人教版八年級上冊數(shù)學(xué) 全等三角形專題練習(xí)(解析版)

人教版八年級上冊數(shù)學(xué)全等三角形專題練習(xí)（解析版）一、八年級數(shù)學(xué)軸對稱三角形填空題（難）一1.△ABC與ADEF是兩個全等的等腰直角三角形，ZBAC=ZD=90°,AB=AC=弋6.現(xiàn)將△DEF與厶ABC按如圖所示的方式疊放在一起，使△ABC保持不動，ADEF運動，且滿足點E在邊BC上運動（不與B，C重合），邊DE始終經(jīng)過點A，EF與AC交于點M.在ADEF運動過程中，若△AEM能構(gòu)成等腰三角形，則BE的長為.【答案】2勇-<6或朽【解析】【分析】分若AE=AM則上AME=ZAEM=45°；若AE=EM；若MA=ME則上MAE=ZAEM=45°三種情況討論解答即可；【詳解】解：①若AE=AM則/AME=ZAEM=45°TZC=45°ZAME=ZC又:ZAME>ZC.這種情況不成立；②若AE=EMTZB=ZAEM=45°ZBAE+ZAEB=135°,ZMEC+ZAEB=135°ZBAE=ZMEC在△ABE和△ECM中，2b=zc<zbae=zcenAE=Eli△ABE竺△ECM(AAS)，..CE=AB=，TAC=BC=72AB=2帯3,

二BE=2J3-76；③若MA=ME則上MAE=ZAEM=45°TZBAC=90°,ZBAE=45°AE平分ZBACTAB=AC,12故答案為2込-或f3..2故答案為2込-或f3.【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想是解答本題的關(guān)鍵.2.如圖，AABC中，ABAC=90。，AD丄BC，ZABC的平分線be交AD于點F,AG平分ADAC.給出下列結(jié)論：①ABAD=AC‘②ZEBC=ZC‘③AE=AF；④FG//AC:⑤EF=FG.其中正確的結(jié)論是.【答案】①③④【解析】【分析】①根據(jù)等角的余角相等即可得到結(jié)果，故①正確；②如果ZEBC=ZC,貝y1ZC=-ZABC，由于ZBAC=90°，那么ZC=30°，但ZC不一定等于30°，故②錯誤；③厶由BE、AG分別是ZABC.ZDAC的平分線，得到ZABF=ZEBD.由于ZAFE=ZBAD+ZFBA，ZAEB=ZC+ZEBD，得到ZAFE=ZAEB，可得③正確；④連接EG,先證明△ABN9AGBN，得到AN=GN，證出△ANE^^GNF,得ZNAE=ZNGF，進而得到GF〃AE，故④正確；⑤由AE=AF,AE=FG，而△AEF不一定是等邊三角形，得到EF不一定等于AE,于是EF不一定等于FG,故⑤錯誤.【詳解】?.?ZBAC=90°,AD丄BC,.??ZC+ZABC=90°,ZC+ZDAC=90°,ZABC+ZBAD=90°,.\ZABC=ZDAC,ZBAD=ZC,故①正確；1若ZEBC=ZC，貝yZC=2ZABC,厶VZBAC=90°,那么ZC=30°,但ZC不一定等于30°,故②錯誤；BE、AG分別是ZABC.ZDAC的平分線，.ZABF=ZEBD,?ZAFE=ZBAD+ZABF,ZAEB=ZC+ZEBD,又VZBAD=ZC,.ZAFE=ZAEF,.AF=AE,故③正確；AG是ZDAC的平分線，AF=AE,.AN丄BE,FN=EN,在厶ABN與厶GBN中，2ABN=ZGBN<BN=BN,ZANB=ZGNB=90°???△ABN9AGBN(ASA),.AN=GN，又VFN=EN,ZANE=ZGNF,.?.△ANE9AGNF(SAS),?ZNAE=ZNGF，.??GF〃AE，即GF〃AC,故④正確；AE=AF，AE=FG，而厶AEF不一定是等邊三角形，.EF不一定等于AE，.EF不一定等于FG，故⑤錯誤．故答案為：①③④.【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)定理，直角三角形的性質(zhì)定理，掌握掌握上述定理，是解題的關(guān)鍵．3.如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長是5,點P是AD上的一動點，則PE+PF的最小值是【答案】10【解析】利用正多邊形的性質(zhì)，可得點B關(guān)于AD對稱的點為點E,連接BE交AD于P點，那么有PB=PF,PE+PF=BE最小，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可知三角形APB是等邊三角形，因此可知BE的長為10,即PE+PF的最小值為10.故答案為10.4.如圖，點P是ZAOB內(nèi)任意一點，OP=5,M,N分別是射線OA和OB上的動點，若△PMN周長的最小值為5,貝ZAOB的度數(shù)為.【答案】30°.【解析】【分析】如圖：分別作點P關(guān)于OB、AO的對稱點P'、P''，分別連OP'、OP''、P'P''交OB、OA于M、N,則可證明此時APM”周長的最小，由軸對稱性，可證明厶P'OP''為等邊三角形,1ZAOB=ZP'OP''=30°.2【詳解】氏5解：如圖：分別作點P關(guān)于OB、AO的對稱點P'、P''，分別連OP'、O、P'交OB、OA于M、N,由軸對稱APHN周長等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"???由兩點之間線段最短可知，此時△PMN周長的最小.??P'P"=5由對稱OP=OP'=OP"=5???△P'OP"為等邊三角形.??ZP'OP"=60VZP'OB=ZPOB,ZP"OA=ZPOA1/.ZAOB=ZP'OP''=30°.2故答案為30°.【點睛】本題是動點問題的幾何探究題，考查最短路徑問題，應(yīng)用了軸對稱圖形性質(zhì)和等邊三角形性質(zhì).5.如圖，已知△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,直角/EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F,給出下列四個結(jié)論：①AE=CF；?△EPF是等腰直角三角形；EF=AB；1S二S，當(dāng)/EPF在厶ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A、B重合），上述四邊形AEPF2MBC結(jié)論中始終正確的有（把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上）.【答案】①②④【解析】試題分析：TZAPE、ZCPF都是/APF的余角,

