2020高中數(shù)學(xué) 第四章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 41 對數(shù)的概念教師用書 第一冊

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精4．3.1對數(shù)的概念考點學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)對數(shù)了解對數(shù)、常用對數(shù)、自然對數(shù)的概念，會用對數(shù)的定義進(jìn)行對數(shù)式與指數(shù)式的互化數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算對數(shù)的基本性質(zhì)理解和掌握對數(shù)的性質(zhì)，會求簡單的對數(shù)值數(shù)學(xué)運算問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P122－P123，并思考以下問題:1．對數(shù)的概念是什么？2．對數(shù)式中底數(shù)和真數(shù)分別有什么限制？3．什么是常用對數(shù)和自然對數(shù)？1．對數(shù)的概念一般地，如果ax＝N（a>0,且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．■名師點撥logaN是一個數(shù)，是一種取對數(shù)的運算，結(jié)果仍是一個數(shù)，不可分開書寫．2．對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系3．常用對數(shù)與自然對數(shù)4．對數(shù)的基本性質(zhì)（1)負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù)．（2）loga1＝0（a＞0，且a≠1）．（3）logaa＝1(a＞0，且a≠1）．判斷正誤（正確的打“√”,錯誤的打“×”）(1)對數(shù)log39和log93的意義一樣．（)(2)(－2）3＝－8可化為log（－2）（－8)＝3.(）（3)對數(shù)運算的實質(zhì)是求冪指數(shù)．（）答案：（1）×(2）×（3)√若a2＝M(a＞0且a≠1）,則有(）A．log2M＝aB．logaM＝2C．loga2＝MD．log2a＝M答案:B把對數(shù)式loga49＝2寫成指數(shù)式為（）A．a(chǎn)49＝2 B．2a＝49C．492＝a D．a(chǎn)2＝49答案：Dlog3eq\f（2x－1，5）＝0,則x＝________．答案：3指數(shù)式與對數(shù)式的互化將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化:(1）ea＝16;（2)64－eq\f(1，3)＝eq\f（1，4）；(3）log39＝2;(4）logxy＝z(x＞0且x≠1，y＞0）．【解】（1)loge16＝a，即ln16＝a.(2)log64eq\f(1，4)＝－eq\f（1,3)。（3）32＝9。（4)xz＝y(tǒng)。eq\a\vs4\al（)將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：(1）log216＝4；（2)logeq\s\do9（\f（1,3））27＝－3；（3)43＝64；（4）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，4）)）eq\s\up12（－2）＝16。解：（1)由log216＝4可得24＝16.(2）由logeq\s\do9(\f（1,3））27＝－3可得eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12（－3）＝27.（3）由43＝64可得log464＝3。(4)由eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,4)））eq\s\up12（－2）＝16可得logeq\s\do9(\f（1,4））16＝－2。利用對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系求值求下列各式中x的值：(1）log27x＝－eq\f(2，3）；（2)logx16＝－4；（3）lgeq\f（1,1000)＝x；(4）－lne－3＝x。【解】(1)因為log27x＝－eq\f(2,3），所以x＝27－eq\f（2,3）＝（33）－eq\f（2，3）＝3－2＝eq\f(1，9)。(2）因為logx16＝－4，所以x－4＝16，即x－4＝24。所以eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，x）））eq\s\up12（4）＝24，所以eq\f（1,x)＝2，即x＝eq\f(1,2)。(3)因為lgeq\f（1，1000)＝x，所以10x＝10－3，所以x＝－3。(4）因為－lne－3＝x，所以－x＝lne－3，即e－x＝e－3,所以x＝3.eq\a\vs4\al（)求對數(shù)式logaN（a>0,且a≠1，N>0）的值的步驟（1)設(shè)logaN＝m。(2）將logaN＝m寫成指數(shù)式am＝N.（3)將N寫成以a為底的指數(shù)冪N＝ab，則m＝b,即logaN＝b。求下列各式的值：(1）log525；(2)log2eq\f(1,16)；（3）lg1000；(4)lg0。001。解：(1)設(shè)x＝log525，則5x＝25＝52，所以x＝2，即log525＝2.(2）設(shè)x＝log2eq\f（1，16)，則2x＝eq\f（1，16)＝2－4，所以x＝－4,即log2eq\f（1，16）＝－4。(3)設(shè)x＝lg1000，則10x＝1000＝103，所以x＝3，即lg1000＝3。(4）設(shè)x＝lg0.001，則10x＝0.001＝10－3，所以x＝－3，即lg0.001＝－3.利用對數(shù)的性質(zhì)求值求下列各式中x的值：（1)log3（lgx）＝1；（2)log3[log4(log5x)]＝0?！窘狻浚?）因為log3(lgx)＝1，所以lgx＝31＝3，所以x＝103＝1000.（2)由log3［log4（log5x）]＝0可得log4(log5x）＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625。eq\a\vs4\al(）利用對數(shù)的性質(zhì)求值的方法(1）求多重對數(shù)式的值的解題方法是由內(nèi)到外，如求loga（logbc）的值，先求logbc的值，再求loga(logbc）的值．（2）已知多重對數(shù)式的值,求變量值，應(yīng)從外到內(nèi)求，逐步脫去“l(fā)og”后再求解．求下列各式中的x的值:（1)log（2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1；(2）log2[log3(log4x)]＝0。解：(1）由log（2x2－1）（3x2＋2x－1)＝1得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（3x2＋2x－1＝2x2－1，，3x2＋2x－1＞0,,2x2－1＞0且2x2－1≠1,)）解得x＝－2。