河南省安陽市林州市林濾中學2022年高三數(shù)學第一學期期末綜合測試試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．21 B．22 C．11 D．122．設，則（）A． B． C． D．3．已知，則p是q的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．如圖所示，在平面直角坐標系中，是橢圓的右焦點，直線與橢圓交于，兩點，且，則該橢圓的離心率是（）A． B． C． D．5．已知是圓心為坐標原點，半徑為1的圓上的任意一點，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到交圓于點，則的最大值為（）A．3 B．2 C． D．6．記的最大值和最小值分別為和．若平面向量、、，滿足，則（）A． B．C． D．7．我國古代數(shù)學名著《九章算術》有一問題：“今有鱉臑(biēnaò)，下廣五尺，無袤；上袤四尺，無廣；高七尺.問積幾何？”該幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體外接球的表面積為()A．平方尺 B．平方尺C．平方尺 D．平方尺8．某幾何體的三視圖如圖所示，若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長為的等邊三角形，則該幾何體的體積為A． B． C． D．9．若，，，點C在AB上，且，設，則的值為（）A． B． C． D．10．已知數(shù)列中，，()，則等于（）A． B． C． D．211．在四面體中，為正三角形，邊長為6，，，，則四面體的體積為（）A． B． C．24 D．12．如圖，在△ABC中，點M是邊BC的中點，將△ABM沿著AM翻折成△AB'M，且點B'不在平面AMC內(nèi)，點P是線段B'C上一點.若二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等，則直線AP經(jīng)過△AB'CA．重心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．外心二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在處的切線方程是_________．14．函數(shù)的最小正周期為________;若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為________.15．已知函數(shù)，若方程的解為，（），則_______；_______．16．甲、乙、丙、丁4名大學生參加兩個企業(yè)的實習，每個企業(yè)兩人，則“甲、乙兩人恰好在同一企業(yè)”的概率為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)和的圖象關于原點對稱，且．（1）解關于的不等式；（2）如果對，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．18．（12分）某商場舉行優(yōu)惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.方案一：每滿100元減20元；方案二：滿100元可抽獎一次.具體規(guī)則是從裝有2個紅球、2個白球的箱子隨機取出3個球（逐個有放回地抽?。?，所得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區(qū)別）紅球個數(shù)3210實際付款7折8折9折原價（1）該商場某顧客購物金額超過100元，若該顧客選擇方案二，求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客購物金額為180元，選擇哪種方案更劃算？19．（12分）已知橢圓的焦距是，點是橢圓上一動點，點是橢圓上關于原點對稱的兩點（與不同），若直線的斜率之積為.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）是拋物線上兩點，且處的切線相互垂直，直線與橢圓相交于兩點，求的面積的最大值.20．（12分）已知橢圓的離心率為是橢圓的一個焦點，點，直線的斜率為1．（1）求橢圓的方程；（1）若過點的直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，是否存在直線使得？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由．21．（12分）記數(shù)列的前項和為，已知成等差數(shù)列.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，求.22．（10分）在中，角，，的對邊分別為，，，已知．（1）若，，成等差數(shù)列，求的值；（2）是否存在滿足為直角？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意知成等差數(shù)列，結(jié)合等差中項，列出方程，即可求出的值.【詳解】解：由為等差數(shù)列，可知也成等差數(shù)列，所以，即，解得.故選:A.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差中項.對于等差數(shù)列，一般用首項和公差將已知量表示出來，繼而求出首項和公差.但是這種基本量法計算量相對比較大，如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，可使得計算量大大減少.2、D【解析】

結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可判斷出,,,即可選出答案.【詳解】由,即,又,即,,即,所以.故選:D.【點睛】本題考查了幾個數(shù)的大小比較,考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應用,屬于基礎題.3、B【解析】

根據(jù)誘導公式化簡再分析即可.【詳解】因為,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分條件.故選：B【點睛】本題考查充分與必要條件的判定以及誘導公式的運用,屬于基礎題.4、A【解析】

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解得和的坐標，然后利用向量垂直的坐標表示可得，由離心率定義可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，.由題意知，所以，.因為,所以,所以.所以，所以，故選：A.【點睛】本題考查了直線與橢圓的交點，考查了向量垂直的坐標表示，考查了橢圓的離心率公式，屬于基礎題.5、C【解析】

設射線OA與x軸正向所成的角為，由三角函數(shù)的定義得，，，利用輔助角公式計算即可.【詳解】設射線OA與x軸正向所成的角為，由已知，，，所以，當時，取得等號.故選：C.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的最值問題，涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識，是一道容易題.6、A【解析】

設為、的夾角，根據(jù)題意求得，然后建立平面直角坐標系，設，，，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算得出點的軌跡方程，將和轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距離，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得，則，，，建立平面直角坐標系，設，，，由，可得，即，化簡得點的軌跡方程為，則，則轉(zhuǎn)化為圓上的點與點的距離，，，，轉(zhuǎn)化為圓上的點與點的距離，，.故選：A.【點睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標化，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距離的最值問題是解答的關鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中等題.7、A【解析】

根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個三棱錐，將三棱錐補充成一個長方體，此長方體的外接球就是該三棱錐的外接球，由球的表面積公式計算可得選項.【詳解】由三視圖可得，該幾何體是一個如圖所示的三棱錐，為三棱錐外接球的球心，此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長方體的外接球，所以為的中點，設球半徑為，則,所以外接球的表面積，故選：A．【點睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積，關鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖，找出外接球的球心位置和半徑，屬于中檔題.8、C【解析】