乙APE=ZCPF,TAB=AC,ZBAC=90°,P是BC中點，AP=CP,ZPAE=ZPCF,在厶APE與厶CPF中，ZPAE二ZPCF{AP二CPZEPA=ZFPC,.△APE竺△CPF(ASA),同理可證厶APF竺△BPE,1.AE=CF,△EPF是等腰直角三角形，S四邊形卩=2S^bc,①②④正確；1而AP=2BC,當(dāng)EF不是△ABC的中位線時，則EF不等于BC的一半，EF=AP,???故③不成立.故始終正確的是①②④.故選D.考點：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.等腰直角三角形.6.如圖，將AABC沿著過AB中點D的直線折疊，使點A落在BC邊上的叫處，稱為第1次操作，折痕DE到BC的距離記為件，還原紙片后，再將AADE沿著過AD中點D的直線折疊，使點A落在DE邊上的A2處，稱為第2次操作，折痕D1E1到BC的距離記為?,按上述方法不斷操作下去…經(jīng)過第2020次操作后得到的折痕D2019E2019到BC的距UJL2/UJL2/2020的值為【答案】2-2020的值為【答案】2-122019【解析】【分析】根據(jù)中點的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得DA=DAi=DB,從而可得ZADAi=2ZB，結(jié)合折疊的性質(zhì)可

得.，ZADAi=2ZADE，可得zade=zb,繼而判斷de//BC,得出de是△abc的中位線，證得1AA]丄BC,AA]=2,由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律：hi—2—1—2—同理201111h—2—h—2—2—…于是經(jīng)過第n次操作后得到的折痕Dn-1En-1到BC22132222的距離hn=2-2-，據(jù)此求得h202的值.【詳解】解：如圖連接AAi,由折疊的性質(zhì)可得:AAi丄DE,DA=DAi息、A3…均在AAi上又???D是AB中點,ADA=DB,DB=DAi,AZBAiD=ZB,AZADAi=ZB+ZBAiD=2ZB,又TZADAi=2ZADE,AZADE=ZBTDE//BC,AAAi丄BC,Thi=1AAAi=2,1Ahi二2-1二2--2o同理:h二2--x-二2-丄.32222'A經(jīng)過n次操作后得到的折痕Dn-iEn-i到BC的距離hn二2—丄AhAh2020122019【點睛】本題考查了中點性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，本題難度較大，要從每次折疊發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求得規(guī)律的過程是難點.

