩形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，連接BE，CE.求證：△EBC是等腰三角形.在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，∵E為AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE.∴EB＝EC，∴△EBC是等腰三角形．解：典題精講如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O且分別與AB，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______．23典題精講如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AD＝DE，連接BE交CD于點(diǎn)O，連接AO，下列結(jié)論中不正確的是(

)A．△AOB≌△BOC

B．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EOD

D．△AOD≌△BOC3A典題精講如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，OM∥AB交AD于點(diǎn)M，若OM＝3，BC＝10，則OB的長(zhǎng)為(

)A．5B．4C.D.4D典題精講如圖，在矩形紙片ABCD中，AD＝4cm，把紙片沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在E處，AE交DC于點(diǎn)O.若AO＝5cm，則AB的長(zhǎng)為(

)A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm5C探索新知3知識(shí)點(diǎn)矩形的對(duì)角線性質(zhì)任意畫(huà)一個(gè)矩形，作出它的兩條對(duì)角線，并比較它們的長(zhǎng)．你有什么發(fā)現(xiàn)?已知：如圖所示，四邊形ABCD是矩形．求證：AC=DB．ABCDO探索新知證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性質(zhì)定理1)．∵AB=CD(平行四邊形的對(duì)邊相等)，BC=CB．∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB．于是，就得到矩形的性質(zhì)：矩形的對(duì)角線相等.探索新知?dú)w納矩形的對(duì)角線相等.∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=OC=BO=OD.∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.∴∠AOB是等邊三角形.∴AO=BO=AB=4cm，AC=AO+OC=AO+OB=8(cm),即矩形ABCD對(duì)角線的長(zhǎng)為8cm.探索新知例4如圖，矩形ABCD兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∠AOD=120°，AB=4cm.求矩形對(duì)角線的長(zhǎng).解：ABCDO探索新知總

結(jié)

因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等且互相平分，所以矩形的對(duì)角線將矩形分成了四個(gè)等腰三角形，再由特殊角可得到特殊的三角形——等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)即可求解．典題精講矩形具有而一般平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是__________________________________________________________________________.1①矩形的四個(gè)內(nèi)角都是直角；②矩形的兩條對(duì)角線相等典題精講如圖，四邊形ABCD為矩形，指出圖中相等的線段和角.2相等的線段：AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD.相等的角：∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC，∠AOB＝∠DOC，∠AOD＝∠BOC，∠OAB＝∠ABO＝∠ODC＝∠OCD，∠OAD＝∠ODA＝∠OBC＝∠OCB.解：ABCDO典題精講已知矩形ABCD的邊AB=4，BC=5.求對(duì)角線AC的長(zhǎng).3如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，∠ABC＝90°.∴AC＝解：ABCD典題精講如圖，在矩形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，EF丄CE，交AB于點(diǎn)F，DE=2.矩影的周長(zhǎng)為16，且CE=EF.求AE的長(zhǎng).4典題精講在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝BC，AB＝CD，∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∵∠DEC＋∠DCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCE.在△AEF和△DCE中，∴△AEF≌△DCE，∴AE＝CD，設(shè)AE＝x，則CD＝x，AD＝x＋2.∵矩形的周長(zhǎng)為16，∴2(x＋x＋2)＝16.解得x＝3.即AE＝3.解：在矩形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD，因?yàn)锳B∥CE，BE∥AC，所以四邊形ABEC是平行四邊形．所以AC＝BE，又因?yàn)锳C＝BD，所以BD＝BE.典題精講已知：如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：BD=BE.5證明：連接PO，在矩形ABCD中，AC＝BD＝

＝5.OA＝OD＝

AC＝

BD＝.S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝

OA·PE＋

OD·PF＝OA·(PE＋PF)＝

S△ADC＝×AD·DC＝3.故PE＋PF＝.典題精講已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P為AD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn).求PE+PF的值.6解：典題精講如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E為CD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接DF.求DF的長(zhǎng).7典題精講連接AC，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝∠DCF＝90°，因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以DE＝CE.因?yàn)锳D∥CF，所以∠DAE＝∠CFE.在△ADE和△FCE中，所以△ADE≌△FCE，所以CF＝AD，又因?yàn)锳D＝BC，所以BC＝CF，又因?yàn)镈C⊥BF，所以DF＝BD＝＝5.解：典題精講如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠AOB＝60°，AC＝6cm，則AB的長(zhǎng)是(

)A．3cmB．6cmC．10cmD．12cm8A典題精講9如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝

DE＝2，則四邊形OCED的面積為(

)A．2B．4C．4D．8A易錯(cuò)提醒矩形一個(gè)角的平分線分矩形一邊為1cm和3cm兩部分，則這個(gè)矩形的面積為

．4cm2或12cm2易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)題意理解不透徹導(dǎo)致漏解.學(xué)以致用小試牛刀在探索“尺規(guī)三等分角”這個(gè)數(shù)學(xué)名題的過(guò)程中，曾利用了如圖所示的圖形．該圖中，四邊形ABCD是矩形，E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)是CE上一點(diǎn)，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA.若∠ACB＝21°，則∠ECD的度數(shù)是(

)A．7°B．21°C．23°D．24°1C小試牛刀如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，矩形的兩條邊AB，BC的長(zhǎng)分別是6和8，則點(diǎn)P到矩形的兩條對(duì)角線AC和BD的距離之和是(

)

A．4.8B．5C．6D．7.2A2小試牛刀3在矩形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，CE、AF分別交BD于G、H兩點(diǎn)．求證：(1)四邊形AFCE是平行四邊形；(2)EG＝FH.小試牛刀(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴AE＝

AD，CF＝

BC.∴AE＝CF.∴四邊形AFCE是平行四邊形．證明：小試牛刀(2)∵四邊形AFCE是平行四邊形，∴CE∥AF.∴∠DGE＝∠AHD＝∠BHF.∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH.∵DE＝

AD，BF＝

BC，AD＝BC，∴DE＝BF.

在△DEG和△BFH中，∴△DEG≌△BFH(AAS)．∴EG＝FH.小試牛刀4如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在BD上，BE＝DF.(1)求證：AE＝CF；(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面積．小試牛刀(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°.∵BE＝DF，∴OE＝OF.

在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(SAS)．∴AE＝CF.證明：小試牛刀(2)∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB.∵∠AOB＝∠COD＝60°.∴△AOB是等邊三角形．∴OA＝AB＝6.∴AC＝2OA＝12.

在Rt△ABC中，BC＝

＝6，∴矩形ABCD的面積為AB·BC＝6×6＝36.解：小試牛刀5數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的“從長(zhǎng)方形對(duì)角線上任一點(diǎn)作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長(zhǎng)方形面積相等(如圖所示)”這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補(bǔ)”原理復(fù)原了《海島算經(jīng)》九題古證．(以上材料來(lái)源于《古證復(fù)原的原理》、《吳文俊與中國(guó)數(shù)學(xué)》和《古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徵》)小試牛刀請(qǐng)根據(jù)該圖完成這個(gè)推論的證明過(guò)程．證明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(________＋________)．易知，S△ADC＝S△ABC，________＝________，________＝________．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMFS△AEFS△FMCS△ANF