由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是邊長為的等邊三角形，三棱錐的高為，所以該幾何體的體積，故選C．9、B【解析】

利用向量的數(shù)量積運算即可算出．【詳解】解：，，又在上，故選：【點睛】本題主要考查了向量的基本運算的應用，向量的基本定理的應用及向量共線定理等知識的綜合應用．10、A【解析】

分別代值計算可得，觀察可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，問題得以解決.【詳解】解：∵，()，

，

，

，

，

…，

∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，

，

，

故選：A.【點睛】本題考查數(shù)列的周期性和運用：求數(shù)列中的項，考查運算能力，屬于基礎題.11、A【解析】

推導出，分別取的中點,連結(jié)，則，推導出，從而，進而四面體的體積為，由此能求出結(jié)果.【詳解】解：在四面體中，為等邊三角形，邊長為6，，，，，，分別取的中點，連結(jié)，則，且，，，，平面，平面，，四面體的體積為：.故答案為：.【點睛】本題考查四面體體積的求法，考查空間中線線，線面，面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力.12、A【解析】

根據(jù)題意P到兩個平面的距離相等，根據(jù)等體積法得到SΔPB'M【詳解】二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等，故P到兩個平面的距離相等.故VP-AB'M=VP-ACM，即故B'P=CP，故P為CB'中點.故選：A.【點睛】本題考查了二面角，等體積法，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用導數(shù)的運算法則求出導函數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】求導得，所以，所以切線方程為故答案為：【點睛】本題考查了基本初等函數(shù)的導數(shù)、導數(shù)的運算法則以及導數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.14、【解析】

直接計算得到答案，根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】，故，當時，，故，解得.故答案為：；.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的周期和單調(diào)性，意在考查學生對于三角函數(shù)知識的綜合應用.15、【解析】

求出在上的對稱軸，依據(jù)對稱性可得的值;由可得，依據(jù)可求出的值.【詳解】解：令，解得因為，所以關于對稱.則.由，則由可知，，又因為，所以，則，即故答案為:;.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱軸，考查了誘導公式，考查了同角三角函數(shù)的基本關系.本題的易錯點在于沒有正確判斷的取值范圍，導致求出.在求的對稱軸時，常用整體代入法，即令進行求解.16、【解析】

求出所有可能，找出符合可能的情況，代入概率計算公式．【詳解】解：甲、乙、丙、丁4名大學生參加兩個企業(yè)的實習，每個企業(yè)兩人，共有種，甲乙在同一個公司有兩種可能，故概率為，故答案為．【點睛】本題考查古典概型及其概率計算公式，屬于基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】試題分析：（1）由函數(shù)和的圖象關于原點對稱可得的表達式，再去掉絕對值即可解不等式；（2）對，不等式成立等價于，去絕對值得不等式組，即可求得實數(shù)的取值范圍.試題解析：（1）∵函數(shù)和的圖象關于原點對稱，∴，∴原不等式可化為，即或，解得不等式的解集為；（2）不等式可化為：，即，即，則只需，解得，的取值范圍是.18、（1）（2）選擇方案二更為劃算【解析】

（1）計算顧客獲得7折優(yōu)惠的概率，獲得8折優(yōu)惠的概率，相加得到答案.（2）選擇方案二，記付款金額為元，則可取的值為126，144，162，180.，計算概率得到數(shù)學期望，比較大小得到答案.【詳解】（1）該顧客獲得7折優(yōu)惠的概率，該顧客獲得8折優(yōu)惠的概率，故該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率.（2）若選擇方案一，則付款金額為.若選擇方案二，記付款金額為元，則可取的值為126，144，162，180.，，則.因為，所以選擇方案二更為劃算.【點睛】本題考查了概率的計算，數(shù)學期望，意在考查學生的計算能力和應用能力.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）設點的坐標,表達出直線的斜率之積,再根據(jù)三點均在橢圓上,根據(jù)橢圓的方程代入斜率之積的表達式列式求解即可.（Ⅱ）設直線的方程為,根據(jù)直線的斜率之積為可得,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,表達出面積公式,再換元利用基本不等式求解即可.【詳解】（Ⅰ）設,,則,又,,故,即,故,又,故.故橢圓的標準方程為.（Ⅱ）設直線的方程為,,由,故,又,故,因為處的切線相互垂直故.故直線的方程為.聯(lián)立故.故,代入韋達定理有設,則.當且僅當時取等號.故的面積的最大值為.【點睛】本題主要考查了根據(jù)橢圓上的點坐標滿足的關系式求解橢圓基本量求方程的方法,同時也考查了拋物線的切線問題以及橢圓中面積的最值問題,需要根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線斜率,再換元利用基本不等式求解.屬于難題.20、（1）（1）不存在，理由見解析【解析】

（1）利用離心率和過點，列出等式，即得解（1）設的方程為，與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理表示中點N的坐標，用點坐標表示，利用韋達關系代入，得到關于k的等式，即可得解.【詳解】（1）由題意，可得解得則，故橢圓的方程為．（1）當直線的斜率不存在時，，不符合題意．當?shù)男甭蚀嬖跁r，設的方程為，聯(lián)立得，設，則，，，即．設，則，，，則，即，整理得，此方程無解，故的方程不存在．綜上所述，不存在直線使得．【點睛】本題考查了直線和橢圓綜合，考查了弦長和中點問題，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.21、（1）證明見解析，；（2）【解析】

（1）由成等差數(shù)列，可得到，再結(jié)合公式，消去，得到，再給等式兩邊同時加