7.如圖，BD是^ABC的角平分線，AE丄BD，垂足為F，且交線段BC于點E，連結(jié)DE，若ZC=50。，設(shè)ZABC=x。，ZCDE=y。，則y關(guān)于x的函數(shù)表達式為［答案］y=80-x【解析】【分析】根據(jù)題意，由等腰三角形的性質(zhì)可得BD是AE的垂直平分線，進而得到AD=ED，求出ZBED的度數(shù)即可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)表達式.【詳解】???BD是AABC的角平分線，AE丄BD11.??ZABD=ZEBD=-ZABC=—x。，ZAFB=ZEFB二90。221.??ZBAF=ZBEF=90。一x。2???AB=BE???AF=EF???AD=ED???ZDAF=ZDEF???ZBAC=180O-ZABC-ZC，ZC=50。.??ZBAC=130。一x。.??ZBED=ZBAD=130?！獂。?.?ZCDE=ZBED-ZC.??y。二130-x。-50。=80。-x。???y=80-x，故答案為：y=80—x.【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及判定，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相關(guān)知識，熟練運用角的計算是解決本題的關(guān)鍵.8.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，ZA=60。，點E為AD邊上一點，連接BD.CE，CE與BD交于點F,且CE^AB，若AB=8，CE=6，則BC的長為.???OC???OC=JCF2-OF2=2\3I〕【答案】2富【解析】【分析】由AB=AD,BC=DC知點A,C都在BD的垂直平分線上，因此，可連接AC交BD于點O,易證AABD是等邊三角形，^EDF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)對三角形中的線段進行等量轉(zhuǎn)換即可求出OB,OC的長度，應(yīng)用勾股定理可求解.【詳解】解：如圖，連接AC交BD于點O???AB=AD，BC=DC，ZA二60。，???AC垂直平分BD，△ABD是等邊三角形.??ZBAO=ZDAO=30。，AB=AD=BD=8，BO=OD=4???CE〃AB???ZBAO=ZACE=30。，ZCED=ZBAD=60。.??ZDAO=ZACE=30°.?.AE=CE=6???DE=AD-AE=2ZCED=ZADB=60°???△EDF是等邊三角形???DE=EF=DF=2.??CF=CE-EF=4，OF=OD-DF=2