（2）由log2[log3（log4x）］＝0，可得log3(log4x)＝1，故log4x＝3，所以x＝43＝64.1．2－3＝eq\f(1,8)化為對數(shù)式為()A．logeq\s\do9(\f(1，8))2＝－3 B．logeq\s\do9(\f（1,8))(－3)＝2C．log2eq\f(1,8)＝－3 D．log2（－3）＝eq\f(1，8)答案：C2．若loga2b＝c則（)A．a(chǎn)2b＝c B．a(chǎn)2c＝bC．bc＝2a D．c2a＝b解析:選B.loga2b＝c?(a2)c＝b?a2c＝b.3．求下列各式中x的值：(1）x＝logeq\s\do9(\f（\r（2),2））4；（2）x＝log9eq\r（3）.解：（1)由已知得eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r（2)，2)))eq\s\up12（x）＝4，所以2－eq\f（x，2)＝22，－eq\f（x,2)＝2，解得x＝－4.（2）由已知得9x＝eq\r(3)，即32x＝3eq\s\up6(\f（1，2）).所以2x＝eq\f（1，2),x＝eq\f(1,4).[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．如果a3＝N（a＞0，a≠1），則有(）A．log3N＝a B．log3a＝NC．logaN＝3 D．loga3＝N答案:C2．log3eq\f（1，81)等于(）A．4 B．－4C。eq\f（1,4） D．－eq\f（1，4)解析：選B.因為3－4＝eq\f(1，81)，所以log3eq\f(1，81)＝－4.3．對數(shù)式M＝log(a－3）（10－2a）中，實數(shù)a的取值范圍是（）A．（－∞，5） B．（3，5）C．(3，＋∞) D．（3，4）∪（4，5）解析：選D.由題意得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（10－2a>0，,a－3〉0，,a－3≠1，)）解得3<a〈4或4<a<5,即a的取值范圍是（3,4)∪（4，5）．4．已知log2x＝3，則xeq\s\up12(－\f(1,2)）等于（）A。eq\f（1,3) B.eq\f（1，2\r（3）)C.eq\f(1,3\r（3)) D.eq\f（\r（2），4）解析:選D。因為log2x＝3，所以x＝23＝8。所以xeq\s\up12(－\f（1,2））＝8eq\s\up12（－\f(1，2）)＝eq\f（1,2\r（2)）＝eq\f（\r(2),4)。故選D。5．已知logaeq\f（1,2)＝m,loga3＝n,則am＋2n等于()A．3 B.eq\f（3，4）C．9 D。eq\f（9，2）解析：選D。由已知得am＝eq\f(1，2)，an＝3.所以am＋2n＝am×a2n＝am×（an）2＝eq\f（1，2）×32＝eq\f（9，2).故選D.6．若log2eq\f(2x－5,3)＝1，則x＝________．解析:因為log2eq\f(2x－5，3）＝1,所以eq\f(2x－5，3)＝2.即2x－5＝6。解得x＝eq\f（11,2）。答案：eq\f(11,2)7．已知f（x）＝eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（2－x,x≤1，，log81x，x＞1，))則滿足f(x)＝eq\f(1,4）的x的值為________．解析：由題意得①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x≤1，，2－x＝\f(1，4)）)或②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＞1，,log81x＝\f（1，4），)）解①得x＝2,與x≤1矛盾，故舍去，解②得x＝3，符合x＞1.所以x＝3.答案：38．先將下列式子改寫成指數(shù)式，再求各式中x的值．（1）log2x＝－eq\f(2,5)；(2）logx3＝－eq\f（1,3)。解：（1）因為log2x＝－eq\f（2,5)，所以x＝2eq\s\up12(－\f(2,5))＝eq\f(1,2\s\up6(\f（2，5）））＝eq\f(1,\r(5,4))。（2）因為logx3＝－eq\f（1,3），所以xeq\s\up12(－\f（1,3))＝3，即x＝3－3＝eq\f(1,27）.9．若logeq\s\do9（\f（1，2）)x＝m，logeq\s\do9(\f（1,4)）y＝m＋2,求eq\f(x2,y)的值．解：因為logeq\s\do9(\f(1，2））x＝m，所以eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）))eq\s\up12（m）＝x，x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2））)eq\s\up12(2m）。因為logeq\s\do9（\f（1，4))y＝m＋2,所以eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，4))）eq\s\up12（m＋2)＝y(tǒng)，y＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)))eq\s\up12（2m＋4）。所以eq\f(x2，y)＝eq\f（\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）））\s\up12(2m），\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)）)\s\up12（2m＋4））＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2))）eq\s\up12(2m－（2m＋4）)＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)）)eq\s\up12(－4)＝16.［B能力提升]10．方程lg(x2－1）＝lg(2x＋2）的根為()A．－3 B．3C．－1或3 D．1或－3解析：選B。由lg（x2－1）＝lg(2x＋2)，得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.經(jīng)檢驗x＝－1是增根,所以原方程的根為x＝3。11．若m〉0，meq\s\up6(\f(2,3）)＝eq\f（16，25)，則logeq\s\do9(\f（4,5）)m等于()A．2 B．3C．4 D．6解析：選B.因為meq\s\up6（\f(2，3)）＝eq\f(16，25），m〉0,所以m＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（16,25）)）eq\s\up6(\f（3,2））＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(4，5）））eq\s\up12（3），logeq\s\do9(\f（4，5））m＝logeq\s\do9(\f（4,5）)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(4,5）））eq\s\up12（3)＝3。12．已知log2（log3(log4x)）＝0,且log4(log2y)＝1.求eq\r（x）·yeq\s\up