???BC<BO2OC22通【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，綜合運用等邊三角形的判定與性質(zhì)進行線段間等量關(guān)系的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵.9.如圖，在RtAABC中，ACBC,D是線段AB上一個動點，把aACD沿直線CD折疊，點A落在同一平面內(nèi)的A處，當(dāng)AD平行于Rt^ABC的直角邊時，ADC的大小為.【答案】112.5或67.5【解析】【分析】當(dāng)AD平行于Rt^ABC的直角邊時，有兩種情況，一是當(dāng)AD〃BC時，二是當(dāng)AD〃AC時，兩種情況根據(jù)折疊的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)進行角度的計算即可.【詳解】如圖1,當(dāng)點D在線段AB上，且AD〃BC時，ADBB45180112.5.180112.5.ADCA45圖1A45如圖2,當(dāng)AD〃AC時，ADBADCADC45180，解得ADCADC67.5.圖2【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.10.如圖，在AABC中，AB=AC,ZBAC=120°,D為BC上一點，DA丄AC,AD=24cm,則BC的長cm.【答案】72【解析】【分析】按照等腰三角形的性質(zhì)、角的和差以及含30°直角三角形的性質(zhì)進行解答即可.【詳解】解：TAB=AC，ZBAC=120°AZB=ZC=30°VDA丄AC,AD=24cmDC=2AD=48cm，VZBAC=120°,DA丄AC.ZBAD=ZBAC-90°=30°AZB=ZBADBD=AD=24cmBC=BD+DC=72cm故答案為72.【點睛】本題考查了腰三角形的性質(zhì)、角的和差以及含30°直角三角形的性質(zhì)，其中靈活運用含30°直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.二、八年級數(shù)學(xué)軸對稱三角形選擇題（難）11.如圖所示，OP平分ZAOB,PA丄OA,PB丄OB，垂足分別為A、B.下列結(jié)論中不一定成立的是（）.A.PA二PBB.PO平分ZAPBC.OA=OBD.AB垂直平分OP【答案】D【解析】【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得出PA=PB,再利用“HL”證明△AOP和△BOP全等，可得出ZAPO=ZBPO，OA=OB，即可得出答案.【詳解】解：TOP平分ZAOB,PA丄OA,PB丄OBPA=PB，選項A正確；在△AOP和厶BOP中，'PO=PO\PA=PB，aAOP=abop:.ZAPO=ZBPO，OA=OB，選項B，C正確；由等腰三角形三線合一的性質(zhì)，0P垂直平分AB，AB不一定垂直平分0P,選項D錯誤.故選：D.【點睛】本題考查的知識點是角平分線的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)定理是解此題的關(guān)鍵.12.點A的坐標(biāo)是（2，2），若點P在x軸或y軸上且△APO是等腰三角形，這樣的點P共有（）個A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，要使△AOP是等腰三角形，可以分兩種情況考慮：當(dāng)0A是底邊時，作OA的垂直平分線，和坐標(biāo)軸出現(xiàn)2個交點；當(dāng)OA是腰時，則分別以點0、點A為圓心，0A為半徑畫弧，和坐標(biāo)軸出現(xiàn)6個交點，這樣的點P共8個.【詳解】如圖，分兩種情況進行討論：A當(dāng)OA是底邊時，作OA的垂直平分線，和坐標(biāo)軸的交點有2個；當(dāng)OA是腰時，以點O為圓心，OA為半徑畫弧，和坐標(biāo)軸有4個交點；以點A為圓心，OA為半徑畫弧，和坐標(biāo)軸出現(xiàn)2個交點；?°?滿足條件的點P共有8個，故選：C.【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)OA為腰或底兩種情況分類討論，運用數(shù)形結(jié)合的思想進行解決.13.如圖，ZAOB=60。，OC平分ZAOB，如果射線OA上的點e滿足AOCE是等腰三角形，那么ZOEC的度數(shù)不可能為()A.120°B.75°C.60°D.30°【答案】C【解析】【分析】分別以每個點為頂角的頂點，根據(jù)等腰三角形的定義確定ZOEC是度數(shù)即可得到答案.【詳解】???ZAOB二60°，OC平分ZAOB，ZAOC=30°，當(dāng)OC=CE時，ZOEC=ZAOC=30°，當(dāng)OE=CE時，ZOEC=180°-ZOCE-ZCOE=120°，1當(dāng)OC=OE時，ZOEC=2(180°-ZCOE)=75°，?ZOEC的度數(shù)不能是60°，故選：C.

【點睛】【點睛】此題考查等腰三角形的定義，角平分線的定義，根據(jù)題意正確畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵.14.某平原有一條很直的小河和兩個村莊，要在此小河邊的某處修建一個水泵站向這兩個村莊供水?某同學(xué)用直線（虛線）l表示小河，P,Q兩點表示村莊，線段（實線）表示鋪設(shè)的管道，畫出了如下四個示意圖，則所需管道最短的是（）?【答案】C【解析】【分析】根據(jù)軸對稱分析即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，所需管道最短，應(yīng)過點P或點Q作對稱點，再連接另一點，與直線l的交點即為水泵站M,故選項A、B、D均錯誤，選項C正確，故選：C.【點睛】此題考查最短路徑問題，應(yīng)作對稱點，使三點的連線在同一直線上，這是此類問題的解題目標(biāo)，把握此目標(biāo)即可正確解題.15.如圖，四邊形ABCD中，ZBAD=120°,ZB=ZD=90°,在BC、CD上分別找一點M、2使厶AMN周長最小時，則ZAMN+ZANM的度數(shù)為（）

月DC月DCA.130°B.120°C.110°D.100°【答案】B【解析】根據(jù)要使厶AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和ED的對稱點A,A",即可得出/AAZM+ZA"=ZHAAZ=60°,進而得出/AMN+ZANM=2(ZAA'M+上A")即可得出答案：如圖，作A關(guān)于BC和ED的對稱點A,A",連接AA",交BC于M,交CD于N,則AA"即為△AMN的周長最小值.作DA延長線AH.??ZBAD=120°,ZHAA'=60°.ZAA'M+ZA"=ZHAA'=60°.TZMA'A=ZMAA',ZNAD=ZA",且ZMA'A+ZMAA'=ZAMN,Znad+zA"=Zanm,ZAMN+ZANM=ZMA'A+zMAA'+zNAD+zA"=2(ZAA'M+zA")=2x60°=120°.故選B.16.如圖，C是線段AB上一點，且AACD和ABCE都是等邊三角形，連接AE、BD相交于點O,AE、BD分別交CD、CE于M、N,連接MN、OC,則下列所給的結(jié)論中：①AE=BD；②CM=CN；③MN〃AB；④ZAOB=120°:⑤。。平分ZAOB.其中結(jié)論正確的個數(shù)是()A.2【答案】DA.2【答案】DB.3C.4D.5【解析】【分析】由題意易證：△ACEVADCB,進而可得AE=BD；由厶ACEVADCB,可得ZCAE=ZCDB，從而△ACMVADCN，可得：CM=CN；易證AMCN是等邊三角形，可得ZMNC=ZBCE,即MN〃AB；由ZCAE=ZCDB,ZAMC=ZDM0,得ZACM=ZDOM=60。，即ZAOB=120°丄AE，CH丄BD,易證CG=CH,即：OC平分ZAOB.【詳解】T△ACD和ABCE都是等邊三角形，.??AC=DC,CE=CB,ZACE=ZDCB=120°,.?.△ACENDCB(SAS).??AE=BD,???①正確；?.?△ACENDCB,???ZCAE=ZCDB,???△ACD和ABCE都是等邊三角形，???ZACD=ZBCE=ZDCE=60°,AC=DC,在厶ACM和△DCN中，'/CAE=ZCDBV<AC=DC/ACD=/DCE=60?！鰽CMNDCN(ASA),CM=CN,???②正確；VCM=CN,ZDCE=60°,△MCN是等邊三角形,ZMNC=60°,ZMNC=ZBCE,MN#AB,???③正確；?.?△ACENDCB,???ZCAE=ZCDB,VZAMC=ZDMO,.?.180°-ZCAE-ZAMC=180°-ZCDB-ZDMO,即：ZACM=ZDOM=60°,/.ZAOB=120°,???④正確；作CGIAE,CH丄BD,垂足分別為點G,點H,如圖，在△ACG和ADCH中，AAMC=ZDHC=90?ZCAE=ZCDBAC=DC.?.△ACGNDCH(AAS),.??CG=CH,.??OC平分ZAOB,???⑤正確.故選D.【點睛】本題主要考查全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，等邊三角形的性質(zhì)定理以及角平分線性質(zhì)定理的逆定理，添加合適的輔助線，是解題的關(guān)鍵.17.如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=6,ZBAC=120°,點P、Q分別是線段BC、射線BA上一點，則CQ+PQ的最小值為（）A.6B.7.5C.9D.12【答案】C【解析】【分析】通過作點C關(guān)于直線AB的對稱點，利用點到直線的距離垂線段最短，即可求解.【詳解】解：如圖，作點C關(guān)于直線AB的對稱點C］,CC］交射線BA于H,過點—作BC的垂線，垂足為P,與AB交于點Q,CQ+PQ的長即為PC］的長.

titiyAB=AC=6,ZBAC=120°,.??ZABC=30°,易得BC=6j3,在RtABHC中，ZABC=30°,.??HC=3\；3,ZBCH=60°,???cq=6^3,在RtAPCC]中，ZPCC]=60°,???PC]=9???CQ+PQ的最小值為9,故選：C.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及利用對稱點求最小值的問題，認(rèn)真審題作出輔助線是解題的關(guān)鍵.18.如圖，四邊形ABCD中，ZC=「：,ZB=ZD=^J,E,F分別是BC,DC上的點，當(dāng)△AEF的周長最小時，ZEAF的度數(shù)為（）.eA.「廣B.何C.D.:【答案】D【解析】【分析】【詳解】作點A關(guān)于直線BC和直線CD的對稱點G和H,連接GH,交BC、CD于點E、F,連接AE、AF,則此時△AEF的周長最小，由四邊形的內(nèi)角和為360°可